B GIO DC V O TO TRNG I HC DN LP HI PHềNG - TRN DUY XNG NGHIấN CU NI LC V CHUYN V CA H KHUNG BNG PHNG PHP SO SNH Chuyờn ngnh: K thut Xõy dng Cụng trỡnh Dõn dng & Cụng nghip Mó s: 60.58.02.08 LUN VN THC S K THUT NGI HNG DN KHOA HC GS.TSKH H HUY CNG Hi Phũng, 2015 LI CM N cú th hon thnh ti lun thc s mt cỏch hon chnh, bờn cnh s n lc c gng ca bn thõn tụi cũn cú s hng dn nhit tỡnh ca quý Thy Cụ,cng nh s ng viờn ng h ca gia ỡnh, bn bố v ng nghip sut thi gian hc nghiờn cu v thc hin lun thc s Xin chõn thnh by t lũng bit n n GS.TSKH H Huy Cng, ngi ó ht lũng hng dn v to mi iu kin tt nht cho tụi hon thnh lun ny Xin gi li tri õn nht ca tụi i vi nhng iu m Thy ó dnh cho tụi Xin chõn thnh by t lũng bit n n ton th quý Thy Cụ Khoa sau i hc ca Trng i Hc Dõn lp Hi Phũng ó tn tỡnh truyn t nhng kin thc quý bỏu cng nh to mi iu kin thun li nht cho tụi sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v cho n thc hin ti lun ny Xin chõn thnh by t lũng bit n n gia ỡnh, nhng ngi ó khụng ngng ng viờn, h tr v to mi iu kin tt nht cho tụi sut thi gian hc v thc hin lun Cui cựng, tụi xin chõn thnh by t lũng cm n n cỏc anh ch v cỏc bn ng nghip ó h tr cho tụi rt nhiu sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v cung cp nhng t liu cng nh nhng gúp ý quý bỏu tụi cú th hon thnh lun Xin chõn thnh cm n Hi Phũng, thỏng nm 2015 Ngi thc hin lun Trn Duy Xng M U Bi toỏn c hc kt cu hin núi chung c xõy dng theo bn ng li ú l: Phng phỏp xõy dng phng trỡnh vi phõn cõn bng phõn t; Phng phỏp nng lng; Phng phỏp nguyờn lý cụng o v Phng phỏp s dng trc tip phng trỡnh Lagrange Cỏc phng phỏp gii gm cú: Phng phỏp c coi l chớnh xỏc nh, phng phỏp lc; Phng phỏp chuyn v; Phng phỏp hn hp; Phng phỏp liờn hp v cỏc phng phỏp gn ỳng nh, phng phỏp phn t hu hn; phng phỏp sai phõn hu hn; phng phỏp hn hp sai phõn - bin phõn Phng phỏp so sỏnh l phng phỏp c xõy dng da trờn ý tng c bit ca K.F Gauss i vi c h cht im v c xut bi GS TSKH H Huy Cng i vi c h mụi trng liờn tc im c bit ca phng phỏp so sỏnh l tỡm c kt qu ca bi toỏn cha bit thụng qua kt qu ca bi toỏn ó bit i tng, phng phỏp v phm vi nghiờn cu ca ti Trong lun ny, tỏc gi s dng phng phỏp so sỏnh núi trờn xõy dng v gii bi toỏn khung chu un cú xột n bin dng trt ngang lc ct Q gõy ra, chu tỏc dng ca ti trng tnh Do s cn thit ca vic nghiờn cu ni lc v chuyn v ca kt cu chu un, mc ớch v nhim v nghiờn cu ca lun ny l: Mc ớch nghiờn cu ca ti Nghiờn cu ni lc v chuyn v ca h khung bng phng phỏp so sỏnh Nhim v nghiờn cu ca ti Tỡm hiu v gii thiu cỏc phng phỏp xõy dng v cỏc phng phỏp gii bi toỏn c hc kt cu hin Trỡnh by Phng phỏp Nguyờn lý cc tr Gauss GS TSKH H Huy Cng xut, vi cỏc ng dng c hc mụi trng liờn tc núi chung v c hc vt rn bin dng núi riờng Gii thiu lý thuyt xột bin dng trt i vi bi toỏn kt cu chu un vi vic dựng hai hm cha bit l hm vừng y v hm lc ct Q Trỡnh by phng phỏp so sỏnh xõy dng v gii bi toỏn khung cú xột n bin dng trt, chu tỏc dng ca ti trng tnh Lp chng trỡnh mỏy tớnh in t cho cỏc bi toỏn nờu trờn í ngha khoa hc v thc tin ca ti nghiờn