Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT Phương trình Bất phương trình Hệ phương trình Hệ bất phương trình Học sinh giỏi PT BPT HPT HBPT HSG Phần I: ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Như biết, đề thi đại học đề thi HSG cấp tỉnh năm gần có toán chứa tham số Nó rơi vào phần câu hỏi phụ khảo sát hàm số, có toán hình học, thông thường toán PT, HPT, BPT, HBPT Đó dạng toán khó học sinh, có nhiều giải phương pháp đại số thông thường, kinh điển giải gặp nhiều khó khăn, phức tạp Bên cạnh đó, đạo hàm nội dung quan trọng chương trình toán THPT Nó vừa đối tượng, vừa công cụ hữu hiệu để giải nhiều vấn đề phức tạp toán THPT Trong có việc ứng dụng đạo hàm để giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số Về vấn đề này, có nhiều tài liệu, sáng kiến kinh nghiệm (SKKN) Tuy nhiên tài liệu viết chuyên sâu, hệ thống ứng dụng đạo hàm để giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số không nhiều học sinh thường gặp khó khăn, lúng túng việc nhận diện, giải dạng toán Do việc chọn lựa đề tài SKKN nhằm góp phần giải vấn đề việc làm phù hợp với thực tiễn, thể tình yêu nghề trách nhiệm người cán giáo viên Chính chọn đề tài SKKN là: “Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi” II MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Giúp học sinh nhận dạng PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số ứng dụng đạo hàm để giải Trang bị cho học sinh phương pháp mang lại hiệu rõ nét - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi - Nâng cao khả tự học, tự bồi dưỡng khả giải toán kỳ thi tuyển sinh vào Đại học ôn luyện HSG môn Toán III PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Các dạng toán giải PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số chương trình toán phổ thông, đặc biệt kỳ thi tuyển sinh vào Đại học, kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh - Phân loại dạng toán thường gặp phương pháp giải dạng IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, trình nghiên cứu sử dụng phương pháp sau: - Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài - Phương pháp quan sát (công việc dạy- học giáo viên HS) - Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…) - Phương pháp đàm thoại vấn (lấy ý kiến giáo viên HS thông qua trao đổi trực tiếp) - Phương pháp thực nghiệm Phần II: NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN: Lí luận chung: Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện lớp học, bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập cho học sinh Quá trình dạy học với nhiệm vụ hình thành tri thức, rèn luyện kỹ hoạt động nhận thức, hình thành thái độ tích cực xây dựng trình hoạt động thống thầy trò, trò trò, tính tự giác, tích cực tổ chức, tự điều khiển hoạt động học nhằm thực tốt nhiệm vụ đề Kiến thức vận dụng: a) Định nghĩa đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm, công thức tính đạo hàm hàm số thường gặp, công thức tính đạo hàm hàm hợp b) Để giải PT, HPT, BPT, HBPT có chứa tham số phương pháp đạo hàm ta cần nắm cần nắm vững mệnh đề (MĐ) sau: Cho hàm số y  f ( x) liên tục tập D Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi MĐ1: Số nghiệm phương trình f(x)=g(x) số giao điểm hai đồ thị hàm số y=f(x) y=g(x) MĐ2: Phương trình f ( x)  m có nghiệm x  D  f  x   m  m ax f  x  xD xD MĐ3: BPT f ( x)  m có nghiệm x  D  f  x   m xD MĐ4: BPT f ( x)  m nghiệm với x  D  m ax f  x   m xD MĐ5: BPT f ( x)  m có nghiệm x  D  m ax f  x   m xD MĐ6: BPT f ( x)  m , nghiệm với x  D  f  x   m xD MĐ7: Cho hàm số y  f ( x) đơn điệu tập D Khi f  u   f  v   u  v (với u, v  D ) II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ: Qua thực tiễn học tập giảng dạy, thân nhận thấy ứng dụng đạo hàm giải toán cấp THPT đa dạng, đặc