Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH CỦA TẤM CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG KHÍ ĐỘNG STABILITY STUDY OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL PLATES SUBJECT TO AERODYNAMIC LOADS Lê Thúc Định1a, Vũ Quốc Trụ2b, Trần Thị Hương3c 1,2 Học viện Kỹ thuật quân sự, Hà Nội, Việt Nam Trường CĐKT Lý Tự Trọng, TP Hồ Chí Minh, Việt Nam a ledinhvhp@gmail.com; bvuquoctru@gmail.com; ckhoinguyen020109@yahoo.com TÓM TẮT Bài báo trình bày nghiên cứu đáp ứng động làm vật liệu có tính biến thiên (FGM) chịu tác dụng tải trọng khí động Theo đó, phương trình vi phân phi tuyến mô tả dao động có tính biến thiên giải phương pháp tích phân trực tiếp Newmark kết hợp với lặp Newton – Raphson Trên sở thuật toán chương trình tính xây dựng, khảo sát số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng khí động có tính biến thiên Kết báo làm sở đề xuất giải pháp nhằm tối ưu kết cấu dạng vật liệu FGM Từ khóa: tấm, vật liệu có tính biến thiên, ổn định, phi tuyến, tải trọng khí động ABSTRACT This paper study dynamic response of functionally graded material plates subject to aerodynamic loads Accordingly, the nonlinear differential equations describing vibrations of functionally graded material plates is solved using Newmark’s time integration method with Newton-Raphson iteration method Based on algorithms and programs have been formulated to investigate some of factors affect to dynamic response of FGM plates Results paper is the basis to propose solutions to optimize the structure of FGM plates Keywords: plates, functionally graded material, stability, nonlinear, aerodynamic load ĐẶT VẤN ĐỀ Vật liệu có tính biến thiên (Functionally Graded Material viết tắt FGM) loại vật liệu nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Các kết cấu làm vật liệu FGM (đặc biệt kết cấu dạng tấm, vỏ) sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực: hàng không vũ trụ, lò phản ứng hạt nhân, … Do vậy, nghiên cứu ổn định làm vật liệu FGM chịu tác dụng lực khí động vấn đề có ý nghĩa khoa học thực tiễn XÂY DỰNG BÀI TOÁN 2.1 Mô hình vật liệu có tính biến thiên Vật liệu có tính biến thiên thường sử dụng nhiều thực tế loại hai thành phần, hỗn hợp gốm (ceramic) kim loại (metal) (Hình 1) Trong đó, tỷ lệ thể tích thành phần vật liệu biến đổi theo chiều dày kết cấu hàm lũy thừa biến chiều dày z [1], [2]: k  z 1 Vc (z) = − Vc (z) với (0 ≤ k ≤ ∞)  +  ; Vm (z) = h 2 (1) Trong đó: k số tỷ lệ thể tích; Vc , Vm tỉ lệ thể tích thành phần gốm kim loại tương ứng, z trục tọa độ theo phương pháp tuyến bề mặt kết cấu 701 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV z Bề mặt giàu gốm y z h/2 a Tấm FGM b O x x h α -h/2 U Bề mặt giàu kim loại Hình Mô hình kết cấu vật liệu FGM Hình Mô hình toán Tính chất hiệu dụng vật liệu xác định theo biểu thức sau [1], [2]: k  z 1 Pe =( Pc − Pm )  +  + Pm h 2 (2) Trong P e , P c , P m tính chất hiệu dụng (mô đun đàn hồi, khối lượng riêng, hệ số giãn nở nhiệt, hệ số dẫn nhiệt) vật liệu FGM, gốm, kim