Đang tải... (xem toàn văn)
Vạch kế hoạch học tập: Để tiết kiệm thời gian và sức lực đồng thời đạt được kết quả cao nhất cần vạch ra kế hoạch ôn tập hợp lý. Trong khi nghe giảng nếu có những điều chưa hiểu rõ có thể hỏi thầy cô giáo để bổ sung kiến thức kịp thời. Đặc biệt, thí sinh nên sắp xếp học bài sớm nhất sau khi nghe giảng để lưu giữ kiến thức tốt hơn. Cần phân chia thời gian học tập sao cho việc học thật đều đặn, bền bỉ và vừa sức.
UBND TNH HI DNG S GIO DC V O TO BN Mễ T SNG KIN KHAI THC TNH CHT HM C TRNG GII PHNG TRèNH, BT PHNG TRèNH V H PHNG TRèNH I S Nm hc 2013-2014 Phn THễNG TIN CHUNG V SNG KIN Tờn sỏng kin: Khai thỏc tớnh cht hm c trng gii phng trỡnh, bt phng trỡnh v h phng trỡnh i s Lnh vc ỏp dng sỏng kin: Ging dy v hc mụn toỏn lp 12 Tỏc gi: H v tờn: Lờ Phng Thỳy N Ngy, thỏng, nm sinh: 11 thỏng nm 1972 Trỡnh chuyờn mụn: Thc s toỏn hc Chc v, n v cụng tỏc: T phú chuyờn mụn t toỏn trng THPT Hng Quang, thnh ph Hi Dng in thoi: 0915177557 ng tỏc gi: Khụng cú Ch u t to sỏng kin: Tờn n v: Trng THPT Hng Quang a ch: S 01, Ph Chng Dng, Phng Trn Phỳ, Thnh ph Hi Dng, Tnh Hi Dng in thoi: 0320.3853774 Cỏc iu kin ỏp dng sỏng kin: Thi gian, i tng hc sinh lp 12, hc sinh ụn thi i hc v cao ng, trung hc chuyờn nghip Thi gian ỏp dng sỏng kin ln u: Sỏng kin c ỏp dng th nghim t nm hc 2010 - 2011 H TấN TC GI (Kí TấN) XC NHN CA C QUAN N V P DNG SNG KIN TểM TT SNG KIN Trong mt vi nm gn õy, vic s dng hm c trng gii phng trỡnh, bt phng trỡnh v h phng trỡnh cỏc thi i hc, cao ng v cỏc thi hc sinh gii c s dng khỏ ph bin Sỏng kin kinh nghim: "Khai thỏc tớnh cht hm c trng gii phng trỡnh, bt phng trỡnh v h phng trỡnh i s" nhm giỳp hc sinh nm vng phng phỏp s dng hm c trng gii toỏn v kt hp phng phỏp ny vi cỏc phng phỏp khỏc, linh hot cỏc cỏch x lớ gii quyt cỏc dng toỏn Trong phn 2, mc nờu lờn c s lớ thuyt s dng bi vit Mc 2.1 l ỏp dng khai thỏc tớnh cht hm c trng gii phng trỡnh i s, gm 12 vớ d, mc khú c tng dn, sau cỏc bi c th s a c cỏc k nng bin i, t ú hc sinh s dng linh hot cỏc bi khỏc Mc 2.2 l ỏp dng gii cỏc bt phng trỡnh, gm vớ d Khi ó nm bt c cỏc k nng mc thỡ sang mc 3, s gii quyt c cho cỏc bi v h phng trỡnh, qua ú ta s thy c vic kt hp, sỏng to gia phng phỏp s dng hm c trng vi cỏc phng phỏp khỏc nh phng phỏp a v phng trỡnh tớch, phng phỏp hm s, phng phỏp lng giỏc húa, phng phỏp ỏnh giỏ, vv nhm hỡnh thnh cho hc sinh cỏc k nng bin i, kh nng so sỏnh, phõn tớch v tng hp tt, ng thi cú mt t sỏng to, linh hot gii toỏn Giỳp cỏc em cú nhiu hng phn, say mờ tỡm tũi nghiờn cu vi mụn toỏn hc V cui cựng, phn l kt lun v hng phỏt trin ca ti Phn Mễ T SNG KIN Hm c trng t rt hiu qu vic gii cỏc phng trỡnh hay h phng trỡnh Trc mt bi toỏn, thng cú nhiu cỏch x lớ khỏc nhau, nhng tụi nhn thy nu nh ỏp dng c phng phỏp s dng hm c trng thỡ nhiu bi toỏn s c gii quyt n gin, ngn gn hn Vớ d, xột hm s f t t t ng bin trờn Cho f 2x f khai trin v rỳt gn ta c vớ d 2, cho f x f 2x 2x 3x , x , ta c x x , khai trin v rỳt gn ta c vớ d 5, cng xột hm s f(t) trờn nhng thay bng f x f x ta c vớ d 14 Hay xột hm s f t t t 2t ng bin trờn 0; Cho f x f x , ta c x x x x x x , khai trin v rỳt gn ta c vớ d vv Nh vy ta thy, v phớa giỏo viờn , ch cn xỏc nh mt hm s luụn n iu, v thay cỏc giỏ tr hp lớ, thỡ s c vụ s bi Vy t õy l, hc sinh ng trc mt bi toỏn, phi lm th no nh hng c cho cỏc em cỏch gii bi toỏn ú hp lớ nht, cỏch