Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC VỎ TRỤ THOẢI VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG KHÍ ĐỘNG DYNAMICS ANALYSIS OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL SHALLOW CYLINDRICAL SHELLS SUBJECT TO AERODYNAMIC LOADS Lê Thúc Định1a Học viện Kỹ thuật Quân sự, Hà Nội, Việt Nam a ledinhvhp@gmail.com TÓM TẮT Bài báo trình bày kết phân tích động lực học vỏ trụ thoải làm vật liệu có tính biến thiên chịu tác dụng tải trọng khí động Theo đó, phương trình vi phân mô tả dao động phi tuyến vỏ trụ thoải có tính biến thiên giải sở tích phân trực tiếp Newmark kết hợp với lặp Newton – Raphson Trên sở thuật toán chương trình tính lập, khảo sát số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng khí động vỏ có tính biến thiên Kết báo làm sở đề xuất giải pháp nhằm tối ưu kết cấu vỏ FGM Từ khóa: động lực học, vỏ trụ thoải, vật liệu có tính biến thiên, phi tuyến, tải trọng khí động ABSTRACT This paper presents the results of dynamic analysis of functionally graded material cylinderical shallow shells subject to aerodynamic loads Accordingly, the nonlinear differential equations describing vibrations of functionally graded material cylinderical shallow shells is solved using Newmark’s time integration method with Newton-Raphson iteration method Based on algorithms and programs have been formulated to investigate some of factors affect to aerodynamic response of FGM shells Results paper is the basis to propose solutions to optimize the structure of FGM shells Keywords: dynamic, cylinderical shallow shells, functionally graded material, nonlinear, aerodynamic load ĐẶT VẤN ĐỀ Vật liệu có tính biến thiên (FGM) với ưu điểm vượt trội: chịu nhiệt tốt, không bị bong tách lớp, không bị tập trung ứng suất, … nên ngày dùng nhiều lĩnh vực như: hàng không vũ trụ, lò phản ứng hạt nhân, … Do vậy, phân tích động lực học vỏ làm vật liệu FGM chịu tác dụng lực khí động vấn đề có ý nghĩa khoa học thực tiễn XÂY DỰNG BÀI TOÁN 2.1 Mô hình vật liệu có tính biến thiên Vật liệu có tính biến thiên thường sử dụng nhiều thực tế loại hai thành phần, hỗn hợp gốm (ceramic) kim loại (metal) (Hình 1) 936 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV z Bề mặt giàu gốm h/2 x -h/2 Bề mặt giàu kim loại Hình Mô hình kết cấu vật liệu FGM Trong đó, tỷ lệ thể tích thành phần vật liệu biến đổi theo chiều dày kết cấu hàm lũy thừa biến chiều dày z [1], [2]: k  z 1 Vc (z) = − Vc (z) với (0 ≤ k ≤ ∞)  +  ; Vm (z) = h 2 (1) đó: k số tỷ lệ thể tích; Vc , Vm tỉ lệ thể tích thành phần gốm kim loại tương ứng, z trục tọa độ theo phương pháp tuyến bề mặt kết cấu Tính chất hiệu dụng vật liệu xác định theo biểu thức sau [1], [2]: k  z 1 Pe =( Pc − Pm )  +  + Pm h 2 (2) P e , P c , P m tính chất hiệu dụng (mô đun đàn hồi, khối lượng riêng, hệ số giãn nở nhiệt, hệ số dẫn nhiệt) vật liệu FGM, gốm, kim loại tương ứng Còn hệ số Poisson thường lấy số ảnh hưởng đến đáp ứng kết cấu không đáng kể, [3] nhiều công trình nghiên cứu khác Thuộc tính vật liệu thành phần phụ thuộc nhiệt độ theo biểu thức sau [1], [2]: ( = P(T) P0 P−1T −1 + + P1T + P2T + P3T3 ) (3) đó: P , P -1 , P , P 2, P hệ số nhiệt độ; T - nhiệt độ (K) 2.2 Mô hình toán giả thiết Vỏ trụ thoải làm vật liệu có tính biến thiên, chịu tác dụng lực khí động gây dòng khí có vận tốc U có chiều dọc trục Oy hợp với mặt phẳng xOy góc α, kích thước vỏ hình z y L O x a f0 R α U θ/2 θ/2 Hình Mô hình toán Vật liệu làm việc giới hạn đàn hồi, vỏ có chiều dày thỏa mãn lý thuyết Reissner Mindlin 937 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV y v4 u4 w4 u3 v1 y v3 w1 v2 u1 z u2 x a) Phần tử phẳng chịu kéo (nén) w3 θz4 θy4 θx4 θz1 θy1 θx1 θz3 θy3 θx3 w2 θ z2 θy2 θx2 x b) Phần tử phẳng chịu uốn-xoắn kết hợp Hình Mô hình phần tử vỏ chịu kéo (nén) phần tử vỏ chịu uốn-xoắn Vỏ thoải rời rạc hoá phần tử phẳng, theo vỏ tổ hợp hữu hạn phần tử phẳng bốn nút, phần tử xem tổ hợp hai loại phần tử: phần tử phẳng bốn nút, nút có hai bậc tự (u i , v i ) phần tử phẳng bốn nút chịu uốn - xoắn kết hợp, nút có bốn bậc tự (w i , θ xi , θ yi , θ zi ), biểu diễn hình 2.3 Lực khí động Khi chịu tác dụng dòng khí, phần tử phẳng chịu tác dụng lực nâng phân bố l w mômen uốn phân bố m θ , gọi chung lực khí động Phương trình lực khí động tác dụng lên phần tử phẳng viết sau [4]:     w Bθ ρa U B  KH1* (K) + KH*2 (K) + K H*3 (K)θ  l w = U U       w Bθ m = 2 * * U B KA (K) KA (K) ρ + + K A*3 (K)θ    θ a U U    (3) đó: ρ - mật độ không khí, U - vận tốc dòng khí, B - bề rộng phần tử theo phương gió tác dụng, K - tần số thu gọn: B ω K= w F U (4) Các hàm A*i (K), H*i (K) với i = ÷ 3, xác định [4]:  2G ( k )  π π  H1* ( K ) = − F ( k ) , H*2 (K) = − 1 + F ( k ) + , k 4k  k    kG ( k )  * π  π  * − F(k) − F(k),  H3 (K) =   , A1 (K) = 2  4k 2k    2G ( k )  * kG ( k )  π  π  k2 A* (K) = − − − = + − F k , A (K) F k ( ) ) (      16k  k   8k    (5) với k = K/2, hàm F(k), G(k) xác định bởi:  0,500502k + 0,512607k + 0, 2104k + 0, 021573 F ( k ) = k + 1, 035378k + 0, 251293k + 0, 021508   0, 000146k + 0,122397k + 0,327214k + 0, 001995  = − G k ) (  k + 2, 481481k + 0,93453k + 0, 089318  938 (6) Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV Với mô hình toán xét, dòng khí có phương nên phân hai thành phần: thành phần có vận tốc U t = Ucosα tác dụng theo phương trùng với mặt phẳng trung bình thành phần có vận tốc U n = Usinα tác dụng theo phương pháp tuyến với mặt phẳng trung bình Do đó, biểu thức lực khí động lúc có dạng:   w  *  KH1 (K) +    1 U cos α l w =ρa ( U cos α )2 B   + Cpρa ( U sin α ) Bθ x    * * KH (K) K H (K) + + θ x    U cos α      Bθ x w ρa ( U cos α ) B2  KA1* (K) + KA*2 (K) + K A*3 (K)θx  mθ = U cos α U cos α    (7) đó: Cp - hệ số áp lực gió; ρa - khối lượng riêng không khí QUAN HỆ ỨNG XỬ CƠ HỌC CỦA PHẦN TỬ 3.1 Quan hệ biến dạng chuyển vị Chuyển vị điểm có tọa độ (x,y,z) thuộc phần tử có dạng [5]: = y, z, t ) u ( x, y, t ) + zθ y ( x, y, t ) u ( x,  = y, z, t ) v0 ( x, y, t ) − zθx ( x, y, t )  v ( x,   w ( x, y, z, t ) = w ( x, y, t ) (8) đó: u, v w tương ứng chuyển vị dài dọc theo trục x, y z điểm thuộc phần tử có tọa độ (x,y,z); u , v w tương ứng chuyển vị dài dọc theo trục x, y z mặt trung bình; θ x , θ y góc xoay pháp tuyến mặt trung bình quanh trục x y Khi kể đến biến dạng mặt trung bình, thành phần véctơ biến dạng quan hệ với trường chuyển vị (8) theo biểu thức [5]: {ε} = {ε x εy γ xy γ yz γ xz } T {ε u } {ε m } +z {κ} = =  {εc }   {εc }  (9) đó: {ε m } , {κ} , {εc } véctơ biến dạng màng, véctơ độ cong, véctơ biến dạng trượt tương ứng xác định sau: 2   ∂u    ∂w       ∂x   ∂x    2  ∂v0    ∂w   L N {εm } = εm + εm =  +    ∂y     ∂y    ∂u ∂v0   ∂w ∂w  +     ∂x   ∂x ∂y   ∂y   { }{ } (10) { } { } N đó: ε L m - chuyển vị màng tuyến tính; ε m - chuyển vị màng phi tuyến κ   x   ∂θ y {κ} =  κ y  =     ∂x κ  xy  ∂θ − x ∂y T ∂θ y ∂θ  − x ∂y ∂x  939 (11) Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV  ∂w   ∂x + θ y   ∂w   − θx   ∂y   γ xz  = {ε= }   c  γ yz  (12) 3.2 Quan hệ ứng suất biến dạng Giả thiết bỏ qua ứng suất pháp theo phương trục z (σ z = 0), quan hệ ứng suất biến dạng phần tử viết dạng [5]: σ x    σ y    = τxy    τxz  τ yz     Q11 Q12 Q  21 Q 22  0    0 0 Q66 0  ε x     ε y      γ xy     γ xz    C55   γ   yz  0 C44 (13) đó: Qij , Ckl hệ số độ cứng, hệ số trượt xác định sau: Q= 11 Q= 22 E (z) 1− ν νE ( z ) , Q= 12 Q= 21 , Q= 66 C= 44 C= 55 − ν2 (1 − ν ) E ( z ) ( 1− ν ) (14) với E(z) môđun đàn hồi vật liệu FGM, xác định theo biểu thức: k  z 1 E ( z ) =( Ec − E m )  +  + E m h 2 (15) 3.3 Các thành phần nội lực Theo [5], quan hệ thành phần nội lực biến dạng biểu diễn sau: { N}    {M} =   {Q}  [ A ]   [ B]  [ 0] đó: [ B] [0]  {εm } [ D] [0]  {κ}  = [0] [C] {εc }  {N} = {N x , N y , N xy } T {  D  {ε}   (16) - véctơ lực màng; {M} = {M x , M y , M xy } T - véctơ } T mômen uốn xoắn; {Q} = Q x , Q y - véctơ lực cắt; [A], [B], [D], [C] ma trận độ cứng màng, ma trận độ cứng tương tác màng-uốn-xoắn, ma trận độ cứng uốn ma trận độ cứng trượt tương ứng [2]:  [ A ] =    [ C] =  h/2 h/2 h/2 −h / −h / h/2 −h / = ∫ [ E ] dz, [ B] [ E ] zdz, [ D] ∫=  1     E z dz ( )  (1 + ν ) 0   ∫  −h /  kp với [E] ma trận hệ số đàn hồi: 940 ∫ [ E ] z dz (17) Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV   1 ν  E (z)    = ν [E] 2 1− ν  1− ν  0    (18) k p hệ số hiệu chỉnh cắt (thường lấy k p = / ) THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Áp dụng nguyên lý Hamilton cho phần tử [6], ta có: t1 ∫ δ (T e e t1 ) ∫ δW dt = − U dt + t0 e (19) t0 đó: T e , U e , W e động năng, lượng biến dạng đàn hồi, công gây lực khí động xác định theo biểu thức sau: = Te e   e T T e  e ρ q z N N dV ( ) [ ] [ ] q  ∫e V  { } { } { } U =q We = e T (20) T    N   L  N  e  e  [BL q u ] +  Bw   [ C ] [Bu ] +  Bw   dA 2  ∫e       A  { } ∫e δwlw dS + ∫e δθ x mθ A (21) (22) A Thay (20), (21), (22) vào (19) biến đổi ta phương trình sau: e } + [Ce ]{q e } + [K e ]{q e } = [M e ]{q {Fae } (23) đó: [M e ] - ma trận khối lượng phần tử: e [M ] = 24× 24 ∫e ( I0[N w ] T )) ( [N w ] + I2 [N θx ]T [N θx ] + [N θy ]T [N θy ] dA e (24) A I2 ) với ( I0 , = ∫ ρ ( z ) (1, z h /2 − h /2 ) k  z 1 dz ; ρ ( z ) = ( ρc − ρm )  +  + ρm h 2 e [K e ] , [C ] ma trận độ cứng kết cấu ma trận cản phần tử:   K*  + k  K*  e N  e   N    e 20× 20 [K ] =  0] 