loại tương ứng Còn hệ số Poisson thường lấy số ảnh hưởng đến đáp ứng kết cấu không đáng kể, [3] nhiều công trình nghiên cứu khác Thuộc tính vật liệu thành phần phụ thuộc nhiệt độ theo biểu thức sau [1], [2]: ( P(T) P0 P−1T −1 + + P1T + P2T + P3T3 = ) (3) Trong đó: P , P -1 , P , P 2, P hệ số nhiệt độ; T - nhiệt độ (K) 2.2 Mô hình toán giả thiết Tấm vật liệu có tính biến thiên, chịu tác dụng lực khí động gây dòng khí có vận tốc U, chiều dọc trục Oy hợp với mặt phẳng xOy góc α, kích thước hình Vật liệu làm việc giới hạn đàn hồi, có chiều dày thỏa mãn lý thuyết Reissner Mindlin Tấm rời rạc hoá phần tử đẳng tham số nút, nút có bậc tự (u i , v i , w i , θ xi , θ yi ), thể hình y w4 z w1 θy1 θx1 u1 v3 θy3 θy4 θx4 u4 w2 v1 s w3 v4 θx3 v2 θy2 θx2 u2 u3 -1 r -1 x a) Trong hệ tọa độ tổng thể b) Trong hệ tọa độ tham chiếu Hình Mô hình phần tử FGM 2.3 Lực khí động Khi chịu tác dụng luồng gió, phần tử phẳng chịu tác dụng lực nâng phân bố l w mômen uốn phân bố m θ , gọi chung lực khí động Phương trình lực khí động tác dụng lên phần tử phẳng viết sau [4]:     w Bθ ρa U B  KH1* (K) + KH*2 (K) + K H*3 (K)θ  l w = U U       w Bθ m = 2 * * * U B KA (K) KA (K) K A (K) ρ + + θ a θ    U U    702 (4) Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV Trong đó: ρ - mật độ không khí, U - vận tốc dòng khí, B - bề rộng phần tử theo phương gió tác dụng, K - tần số thu gọn: B ω K= w F U (5) Các hàm A*i (K), H*i (K) với i = ÷ 3, xác định [4]:  2G ( k )  π π  H1* ( K ) = − F ( k ) , H*2 (K) = − 1 + F ( k ) + , k 4k  k    kG ( k )  * π  π  * F(k) − , A1 (K) = F(k), −  H3 (K) =    4k 2k    2G ( k )  * kG ( k )  π  π  k2 A* (K) = F k , A (K) − − − = + F(k) − ( )      16k  k   8k   (6) với k = K/2, hàm F(k), G(k) xác định bởi:  0,500502k + 0,512607k + 0, 2104k + 0, 021573 F ( k ) = k + 1, 035378k + 0, 251293k + 0, 021508   0, 000146k + 0,122397k + 0,327214k + 0, 001995  G ( k ) = − k + 2, 481481k + 0,93453k + 0, 089318  (7) Với mô hình toán xét, dòng khí có phương nên phân hai thành phần: thành phần có vận tốc U t = Ucosα tác dụng theo phương trùng với mặt phẳng trung bình thành phần có vận tốc U n = Usinα tác dụng theo phương pháp tuyến với mặt phẳng trung bình Do đó, biểu thức lực khí động lúc có dạng:   w  *  KH1 (K) +    1 U cos α l w =ρa ( U cos α )2 B   + Cpρa ( U sin α )  Bθx    * *   + KH (K) U cos α + K H3 (K)θx       Bθ x w ρa ( U cos α ) B2  KA1* (K) + KA*2 (K) + K A*3 (K)θx  mθ = U cos α U cos α    (8) Trong đó: Cp - hệ số áp lực gió; ρa - khối lượng riêng không khí QUAN HỆ ỨNG XỬ CƠ HỌC 3.1 Quan hệ biến dạng chuyển vị Chuyển vị điểm có tọa độ (x,y,z) thuộc thời điểm t có dạng [5]: = y, z, t ) u ( x, y, t ) + zθ y ( x, y, t ) u ( x,  = y, z, t ) v0 ( x, y, t ) − zθx ( x, y, t )  v ( x,   w ( x, y, z, t ) = w ( x, y, t ) (9) Trong đó: u, v w tương ứng chuyển vị dài dọc theo trục x, y z điểm thuộc có tọa độ (x,y,z); u , v w tương ứng chuyển vị dài dọc theo trục x, y 703 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV z mặt trung bình; θ x , θ y góc