cu Vic xỏc nh ni lc v chuyn v ca kt cu khung chu un ó c nhiu tỏc gi v ngoi nc quan tõm nghiờn cu, cỏc kt qu nghiờn cu hin nhỡn chung c tỡm thy thụng qua cỏc phng phỏp gii trc tip Khỏc vi cỏch lm hin nay, tỏc gi lun gii thiu phng phỏp so sỏnh xõy dng v gii bi toỏn kt cu khung chu un mt cỏch giỏn tip da trờn ý tng c bit ca K.F Gauss nghiờn cu v c h cht im cựng vi s k tha, phỏt trin sỏng to ca GS TSKH H Huy Cng nghiờn cu h vt rn bin dng thuc c h mụi trng liờn tc LI CAM OAN Tụi xin cam oan Lun ny l cụng trỡnh nghiờn cu ca bn thõn tụi, cỏc s liu nờu Lun l trung thc Nhng kin ngh xut Lun l ca cỏ nhõn khụng chộp ca bt k tỏc gi no Tỏc gi lun Trn Duy Xng DANH MC Kí HIU I LNG Kí HIU T ng nng Th nng E Mụdun n hi C(x) Phim hm m rng G Mụdun trt 2G cng ca bin dng J Mụ men quỏn tớnh tit din EJ cng un ca tit din dm M Mụmen un N Lc dc P Lc trung Q Lc ct q Ngoi lc phõn b tỏc dng lờn dm m Khi lng cht im ng sut tip ng sut phỏp (x) Bin dng trt vừng ca dm Bin dng ca vt liu Bin phõn ri Vộc t ta i lng Ten x G Modun trt Bin dng th tớch Bin dng un ( cong ng n hi) , H s Lamộ MC LC Li cm n M U LI CAM OAN DANH MC Kí HIU CHNG I CC PHNG PHP XY DNG V CC PHNG PHP GII BI TON C HC KT CU 11 Phng phỏp xõy dng bi toỏn c hc 11 1.1 Phng phỏp xõy dng phng trỡnh vi phõn cõn bng phõn t .11 1.2 Phng phỏp nng lng 14 1.3 Nguyờn lý cụng o .17 1.4 Phng trỡnh Lagrange: .19 Bi toỏn c hc kt cu v cỏc phng phỏp gii .22 2.1 Phng phỏp lc 22 2.2 Phng phỏp chuyn v 22 2.3 Phng phỏp hn hp v phng phỏp liờn hp 23 2.4 Phng phỏp phn t hu hn 23 2.5 Phng phỏp sai phõn hu hn 23 2.6 Phng phỏp hn hp sai phõn - bin phõn 24 CHNG PHNG PHP NGUYấN Lí CC TR GAUSS 25 2.1 Nguyờn lớ cc tr Gauss 25 2.2 Phng phỏp nguyờn lớ cc tr Gauss 27 2.3 C h mụi trng liờn tc: ng sut v bin dng 34 2.4 C hc kt cu .40 2.5 Phng phỏp nguyờn lớ cc tr Gauss v cỏc phng trỡnh cõn bng ca c h 44 2.5.1 Phng trỡnh cõn bng tnh i vi mụi trng n hi, ng cht, ng hng .44 2.5.2 Phng trỡnh vi phõn ca mt vừng ca tm chu un 47 CHNG PHNG PHP SO SNH TRONG C HC KT CU 50 3.1 Lý thuyt dm cú xột bin dng trt .51 3.2 Phng phỏp so sỏnh tớnh toỏn khung cú sột n bin dng trt ngang 57 3.2.1 Phng phỏp s dng h so sỏnh 57 3.2.2Cỏc vớ d tớnh toỏn dm 58 KT LUN 67 KIN NGH V NHNG NGHIấN CU TIP THEO .68 DANH MC TI LIU THAM KHO 69 10 ( )dx ai k l1 l1 f i M ( )dx g k k Q1 ( )dx 0; bi (i 3) bi k bi 0 l2 h2 i M M 02 ( )dx g k k 0; ci (i 4) ci ci k l2 l2 f i M M 02 ( )dx g k k Q2 Q02 ( )dx 0; d i d i k d i 0 d i (i 3) l3 k i M ( )dx g k k 0; ii (i 4) ii ii k l1 l3 t i M ( )dx g k k Q3 ( )dx 0; ni (i 3) ni ni k ni 0 l1 hi M g k k 0; (i 4) (f) nhn c 30 phng trỡnh bc nht tỡm 30 n s Gii cỏc phng trỡnh trờn ta nhn c kt qu tớnh ng vừng yi, Mi v lc ct Qi nh sau: - Phng trỡnh ng n hi cho cỏc on khung 1.6667 ql x ql x qlx ; y1 ( x) 108 EJ 72 EJ 72 EJ ql x ql x qlx qx y ( x) 72 EJ 36 EJ 12 EJ 24 EJ y ( x) 1.6667 ql x ql x qlx 108 EJ 72 EJ 72 EJ - Hm mụmen un cho cỏc on khung 1 qlx qx 1 ; M ( x) ql qlx M ( x) ql qlx ; M ( x) ql 36 12 18 2 36 12 - Hm lc ct cho cỏc on khung