biệt giải PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số Nhưng học sinh thường không mạnh dạn, tự tin sử dụng công cụ mạnh (hay nói cách khác chưa có kỹ sử dụng) giải toán vì: - Đạo hàm phần kiến thức với học sinh, gắn liền với toán học đại, học sinh bắt đầu làm quen cuối chương trình lớp 11 Trong từ cấp Trung học sở đến cấp THPT học sinh tiếp xúc với nhiều toán giải PT, HPT, BPT, HBPT (có tham số tham số) quen sử dụng phương pháp giải toán đại số kinh điển để giải - Tài liệu viết ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số không nhiều, học sinh không nhận diện dạng toán chưa hướng dẫn cách hệ thống phương pháp để giải toán trọn vẹn - Số lượng toán nêu xuất ngày nhiều đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng, kỳ thi HSG cấp tỉnh năm gần phương pháp sử dụng để giải chủ yếu sử dụng đạo hàm III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh, tác giả giúp học sinh nhận dạng toán phương pháp giải dạng toán theo hệ thống tập xếp theo trình tự logic Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi Phương pháp giải Dạng toán thường gặp tìm giá trị tham số m để PT, BPT có nghiệm (hoặc có nghiệm thõa mãn điều kiện đó) Với dạng toán ta thực theo bước sau: Bước 1: Biến đổi PT, BPT dạng f  x   g  m  (hoặc f  x   g  m  , f  x   g  m  Hay gọi cô lập m) Bước 2: Tìm tập xác định D hàm số f  x  Bước 3: Tính f '  x  Bước 4: Lập bảng biến thiên hàm số f  x  Bước 5: Xác định f  x  m ax f  x  xD xD Từ vận dụng mệnh đề nêu phần kiến thức bên rút kết luận cho toán Lưu ý: Trường hợp PT, BPT chứa biểu thức phức tạp, ta xem xét đặt ẩn phụ để đơn giản chúng Nếu ta làm sau:  Đặt t    x  (  (x ) biểu thức PT, BPT)  Từ điều kiện ràng buộc ẩn số x D , tìm điều kiện ẩn số t , ví dụ t  K (chú ý phải tìm điều kiện chặt t)  Đưa PT, BPT ẩn số x PT, BPT ẩn số t ta f  t   h  m  (hoặc f  t   h  m  , f  t   h  m  )  Lập bảng biến thiên hàm số f  t  tập K  Từ bảng biến thiên rút kết luận toán Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:  x   x  (1  x)(8  x)  m Lời giải: điều kiện   x  Đặt f(x)=  x   x  (1  x)(8  x) , với   x  f ' ( x)  1  2x  x  1 x  2x     1 x  x 1 x  x 1 x  x 1 x  x   1  (7  x)     1 x  x (  x  1 x ) 1 x  x  1  Mà >0 nên f’(x)=0  7-2x=0  x= 2 1 x  x(  x  1 x ) 1 x  x Bảng biến thiên : Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi x -1 f’(x) + - 3 2 f(x) 3 Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị hàm số y=f(x) đường thẳng y=m Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình có nghiệm f ( x)  m  max f ( x)   m   1;8 1;8 Nhận xét: Bài toán giải phương pháp thông thường đặt ẩn phụ t=  x   x , sau chuyển toán tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước Tuy nhiên với cách đặt ẩn phụ không dùng đạo hàm thường phải vận dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai Định lý chương trình sách giáo khoa giảm tải Vì phương pháp dùng đạo hàm lựa chọn thích hợp cho toán Ví dụ : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt dương: 11   x  1   = m 2x x   Lời giải: 11  11 28   1   ta có y '    Đặt y= f(x)= x  2x x  2x  x x  28 11 28 y '   g ( x)   1 2x x x  28 Dễ thấy g(x) nghịch biến với x>0 (vì g’(x)0) Mặt khác g(3)=1 nên x=3 nghiệm x   g ( x)   y '  mà x   g ( x)   y '  ta có bảng biến thiên sau x + ’ y + y + + 15 Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị hàm số y=f(x) đường thẳng y=m Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm dương 15 phân biệt  m  y  m>  0;    Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi Nhận xét: Cũng giống Ví dụ 1, toán có điểm dễ biến m cô lập từ đầu Tuy nhiên lại gây khó khăn cho học sinh không công đoạn tính đạo hàm mà việc giải phương trình y’=0 xét dấu đạo hàm Mặt khác toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức kỹ vững vàng giải Ngoài cách dùng đạo hàm ta tiếp cận toán theo cách khác sau : 11   lim y  lim ( x   1   )   , x 0 x 0 2x x   11    1   )   x  x  2x x   Lại có theo bất đẳng thức Bunhiacopki lim y  lim ( x  2 2 7  7  7         1    16 1        3.1  x  x    x   x  x 7  1 7   x3  1       Dấu = xảy  x 2 x  x  11  7  9  3     x   Từ x  2x  x  x 15  x  6 Theo bất đẳng thức cô si ta có Dấu x=3 x 2 11   15  4    từ ta có x  2x  x  Lập bảng biến thiên ta kết Nhận xét: Cách giải giúp học sinh tính đạo hàm xét dấu đạo hàm lại gặp khó khăn việc lựa chọn điểm rơi bất đẳng thức Cô- si Bunhiacopxki – kỹ cần rèn luyện nhiều có Mặt khác cách giải không mang tính thuật toán dùng đạo hàm Vì khó khăn để vận dụng cho lớp toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số Ví dụ 3: (Câu IV.2 khối A năm 2008) Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2x  2x   x   x  m Lời giải: Điều kiện  x  Đặt f  x   x  x   x   x ; x  0;6 Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi Ta có: f   x       2x 6  x3  Đặt u  x    2x      , x   0;6     x  x   ;v  x   , x   0,6  2x 6 x 6  x   f ( x)  0, x   0,  u  x  , v  x   0, x   0,      f ( x)  0, x   2,   u    v     f (2)  u  x  , v  x   0, x   2,6    (Nghĩa là: u    v     f '    u  x  , v  x  dương x   0;2  âm x   2;6  ) Do ta có bảng biến thiên: x f’(x) + - 63 f(x)  24 12  Từ bảng biến thiên suy giá trị cần tìm là:   m   Nhận xét: Trong ba ví dụ trên, thấy điểm chung PT, biến m cô lập bước (trong phương pháp giải) làm Nhưng thực tế có nhiều PT mà biến m chưa cô lập Khi ta phải thực bước cách khéo léo để cô lập biến m (có nhiều mức độ) tiến hành bước Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 4: (Câu II.2 khối B năm 2006) Tìm m để PT sau có hai nghiệm thực phân biệt: x  mx   x  Lời giải: Phương trình cho tương đương với   x     x 2    x  mx    x  12  3x  x   m     x 1 Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi 3x  x  1    x  x    ;0    0;   , ta có Xét hàm số f  x   x x   f '  x     nên ta có bảng biến thiên x Vậy, phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt phương trình (2) có hai   nghiệm phân biệt khoảng   ;0    0;   Từ bảng biến thiên, ta có   Phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt m  Ví dụ 5: (Câu II.2 khối B năm 2007) Chứng minh với giá trị dương tham số m phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x  x   m  x   (1) Lời giải: Điều kiện: x  Biến đổi phương trình ta có: 2 (1)   x   x    m  x     x    x    m  x     x    x  x  32  m    x  V g  x   x  x  32  m Yêu cầu toán  g  x   m có nghiệm thuộc khoảng  2;  Thật ta có: g   x   3x  x  4  0, x  Do g  x  đồng biến g  x    nên với  2;  , mặt khác g  x  hàm số liên tục g    0; xlim  g  x   m có nghiệm thuộc khoảng  2;  Vậy với giá trị dương tham số m phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt Nhận xét: Một số toán sau trình biến đổi (cô lập m) hàm số f(x) nhận tương đối phức tạp (Việc tính đạo hàm xét dấu đạo hàm tương đối khó khăn) Khi để giải toán theo hướng dùng đạo hàm cách đơn giản ngắn gọn hơn, ta cần xem xét đặt ẩn phụ cách thích hợp để chuyển sang xét hàm số khác đơn giản với biến vừa đặt Ta xét ví dụ sau:  m>0, phương trình Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi Ví dụ 6: (Câu II.2 khối A năm 2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: x   m x   x  Lời giải: Điều kiện: x  Phương trình cho  3 x   x   m 1 x 1 x 1 x     0,1 Khi (1) trở thành 3t  2t  m   x 1 x 1 Xét hàm số f  t   3t  2t nửa đoạn  0;1 Ta có f '  t   6t  2; f '  t    t  Ta có bảng biến thiên: t Đặt t  f’(t) f(t) + - -1 Do phương trình cho có nghiệm thực (thõa mãn x  ) phương trình (2) có nghiệm t   0;1  1  m  Nhận xét : - Trong ví dụ sau biến đổi đến phương trình (1) ta làm ví