xoay pháp tuyến mặt phẳng quanh trục x y Khi kể đến biến dạng mặt trung bình, thành phần véctơ biến dạng quan hệ với trường chuyển vị (9) theo biểu thức [5]: {ε} = {ε x εy γ xy γ yz γ xz } T {ε u } {ε m } +z {κ} = =  ε { } c    {εc }  (10) Trong đó: {ε m } , {κ} , {εc } véctơ biến dạng màng, véc tơ độ cong, véctơ biến dạng trượt tương ứng xác định sau: 2   ∂u    ∂w       ∂x   ∂x    2  ∂v0    ∂w   L N {εm } = εm + εm =  +    ∂y     ∂y    ∂u ∂v0   ∂w ∂w  +     ∂x   ∂x ∂y   ∂y   { }{ } Trong đó: (11) {εLm} - chuyển vị màng tuyến tính; {εmN } - chuyển vị màng phi tuyến κ   x   ∂θ y {κ} =  κ y  =     ∂x κ  xy   γ xz  {ε= }  =  c  γ yz  T ∂θ y ∂θ  − x ∂y ∂x  ∂θ − x ∂y (12)  ∂w   ∂x + θ y   ∂w   − θx   ∂y  (13) 3.2 Quan hệ ứng suất biến dạng Giả thiết bỏ qua ứng suất pháp theo phương trục z (σ z = 0), quan hệ ứng suất biến dạng FGM viết dạng sau [5]: σ x    σ y    = τxy    τxz    τ yz   Q11 Q12 Q  21 Q 22  0   0  0 Q66 0 0 C44 0  ε x     ε y      γ xy     γ xz    C55   γ   yz  (14) Với Qij , Ckl hệ số độ cứng, hệ số trượt xác định sau: Q= 11 Q= 22 E (z) 1− ν , Q= 12 Q= 21 704 νE ( z ) , Q= 66 C= 44 C= 55 − ν2 (1 − ν ) E ( z ) ( − ν2 ) (15) Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV 3.3 Các thành phần nội lực Theo [5], quan hệ thành phần nội lực biến dạng biểu diễn sau: { N}    {M} =   {Q}  Trong đó: [ A ]   [ B]  [ 0] [ B] [0]  {εm } [ D] [0]  {κ}  = [0] [C] {εc }  {N} = {N x , N y , N xy } T { mômen uốn xoắn; {Q} = Q x , Q y } T    D  {ε} - véctơ lực màng; (16) {M} = {M x , M y , M xy } T - véctơ - véctơ lực cắt; [A], [B], [D], [C] ma trận độ cứng màng, ma trận độ cứng tương tác màng - uốn - xoắn, ma trận độ cứng uốn ma trận độ cứng trượt tương ứng [2]:  [ A ] =    [ C] =  h /2 h /2 h /2 − h /2 − h /2 h /2 − h /2 [ E ] zdz, [ D] ∫ [ E ] z 2dz ∫= = ∫ [ E ] dz, [ B]  1     E z dz ( )  (1 + ν ) 0   ∫  − h /2  kp (17) với [ E ] ma trận hệ số đàn hồi:   1 ν  E (z)   = ν  [E] 2 1− ν  1− ν  0    (18) E(z) mô đun đàn hồi vật liệu FGM: k  z 1 E ( z ) =( Ec − E m )  +  + E m h 2 (19) k p hệ số hiệu chỉnh cắt (thường lấy k p = / ) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Áp dụng nguyên lý Hamilton cho phần tử [6], ta có: t1 ∫ δ (T e e ) − U dt + t0 t1 ∫ δW dt = e (20) t0 Trong đó: T e , U e , W e động năng, lượng biến dạng đàn hồi, công gây lực khí động, xác định theo biểu thức sau:   e T T e  e  = ρ ( z ) [ N ] [ N ] dV T q q  ∫e  V  e { } { } 705 (21) Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV { } U e =q e We = T T    N   L  N  e  e  [BL ] B C [B ] B dA q + + u w  [ ] u w  2 2  ∫e       A  { } ∫e δwlw dA e + A ∫e δθ x mθdA e (22) (23) A Thay (21), (22), (23) vào (20) biến đổi ta phương trình sau: e } + [Ce ]{q e } + [K e ]{q e } = [M e ]{q {Fae } (24) Trong đó: [M e ] - ma trận khối lượng phần tử: e [M ] = 20× 20 I2 ) với ( I0 , = h /2 ∫ ∫e ( I0[N w ] T )) ( [N w ] + I2 [N θx ]T [N θx ] + [N θy ]T [N θy ] dA e (25) A ( ) ρ ( z ) 1, z dz ; ρ ( z ) = − h /2 k z ( ρc − ρm )  +  + ρm h 2 e [K e ] , [C ] ma trận độ cứng kết