cỏc em phỏt hin c mt bi toỏn cú th gii quyt bng phng phỏp hm c trng hay khụng v gii quyt nú nh th no? ú chớnh l ni dung m sỏng kin ny tụi mun truyn ti n bn c C s lớ thuyt Da vo cỏc kt qu sau ta cú th gii quyt c nhiu phng trỡnh, bt phng trỡnh v h bt phng trỡnh i s Kt qu 1: "Nu hm s y = f(x) luụn ng bin (hoc luụn nghch bin) v liờn tc trờn D thỡ s nghim trờn D ca phng trỡnh f(x) = a khụng nhiu hn mt v u , v D : f u f v u v Kt qu 2: "Nu hm s y = f(x) luụn ng bin v liờn tc trờn D thỡ u , v D : f u f v u v Kt qu 3: "Nu hm s y = f(x) luụn nghch bin v liờn tc trờn D thỡ u , v D : f u f v u v Khi ỏp dng trc tip cho phng trỡnh v bt phng trỡnh, ta cú th nờu phng phỏp gii tng quỏt nh sau 1.1 Dng Phng trỡnh ó cho c a v dng: f (u) f (v) ú u u( x), v v( x) Phng phỏp: Bc 1: Bin i phng trỡnh v dng: f (u ) f (v) , u , v D Bc 2: Xột hm s y f (t ) trờn xỏc nh D * Tớnh y ' v xột du y * Kt lun hm s y f (t ) l hm s n iu trờn D Bc 3: Kt lun * Phng trỡnh ó cho cú nghim v ch u v * Gii phng trỡnh: u v * Kt lun nghim ca phng trỡnh ó cho 1.2 Dng Bt phng trỡnh ó cho c a v dng: f (u ) f (v) ú u u ( x), v v( x) Phng phỏp: Bc 1: Bin i bt phng trỡnh v dng: f (u ) f (v) , u , v D Bc 2: Xột hm s y f (t ) trờn xỏc nh D * Tớnh y ' v xột du y * Kt lun hm s y f (t ) l hm s n iu trờn D * Nu f(t) n iu tng thỡ: f (u ) f (v) u v * Nu f(t) n iu gim thỡ: f (u ) f (v) u v Bc 3: Kt lun nghim ca bt phng trỡnh ó cho Khai thỏc tớnh cht hm c trng gii phng trỡnh v bt phng trỡnh * Trong phn ny, vớ d ta s xột mt s cỏch gii c th Nhng t nhng vớ d sau thỡ phn bi gii tham kho, ta ch nờu cỏch gii ỏp dng hm c trng m khụng nờu cỏc cỏch gii khỏc na * Trong cỏc vớ d c cp mc ny, ta ch yu xột cho cỏc phng trỡnh v bt phng trỡnh vụ t, cũn cỏc phng trỡnh i s khỏc s c cp mc 2.1 Khai thỏc tớnh cht hm c trng gii phng trỡnh Vớ d ( thi th i hc ln trng THPT Hng Quang nm 2014) Gii phng trỡnh x 2 x x x 16 Nhn xột: Chỳng ta ó bit, vi mt bi toỏn thỡ cú rt nhiu hng t khỏc nhau, t ú s hỡnh thnh cỏc cỏch gii khỏc Vi bi toỏn ny, tụi xin nờu mt s cỏch gii sau, ú cú cỏch gii dựng hm c trng, ú chớnh l ni dung m tụi mun trỡnh by sỏng kin ny Bi gii tham kho x x (*) iu kin x 2 x x x 16 4(2 x 4) 16(2 x) 16 (2 x 4)(2 x) x 16 48 x 16 2(4 x ) x 16 Cỏch gii 1: 2(4 x ) x x 32 2(4 x ) x x 32 16 * Xột trng hp 1: x 2(4 x ) x 2(4 x ) x x x Thay x vo (1a) khụng tha * Xột trng hp 2: 2(4 x ) x x 2(4 x ) x 2(4 x ) x (1a ) 2(4 x ) x 8(4 x ) x 2 2(4 x ) x 9x 32 32 x x 32 x 32 2(4 x ) x x 32 x 32 2(4 x ) x 2(4 x ) x 32 x Xột phng trỡnh x 32 x 1a Kt hp iu kin x 4 ta c x tha 3 Xột phng trỡnh 2(4 x ) x 2(4 x ) x 2(4 x ) x Vỡ x x nờn phng trỡnh 2(4 x ) x vụ nghim Vy phng trỡnh ó cho cú nghim x Nhn xột: cỏch gii ny, khc sõu c cho hc sinh dựng phng phỏp nhõn liờn hp gii bt phng trỡnh vụ t Rừ rng l nu theo cỏch gii ny, em no khụng xột trng hp biu thc liờn hp bng khụng l khụng hon chnh Cỏch gii 2: 16 2(4 x ) x x 32 x x 32 2 512(4 x ) x x 32 19 x ** 19 x 81x 144 x 512 x 1024 1b Gii phng trỡnh (1b): 1024 32 32 32 1b 81 x4 144x x x 81 x 144x 81 9 32 2 (Vỡ 81 x2 144x 81x2 144x 288 9x 224 0, x ) x 4 kt hp iu kin (**) ta c x (tha iu kin 3 (*)) Vy phng trỡnh ó cho cú nghim x Nhn xột: cỏch gii ny, ũi hi hc sinh phi cú k nng phõn tớch thnh tớch cỏc nhõn t gp phng trỡnh bc cao cng nh gii phng trỡnh vụ t bng phộp bin i tng ng Cỏch gii 3: Vi x 16 2(4 x ) x x 32 