dụ (tức đặt f(x)=  x 1 x 1 ) rõ ràng hàm số f(x)  24 x 1 x 1 tương đối phức tạp Vì việc đặt ẩn phụ để đơn giản hóa f(x) điều hợp lí - Đối với toán có chứa tham số: Khi đặt ẩn phụ ta phải chọn điều kiện nghiêm ngặt cho ẩn phụ Khi ta xét hàm số xác định miền xác định Từ tìm điều kiện để tham số thoả mãn yêu cầu cho đề - Việc lựa chon ẩn phụ không bắt buộc, ta đặt sau: x 1  , nhiên lúc điều kịên ẩn phu thay đổi theo x 1 x 1  1   t  [1; ) Từ ta lại hàm số với tập xác x 1 x 1 Đặt t = định tương ứng - Một số phương trình sau đặt ẩn phụ việc tìm điều kiện chuẩn cho ẩn phụ lại phải dùng đến việc khảo sát hàm số Ta xét toán sau: Ví dụ 7: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm x   x   x  x  m (1) Lời giải: Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi Điều kiện  x  PT (1)  x   x  x   x    x  x  m    x2  x   x2  x  m 2 x  9 ;t '   x  Đặt t   x  x Ta có: t '  2  x2  x x 9 t’ + t (2) Khi phương trình (2) trở thành  2t  t  m  t  2t   m (3) Xét hàm số f (t )  t  2t  , với  t  f '  t   2t  2; f '  t    t  Do  t   9 Lập bảng biến thiên hàm f  t  đoạn 0;   2 t +  f 't  10 f t   9  9 PT (1) có nghiệm x   0;9 PT (3) có nghiệm t  0;  Điều  2 xảy min9 f (t )  m  max f (t )    m  10 ■    9  0;   0;      Ví dụ 8: (Câu V- khối B năm 2004) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: m    x2   x2    x4   x2   x2 Lời giải: Điều kiện -1≤x≤1 Đặt t   x2   x2 Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 10 Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi Ta có  x2   x2  t  0; t  x  ; t    x4   t  2; t  x  1 Suy tập giá trị t 0;  (t liên tục đoạn [-1;1])   t  t  Phương trình cho trở thành: m(t  2)  t  t    m(* ) t2 t  t  Xét f (t )  ;0  t  Ta có f(t) liên tục đoạn 0;    t2 Phương trình cho có nghiệm x phương trình (*) có nghiệm t thuộc 0;   f (t )  m  max f (t )    0;   0;      t  4t  0, t  0;   f (t ) nghịch biến đoạn  0;  (t  2)2 Suy ra: f (t )  f ( 2)   1; max f (t )  f (0)  Ta có f '(t )   0;     0;    Vậy giá trị cần tìm là:   m  Nhận xét : Trong ta linh hoạt việc đánh giá, nhận xét để tìm tập giá trị biến t Cách làm số tình nên phát huy nhanh gọn việc dùng đạo hàm khảo sát hàm số Tuy nhiên giống nhận xét ví dụ 2, cách làm lúc thực Vì cách dùng đạo hàm tổng quát Ta xét thêm số phương trình siêu việt khác: Ví dụ 9: Cho phương trình log 22 x  log x   m  log x  3 (1) Tìm m để phương trình có nghiệm x  32;   Lời giải: Từ điều kiện: x  32;   => log x  , suy  log x  3  nên m  PT (1)  log 22 x  2log x   m  log x  3  log 22 x  2log x   m2  log x  3 (2) t 1 Đặt t  log x,  t  5 PT(2) trở thành t  2t   m  t  3  m  (3) t 3 t 1 Xét hàm số f  t   (với t  ) t 3 4 f 't    0, t  ; ta có:  t  3 Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 11 Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi t f 't  f t    Phuơng trình (1) có nghiệm x  32;   PT (3) có nghiệm t  điều xảy  m2  Kết hợp với m  , ta  m  ■ Ví dụ 10: Tìm m để PT: tan x   sin x  2cos x   m  sin x  3cos x  (1)   có nghiệm thuộc khoảng  0;   2 Lời giải:   Xét x   0;  , sin x  0,cos x  0, tan x  sin x  3cos x   2 sin x  2cos x m PT (1)  tan x  sin x  3cos x tan x   tan x  m (2) tan x  t2 m Đặt t  tan x,  t   PT (2) trở thành  t  (3) t 3 t2 Xét hàm số f  t   t  , (với t  ) t 3 t  t 1 f 't     0; t  ; ta có: 2 t  t   t  3 t f 't     f t  Ứng với t > thỏa mãn phương trình (3) ta nghiệm   x   0;  phương trình (1) Do phương trình (1) có nghiệm  2   x   0;  phương trình (3) có nghiệm t >  2 Từ bảng biến thiên suy giá trị cần tìm là: m  ■ Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 12 Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi Đối với toán Hệ PT chứa tham số bước đầu ta phải vận dụng phương pháp để giải Hệ PT (như phương pháp: Biến đổi tương đương; Thế; Đặt ẩn