Q1 ( x) 1 ql ql ; Q2 ( x) qx ; Q3 ( x) ql 12 12 Khi khụng xột bin dng trt (cho h/l=1/1000), ta cú biu mụ men un M, biu lc ct Q ca khung mt tng mt nhp nh hỡnh 3.24: 62 b Biu Q a Biu M Hỡnh 3.2 Biu ni lc khung mt tng mt nhp Vớ d 3.2: Tớnh khung mt tng hai nhp Xỏc nh ni lc v chuyn v ca khung mt tng hai nhp chu ti trng nh hỡnh 3.3a, cng un EJ=Const Tit din dm ch nht, cú chiu cao h , h s ng sut trt 1.2 Chn h so sỏnh l dm n gin, hỡnh 3.3b b Dm so sỏnh a Khung cn tớnh Hỡnh 3.3 Khung mt tng hai nhp Chia khung thnh nm on, on mt, on ba v on nm thng ng, on hai v on bn nm ngang ta cỏc nh hỡnh 3.2b, cỏc on cú chiu di tng ng l l1= l2= l3= l4= l5= l Gi thit ng vừng y1, y2, y3, y4, y5, v ng lc ct Q1, Q2, Q3, Q4, Q5, ca khung cú dng a thc nh sau: 63 y1 a1 x a x a3 x a x ; y c1 x c2 x c3 x c4 x ; y e1 x e2 x e3 x e4 x ; y j1 x j x j3 x j x ; y i1 x i2 x i3 x i4 x ; Q1 b0 b1 x b2 x b3 x Q2 d d x d x d x Q3 n0 n1 x n2 x n3 x Q4 w0 w1 x w2 x w3 x Q5 v0 v1 x v2 x v3 x (a) Trong ú: ai(i=14), bi(i=03), ci(i=14), di(i=03), ei(i=14), ni(i=03), ji(i=14), wi(i=03), ii(i=14), vi(i=03), l cỏc n ca bi toỏn Theo cỏc biu thc t (3.4) n (3.7) tớnh c: Bin dng trt 1, 2, 3, 4, 5,; gúc xoay 1, 2, 4, 5; bin dng un 1, 2, 3, 4, v momen un Mx1, Mx2, Mx3, Mx4, Mx5, tng ng vi cỏc on 1, 2, 3, v 5, c th l: i Qi ; GF i dyi dy Q i i i ; dx dx GF vi (i=15) d yi dQi d yi dQi i ; M xi EJ i EJ GF dx dx GF dx dx Trong ú: l h s xột s phõn b khụng u ca ng sut ct ti trc dm; GF l cng ct ca dm GF E EJ F 2 h Chn dm xon cựng chu lc phõn b u q lm h so sỏnh (hỡnh 3.25b) Momen un v lc ct ca dm so sỏnh xỏc nh theo cụng thc: q (l x) M0 Q0 q(l x) (b) Phn lc gi ta trỏi R0t ca dm so sỏnh khụng gõy mụ men lờn khung cn tớnh, cho nờn t biu thc (3.19) lng cng bc Z ca dm c vit nh sau l1 l2 q(l x) Z ( EJ ) dx (Q1 q(l x)) dx ( EJ ) dx 0 Min l2 l3 l4 l5 (Q2 ) dx ( EJ ) dx (Q4 ) dx (Q5 ) dx 0 0 l1 (c) 64 Hm vừng yi phi tho cỏc iu kin rng buc sau: dy3 Q3 dy Q dy Q2 dy Q2 g4 ; g dx GF xl1 dx GF x0 dx GF xl2 dx GF xl (d) dy Q3 dy5 Q5 dy Q4 dy Q4 g6 ; g dx GF xl4 dx GF xl dx GF xl3 dx GF x0 g y1 xl1 y3 xl3 ; g y3 xl3 y5 xl5 ; g 10 y xl2 ; g 11 y xl4 ; dy Q3 dy Q5 dy Q g 0; g 0; g 0; dx GF dx GF dx GF x x x a bi toỏn tỡm cc tr (c) vi cỏc rng buc (d) v bi toỏn cc tr khụng rng buc bng cỏch xõy dng phim hm m rng Lagrange F nh sau: 11 F Z k g k Min (e) k vi k(k=111) l cỏc tha s Lagrange cng l cỏc n ca bi toỏn Nh vy cú tng cng 51 n T iu kin cc tr ca biu thc (e) ta nhn c h phng trỡnh sau: 65 ( )dx ai k l1 l1 11 f i M M 01 ( )dx g k k Q1 Q01 ( )dx 0; bi bi k bi 0 bi (i 3) l2 11 h2 i M ( )dx g k k 0; ci (i 4) ci ci k l2 l 11 f i M ( )dx g k k Q2 ( )dx 0; d i d i k d i 0 d i (i 3) l3 11 k 3i M ( )dx g k k 0; ei (i 4) ei ei k l3 l3 11 t 3i M ( )dx g Q ( ) dx ; n ( i ) k k n i ni ni k i l4 11 h4 i M ( )dx g k k 0; ji (i 4) ji ji k l4 l4 11 f i M ( )dx g Q ( ) dx ; w ( i ) k k w i wi wi k i l5 11 k i M ( )dx g k k 0; ii (i 4) ii ii k l5 l 11 t i M ( )dx g Q ( ) dx ; v ( i ) k k v i vi vi k i l1 hi M M 01 11 g k