x 16 x 16 x x 16 2x x 2 x2 x x2 x Phng trỡnh (2) vụ nghim vỡ x x VT (2) VP(2) Gii phng trỡnh (3): x x 2x2 x x (Tha iu kin (*) 2 x x x Vy phng trỡnh ó cho cú nghim x Nhn xột: cỏch gii ny, chỳng ta ó linh hot a c phng trỡnh ó cho v dng tng bỡnh phng hai v bng cỏch thờm bt xut hin dng hng ng thc Cng vi phng phỏp thờm bt, ta xột tip cỏch gii sau Cỏch gii 4: 16 x x x 32 x 16 x x x x x x 16 x 16 2 2 2 x x x 16 x 16 1c 2 x T iu kin x ta cú 1;1 Xột hm s Xột hm s f t 4t 16t vi t 1; 2 f ' t 8t 16; f ' t t 1; Ta cú bng bin thiờn: t - -2 - f '(t) -1 + + f(t) T bng bin thiờn ta cú hm s f(t) luụn ng bin trờn 1; Mt khỏc f(t) l hm s liờn tc trờn 1; Do ú phng trỡnh: x x x x 2 1c f x f x 2 2 x 32 x x x x (Tha iu kin (*)) x Vy phng trỡnh ó cho cú nghim x Nhn xột: Rừ rng nu hc sinh cú k nng tng i tt x lớ a phng trỡnh ó cho v c dng xột hm c trng thỡ bi toỏn tr nờn n gin hn nhiu Cựng vi cỏch gii 4, cng l xột hm s, ta cú th bin i phng trỡnh (1) theo cỏch sau: 32 x x x 32 32 x 32 x x x V ú s dn n vic xột hm c trng f t t 8t vi t 2; x Hoc, nu ý rng t iu kin x , ta cú 1;1 v x 2 thỡ cú th xột hm s phng trỡnh (1c) l f t 4t 16t vi t 1;2 , nhng tht ta ch cn xột hm s f(t) vi t xỏc nh nh cỏch gii Tng quỏt: Qua cỏch gii trờn, ta cú th thy, nu phng trỡnh cú dng ax bx c n ex d m cú th gii bng phng phỏp hm c trng, thỡ ú ta s a phng trỡnh ó cho v dng ax bx c n ex d m px u n px u m ex d n ex d Vi hm c trng f t mt nt luụn n iu trờn cn xột thỡ bi toỏn cú th dựng phng phỏp hm c trng gii Khi ú cụng vic tip theo l phi xỏc nh c cỏc h s trờn bng cỏch ng nht tỡm cỏc h s Sau õy ta xột phng trỡnh cú dng ax bx cx d n ex v m cú th dựng hm c trng gii thỡ cỏch lm s nh th no? Chỳng ta xột tip vớ d sau Vớ d Gii phng trỡnh x 36 x 53x 25 3x x Nhn xột: i vi bi ny, cn a hai v phng trỡnh v dng f g x f h x vi hm c trng f t mt nt Ta cn ng nht cho biu thc v phi cú dng m 3x n 3 x v so sỏnh v phi ú vi v phi ca phng trỡnh ó cho nờn ta chn n = Cụng vic cũn li l tỡm nhng hng t v trỏi cho phng trỡnh ó cho cú dng m px u 1. px u m 3x 3x * D thy h s ca x3 khai trin trờn l mp3 v so sỏnh vi h s ca x3 phng trỡnh ó cho ta c mp3 = 8, cú th xột cỏc trng hp sau xy m = 1, p = hoc m = 8, p = Nu m = 1, p = thỡ f t t t Do ú cn vit phng trỡnh v dng: 1. px u 1. px u 3x - 3x x u x u 3x 3 x x3 12u x 6u x u u 3x 3x * Mt khỏc, ta cú th vit li phng trỡnh ó cho nh sau: 8x3 36x2 53x 25 3x 8x3 36x2 56x 30 3x 3x ** T (*) v (**), ng nht vi h s v trỏi ca phng trỡnh, ta c h: 12u 36 6u 56 u u u 30 Do trng hp ny tha nờn ta khụng xột trng hp sau na Bi gii tham kho TX: D = 8x3 36 x 53x 25 3x x x 3x 3x Xột hm s f t t t vi t Ta cú f ' t 3t 0, t suy hm s f(t) ng bin trờn Mt khỏc f(t) l hm liờn tc trờn Do ú phng trỡnh f x f 3x x 3x x 3x x 36 x 51x 22 x x 20 x 11 x 2; Vy nghim ca phng trỡnh l T 2; Tng t, ta xột tip vớ d sau Vớ d Gii phng trỡnh x 15 x 78 x 141 x x Nhn xột: Hon ton tng t bi trờn, ta cng s tỡm c n = 5, m = p = 1, u = Bi gii tham kho Thay x = y vo phng trỡnh (2) ta c phng trỡnh: x x Kt hp iu kin (*) ta c x y Vy h phng trỡnh cú nghim x; y 2; Qua cỏc vớ d trờn, ta thy chỳng cú mt im chung l u t mt phng trỡnh, phỏt hin vic khai thỏc tớnh cht hm c trng, a phng trỡnh ú v mt phng trỡnh n gin hn, sau ú dựng phng phỏp th, kt hp vi phng trỡnh cũn li, ta s gii quyt c bi toỏn Vy cõu hi t l cú trng hp ngc li hay khụng? Ta xột tip vớ d sau Vớ d 14 Gii h phng trỡnh: x x y y x, y x y x y x y Nhn xột: vớ d ny, ta cha nhỡn hm c trng cho c hai phng trỡnh, nhng nu tinh ý, ta s thy phng trỡnh (2) cú th a c v phng trỡnh tớch bng cỏch coi phng trỡnh (2) l phng trỡnh bc hai n y (hoc x), v sau ú ta mi xột tip n phng trỡnh (1) Bi gii tham kho iu kin: x ; y (*) (2) y x y x x 0; x y x Vy phng trỡnh (2) cú hai nghim: x y y x vụ nghim vỡ x ; y x y y x , thay vo phng trỡnh (1) ta cú: x x x x x x x x 1a Xột hm s f (t ) 2t t vi t 0; Ta cú f ' t 4t 0, t 0; suy hm s f (t ) ng bin trờn 0; Mt khỏc f(t) l hm liờn tc trờn 0; Do ú phng trỡnh 1a x x x y 12 (tha iu kin (*)) Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim x, y 4;12 Chỳ ý: Phng trỡnh 3x x x x 3x x x cng cú th gii bng phng phỏp nhõn vi biu thc liờn hp 37 Tng t, ta xột tip vớ d sau Vớ d 15 Gii h phng trỡnh x y x y y x y x x, y 3 10 x x 12 y 11 x x y x Nhn xột: - T phng trỡnh (1) ta s bin i c v phng trỡnh tớch - Sau a c phng trỡnh (1) v dng tớch v kt hp vi phng trỡnh (2) thỡ vic ch c hm c trng phng trỡnh ny khụng h n gin Ta phi bin i c phng trỡnh ú theo n t , v sau ú mi bin i x tip c Bi gii tham kho iu kin: x ; y x2 y Ta cú ( x y )( x y ) x y x Trng hp 1: x y y Th vo phng trỡnh (2) h khụng tho Trng hp 2: y x th vo phng trỡnh (2) h ta c 2 10 x3 12 x x x x3 x x Vỡ x = khụng l nghim ca phng trỡnh (3) nờn chia c hai v ca (3) cho x3 ta c phng trỡnh 12 10 3' x x x x x t t , phng trỡnh (3) tr thnh: t 5t 12t 10 2.3 2t 7t x t 5t 12t 10 2.a t a = 2t 7t ta cú h sau a3 2t 7t 3 Cng v vi v ca (5) v (6) ta a v (t 1) 2(t 1) a 2a Xột hm s f t t 2t vi t Ta cú f ' t 3t 0, t suy hm s f(t) ng bin trờn Mt khỏc f(t) l hm liờn tc trờn Do ú phng trỡnh f t f a t a Thay a = t - ta c phng trỡnh 2t 7t t 2t 7t t 3t 3t t 5t 10t t t 3t t ( Vỡ t 3t t 0, t ) 2 38 Vi t = ta cú x v y Vy h phng trỡnh cú nghim x; y ; Sau õy ta xột cỏc vớ d kt hp gia phng phỏp hm c trng v phng phỏp nhõn liờn hp Vớ d 16 Gii h phng trỡnh x3 y y x y 12 x, y 2 x y x y 10 x y 22 Nhn xột: Trong hai phng trỡnh ó cho, ta d dng a c phng trỡnh (1) v dng xột hm c trng f t t 2t Khi ú thay y theo x vo phng trỡnh hai ta c mt phng trỡnh vụ t, v vi phng trỡnh vụ t ny, d thy x = l mt nghim, ú s tỡm cỏch gii l s dng phng phỏp nhõn liờn hp bng cỏch thờm bt mt hng s thớch hp Bi gii tham kho x iu kin: (*) y Ta cú: x x y y 1a Xột hm s: f t t 2t trờn Ta cú f ' t 3t 0, t suy hm s f(t) ng bin trờn Mt khỏc f(t) l hm liờn tc trờn Do ú phng trỡnh 1a f x f y x y y x 1b Thay (1b) vo (2): x x x x 10 x x 22 x x x 11x 16 x x x x x x 1 x 2a 1 x 2b x x 1 2a x y (tha iu kin (*)) 2b x x 1 x 1 1 x 1 Hay (2b) vụ nghim T ú x x x 1 Vỡ x nờn x v 39 x Vy h ó cho cú nghim nht y Vớ d 17 Gii h phng trỡnh ( x x x 1)( y y 1) 1 x, y y xy 2013 y y 2014 x Bi gii tham kho y xy iu kin: (*) x ; y Phng trỡnh x x (Vỡ y y ) y y x x y y 1a Xột hm s f t t t trờn Ta cú f ' t t t2 t t2 t t t 0, t t t t t suy hm s f(t) ng bin trờn Mt khỏc f(t) l hm liờn tc trờn Do ú phng trỡnh 1a f x f y x y y x Thay y = - x - vo phng trỡnh (2) ta c: x x 2014 x 2013 x ta cú 2a x x x x 2014 x 2013 x Do ú 2a x2 x 2014 x x x x 2014 x x2 x Vỡ ta cú x x2 x x2 2014 x x2 x2 Vi x = ta cú y = - ( tha iu kin (*)) Vy h cú nghim (x; y) = (1 ; - 2) Vớ d 18 Gii h phng trỡnh 17 x x y 14 y 2 x y 3 x y 11 x x 13 Nhn xột: 40 2014 0, x x2 x2 1 x, y gii c bi ny, ta thy ngoi phng phỏp s dng