24× 24  [  4× 20    20×  e ] = α Me  + β Ke   ; [C       K e   24×24 rz    4×  0] [ 941 (25) Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV với α, β hệ số cản Rayleigh;  K*e  ,  K*e  - ma trận độ cứng tuyến tính, phi tuyến    N phần tử chưa xét đến bậc tự xoắn;  K erz  - ma trận độ cứng phần tử ứng với bậc dự   xoắn; k N = - ứng với toán tuyến tính, k N = - ứng với toán phi tuyến Véctơ chuyển vị nút phần tử: = {q}e {u1 v1 w1 θx1 θy1 θz1 u v4 w θx4 θy4 θz4} T (26) {Fae } - véctơ lực khí động phần tử xác định [5]: T {Fae } =  ∂N θy  e ∫e [N w ] lw dA + ∫e  ∂x  mθdA A A T e (27) Thay (7) vào (27), sau biến đổi ta nhận được: e {Fae } = [K ea ]{q e } + [Cae ]{q e } + {Fan } (28) đó: [K ea ] - ma trận độ cứng khí động phần tử: ρa ( U cos α ) Bk [K ea ] = T    ∂N θy  * T *  H3 (k)[N w ] [N θx ] + BA3 (k)   e [N ]  θx dA (29) ∫   ∂x  S  [Cea ] - ma trận khí động phần tử: ( ) T T   H1* (k) [ N w ] [ N w ] + BH*2 (k) [ N w ] [ N θx ] dA e + ∫   Ae   Ce  =   Ucos Bk ρ α ( ) a T T   (30)  a  N N ∂ ∂       y y θ θ * * e  ∫  BA1 (k)   [ N w ] + B A (k)   [ N θx ] dA    x x ∂ ∂  Ae         e } = {Fan T C ρ U sin α dA e ) p a( ∫ [N w ] A (31) e Thay (28) vào (23) chuyển vế ta phương trình: ( ) ( ) e e } + [Ce ] − [Cae ] {q e } + [K e ] − [K ae ] {q e } = [M e ]{q {Fan } (32) Sử dụng phương pháp ma trận biến đổi tọa độ, phương trình vi phân mô tả dao động phần tử hệ tọa độ tổng thể sau: ( ) ( ) e e } + [Ce ] − [Cea ] {q e } + [K e ] − [K ea ] {q e } = [M e ]{q {Fan } (33) Sau tập hợp ma trận véctơ phần tử theo thuật toán phương pháp PTHH, ta ma trận véctơ tổng thể Khi đó, phương trình vi phân dao động vỏ FGM chịu tác dụng tải trọng khí động có dạng sau:  + ([C] − [Ca ]){q}  + ([K] − [K a ]){q} = [M]{q} {Fa0 } 942 (34) Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV Phương trình (34) phương trình vi phân phi tuyến, tác giả sử dụng phương pháp tích phân trực tiếp Newmark kết hợp với lặp Newton – Raphson để giải VÍ DỤ SỐ VÀ THẢO LUẬN 5.1 Xác định tham số động lực học vỏ Xét vỏ trụ thoải làm vật liệu có tính biến thiên hai thành phần Si3N4 SUS304 Các hệ số nhiệt độ vật liệu thành phần tài liệu [4]: Các thông số kết cấu: chiều dài L = 1,5m, bán kính R = 1m, chiều dày h = 0,015m, ngàm cứng cạnh cong Vận tốc gió U = 15 m/s, tác dụng theo phương oy hợp với mặt phẳng xoy góc α = 300 Xét điều kiện nhiệt độ phòng T = 300K, hệ số Poisson ν = 0,3 Sử dụng chương trình tính lập giải toán, nhận kết đáp ứng khí động vỏ FGM sau: Hình Đáp ứng độ võng theo thời gian Hình Đáp ứng ứng suất theo phương x * Nhận xét: Với giá trị vận tốc gió tính toán, độ võng ứng suất có xu hướng giảm dần theo thời gian, vỏ dao động với biên độ tắt dần Theo tiêu chuẩn ổn định động Budiansky – Roth, vỏ trạng thái ổn định 5.2 Khảo sát số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng khí động vỏ 5.2.1 Ảnh hưởng tốc độ dòng khí Để xem xét ảnh hưởng vận tốc gió đến dao động ổn định vỏ FGM, tác giả khảo sát toán cho ba trường hợp vận tốc gió khác nhau: U = 25 m/s, U = 35 m/s U = 60 m/s Kết đáp ứng khí động vỏ FGM thể đồ thị hình Hình Ảnh hưởng