k 0; (i 4) (f) nhn c 51 phng trỡnh bc nht tỡm 51 n s Gii cỏc phng trỡnh trờn ta nhn c kt qu tớnh ng vừng yi, Mi v lc ct Qi nh sau: - Phng trỡnh ng n hi cho cỏc on khung 1.3948 ql x ql x qlx qx ; y1 ( x) 0.0918 0.1165 0.0417 10 EJ EJ EJ EJ 6.5104 ql x ql x qlx y ( x) 0.0078 0.0072 10 EJ EJ EJ y ( x) 3.2812 ql x ql x qlx 0443 0273 10 EJ EJ EJ 66 ql x ql x qlx y ( x) 0.0065 0.0241 0.0176 EJ EJ EJ 2.7344 ql x ql x qlx y ( x) 0.0397 0.0228 108 EJ EJ EJ - Hm mụmen un cho cỏc on khung M ( x) 0.1836ql 0.6992qlx 0.5qx ; M ( x) 0.0156ql 0.043qlx ; M ( x) 0.0885ql 0.1641qlx ; M ( x) 0.0482ql 0.1055qlx ; M ( x) 0.0794ql 0.1367qlx - Hm lc ct cho cỏc on khung Q1 ( x) 0.6992ql qx ; Q2 ( x) 0.043ql ; Q3 ( x) 0.1641ql ; Q4 ( x) 0.1055ql ; Q5 ( x) 0.1367ql Khi khụng xột bin dng trt (cho h/l=1/1000), ta cú biu mụ men un M, biu lc ct Q ca khung mt tng hai nhp nh hỡnh 3.30: Hỡnh 3.4 Biu mụmen khung mt tng hai nhp Hỡnh 3.5 Biu lc ct khung mt tng hai nhp 67 KT LUN Qua kt qu nghiờn cu t cỏc chng, chng n chng dựng phng phỏp so sỏnh nghiờn cu bi toỏn kt cu khung chu un cú xột n nh hng ca bin dng trt ngang Tỏc gi rỳt cỏc kt lun sau: Tỏc gi ó ỏp dng thnh cụng phng phỏp nguyờn lý cc tr Gauss GS TSKH H Huy Cng xut nghiờn cu ni lc v chuyn v ca h khung phng chu un, chu tỏc dng ca ti trng tnh Tỏc gi ó xõy dng c phng phỏp so sỏnh nghiờn cu ni lc v chuyn v ca h khung cú xột n bin dng trt ngang lc ct Q gõy Cỏch t bi toỏn n gin v nhn c kt qu chớnh xỏc Khi khụng k n bin dng trt ngang nhn c kt qu trựng khp vi kt qu gii bng cỏc phng phỏp khỏc Bi toỏn xỏc nh ni lc v chuyn v ca h khung cú xột n bin dng trt ngang t rt n gin vỡ cú th so sỏnh c h phc vi mt h n gin Hiu qu ca cỏch lm ny cng cao h cn xột cng phc Phng phỏp gii bi toỏn kt cu bng cỏch s dng h so sỏnh m kh nng nhn c d liu thc nghim ca mt kt cu t vic nghiờn cu thc nghim kt cu khỏc õy l mt phng phỏp mi v cú hiu qu 68 KIN NGH V NHNG NGHIấN CU TIP THEO õy l mt phng phỏp mi v ỳng nờn cú th dựng nú nh mt cụng c phc v cụng tỏc ging dy v hc Phng phỏp cho phộp nhn c gi liu thc nghim t vic thc nghim kt cu khỏc nờn cú th ng dng vic xõy dng mụ hỡnh mụ phng Dựng lý thuyt ó xõy dng trờn nghiờn cu ni lc v chuyn v ca cỏc kt cu chu un khỏc nh tm, v vv cú xột n bin dng trt ngang lc ct Q gõy Danh mục tài liệu tham khảo I TIếNG VIệT 69 [1] Hà Huy C-ơng (2005), Ph-ơng pháp nguyên lý cực trị Gauss, Tạp chí Khoa học kỹ thuật, IV/ Tr 112 118 [2] Nguyễn Văn Liên, Nguyễn Ph-ơng Thành, Đinh Trọng Bằng (2003), Giáo trình Sức bền vật liệu, Nhà xuất xây dựng, tái lần thứ 3, 330 trang [3] Nguyễn Ph-ơng Thành (2002), Nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng nhiều lớp chịu tải trọng động có xét lực ma sát mặt tiếp xúc, Luận án tiến sỹ kỹ thuật [4] V-ơng Ngọc L-u (2002), Nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng sàn Sandwich chịu tải trọng tĩnh động, Luận án tiến sỹ kỹ thuật [5] Trần Hữu Hà (2006), Nghiên cứu toán t-ơng tác cọc d-ới tác dụng tải trọng, Luận án tiến sỹ kỹ thuật [6] Phạm Văn Trung (2006), Ph-ơng pháp Tính toán hệ dây mái treo, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật [7] Vũ Hoàng Hiệp (2007), Nghiên cứu trạng thái ứng suất - biến dạng dầm nhiều lớp chịu tải tĩnh động, Luận án tiến sỹ kỹ thuật, Hà nội [8] Nguyễn Văn Đạo (2001), Cơ học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 337 trang [9] Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng (2005), Nhập môn Động lực học phi tuyến chuyển động hỗn độn Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [10] Lều Thọ Trình, Đỗ Văn Bình(2006), Giáo trình ổn định công trình, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [11] Vũ Hoàng Hiệp (2008), Tính kết cấu có xét biến dạng tr-ợt, Tạp chí XD số 70 [12] Đoàn Văn Duẩn, Nguyễn Ph-ơng Thành (2007), Ph-ơng pháp tính toán ổn định thanh, Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr41-Tr44) [13] Đoàn Văn Duẩn (2007), Ph-ơng pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán ổn định công trình, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [14] Đoàn Văn Duẩn (2008), Ph-ơng pháp tính toán ổn định khung, Tạp chí Xây dựng số 01 (Tr35-Tr37) [15] Đoàn Văn Duẩn (2008), Nghiên cứu ổn định uốn dọc có xét biến dạng tr-ợt, Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr33-Tr37) [16] Đoàn Văn Duẩn (2009), Ph-ơng pháp nghiên cứu ổn định tổng thể dàn, Tạp chí Xây dựng số 03 (Tr86-Tr89) [17] Đoàn Văn Duẩn (2010), Ph-ơng pháp phần tử hữu hạn nghiên cứu ổn định uốn dọc thanh, Tạp chí kết cấu Công nghệ xây dựng, số 05, Qúy IV(Tr30-Tr36) [18] Đoàn Văn Duẩn (2011), Nghiên cứu ổn định đàn hồi hệ thanh, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật [19] Đoàn Văn Duẩn (2012), Ph-ơng pháp tính toán dây mềm, Tạp chí kết cấu công nghệ Xây dựng số 09, Qúy II (Tr56-Tr61) [20] Đoàn Văn Duẩn (2014), Ph-ơng pháp chuyển vị c-ỡng giải toán trị riêng véc tơ riêng, Tạp chí Xây dựng số 11 (Tr82-Tr84) [21] Đoàn Văn Duẩn (2015), Ph-ơng pháp nghiên cứu ổn định động lực học thanh, Tạp chí Xây dựng số 01 (Tr86-Tr88) [22] Đoàn Văn Duẩn (2015), Bài toán học kết cấu d-ới dạng tổng quát, Tạp chí Xây dựng số 02 (Tr59-Tr61) 71 [23] Đoàn Văn Duẩn (2015), Ph-ơng pháp so sánh nghiên cứu nội lực chuyển vị hệ dầm, Tạp chí Xây dựng số 11 (Tr56-Tr58) [24] Đoàn Văn Duẩn (2015), Tính toán kết cấu khung chịu uốn ph-ơng pháp so sánh, Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr62-Tr64) [25] Trần Thị Kim Huế (2005), Ph-ơng pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán học kết cấu, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [26] Nguyễn Thị Liên (2006), Ph-ơng pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán động lực học công trình, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [27] Vũ Thanh Thủy (2009), Xây dựng toán dầm xét đầy đủ hai thành phần nội lực momen lực cắt Tạp chí Xây dựng số [28] Vũ Thanh Thủy (2009), Dao động tự dầm xét ảnh h-ởng lực cắt Tạp chí Xây dựng, số [29] Timoshenko C.P, Voinópki- Krige X, (1971), Tấm Vỏ Ng-ời dịch, Phạm Hồng Giang, Vũ Thành Hải, Đoàn