phụ; dùng hàm số; đánh giá…) Rồi sau quy toán PT có chứa tham số Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 11: ( Câu V- khối D năm 2011) 2 x   y   x  xy  m Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:   x  x  y   2m Lời giải:    x  x   2x  y   m Hệ phương trình cho tương đương với    x  x    x  y    2m Đặt u  x  x, u   ; v  x  y Hệ phương trình cho trở thành u   2m  1 u  m  1  uv  m   u  v   m   v   2m  u Hệ cho có nghiệm (1) có nghiệm thoả mãn u   u  u Với u   , ta có: 1  m  2u  1  u  u  m  2u  u  u Xét hàm số f  u   , với u   ; ta có: 2u  2u  2u  1  f 'u    ; f 'u    u  2  2u  1 Bảng biến thiên Suy giá trị cần tìm là: m  2 Ví dụ 12: (HSG – Nghệ An năm học 2011 – 2012) Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm: Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 13 Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi 3   x  12 x  y  y  16  (x, y  R)  2 x   x  y  y  m    Lời giải: 3  x  12x  y  6y  16  Ta có hệ:  2  4x   x  4y  y  m  2  x  Điều kiện xác định:  0  y  (1) (2) Ta có (1)  x  12x   y    12  y   Xét hàm số f (t)  t  12t, t   2;2   f '(t)  3t  12   t    0, t   2;2  Suy hàm số f (t) nghịch biến  2;2 (3) Ta có x y  thuộc đoạn  2;2 f (x)  f (y  2) nên kết hợp (3) suy x  y  Thay vào (2) ta có phương trình  x  4x  m (4) Do hệ phương trình cho có nghiệm phương trình (4) có nghiệm x thuộc đoạn [-2;2] Đặt g(x)   x  4x , x [  2;2]    8x   x   8  x2  4x  g'(x)   x  g(0)  6; g(2)  g(2)  16 g(x)  16; m ax g(x)  g '(x)  x[  2;2] 3x x[  2;2] Vậy hệ phương trình cho có nghiệm 16  m  Đối với toán Bất PT chứa tham số phương pháp tương tự toán PT chứa tham số Tuy nhiên ta cần bám sát vận dụng mệnh đề: MĐ3, MĐ4, MĐ5, MĐ6 phần kiến thức vận dụng Ta xét số ví dụ sau: Ví dụ 13: Tìm m để bất phương trình mx  x   m  (1) có nghiệm Lời giải: Đặt t  x  3; t  [0; ) Bất phương trình trở thành: m(t  3)  t  m   m(t  2)  t   m  t 1 (2) t2  Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 14 Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi (1) có nghiệm (2) có nghiệm t≥0  có điểm đồ thị hàm số t 1 với t≥0 không phía đường thẳng y=m t2  t 1 t  2t  Xét y= với t≥0 có y '  t 2 (t  2)2 y= t y’ y 1 - 0 +  1 + + - 1 Từ bảng biến thiên ta có m ≤ 1 Ví dụ 14: (HSG – Thanh Hóa năm học 2009 – 2010) Tìm giá trị tham số m để bất phương trình x  46  x  x  x  m nghiệm với x   4;6 Lời giải: Đặt t = x  46  x   x  x  24  25  x  12   t  t2 = -x2 + 2x + 24  x2 - 2x = 24 - t2 Bất phương trình trở thành: t + 24 - t2  m ; t  0;5 Xét hàm số f(t) = -t2 + t + 24 đoạn 0;5 Ta có bảng biến thiên sau: t f’(t) + - 97 f(t) 24 Từ suy bất phương trình nghiệm với x   4;6  m  f (t )  0;  Vậy giá trị cần tìm m là: m  Ví dụ 15: Tìm m để bất phương trình m x  x    x   x   (1) có nghiệm x  0;1   Lời giải: Đặt t  x2  x  ; t '  2x  2 x2  2x    x 1 Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 15 Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi ta có bảng biến thiên x  t' t  1 Từ  t  Với  t  , ta biến đổi t  x2  2x   t  x2  2x   t    x   x  t2  Bất phương trình (1) trở thành m  t  1  t   m  (2) t 1 t2  Xét hàm số f  t   , 1  t   t 1 t  2t  f 't    0, t  1;2 Suy hàm số f  t  đồng biến 1;2 t    Bảng biến thiên t f  t '  f t  2 Từ bảng biến thiên, bất phương trình (1) có nghiệm x  0;1   bất phương trình (2) có nghiệm t  1;2 Điều xảy m  max f  t   f    ■ t1;2 Nhận xét: - Để học sinh hiểu vận dụng tốt mệnh đề: MĐ3, MĐ4, MĐ5, MĐ6 Ngoài việc chứng minh lập luận ta cần minh họa đồ thị để học sinh hiểu rõ chất mệnh đề thực chất dựa vào tương giao hai đồ thị - Cũng giống ví dụ PT chứa tham số Trong phần BPT chứa tham số hướng giải chủ đạo tìm cách đặt ẩn phụ để đơn giản hóa toán, sau dùng đạo hàm Tuy nhiên số trường hợp cần linh hoạt cách giải Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 