hm c trng, s dng c hm s ta cũn phi kt hp c phng phỏp nhõn liờn hp Bi gii tham kho x y iu kin: * x y x y 11 Ta cú x x y y Xột hm s f t 3t t 3t 2t vi t 0; 1a Ta cú f ' t 9t 0, t 0; suy hm s f(t) ng bin trờn 0; Mt khỏc f(t) l hm liờn tc trờn 0; Do ú phng trỡnh 1a f x f y x y x y y x Thay y = x - vo (2) ta c phng trỡnh: x x x x 13 2a 3x 5x x2 x 6x 15 x x x 3x 5x 15 x x 5x 3x x 15 x 2b 5x 3x Vi x = ta cú y = -1 (Tha iu kin (*)) Gii phng trỡnh (2b): Xột hm s g x liờn tc trờn ;5 , ta cú g ' x x 3x 15 x 3x 5x 75 5x 5x 0, x ;5 suy hm s g(x) nghch bin trờn ;5 Mt khỏc ta cú g(-1) = Do ú phng trỡnh 2b g x g x y (tha iu kin (*) 41 Vy h phng trỡnh cú nghim x; y 0; , 1; Nhn xột: - Khi gp phng trỡnh vụ t, mt cỏc phng phỏp hay c nhc n ú l phng phỏp nhõn liờn hp Ta thng tỡm biu thc liờn hp da vo vic nhm nghim ca phng trỡnh, thng nhng nghim ú l nghim nht V vỡ th, xỏc nh lng liờn hp ca biu thc vụ t tng i n gin, vớ d nh phng trỡnh trờn, ta ch cn phỏt hin x = l mt nghim ca phng trỡnh (2a) thỡ gp x thỡ ta s thờm bt mt hng s xut hin dng 3x , gp x ta cng ch cn thờm bt mt hng s xut hin dng x , ú sau nhõn v chia vi lng liờn hp thỡ s xut hin nhõn t chung l x - i vi phng trỡnh (2a), hc sinh cng cú th gii tip bng phng phỏp nhõn vi biu thc liờn hp u tiờn dựng h tr ca mỏy tớnh, cú th tỡm c nghim x = -1 ca phng trỡnh (2a), v vỡ vy, theo hng phõn tớch trờn, ta s tỏch tip c nh sau: 15 x0 3x 5x 15 x 3x 5x 3x 5x x 3x 5x x 3 x x 3x 3x 5x 5x x x (vỡ 3x 3x 3x 3x 5x 5x 15 15 0, x ;5 ) 5x 5x - Nh vy theo cỏch gii trờn, trng hp nu nhm thy phng trỡnh cú hai nghim thỡ ta ó dựng phng phỏp liờn hp hai ln xut hin nhõn t chung Vy ngoi cỏch thờm bt hai ln nh vy, ta cú cỏch no ch cn mt ln thờm bt l ó xut hin c nhõn t chung hay khụng?Khi ú cỏch lm xut hin biu thc liờn hp th no? Ta xột tip vớ d sau Vớ d 19 Gii h phng trỡnh y x3 y x 32 y x 36 x, y x 16 y x Nhn xột: 42 vớ d ny ta cn chỳ ý c hai phng trỡnh ó cho - Th nht, i vi phng trỡnh (1), ta thy bc cao nht ca x v y u l 3, vy thỡ nhiu kh nng s a c v hm c trng Vy thỡ trc ht ta ý, cỏc x v y lp vi nhau, nờn vic u tiờn l ta bin i phng trỡnh ó cho v dng x3 x x y y 32 y 36 1' v trỏi ca (1') ta li ý tip cú th a c v x x x x x x x x x Vy thỡ lỳc ny v phi s ngh n vic biu din qua py u 5. py u V ú s xut hin c hm c trng f t t 5t - Th hai, sau th y t phng trỡnh (1) vo phng trỡnh (2), ta nhn thy õy l mt phng trỡnh vụ t i vi mt phng trỡnh vụ t, phng phỏp hay dựng nht ú l nhõn vi lng liờn hp, nhiờn tỡm c lng liờn hp cng ũi hi mt chỳt k thut i vi bi ny, nhm hoc dựng mỏy tớnh cm tay ta thy phng trỡnh cú nghim l x = - v x = i vi phng trỡnh cú hai nghim tr lờn thỡ cỏch thờm bt hng s vo mi cn v liờn hp l khụng phự hp õy ta khụng thờm bt hng s m phi thờm mt biu thc ax + b no ú Vy tỡm biu thc ny nh th no? Trc ht ta xột x nhộ Vi x = - thay vo cn cú giỏ tr bng 1, thay vo biu thc thờm ta cú - a + b = Vi x = thay vo cn cú giỏ tr bng 2, thay vo biu thc thờm ta cú 2a + b = a a b Gii h 2a b b Do ú biu thc cn thờm vo ú l: ax b x 3 14 Tng t xột 22 3x , biu thc cn thờm vo ú l: x 3 Bi gii tham kho x iu kin: 16 (*) y Ta cú: x3 3x x y y 32 y 36 3 x x y y 1a Xột hm s: f t t 5t trờn Ta cú f ' t 3t 0, t suy hm s f(t) ng bin trờn 43 Mt khỏc f(t) l hm liờn tc trờn Do ú phng trỡnh 1a f x f y x y y x Thay y = x - vo phng trỡnh (2) ta c x 14 x x 22 3x x2 x 22 3x x x2 x x x 16 22 x x 28 