Hữu Quang, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội II TIếNG PHáP [30] Robert LHermite (1974), Flambage et Stabilité Le flambage élastique des pièces droites, édition Eyrolles, Paris IIi TIếNG ANH 72 [31] Stephen P.Timoshenko-Jame M.Gere (1961), Theory of elastic stability, McGraw-Hill Book Company, Inc, New york Toronto London, 541 Tr [32] William T.Thomson (1998), Theory of Applications (Tái lần thứ Vibration with 5) Stanley Thornes (1996), Finite Element (Publishers) Ltd, 546 trang [33] Klaus Jurgen procedures Part Bathe one, Prentice Hall International, Inc, 484 trang [34] Klaus Jurgen procedures Part Bathe two, (1996), Prentice Finite Hall Element International, Inc, 553 trang [35] Ray W.Clough, Structures (Tái Joseph lần Penzien(1993), thứ 2), Dynamics McGraw-Hill of Book Company, Inc, 738 trang [36] O.C Zienkiewicz-R.L Taylor (1991), The finite element method (four edition) Volume 2, McGraw-Hill Book Company, Inc, 807 trang [37] G.Korn-T.Korn (1961), Mathematical Handbook for sientists and Engineers, McGraw-Hill, New york (Bản dịch tiếng Nga, I.Bramovich chủ biên, Nhà xuất NaukaMoscow, 1964) [38] Stephen P.Timoshenko-J Goodier (1970), Theory of elasticity, McGraw-Hill, New york (Bản dịch tiếng Nga, G Shapiro chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1979), 560 trang [39] D.R.J Owen, E.Hinton (1986), Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice, Pineridge Press Lt 73 [40] Lars Olovsson, Kjell (2006), Shear locking linear solid finite Simonsson, reduction in elements, Mattias Unosson eight-node J tri- Computers @ Structures,84, trg 476-484 [41] C.A.Brebbia, J.C.F.Telles, L.C.Wrobel(1984), Boundary Element Techniques Theory and Applications in Engineering Nxb Springer Verlag.(Bản dịch tiếng Nga, 1987) [42] Chopra Anil K (1995) Dynamics of structures Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 07632 [43] Wilson Edward L Professor Emeritus of structural Engineering University of California at Berkeley (2002) Three Dimensional structures, Inc Static and Berkeley, Dynamic California, Analysis USA of Third edition, Reprint January [44] Wilson, E L., R L Taylor, W P Doherty and J Ghaboussi (1971) Incompatible Displacement Models, Proceedings, ORN Symposium on Numerical and Computer Method in Structural Mechanics University of Illinois, Urbana September Academic Press [45] Strang, G (1972) Variational Crimes in the Finite Element Method in The Mathematical Foundations of the Finite Element Method P.689 -710 (ed A.K Aziz) Academic Press [46] Irons, B M and O C Zienkiewicz (1968) The isoparametric Finite Element System A New Concept in Finite Element Analysis, Proc Conf Recent Advances in Stress Analysis Royal Aeronautical Society London 74 [47] Kolousek Vladimir, University, Pargue DSC (1973) Professor, Dynamics in Technical engineering structutes Butter worths London [48] Felippa element Carlos methods A (2004) Department Introduction of Aerospace of finite Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures University of Colorado Boulder, Colorado 80309-0429, USA, Last updated Fall [49] Wang C.M, deformable Reddy beems J.N, and Lee plates K.H.( 2000), Shear Relationships with Classical Solutions ELSEVIER, Amsterdam Lausanne- New York Oxford Shannon Singapore Tokyo [50] Barbero Ever J, Department of Mechanica & Aerospace Engineering, West Virgina University, USA (1999), Introduction to Composite Materials Design Taylor and Francis [51] Decolon C (2002) Analysis of Composite Structures Hermes Penton, Ltd, UK [52] Fu-le Li, Department of Nanjing ZHI-zhong Sun, Mathematics, 210096, PR China Corresponding Shoutheast (2007) A finite author, University, difference scheme for solving the Timoshenko beem equations with boundary feedback Journal of Computational and applied Mathematics 200, 606 627, Elsevier press Avaiable online at www.sciencedirect.com [53] Khaji N., Corresponding author, Shafiei M., Civil Engineering DepartmentTarbiat Modares University, P O Box 14155-4838, solutions for Tehran, crack Tran ((2009)) detection problem Closed of - form Timoshenko 75 beems with Journal lists of various boundary Mechanical available at conditions Sciences Science International 51, 667-681 Contents Direct journal hompage: www.elsevier.com/locate/ijmecsci [54] Antes H Institute of Applied Mechanics, University Carolo Wilhelmina, D-38023Braunschweig, Germany (2003) Fundamental solution and integralequations for Timoshenko beems Computers and Structures 81, 383-396 Pergamon press Available online at www.sciencedirect.com [55] Nguyen Dinh Kien (2007) Free Vibration of prestress Timoshenko beems resting on elastic foundation Viet nam Journal of Mechanics, VAST, Vol.29, No 1,pp 1-12 [56] Grawford F (1974) Waves, Berkeley physics course, volume McGraw hill Book Company Iv TIếNG nga [57] epma (1980), auecka , [58] (1969) - , [59] C oak (1959), apuauoe uu u, [60] (1980) - , [61] A A upac (1989), Cpoueba , , [62] (1961), , 76 [...]... ; W ; là các biến phân của các chuyển vị ảo theo ba chiều của hệ toạ độ vuông góc Chuyển vị ảo là chuyển vị bé do nguyên nhân bất kỳ bên ngoài nào đó gây ra Các chuyển vị ảo này phải thoả mãn các điều kiện liên kết của hệ Khi có chuyển vị ảo thì vị trí của các lực tác dụng trên hệ có thể thay đổi nh-ng ph-ơng chiều và độ lớn của nó vẫn giữ nguyên không đổi Nh- vậy, các chuyển vị ảo U ; V ; W là các... lực tác dụng và từ hai biểu thức (1.26) và (1.27) ta có nguyên lý công ảo: Nếu nh- tổng công của các lực tác dụng của hệ thực hiện trên các chuyển vị ảo bằng không thì hệ ở trạng thái cân bằng 18 Đối với hệ đàn hồi (hệ biến dạng) thì ngoài ngoại lực còn có nội lực Vấn đề đặt ra ở đây là cách tính công của nội lực nh- thế nào Tr-ớc hết ta cần phải đ-a thêm yêu cầu đối với chuyển vị ảo nh- sau: Các chuyển. .. đó: q i qi là vận tốc của chuyển động Đối với mỗi t chuyển vị qi sẽ có một ph-ơng trình Lagrange Động năng T trong toạ độ tổng quát là hàm của vận tốc và có thể là hàm của cả