16 Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi Ví dụ 16: (HSG – Nghệ An năm học 2010 – 2011) Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình: (m  2)x  m  x 1 có nghiệm thuộc đoạn [-2;2] Lời giải: Bất phương trình cho tương đương với (m  2) x  m  x  x   m( x  1)  x  (*) Nhận thấy x  không nghiệm bất phương trình (*) x2 1 (1) x 1 x2 1 Với x  1;2 Ta có bpt (*)  m  (2) x 1 x2 1 Xét hàm số f x   , với x   2;1  1;2 x 1 Với x   2;1 Ta có bpt (*)  m  Có f ' x   x  1 x  2x  ' f (x)   ,  ( x  1)  x   (lo¹ i) Bảng biến thiên: x f’(x) -2 1 + - 22 f(x)  + - Từ bảng biến thiên suy ra: Bpt (*) có nghiệm thuộc đoạn  : 2  bpt (1) có nghiệm thuộc  2;1 m   2 m  bpt (2) có nghiệm thuộc 1;2   Vậy m (;2  2]  5;   tất giá trị cần tìm Đối với toán Hệ bất PT chứa tham số thông thường hệ có Bất PT không chứa tham số giải Rồi sau quy toán Bất PT chứa tham số Ta xét ví dụ sau:  x  7x   Ví dụ 17: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm    x   m  1 x  m   Lời giải:  x  x   (1) Hệ bất phương trình   x   m  1 x  m   (2) 1   x  Hệ cho có nghiệm tồn x0  1;6 thỏa mãn (2) Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 17 Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi    x  x    x  1 m  x2  x   m (do x  1;6  x   0)  x  1 x2  x  ; x  1;6 Hệ cho có nghiệm  x0  1;6 : f ( x0 )  m 2x 1 1  17 x2  x   x  x  4 f ' x   ; f '  x    x2  x    x  2  x  1  x  1 Xét f ( x)  1  17 Ta có: 2 27  1  17  3  17 f (1)  , f (6)  , f    13  2  Vì x 1;6 nên nhận x  Vì f liên tục có đạo hàm [1;6] nên max f ( x)  f ( x)  m  Do x0  1;6 : f ( x0 )  m  max x 1;6   27 x=6 13 27 m 13 Ví dụ 18: (HSG – Thanh Hóa năm học 2012 – 2013) Tìm giá trị thực tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực  x  mx    x 4  3.2 x  x  (1) x 1  (2) Lời giải: điều kiện: x  Bất phương trình (2)  (2x )2  3.2 x.2x  4.22 x   2x  x 2x  4.2 x   2x  4.2 x   x  x      x  x     x    x  Đối chiếu ĐK  x  (*) Do đó: Hệ bất phương trình có nghiệm  x3  3mx   có nghiệm x  0;4 Với x  (1) không thỏa mãn Với  x  : (1) có nghiệm thỏa mãn x   0;4  m  x2  x   0;4  m  g ( x)  g x có nghiệm x  0;4 Xét g ( x)  x  2 với x   0;4 Có g ' ( x)  x  =0  x=1 Bảng biến thiên : x x x g’(x) - + + g(x) 33 g ( x)  g (1)  Từ bảng biến thiên suy ra: 0;4   Vậy m  giá trị cần tìm Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 18 Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi Bài tập tương tự BT1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực x   x  m BT2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm dương: x2  4x   m 4x  x2 3x  BT3: Tìm a để phương trình  x   ax có nghiệm 2x  1 BT4: Cho phương trình: log 32 x  log 32 x   2m   ( m tham số).Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn 1;3    3   x  y  y  3x   BT5: Tìm m để hệ phương tình  có nghiệm 2  x   x  y  y  m  BT6: Biện luận theo m số nghiệm hệ phương trình sau:  2 x  ( y  2) x  xy  m    x  x  y   2m BT7: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x3   m( x  1)  (1  m) x  BT8: Tìm m để x   0;2 thỏa mãn bất phương trình log x  x  m  log  x  2 x  m   BT9: Tìm giá trị lớn a để bất phương trình a x a  x  1   a sin có nghiệm 2 x    BT10: Tìm tất giá trị tham số a để bất phương trình  a.2 x 1   2a  1    x  3  x  nghiệm với x  3x  2x   BT11: Tìm m để hệ sau có nghiệm:  x  3mx   (1) (2) (m - tham số)  x  3x   BT12: Tìm m để hệ sau có nghiệm:   x  3x x  m  15m  IV KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Sau rèn luyện hệ thống kiến thức trên, hầu hết em học sinh khối 12 lớp dạy tỏ mạnh dạn, tự tin linh hoạt nhiều việc dùng đạo hàm để giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số Kết thực tế hai lần ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi trường Lê Lai năm 2009-2010 