Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi Cao học Sư Phạm Hà Nội môn ToánĐề thi Cao học Sư Phạm Hà Nội môn ToánĐề thi Cao học Sư Phạm Hà Nội môn ToánĐề thi Cao học Sư Phạm Hà Nội môn ToánĐề thi Cao học Sư Phạm Hà Nội môn ToánĐề thi Cao học Sư Phạm Hà Nội môn ToánĐề thi Cao học Sư Phạm Hà Nội môn ToánĐề thi Cao học Sư Phạm Hà Nội môn Toán
www.VNMATH.com ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC 2007 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Câu 1: x+y+z+t=0 Cho hệ phương trình: 2 x − y − z − t = Chứng minh tập V tất nghiệm hệ cho không gian vecto R – không gian vecto R4; Tìm số chiều sở V; x+y+z+t=1 Tìm nghiệm tổng quát hệ: 2 x − y − z − t = Câu 2: Cho V không gian vecto n chiều ( n ≥ 1) trường K f tự đồng cấu V Giả sử kerf=kerf2 Hãy chứng minh rằng: V = imf ⊕ ker f V / imf ≅ ker f Câu 3: Cho H nhóm nhóm nhân G G/H tập hợp lớp ghép trái G theo H Chứng minh rằng: Quy tắc cho bởi: f : (G / H ) x (G / H ) → G / H ( xH , yH ) xyH ánh xạ H nhóm chuẩn tắc G Giả sử H nhóm chuẩn tắc G Chứng minh rằng: nhóm thương G/H nhóm giáo hoán ab-1b-1 ∈ H , với a, b ∈ G Câu 4: Cho A vành chính, a b hai phần tử A Ký hiệu (x) Iđean sinh x Chứng minh rằng: (a) ∩ (b) = (ab) ⇔ (a, b) = ; ∞ (a ) Iđean không; n Nếu a không khả nghịch n=1 A/(a) trường a bất khả quy A Duy Tuấn www.VNMATH.com CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2010 Trường Đại học sư phạm Hà Nội Môn thi: Giải Tích Thời gian làm bài; 180 phút (không kể thời gian phát đề) Thí sinh không sử dụng tài liệu làm A Lý thuyết: Câu 1: Phát biểu chứng minh nguyên lý ánh xạ co Câu 2: a) Định nghĩa họ nửa chuẩn bị chặn điểm bị chặn đều; b) Phát biểu chứng minh nguyên lý bị chặn Câu 3: Định nghĩa toán tử Compact Phát biểu chứng minh hai điều kiện tương đương để toán tử tuyến tính Compact Câu 4: Phát biểu chứng minh định lý phép chiếu trực giao không gian Hilbert B Bài tập: Câu 1: Giả sử (X,d) không gian metric compact ánh xạ thoả mãn điều kiện: d (T ( x), T ( y )) < d ( x, y ), ∀x, y ∈ X, x ≠ y Chứng minh: ánh xạ T có điểm bất động Chỉ VD chứng tỏ kết không bỏ giả thiết Compact Câu 2: Giả sử C[0;1] không gian Banach hàm thực liên tục [0;1] với chuẩn Sup Cho A : C [0;1] → C [ 0;1] ánh xạ xác định bởi: A( x)(t ) = x(t ) + tx(1), ∀x ∈ C [ 0;1] , t ∈ [ 0;1] a) Chứng minh rằng: A toán tử tuyến tính liên tục Tính A ; b) Chứng minh A không toán tử Compact Câu 3: Cho E không gian Hilbert A ∈ L( E ) toán tử tự liên hợp Chứng minh: a) A2 = A ; b) Nếu bán kính phổ A A=0 Hết -Duy Tuấn 119 -1-