Công thức khảo sát hàm số CÁC DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ CHUYÊN ĐỀ 1: BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I Các dạng bài tập thường gặp Dạng 1: Tìm cực trị của một hàm số một đoạn, một khoảng Phương pháp: - Tìm cực trị của hàm số: y = f(x) đoạn [a ; b] - Tìm cực trị của hàm số y = f(x) khoảng (a ; b) Qui tắc 1: Lập BBT (Tổng quát) Qui tắc 2: Sử dụng ĐH cấp 2.(Đối với hàm đa thức) Dạng 2: Cho hàm số y = f(x) (m : tham số) Xác định m để hàm số có cực trị? Phương pháp: - Hàm bậc 3: TXĐ: Ta có: Đối với hàm số bậc 3, cực trị của hàm số có thể xảy trường hợp sau: (1) TH1: Pt (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số không có cực trị TH2: Pt (1) có nghiệm phân biệt thì hàm số có CĐ, CT - Hàm trùng phương: TXĐ: Ta có: Đối với hàm t phương, để có cực trị ta xét các trường hợp sau TH1: Pt (1) có một nghiệm thì hàm số có một cực trị TH2: Pt (1) có nghiệm thì hàm số có cực trị - Hàm phân thức: TXĐ: (công thức tính đạo hàm nhanh của hàm phân thức) Hàm số ĐB hoặc NB nên hàm số không có cực trị Dạng 3: Cho hàm số y = f(x) (m : tham số) Chứng minh rằng với mọi m hàm số có cực trị (hoặc không có cực trị) - - Hàm bậc 3: TXĐ: Ta có: Xét p.t y' = 0, ta c/m: mọi m với mọi m Vậy hs có cực trị với Dạng 4: Cho hàm số y = f(x) (m : tham số) Xác định m để hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 Phương pháp: TXĐ: D Ta có: y' = f'(x) Để hàm số đạt cực đại tại x0 thì Để hàm số đạt cực tiểu tại x0 thì Dạng 5: Cho hàm số y = f(x) (m : tham số) Xác định m để hàm số đạt cực trị bằng h tại x0 Phương pháp: TXĐ: D Ta có: y' = f'(x) Để hàm số đạt cực đại tại x0 thì Dạng 6: Xác định điều kiện của m để hàm số bậc có CĐ, CT nằm về phía đối với đường thẳng (d)? Phương pháp: + Điều kiện để hàm số có C Đ, CT: 0) (x1, x2 là các nghiệm của pt y' = +Đường thẳng (d) có thể xảy trường hợp: 1) Nếu (d) là trục 0y thì ycbt x1 < < x2 (2 nghiệm trái dấu và chỉ a.c < 0) 2) Nếu (d) là đường thẳng x =m thì: x1 < m < x2 3) Nếu (d): ax + by + c = thì ycbt Dạng 7: Xác định điều kiện của m để hàm số bậc có CĐ, CT nằm về một phía đối với đường thẳng (d)? Phương pháp: + Điều kiện để hàm số có CĐ, CT: 0) (x1, x2 là các nghiệm của pt y' = +Đường thẳng (d) có thể xảy trường hợp: 1) Nếu (d) là trục 0y thì ycbt x1 < x2 < v < x1 < x2 (2 nghiệm cùng dấu) ĐK nghiệm cùng dấu: 2) Nếu (d) là đường thẳng x =m thì: x1 < x2 < m v m < x1 < x2 3) Nếu (d): ax + by + c = thì ycbt Dạng 8: Lập phương trình đường thằng qua điểm cực trị (CĐ, CT) của hàm số bậc (Cm) Phương pháp: TH1: Hàm bậc tìm được cực trị: Ta có ptđt: TH2: Khi không tìm được cực trị + Chia: ( cx + d: là phần dư của phép chia) Suy ra: y = (ax + b).y' + cx +d hay y = (ax + b).f'(x) + cx +d + Gọi là điểm cực trị của hàm số suy ra: f'(x1) = f'(x2) = + M1 và M2 (Cm) nên: y1 = (ax1 + b).f'(x1) + cx1 +d y1 = cx1 +d (1) y2 = (ax2 + b).f'(x2) + cx2 +d y2 = cx2 +d (2) + Từ (1) và (2) ta suy đt qua điểm c.trị là: y = cx + d Dạng 9: Xác định m để đồ thị hàm số bậc có CĐ và CT đối xứng qua đường thẳng y = ax + b Phương pháp: + Điều kiện để hàm số có CĐ, CT (1) + Lập phương trình đường thẳng (d) qua điểm cực trị + Gọi I là trung điểm hai điểm C.Tr ycbt Dạng 10: Xác định ĐK m để hs bậc có CĐ, CT thỏa mãn ĐK cho trước Phương pháp: + ĐK để hs có CĐ và CT + Giả sử hàm số đạt CĐ, CT a tại x1, x2 (x1, x2 là nghiệm của pt y = 0) Theo đ.lí vi-ét: + Biến đổi điều kiện cách thích hợp rồi áp dụng vi-ét II Bài tập Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số sau: Bài 2: Tìm cực trị của các hàm số sau: a y = sin2x b y = cosx - sinx c y = sin2x Bài 3: CMR hàm số có cực trị với mọi giá trị của m, n a b Bài 4: Xác định m đề hàm số sau có cực trị tại x = Khi đó hàm số đạt CĐ hay CT? Tính cực trị tương ứng Bài 5: Tìm m để hàm số đạt CTr tại x = ĐS: m = -17/12 Bài 6: Xác định m để hs: có giá trị CĐ bằng - Bài 7: Xác định m để hàm số sau không có cực trị a b y = (m - 3)x3 - 2mx + ĐS: Bài 8: Xác định a và b để hs: HD: đạt CT tại x = 1, CĐ tại x = ĐS: a = -2/3, b = -1/6 Bài 9: Cho hàm số y = x3 - 3(m - 1)x2 + (2m2 - 3m + 2)x - m(m - 1) a Tìm m để hs có CĐ và CT b Viết pt đt qua điểm CĐ, CT c Tìm m để đt qua điểm C Đ, CT song song với đt ĐS: Bài 10: Cho hs: y = x3 + mx2 - Viết phương trình đường thẳng qua điểm c.trị của hàm số Bài 11: Cho hs: a thẳng y = x Xác định m để hàm số có các điểm CĐ, CT đối xứng qua đường b Xác định m để hs có CĐ, CT đối xứng qua đường thẳng Bài 12: Cho hàm số: của m để (Cm) có điểm CĐ và CT đối xứng qua trục 0y Xác định các g.trị Bài 13: Cho hs: y = x4 - 4x3 + 8x a Viết phương trình đường thẳng qua điểm CĐ, CT của hs b CMR đt nối điểm CĐ và CT song song với trục hoành Bài 14: Xác định m đê hs: y = x4 + mx2 - m - có điểm c.trị Bài 14: Cho hs: 3x - Xác định m để đt qua điểm CĐ, CT vuông góc với đt y = Bài 15: Cho hs: tọa độ O Xác định m để hs có CĐ, CT cách đều góc Bài 16: Cho hs: mãn: Tìm m để hs có cực trị tại x1 ; x2 thỏa Bài 17 Cho hs: mãn: Bài 18 Cho hs: nhỏ nhất Tìm m để hs có cực trị tại x1 ; x2 thỏa Tìm m để hs có CĐ và CT và khoảng cách giữa chúng là Bài 19 Cho hs: c.trị cùng với gốc tọa độ tạo thành t.giác có S = Tìm m để hs có CĐ, CT đồng thời các điểm Bài 20 Cho hs: thị tạo thành t.giác có Tìm m để hs có điểm C.trị, đồng thời các điểm c.trị của đồ Bài 21 Cho hs: thành một tam giác vuông cân Tìm m để hs có các điểm CĐ, CT tạo Bài 22 Cho hs: Gọi A, B là các điểm CĐ và CT của đồ thị hs Tìm điểm M thuộc trục hoành cho t.giác ABM co diện tích bằng Bài 23 Cho hs: thời các điểm c.trị tạo với gốc O t.giác vuông tại O Bài 24 Cho hs : xCT thỏa mãn: xCĐ2 = xCT Bài 25 Cho hs: hoành độ là các số dương Tìm m để hs có cực đại và cực tiểu, đồng Tìm m để hs có cực đại tại xCĐ và cực tiểu tại Tìm m để các điểm CĐ, CT của đồ thị hs có các CHUYÊN ĐỀ 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Tìm điểm đồ thị hàm số (C): cho: Tổng khoảng cách tới tiệm cận là nhỏ nhất Phương pháp: + Xét điểm M0(x0 ; y0) thuộc (C) ta có: y = thương + dư/mẫu + Dùng BĐT Côsi Suy KQ Dạng 2: Tìm đk để tiếp tuyến với đồ thị (C): một t.giác có s = h (hằng số) cắt t.c của đ.t.h.s tạo thành Phương pháp: + Gọi I là giao điểm của t.c I(-d/c; a/c) + Gọi là tọa độ tiếp điểm của tt với đồ thị (C) pttt: y = f'(x0).