2012-2013 tất em thi làm trọn vẹn Ví dụ 14 Ví dụ 18 Ngoài em học sinh khá, giỏi khác Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 19 Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi nhanh chóng nắm bắt phương pháp vận dụng thành thạo cho ví dụ tương tự đề thi ĐH đề thi HSG khác Mặt khác nhiều học sinh tỏ hứng thú với ứng dụng đạo hàm Bởi phương pháp không nhanh gọn, hiệu mà có tính tổng hợp cao, dùng đạo hàm để tìm cực trị, dùng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, khảo sát lập bảng biến thiên hàm số, toán quen thuộc ứng dụng đạo hàm phân môn Giải tích 12 Phần III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Tác giả cho rằng, việc khai thác tốt kiến thức đạo hàm để giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số yêu cầu quan trọng kiến thức lẫn kĩ học sinh ôn thi đại học học sinh đội tuyển HSG cấp Khi dạy chủ đề giáo viên cần ý việc hình thành cho học sinh tư thuật toán cần làm cho học sinh có ý thức phân tích nhận dạng toán, thói quen đặt nhu cầu giải toán theo nhiều hướng khác cuối phải biết tổng hợp lại đánh giá, nhận xét sâu sắc Từ rút kết luận súc tích Cái hay cách giải việc sử dụng đạo hàm phải vận dụng linh hoạt mệnh đề (phần kiến thức vận dụng) Đồng thời với phương pháp (cũng nằm xu chung việc đề thi đại học học sinh giỏi tăng cường ứng dụng đạo hàm, hàm số vào giải toán) học sinh hoàn toàn rủ bỏ phương pháp đại số kinh điển trước Đặc biệt ứng dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai xương sống hệ thống phương pháp giải toán tham số, lỗi thời! Do khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm có hạn trình độ thân hạn chế Nên phần nội dung đề tài (khoảng 16 trang giấy A4, với 18 ví dụ 12 tập tương tự) chưa thể khai thác hết tất khía cạnh việc ứng dụng đạo hàm để giải PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số Tuy nhiên tác giả tin vừa đủ để truyền tải đến học sinh tinh thần chuyên đề nhỏ (khoảng 6-8 tiết học) Ngoài triển khai áp dụng giáo viên xếp lại ví dụ theo trình tự logic khác bổ sung thêm ví dụ nhận xét để giảng đạt hiệu cao Chính tác giả mong nhận chia sẻ góp ý bạn đồng nghiệp Kiến nghị nhà trường cần chọn lọc, triển khai ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cấp tỉnh để nâng cao hiệu dạy học nói chung môn Toán nói riêng Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 20 Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Huỳnh Công Thái, Phương pháp ứng dụng đạo hàm để giải toán luyện thi đại học tập 1, NXB Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh [2] Trần Phương, Tuyển tập chuyên đề hàm số tập 1, NXB Tri thức [3] Các toán chọn lọc 45 năm tạp chí Toán học Tuổi trẻ, NXB Giáo dục việt nam (ấn phẩm Tạp chí Toán học Tuổi trẻ) [4] Tạp chí Toán học Tuổi trẻ [5] Đề thi đáp án thi tuyển sinh vào Đại học môn Toán khối A, B, D từ năm 2002 đến năm 2012 Bộ Giáo dục Đào tạo [6] Đề thi đáp án thi học sinh giỏi tỉnh môn Toán từ năm 2002 đến năm 2013 đưa lên diễn đàn Toán học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày tháng năm 2013 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 21 Ứng dụng đạo hàm giải toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi MỤC LỤC Nội dung Danh mục chữ viết tắt Phần I: ĐẶT VẤN ĐỀ I Lí chọn đề tài II Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu III Phạm vi đối tượng nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu Phần II: NỘI DUNG I Cơ sở lý luận II Thực trạng vấn đề III Giải pháp tổ chức thực Phương pháp giải Ví dụ minh họa Bài tập tương tự IV Kết đạt Phần III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Tài liệu tham khảo Mục lục Trang 1 2 2 3 4 19 19 20 21 22 Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 22 [...]