x 196 x2 x x x 22 x 14 x x x x x x 22 3x 14 x x 22 (Vỡ ta cú 0, x 2; ) x 14 x x 22 x Vi x = -1 ta cú y = - (tha iu kin (*)) Vi x = ta cú y = (tha iu kin (*)) Vy h ó cho cú nghim x; y 1; , 2;0 Chỳ ý: i vi phng trỡnh trờn, ta cng cú th nhõn thờm vi biu thc liờn hp hai ln lm xut hin hai nghim x = -1 v x = 2, nhng vỡ ó trỡnh by cỏch ny vớ d 18 ri nờn õy tụi khụng trỡnh by thờm cỏch gii ny na Ngoi phng phỏp hm s, phng phỏp nhõn liờn hp, thỡ phng phỏp lng giỏc húa cng l mt phng phỏp t rt hiu qu nhiu bi Sau õy ta tip tc thy c vic kt hp gia phng phỏp dựng hm c trng v phng phỏp lng giỏc húa qua vớ d sau Vớ d 20 Gii h phng trỡnh y x x x y x, y 2 x xy x y Nhn xột: S bin i c phng trỡnh (1) nh vic da vo hm c trng f t 2t t Khi ú, phng trỡnh (2) cú dng x x x x 1, vi phng trỡnh ny, ta s dựng phng phỏp lng giỏc húa gii quyt Bi gii tham kho x iu kin: (*) y Ta cú: y3 y x 1 x y y x 44 x Xột hm s: f t 2t t trờn Ta cú f ' t 6t 0, t hm s f(t) ng bin trờn Mt khỏc f(t) l hm liờn tc trờn Do ú phng trỡnh f y f x y x Thay (4) vo (2): x x x x x x x x t x cos t , t 0; , phng trỡnh (2) tr thnh: t 2cos t 2cos t cos2 t cos t cos2t 2cos t sin t sin t t t cos2t sin 2t sin sin 2t sin sin 2t sin 4 t t k 2t k k, k ' t t 2t k '2 k' 10 3 Kt hp iu kin t 0; ta c t tha 10 3 Khi ú x cos v y cos (tha iu kin (*)) sin 10 20 10 3 Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim x, y cos ; sin 10 20 vớ d trờn ta thy, t iu kin ca n ta cú th t n vic dựng phng phỏp lng giỏc húa, nhiờn vi vớ d sau thỡ sao? Thng thỡ t iu kin ca n, ta cú th nh hỡnh c bi toỏn ó cho cú th gii quyt c nh phng phỏp lng giỏc húa hay khụng, nhng cng cú nhng bi ũi hi phi bit chia trng hp, nh vớ d sau chng hn Vớ d 21 Gii h phng trỡnh x x y x, y 3 x y x y y x 2 Bi gii tham kho x iu kin: * y x x x y y y Xột hm s f t t 2t 7t vi t 2a 17 0, t suy hm s f(t) ng Ta cú f ' t 3t 4t t 3 bin trờn Mt khỏc f(t) l hm liờn tc trờn 45 Do ú phng trỡnh 2a f x f y y x Th vo phng trỡnh (1) ta c: x x x 1a Gii phng trỡnh (1a): Nu x > thỡ x x x x x x x nờn phng trỡnh (1a) khụng cú nghim vi x > Nu x thỡ t x = 2cost, vi t 0; Khi ú phng trỡnh (1a) tr thnh: 8cos3t 6cos t 2cos t 4cos3t 3cos t cos t t t cos3t = cos 2 t t k t k k, m t m 3t t m2 2cos3t 2.2cos Do t 0; nờn ta c cỏc giỏ tr t tha l: t 0; t 4 ;t Vi t = ta cú x = y = 4 y 2cos Vi t ta cú x 2cos 7 4 y 2cos Vi t ta cú x 2cos 5 Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim 4 4 x; y 2;1 , 2cos ;2cos , 2cos ;2cos 7 5 Ta xột tip mt vớ d s dng s kt hp gia hm c trng v phng phỏp ỏnh giỏ Vớ d 22 Gii h phng trỡnh x3 y x 15 x y 14 x, y 4 y x y x Nhn xột: Vi h phng trỡnh ny, ta s dng c hm c trng i vi phng trỡnh (1), cũn phng trỡnh (2) s l phng phỏp gỡ õy nh? Bi gii tham kho iu kin: x 0, y (*) 46 Ta cú: x x y y Xột hm s: f t t 3t trờn Ta cú f ' t 3t 0, t suy hm s f(t) ng bin trờn ta cú f(t) l hm liờn tc trờn Do ú phng trỡnh f x f y x y Thay (4) vo (2): x x x x iu kin: x p dng bt ng thc Cụsi ta cú: x x x 111 x x ; x ; x ; 2x x 4 T ú suy ra: x x x x x x x x 2 4 Du bng xy v ch x = Do ú phng trỡnh (5) cú nghim nht x = (tha iu kin (*)) Vi x = thay vo (4) ta cú y = (tha iu kin (*)) Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim nht (x; y) = (1; 1) Nh vy, qua cỏc vớ d trờn, ta thy c s phong phỳ ca s khai thỏc tớnh cht hm c trng vo gii h phng trỡnh Tuy nhiờn s l khụng hon thin nu ta thiu