(x- x0) + y0 tcđ: ; tcn: + Tìm tọa độ giao điểm A, B của t.c với pttt của đồ thị + Ta thấy t.giác ABI vuông tại I nên: (Áp dụng c.thức k.c giữa điểm) II Bài tập Bài Cho hs: cân tại A Bài Cho hs: t.giác có diện tích bằng Gọi I là giao của hai t.c Tìm M đồ thị cho t.giác AIB vuông Tìm m để t.tuyến b kỳ của hs cắt đường t.c tạo thành một Bài Tìm điểm M thuộc đồ thị (C): để tổng k.c từ M tới t.c là nhỏ nhất Bài Tìm điểm M thuộc đồ thị (C): để tổng k.c từ M tới t.c là nhỏ nhất Bài Tìm điểm M thuộc đồ thị (C): để tổng k.c từ M tới t.c là nhỏ nhất Bài Cho hs: Tìm các điểm M đồ thị có tổng k.c tới t.c của đồ thị bằng CHUYÊN ĐỀ 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN I Các dạng toán về tiếp tuyến Dạng 1: Cho hs có đồ thị (C): y = f(x) và M(x0 ; y0) thuộc (C) Viết PTTT với đồ thị tại điểm M Phương pháp: Ta có: y' = f'(x) Phương trình tt tại điểm M(x0 ; y0) là: Các dạng thường gặp khác Viết pttt với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 PP: Ta tìm y0 = f(x0) Từ đó suy pttt Viết pttt với đồ thị (C) tại điểm thỏa mãn pt f''(x0) = PP: + Tính: f'(x), f''(x) + Giải pt: f''(x0) = suy x0 + Tìm y0 Từ đó viết pttt Dạng 2: Cho hs có đồ thị (C): y = f(x) Viết PTTT (d) của (C) a Song song với đường thẳng y = ax + b b Vuông góc với đt y= ax + b Phương pháp: a Vì tt (d) song song với đt y = ax + b nên (d) có hệ số góc bằng a Ta có pt: f'(x0) = a (x0 là hoành độ tiếp điểm) Suy x0, y0 PTTT (d): b Vì tt (d) vuông góc với đt y = ax + b nên (d) có hệ số góc bằng -1/a Ta có pt: f'(x0) = -1/a (x0 là hoành độ tiếp điểm) Suy x0, y0 PTTT (d): Dạng 3: Sự tiếp xúc của hai đường cong có pt y = f(x) và y = g(x) Phương pháp: Hai đường cong tiếp xúc và chỉ khi: điểm của đ.c có nghiệm và nghiệm đó là hoành độ tiếp Dạng 4: Cho hs có đồ thị (C): y = f(x) và A(x1 ; y1) ko thuộc (C) Viết PTTT với đồ thị (C) qua điểm A Phương pháp: + Ta có : y' = f'(x) + Ptđt (d) qua A(x1 ; y1) co hệ số góc k có dạng: y = k(x - x1) + y1 + Giả sử tọa độ tiếp điểm của (d) và (C) là M0(x0 ; y0) + Ta có hpt: + Pttt (d): y = k(x - x1) + y1 Dạng 5: Tìm điểm A, từ A kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị (C) y = f(x) Phương pháp: + Giả sử A(x0 ; y0) + Pt đt qua A(x0 ; y0) có hệ số góc k có dạng: y = k(x - x0) + y0 + Đường thẳng (d) tx với đồ thị (C) hệ sau có nghiệm Thay pt (2) vào (1) ta đc pt (3) Khi đó số nghiệm của pt (3) là số tiếp tuyến kẻ từ A tới đồ thị II Bài tập Bài Cho hs a Viết pttt của đths tại điểm M(1 ; 3) b Viết pttt của đths tại điểm có hoành độ x0 = c Viết pttt của đths tại điểm có hoành độ x0 thỏa mãn điều kiện f''(x0) = 12 d Viết pttt của đths song song với đường thẳng y = 9x - 2012 e Viết pttt của đths vuông góc với đt Bài Cho hs a Viết pttt của đths tại điểm M(1 ; - 2) b Viết pttt của đths tại điểm có hoành độ x0 = - c Viết pttt của đths tại điểm có hoành độ x0 thỏa mãn điều kiện f''(x0) = d Viết pttt của đths song