chuyển vị tổng quát Thế năng toàn phần của hệ bao gồm thế năng biến dạng và thế năng của lực có thế (lực trọng tr-ờng là lực có thế) Qi là lực không thế có thể đ-ợc hiểu là các lực ngoài tác dụng lên hệ (lực tổng quát) áp dụng... ảo nh- sau: Các chuyển vị ảo phải thoả mãn các liên hệ giữa chuyển vị và biến dạng Nếu nh- các chuyển vị có biến dạng x u v ; y ; x y thì biến phân các chuyển vị ảo u; v; w cũng phải có các biến dạng ảo t-ơng ứng: u; v; x y Thông th-ờng công của nội lực (hoặc ứng suất) đ-ợc tính qua thế năng biến dạng Khi có các chuyển vị ảo U ; V ; W ; thì thế năng biến dạng sẽ thay đổi bằng đại l-ợng biến phân... Lagrange để xây dựng ph-ơng trình chuyển động của dầm chịu uốn nh- sau: Gọi yi là chuyển vị (tổng quát) của điểm i của dầm và qi là lực tác dụng tại điểm i của dầm và mi là khối l-ợng 20 Động năng của dầm 1 2 T my i dx i 1 2 n trong y i đó: y i t (1.32) Thế năng biến dạng của dầm chịu uốn 1 2 yi EJ 2 i 1 2 x n 2 i (1.33) Dấu tổng lấy cho tất cả các điểm i của dầm Ph-ơng trình Lagrange đối... qy dx 0 0 2 dx 2 l l hay (1.30) Ph-ơng trình Euler của (1.30) nh- sau: 1.4 EJ d4y q0 dx 4 Ph-ơng trình Lagrange: Ph-ơng trình Lagrange là ph-ơng trình vi phân của chuyển động đ-ợc biểu thị qua các toạ độ tổng quát (các chuyển vị tổng quát) Gọi T là động năng và là thế năng của hệ, các qi là các chuyển vị tổng quát và Qi là các lực tổng quát thì ph-ơng trình Lagrange có dạng: d T T ... bằng đại l-ợng biến phân Do đó nguyên lý chuyển vị ảo đối với hệ biến dạng đ-ợc viết nh- sau: XU YV ZW 0, (1.28) Các đại l-ợng biến phân trong (1.28) đều là chuyển vị ảo cho nên nếu xem nội lực (ứng suất) trong quá trình chuyển vị ảo cũng không đổi thì dấu biến phân trong (1.28) có thể viết lại nh- sau: XU YV ZW 0 (1.29) Hai biểu thức (1.28) và (1.29) d-ới dạng chi tiết hơn đ-ợc trình... hoặc trực tiếp hoặc gián tiếp đều rút ra từ nguyên lý chuyển vị ảo Xét cơ hệ chất điểm ở trạng thái cân bằng ta có X 0, Y 0, Z 0, (1.26) X ; Y ; Z : là tổng hình chiếu của tất cả các lực tác dụng lên ba trục của hệ toạ độ Đề các Ta viết biểu thức sau: XU YV ZW 0, (1.27) ở đây xem các U ; V ; W ; là các thừa số bất kỳ Từ (1.26) ta có (1.27) và ng-ợc lại từ (1.27) ta sẽ nhận đ-ợc (1.26) bởi vì... ph-ơng trình vi phân cân bằng của dầm 2 y 4 y m 2 EJ 4 q t x (1.39) 22 Đối với bài toán tĩnh T=0 ta có: d4y EJ 4 q dx (1.40) Ph-ơng pháp sử dụng ph-ơng trình Lagrange để nhận đ-ợc ph-ơng trình vi phân của đ-ờng độ võng của dầm trình bày ở đây là của tác giả ở trên trình bày bốn ph-ơng pháp chung để xây dựng bài toán cơ, lấy bài toán dầm chịu uốn làm ví dụ để biết cách sử dụng chúng và để thấy bốn đ-ờng... ph-ơng trình trên cho ta thế năng của dầm để tính yi Ta tính của ph-ơng trình (1.34) y i 2 yi 1 4 yi 2 yi 1 yi 2 2 yi 1 yi yi 2 yi 1 yi 2 EJ yi x 4 4i yi 2 4 yi 1 6 yi 4 yi 1 yi 2 EJ EJ 4 4 x x i (1.37) 4 y Biểu thức (1.37) biểu thị sai phân hữu hạn của EJ 4 x i Cộng (1.35) và (1.37) nhận đ-ợc ph-ơng trình Lagrange đối với chuyển vị yi 2 yi 4 y m 2 EJ 4 qi t x