cấu ma trận cản phần tử: e e  e   e   e  e = [K ] = α  M  + β  K  ]   K L  +  K N   ; [C (26) 20× 20 20× 20 với  K eL  ,  K eN  ma trận độ cứng tuyến tính ma trận độ cứng phi tuyến phần     tử; α, β hệ số cản Rayleigh; Véctơ chuyển vị nút phần tử: = {q}e {u1 v1 w1 θx1 θy1 u v4 w θx4 θy4} T (27) {Fae } - véctơ lực khí động phần tử xác định [4]: T ∫ {Fae } = − [N w ]T l w dA e  20× 20 Ae  ∂N θy  e − ∫   mθdA ∂x  Ae  (28) Thay (8) vào (28), sau biến đổi ta nhận được: e {Fae } = −[K ea ]{q e } − [Cea ]{q e } + {Fan } (29) Trong đó: [K ea ] - ma trận độ cứng khí động phần tử: [K ea ] = ρa ( U cos α ) Bk T    ∂N   H*3 (k)[N w ]T [N θx ] + BA*3 (k)  θy  [N θx ] dA e ∫   ∂x  S  [Cea ] - ma trận cản khí động phần tử: 706 (30) Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV ( ) T T   H1* (k) [ N w ] [ N w ] + BH*2 (k) [ N w ] [ N θx ] dA e + ∫   Ae   Ce  =   ρ α Ucos Bk ( ) a T T   a  ∂N θy  ∂N θy      * * e  ∫  BA1 (k)   [ N w ] + B A (k)   [ N θx ] dA   x x ∂ ∂  A e         (31) e }= {Fan − ∫ [N w ]T Cpρa ( U sin α ) dA e e (32) A Thay (29) vào (24) chuyển vế ta phương trình: ( ) ( ) e e } + [Ce ] + [Cea ] {q e } + [K e ] + [K ae ] {q e } = [M e ]{q {Fan } (33) Sau tập hợp ma trận véctơ phần tử theo thuật toán phương pháp PTHH ta ma trận véctơ tổng thể Khi đó, phương trình vi phân dao động FGM chịu tác dụng tải trọng khí động có dạng sau:  + ([C] + [Ca ]){q}  + ([K] + [K a ]){q} = [M]{q} {Fan } (34) Phương trình (34) phương trình vi phân phi tuyến, tác giả sử dụng phương pháp tích phân trực tiếp Newmark kết hợp với lặp Newton – Raphson để giải TÍNH TOÁN SỐ VÀ THẢO LUẬN 5.1 Ví dụ số Xét làm vật liệu có tính biến thiên hai thành phần nhôm nhôm ôxít với thuộc tính vật liệu là: E m = 7.1010 N / m , E c = 38.1010 N / m , υm =υc =0.3 , k = Kích thước tấm: chiều dài a = 0,38m, chiều rộng b = 0,305m, chiều dày h = 0,005m, chịu liên kết ngàm cứng cạnh ngắn Vận tốc gió U = 15m/s, tác dụng theo phương oy hợp với mặt phẳng xOy góc α = 300 Sử dụng chương trình tính lập giải toán, ta nhận đáp ứng khí động điểm sau: Hình Đáp ứng độ võng theo thời gian Hình Đáp ứng ứng suất theo phương x * Nhận xét: Với giá trị vận tốc gió tính toán, lực khí động chưa đủ lớn nên độ võng ứng suất có xu hướng giảm dần theo thời gian Dao động có xu hướng tắt dần, trạng thái ổn định 707 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV 5.2 Khảo sát số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng khí động 5.2.1 Ảnh hưởng vận tốc gió Để xem xét ảnh hưởng vận tốc gió đến đáp ứng khí động FGM, tác giả khảo sát toán cho trường hợp vận tốc gió khác nhau: U = 15m/s, U = 20m/s U = 30m/s Kết thể đồ thị hình Hình Ảnh hưởng vận tốc gió đến độ võng Hình Ảnh hưởng số mũ k đến độ võng * Nhận xét: Từ đồ thị hình ta nhận thấy ảnh hưởng vận tốc gió đến dao động lớn, cụ thể: Với vận tốc gió U = 15m/s dao động có xu hướng tắt dần, độ võng lớn Wmax = 0,052x10-3m, trạng thái ổn định Với vận tốc gió U = 20m/s, có xu hướng dao động với biên độ không đổi theo thời gian có W = 0,26x10-3m