... tỉnh để nâng cao hiệu quả dạy học nói chung và của môn Toán nói riêng Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 20 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Huỳnh Công Thái, Phương pháp ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán luyện thi đại học tập 1, NXB Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí... học sinh giỏi của trường Lê Lai các năm 2009-2010 và 2012-2013 thì tất cả các em đi thi đều làm được trọn vẹn Ví dụ 14 và Ví dụ 18 Ngoài ra những em học sinh khá, giỏi khác Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 19 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi cũng nhanh chóng nắm bắt được phương pháp và vận dụng. .. những bài toán hết sức quen thuộc và cơ bản về ứng dụng của đạo hàm trong phân môn Giải tích 12 Phần III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Tác giả cho rằng, việc khai thác tốt các kiến thức về đạo hàm để giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số là một yêu cầu quan trọng cả về kiến thức lẫn kĩ năng đối với các học sinh ôn thi đại học và các học sinh trong đội tuyển HSG các cấp Khi dạy chủ đề này giáo viên... vào sự tương giao của hai đồ thị - Cũng giống như các ví dụ về PT chứa tham số Trong phần BPT chứa tham số thì hướng giải chủ đạo cũng là tìm cách đặt ẩn phụ để đơn giản hóa bài toán, sau đó dùng đạo hàm Tuy nhiên trong một số trường hợp thì vẫn rất cần sự linh hoạt trong cách giải Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 16 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa. .. dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi Đối với các bài toán về Hệ PT chứa tham số thì bước đầu ta phải vận dụng các phương pháp cơ bản để giải Hệ PT (như phương pháp: Biến đổi tương đương; Thế; Đặt ẩn phụ; dùng hàm số; đánh giá…) Rồi sau đó cũng quy về các bài toán PT có chứa tham số như trên Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 11: ( Câu... Phương, Tuyển tập các chuyên đề hàm số tập 1, NXB Tri thức [3] Các bài toán chọn lọc 45 năm tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, NXB Giáo dục việt nam (ấn phẩm của Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ) [4] Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ [5] Đề thi và đáp án thi tuyển sinh vào Đại học môn Toán các khối A, B, D từ năm 2002 đến năm 2012 do Bộ Giáo dục và Đào tạo [6] Đề thi và đáp án thi học sinh giỏi các tỉnh môn Toán từ năm... năm 2013 đưa lên các diễn đàn Toán học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày tháng 5 năm 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác (Ký và ghi rõ họ tên) Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 21 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi MỤC LỤC Nội... kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 18 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi 3 Bài tập tương tự BT1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 2 x  1  x  m BT2: Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm dương: x2  4x  5  m 4x  x2 3x 2  1 BT3: Tìm a để phương trình  2 x  1  ax có nghiệm duy nhất 2x... nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 14 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi (1) có nghiệm (2) có nghiệm t≥0  có ít nhất một điểm của đồ thị hàm số t 1 với t≥0 không ở phía dưới đường thẳng y=m t2  2 t 1 t 2  2t  2 Xét y= 2 với t≥0 có y '  2 t 2 (t  2)2 y= t y’ y 1 3 - 0 0 +  1 3 + + 0 - 3 1 4 Từ bảng biến thi n ta có m ≤ 3... 5  Vậy các giá trị cần tìm của m là: m  4 Ví dụ 15: Tìm m để bất phương trình m x 2  2 x  2  1  x  2  x   0 (1) có nghiệm x  0;1  3  Lời giải: Đặt t  x2  2 x  2 ; t '  2x  2 2 x2  2x  2  0  x 1 Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 15 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi ta