i s kt hp gia cỏc bin h C th, cỏc vớ d trờn chỳng ta thy vic tỡm hm c trng ch da vo s c lp gia hai bin x v y phng trỡnh Cỏc vớ d sau s cho chỳng ta thy rừ hn vic i tỡm hm c trng mi quan h gia x v y Vớ d 23 Gii h phng trỡnh x y x xy y x, y 2 2 y x y xy x x xy y y Bi gii tham kho x y iu kin: (*) y y2 y y2 x y x y x y 2a Xột hm s f t t t t , t 0; 2t t 0, t suy 2 t t t t hm s f(t) nghch bin trờn 0; Ta cú f / t t Mt khỏc f(t) l hm liờn tc trờn 0; Do ú phng trỡnh 2a f y f x y x y 47 Thay x = 2y vo phng trỡnh (1) ta cú y 10 y y y y y y y (Vỡ y y y 0, x ) y y Vi y = ta cú x = (tha iu kin (*)) Vy h cú nghim (x; y) = (4; 2) Vớ d 24 Gii h phng trỡnh xy x y y x, y x x y xy x3 x y x Bi gii tham kho x y xy iu kin: * x ; y Xột phng trỡnh (1): y y y y 0, y; y2 x x 0, x; y x M x y xy y x x y 3 Khi ú ta cú: x x x y y y 1a Xột hm s: f t t t t trờn 0; Ta cú f ' t t t2 0, t 0; suy hm s f(t) ng t2 bin trờn 0; Mt khỏc f(t) l hm liờn tc trờn 0; 3 Do ú phng trỡnh 1a f x f x y y x y Thay y vo phng trỡnh (2) ta cú x 3x 3x 4x3 9x2 x 3x 3x x 4x3 12x2 8x x2 3x 3x 3x 4x3 12x2 8x x2 3x 4x 3x x x x 3x 0, x ) x x ( Vỡ x 3x x x x Vi x = ta cú y = (tha iu kin (*)) 48 Vi x = ta cú y (tha iu kin (*)) Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim (x; y) = (1; 3), 2; Bi t luyn Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh sau trờn s thc a) x3 x x x x b) x 3x 3 3x 3x c) x 18 x 27 x 14 x d) x x3 x e) x x x 81x x3 2x x f) x 2x 2 g) x x x 3x x Bi 2: Gii cỏc h phng trỡnh sau x y 2 x a) x, y y x y y x 2 x y y x b) x, y x y 3y y x3 x x y c) x, y x y y x y 24 x 25 x xy x y y 10 d) 2 x xy 10 x y y x x x y y e) x, y 2 x y x y 49 x, y Phn KT LUN ti c thc hin t nm hc 2010 - 2011 n nay, qua quỏ trỡnh ging dy nõng cao cho hc sinh, tụi nhn thy hc sinh rt hng khi c lm quen vi vic gii quyt bi toỏn bng cỏch tip cn thụng qua s dng tớnh cht ca hm c trng a s cỏc em nm c cỏch lm v khong 70% hc sinh khỏ gii gii quyt tt cỏc bi toỏn giỏo viờn a Phn bi ny nm cỏc cõu hi t c im cao cỏc thi i hc nờn cỏc em rt hng thỳ, c bit l cỏc em hc sinh gii toỏn Hng phỏt trin thờm ca ti l: Tip tc b sung khai thỏc tớnh cht hm c trng gii phng trỡnh v bt phng trỡnh, h phng trỡnh khỏc vớ d nh i vi cỏc hm s m, logarit bờn cnh ú cng phỏt trin tip i vi cỏc phng trỡnh, bt phng trỡnh v h phng trỡnh cha tham bin Thụng qua sỏng kin kinh nghim ny, tụi mong mun c úng gúp mt phn nh cụng sc vic hng dn hc sinh ng dng v khai thỏc cỏc phng phỏp lm toỏn, rốn luyn tớnh tớch cc, phỏt trin t sỏng to cho hc sinh, gõy hng thỳ cho cỏc em hc toỏn Tuy nhiờn, thi gian cú hn, trỡnh bn thõn cũn hn ch, nờn tụi rt mong c s úng gúp b sung ca Hi ng khoa hc cỏc cp v ca cỏc bn ng nghip kinh nghim ca tụi c hon chnh hn, ng thi cng giỳp tụi tin b hn ging dy Tụi xin trõn trng cm n! Hải Dương, tháng 03 năm 2014 Tác giả 50 MC LC Ni dung Trang Phn 1: Thụng tin chung v sỏng kin Phn 2: Mụ t sỏng kin C s lớ thuyt Khai thỏc tớnh cht hm c trng gii phng trỡnh v bt phng trỡnh 2.1 Khai thỏc tớnh cht hm c trng gii phng trỡnh 2.2 Khai thỏc tớnh cht hm c trng gii bt phng 17 trỡnh Khai thỏc tớnh cht hm c trng gii h phng 24 trỡnh i s 49 50 Bi t luyn Phn 3: Kt lun TI LIU THAM KHO Tp toỏn hc v tui tr Phng phỏp ng dng o hm gii cỏc bi toỏn luyn thi i hc HUNH CễNG THI (Biờn son) Mt s t liu trờn mng 51 [...]... 