Trường hợp vận tốc gió U = 30m/s, độ võng điểm tính tăng theo thời gian, có dấu hiệu bị ổn định Như U = 20m/s giá trị tới hạn (U th ) vận tốc gió toán xét 5.2.2 Ảnh hưởng số mũ tỉ lệ thể tích Xét trường hợp: k = 0, k = 3, k = ∞ Đáp ứng độ võng biểu diễn đồ thị hình * Nhận xét: Từ đồ thị khảo sát thấy số mũ tỉ lệ thể tích vật liệu FGM có ảnh hưởng đáng kể đến đáp ứng động Trong đó: với trường hợp k = (tấm nhôm oxit túy) giá trị độ võng nhỏ nhất, k = ∞ (tấm nhôm túy) có độ võng lớn nhất, với k = (tấm vật liệu FGM) độ võng có giá trị lớn nhôm oxit nhỏ trường hợp nhôm Điều hoàn toàn phù hợp với quy luật học vật liệu FGM 5.2.3 Ảnh hưởng tỉ số a/b Khảo sát với tỉ số chiều dài chiều rộng (a/b) khoảng từ 0,5 – 2,0, thu đồ thị đáp ứng độ võng tương ứng với giá trị a/b hình Hình Ảnh hưởng tỉ số a/b đến độ võng 708 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV * Nhận xét: Căn vào đồ thị ta thấy tỉ số a/b tăng độ võng tăng theo, độ võng tăng mạnh có xu hướng tăng theo thời gian; tỉ số a/b = 2, có dấu hiệu bị ổn định Do đó, với kết cấu khảo sát nên lựa chọn kích thước cho thỏa mãn tỉ số a/b nhỏ KẾT LUẬN Trong báo này, tác giả xây dựng thuật toán PTHH giải toán động lực học phi tuyến FGM chịu tác dụng tải trọng khí động, xây dựng chương trình tính môi trường matlab tiến hành khảo sát số Nghiên cứu số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng khí động FGM: ảnh hưởng vận tốc gió, số mũ tỉ lệ thể tích, tỉ số a/b Từ kết có đáp ứng độ võng theo thời gian rút kết luận tính chất ổn định theo tiêu chuẩn ổn định động Budiansky - Roth [7] Thông qua kết số, đưa nhận xét có tính chất định hướng cho việc lựa chọn giải pháp hợp lý cho kết cấu FGM TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lee S L., Kim J H., Thermal post-buckling and limit-cycle oscillation of functionally graded panel with structural damping in supersonic airflow, 2009, Composite Structures (91), pp 205-211 [2] Lee S.-L., Kim J.-H., Thermal Stability Boundary of FG Panel under Aerodynamic Load, World Academy of Science, Engineering and Technology,2007, (32), pp 60 - 65 [3] Lê Khả Hòa, Phân tích ổn định tĩnh vỏ vật liệu có tính biến thiên, Luận án tiến sĩ học, Đại học KHTN, Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015 [4] Simiu E., Scanlan R H., Wind effects on structures, 2nd ed, John Wiley & Sons, 1986 [5] Trần Ích Thịnh, Vật liệu composite Cơ học tính toán kết cấu, NXB Giáo dục, 1994 [6] Yuan K H., Qiu Z P., Nonlinear flutter analysis of stiffened composite panels in supersonic flow, Sciene China Physics & Astronomy, 2010, Vol No 2, pp 336 - 344 [7] Budiansky B., Roth R S (1962), Axisymmetric dynamic bucking of clamped shallow spherical shells, In: colleted paper on instability of shell structures, NASA TND – 1510 THÔNG TIN TÁC GIẢ Lê Thúc Định, Học viện KTQS, ledinhvhp@gmail.com, 0982.140.560 – 0919.148.167 Vũ Quốc Trụ, Học viện KTQS, vuquoctru@gmail.com, 0983.577.999 Trần Thị Hương, Trường CĐKT Lý Tự Trọng, khoinguyen020109@yahoo.com, 0988100633 709