song với đường thẳng y = 24x + 2012 e Viết pttt của đths vuông góc với đt Bài Viết pttt kẻ từ điểm đến đồ thị hàm số Bài Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số (C) đồ thị mà qua đó kẻ được một tiếp tuyến tới Bài Tìm những điểm thuộc đường thẳng y = mà từ đó kẻ được tiếp tuyến đến đồ thị hs Bài Tìm những điểm thuộc trục tung mà từ đó kẻ được tiếp tuyến đến đồ thị hs Bài Tìm những điểm thuộc đường thẳng x = mà từ đó kẻ được tiếp tuyến đến đồ thị hs Bài Tìm những điểm thuộc trục tung mà từ đó kẻ được tiếp tuyến đến đồ thị hs Bài Cho hs hai trục tọa độ một t.giác có S = Bài Cho hs đều Bài Cho hs t.giác có S = Tìm m để tt tai giao điểm của (Cm) với trục Oy chắn Tìm điểm m để từ A(1 ; 2) kẻ đc tt AB, AC đến đths cho t.giác ABC Tìm điểm m để tt b.kỳ của đths cắt đường t.cận tạo thành Bài 10 Cho hs cho Tim M thuộc (C) cho tt tại M cắt trục Ox, Oy tại A, B Bài 11 Cho hs Viết pttt của (C) biết tt tạo với trục tọa độ tam giác có S = Bài 12 Tìm điểm A, B thuộc đths và cho t.tuyến tại A, B song song với CHUYÊN ĐỀ 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ I Các dạng toán về sự tương giao của đồ thị Dạng 1: Tìm giao điểm của đồ thị y = f(x) và y = g(x) Phương pháp: + TXĐ: + Phương trình h.độ giao điểm của đồ thị là: f(x) = g(x) f(x) - g(x) = (1) + Số nghiệm của pt (1) là số hoành độ g.điểm + Kết luận về tọa độ giao điểm Dạng 2: Biện luận về số giao điểm của đồ thị (C1) = f(x) và (C2) y = g(x) Phương pháp 1: (B.luận bằng PT) + TXĐ: + Phương trình h.độ giao điểm của đồ thị là: f(x) = g(x) f(x) - g(x) = (1) + Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của hai đồ thị Dạng 3: Dựa vào đths (C): y = f(x), biện luận theo m số nghiệm của pt: f(x) + g(m) = Phương pháp: + Ta có: f(x) + g(m) = f(x) = g(m) (1) + Số nghiệm của pt (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng g(m) + Dựa vào đồ thị (C) ta có kết quả vv… Dạng 4: Vẽ đồ thị các hàm số Phương pháp: + Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) Để vẽ đồ thị (C) ta thực hiện sau: Bỏ phần đt bên trái trục Oy, lấy đối xứng phần đt bên phải của (C) qua trục Oy Để vẽ đồ thị ta thực hiện sau: Giữ nguyên phần đt bên trục Oy, Lấy đối xứng phần đt nằm dưới trục Ox qua trục Ox Bỏ phần đt nằm phía dưới trục Ox Để vẽ đồ thị ta thực hiện sau: Thực hiện (C1), rồi thực hiện (C2) ta được đồ thị (C3) II Các dạng toán thường gặp Bài Cho hs hàm số (C) và (d) (C) và đường thẳng (d): y = 2x - Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị Bài Cho hs và đường thẳng (d): y = 2x - Xác định m cho (Cm) và (d) cắt tại điểm có hoành độ bằng Xác định tọa độ giao điểm đó? Bài Cho hs (C) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đths b Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình c Dựa vào đths (C) biện luận số nghiệm của pt Bài Cho hs a Khảo sát sbt và vẽ đths b Tìm m để pt sau có tám nghiệm phân biệt Bài Cho hs a KS sbt và vẽ đths m =1/4 b Biện luận theo m số nghiệm của pt Bài Cho hs a KS và vẽ (C) b.Tìm m để pt Bài Tìm m để hs có nghiệm phân biệt có đt tiếp xúc với Ox