1 3 x 2 x 1 x 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình: ; 5 Ví dụ 20: Giải bất phương trình: 4 2 x 1 ( x 2 x 1) x3 6 x 2 15 x 14 (1) Bài giải tham khảo TXĐ: D = Ta có BPT (1) 2 x 1 (2 x 1) 2 3 ( x 2)3 3 x 6 23 1 5 3 2 x 1 3 2 x 1 ( x 2)3 3( x 2) (*) Xét hàm số: f t t 3 3t , t , ta có f ' t 3t 2 3... tiện, ta sẽ nhân hai vế của phương trình đã cho với 2, khi đó ta có 2(x + 1) = (2x + 1) + 1, và tương tự như cách phân tích ở ví dụ trên, bài toán này sẽ được giải theo cách dùng hàm đặc trưng Bài giải tham khảo 1 Điều kiện: x * 2 4 x3 x x 1 2 x 1 0 8 x3 2 x 2 x 1 2 x 1 3 2 x 2 x 2 x 1 1 2 x 1 3 2x 2x 3 2x 1 2x 1 Xét... trên, đối với bài toán sau, ta sẽ biến đổi bằng cách biểu diễn vế phải qua 2x - 1 bằng cách thêm bớt để làm xuất hiện biểu thức 2x - 1 Ví dụ 6 Giải phương trình x 3 1 2 3 2 x 1 x Bài giải tham khảo TXĐ: D = x 3 1 2 3 2 x 1 x 3 2 x 2 x 1 2 3 2 x 1 x3 2 x 3 3 2 x 1 2 3 2 x 1 1 Xét hàm số f t t 3 2t với t f ' t 3t 2 2 0, t suy... được chúng qua (x + 1) và (1 - x), dễ dàng có được: 2x = (x +1) - (1 - x), và với điều kiện 1 x 1 thì ta viết được x 1 x 1 2 và 1 x như vậy bài toán đẽ được giải quyết Bài giải tham khảo Điều kiện: 1 x 1 (*) Ta có: x 3 x 1 x 3 1 x 2 x 0 x 1 2 x 1 2 x 1 x 2 1 x 3 x 1 2 x 1 2 x 1 3 1 x Xét hàm... phương trình đã cho trở thành: 3 u 1 u v 1 v , khi đó ta thấy phương trình sẽ được giải bằng phương pháp dùng hàm đặc trưng, trong đó hàm đặc trưng ở đây là f (t ) 3 t 3 1 t Bài giải tham khảo Tập xác định D Đặt u 3 x 1 và v 3 2 x 2 khi đó phương trình đã cho trở thành: 3 u 3 1 u 3 v3 1 v 1a Xét hàm số f t 3 t 3 1 t với t t2 f 't 3 t 3 ... thể viết lại như sau 2 3 x 9 x 2 2 3 x 3 x 2 Vậy thì còn lại số hạng 5 x 3 ta thấy cũng có thể biểu diến được qua 2x + 3 và -3x, khi đó ta có lời giải của bài toán như sau Bài giải tham khảo 2 9 x 2 0, x Ta có 2 2 4 x 12 x 11 2 x 3 2 0, x Do đó tập xác định D 1 (2 x 3) (2 x 3) 2 2 2 x 3 3 x 3x 2 2 3 x 1a ... sự đồng bậc, làm tiền đề để đưa được về hàm đặc trưng thì ta thấy, có thể nghĩ đến việc đặt biểu thức căn bậc ba là một ẩn mới Khi đó cách sử lí tiếp theo là gì? Chúng ta cùng theo dõi tiếp Bài giải tham khảo TXĐ: D = Đặt y 3 7x 2 9x 4 , ta có hệ : x 3 4x 2 5x 6 y x 3 4x 2 5x 6 y 2 3 2 3 y 7x 9x 4 7x 9x 4 y Cộng vế với vế của hai phương trình với... được bài toán dưới đây, nhưng đòi hỏi một chút sáng tạo khi biến đổi Ví dụ 11 (Đề nghị Olympic 30/4/2009) Giải bất phương trình x 3 6 x 2 12 x 7 3 x 3 9 x 2 19 x 11 x Bài giải tham khảo TXĐ: D = Đặt y 3 x 3 9x 2 19x 11 , ta có hệ : 3 2 3 2 x 6x 12x 7 y 2x 12x 24x 14 2y 3 3 3 2 2 3 y x 9x 19x 11 x 9x 19x 11 y Cộng... chưa nhìn ngay ra được hàm đặc trưng cần xét, khi đó ta phải tìm cách biến đổi để làm sao xuất hiện ra hàm đặc trưng Vì vậy ta sẽ nghĩ đến sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, nhưng đặt như thế nào? Bài giải tham khảo 16 x 3 0 x 3 x 1 (*) Điều kiện: x 1 0 x 1 4 x 4 12 x3 9 x 2 16 0 2 2 2 x 3 x 16 0 3x Đặt u x 2 , v x 1 0 Phương trình đã cho trở... có 2v3 2v 2 3v 1 0 0 0 1 0 do đó (2) vô nghiệm Với v = 1 ta có x = 2 (thỏa mãn điểu kiện (*)) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 Qua các ví dụ trên, phần nào ta đã có được một số kinh nghiệm khi áp dụng tính chất hàm đặc trưng để giải cho các phương trình Tương tự, cũng vẫn khai thác tính chất của hàm đặc trưng, ta sẽ xét tiếp việc áp dụng đối với bất phương trình 2.2 Khai thác