vận tốc dòng khí Hình Ảnh hưởng tỉ số h/L đến độ võng 943 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV * Nhận xét: Vận tốc gió có ảnh hưởng lớn đến đáp ứng khí động vỏ, vận tốc gió nhỏ, vỏ dao động tắt dần lực khí động chưa đủ lớn đồng thời bị giảm phần cản khí động sinh trình vỏ dao động Khi tăng vận tốc gió, biên độ dao động vỏ tăng theo Khi vận tốc gió đạt đến giá trị làm cho chuyển vị vỏ tăng đột ngột (trong trường hợp khảo sát: U = 60m/s), vỏ bị ổn định 5.2.2 Ảnh hưởng tỉ số h/L Đánh giá ảnh hưởng tỉ số h/L đáp ứng động vỏ FGM, tác giả khảo sát toán với giá trị h/L thay đổi từ 0,0085 – 0,03 Kết đáp ứng động vỏ trình bày đồ thị hình * Nhận xét: Khi tỉ số h/L tăng, chuyển vị đứng vỏ giảm, đồng nghĩa với khả chịu lực khí động vỏ FGM tăng lên Như vậy, coi giải pháp học nhằm tăng khả ổn định vỏ, nhiên cần ý đến tính kinh tế tính công nghệ kết cấu 5.2.3 Ảnh hưởng điều kiện liên kết Khảo sát cho ba trường hợp: ngàm cạnh cong, ngàm hai cạnh cong, ngàm ba cạnh (hai cạnh cong cạnh thẳng) Kết đáp ứng biểu diễn đồ thị hình Hình Ảnh hưởng điều kiện liên kết đến độ võng * Nhận xét: Điều kiện liên kết có ảnh hưởng lớn đến đáp ứng khí động vỏ, thể thông qua thay đổi rõ rệt giá trị độ võng lớn (w max ) Cụ thể sau: ngàm cạnh: w 1max = 0.048975m, ngàm hai cạnh cong: w 2max = 0.020703m, ngàm ba cạnh: w 3max = 0.007224m KẾT LUẬN Trong báo này, tác giả xây dựng thuật toán PTHH giải toán động lực học phi tuyến vỏ FGM chịu tác dụng tải trọng khí động, với mô hình nghiên cứu hoàn toàn mô hình nghiên cứu ổn định cho toàn kết cấu Với mô hình này, tác giả khảo sát cho trường hợp góc tới dòng khí thay đổi so với mô hình panel flutter nghiên cứu trước áp dụng cho trường hợp dòng khí có phương song song với mặt trung bình kết cấu Xây dựng chương trình tính ngôn ngữ matlab Thực khảo sát số nghiên cứu số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng khí động vỏ FGM: ảnh hưởng vận tốc gió, tỉ số h/R, điều kiện liên kết Thông qua kết số, rút nhận xét làm sở tham khảo định hương lựa chọn giải pháp hợp lý cho kết cấu vỏ FGM 944 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lee S L, Kim J H (2009), “Thermal post-buckling and limit-cycle oscillation of functionally graded panel with structural damping in supersonic airflow”, Composite Structures (91), pp 205-211 [2] Lee S.-L., Kim J.-H (2007), “Thermal Stability Boundary of FG Panel under Aerodynamic Load”, World Academy of Science, Engineering and Technology, (32), pp 60-65 [3] Lê Khả Hòa (2015), Phân tích ổn định tĩnh vỏ vật liệu có tính biến thiên, Luận án tiến sĩ học, Đại học KHTN, Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Simiu E., Scanlan R H (1986), Wind effects on structures, 2nd ed, John Wiley & Sons [5] Trần Ích Thịnh (1994), Vật liệu composite học tính toán kết cấu, NXB Giáo dục [6] Yuan K H., Qiu Z P (2010), “Nonlinear flutter analysis of stiffened composite panels in supersonic flow”, Sciene China Physics & Astronomy Vol No 2, pp 336 - 344 THÔNG TIN VỀ TÁC GIẢ Lê Thúc Định, Học viện KTQS, ledinhvhp@gmail.com, 0982.140.560 – 0919.148.167 945