Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 Các vấn đề trọng tâm hàm phân thức Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN 2x +1 ( C ) đường thẳng d : y = x + m x −1 a) Tìm m để d cắt ( C ) điểm phân biệt A, B thỏa mãn OA2 + OB = 34 Ví dụ [Video]: Cho hàm số: y = b) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆ : x + y + = c) Biện luận số nghiệm PT : 2x +1 = m theo tham số m x −1 d) Tìm điểm M thuộc ( C ) cho tổng khoảng cách từ M đến trục toạ độ x−2 ( C ) đường thẳng d : y = −2 x + m x +1 a) Tìm m để d cắt ( C ) điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 35 Ví dụ [Video]: Cho hàm số: y = b) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến qua điểm P ( −3;1) c) Biện luận số nghiệm PT : x−2 = m theo tham số m x +1 d) Tìm điểm M thuộc ( C ) biết khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ : x − y = x +1 (C ) x −1 a) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M ( 0;1) đồng thời cắt ( C ) điểm phân biệt A,B cho Ví dụ [Video]: Cho hàm số: y = b) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) giao điểm ( C ) với đường thẳng d : x + y − = diện tích tam giác OAB x +1 = m có nghiệm x −1 d) Gọi M điểm thuộc ( C ) H , K hình chiếu M trục toạ độ Tìm toạ độ điểm M biết diện tích tứ giác OHMK 1− x Ví dụ [Tham khảo]: Cho hàm số: y = ( C ) đường thẳng d : y = x + m x+2 a) Tìm m để d cắt ( C ) điểm thuộc nhánh đồ thị b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) M biết khoảng cách từ M đến đường thẳng 10 ∆ : y = −3 x + c) Tìm điểm M ( C ) cho khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang gấp lần khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình 3x + ( − m ) x − 2m + = c) Tìm m để PT Lời giải  x ≠ −2 1− x a) PT hoành độ giao điểm là: = x+m⇔  x+2  g ( x ) = x + ( m + ) x + 2m − = Để d cắt ( C ) điểm thuộc nhánh đồ thị ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt x1 < −2 < x2 hay Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 ∆ = ( m + )2 − ( 2m − 1) >  x1 + < < x2 + ⇔  g ( −2 ) = −3 ≠ ( *)  ( x1 + )( x2 + ) <  x1 + x2 = − m − Với x1 ; x2 nghiệm PT g ( x ) =  (Viet )  x1 x2 = 2m − m − 2m + 13 > ⇔ − m − + ( 2m − 1) + < ⇔ 3m − < ⇔ m < Khi : (*) ⇔   x1 x2 + ( x1 + x2 ) + < 1− a −1 3a + 10 10 3a + 4a − a+2  1− a  d M x y b) Gọi M  a; ta có: ;3 + − = ⇔ = ⇔ = ( )  5 a+2 10  a+2  a = 1; a = −1 3a + 4a − = 2a + 3a + 2a − = −3 Ta có: y ' = ⇔ ⇔ ⇔ a = x + 2) ( 3a + 4a − = −2a − 3a + 6a + =  ( x − 1) +) Với a = −1 ⇒ M ( −1; ) ⇒ PTTT : y = −3 ( x + 1) + hay y = −3 x − +) Với a = ⇒ M (1;0 ) ⇒ PTTT : y = − 27  5  −2  ⇒ M  ;  ⇒ PTTT : y = − x− − 121   11  11   1− a  c) Ta có : TCN : x = −2 TCĐ: y = −1 Gọi M  a;   a+2 +) Với a = Theo giả thiết ta có: d ( M ; TCN ) = 3d ( M ; TCD ) ⇔ a + = Vậy M (1;0 ) ; M ( −5; −2 ) điểm cần tìm a = 1− a + ⇔ ( a + 2) = ⇔  a+2  a = −5 1− x = −3 x + m x+2 Số nghiệm PT phụ thuộc vào số giao điểm đồ thị ( C ) đường thẳng d : y = −3 x + m d) Do x = −2 nghiệm PT Khi ta có: PT ⇔ d1 : y = −3 x − Xét tiếp tuyến ( C ) có hệ số góc k = −3 ta tiếp tuyến:  d : y = −3x − 13 Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 Dựa vào đồ thị bên ta có:  m > −1 +) Với  PT cho có  m < −13 nghiệm phân biệt +) Với m = −1; m = −13 PT cho có nghiệm +) Với −13 < m < −1 PT cho vô nghiệm x −3 ( C ) đường thẳng d : y = − x + m 2x +1 a) Tìm m để d cắt ( C ) hai điểm phân biệt A, B cho AB = b) Gọi I giao tiệm cận Viết phương trình tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận (C) A B cho S ∆IAB = c) Tìm M ( C ) có tọa độ nguyên Ví dụ [Tham khảo]: Cho hàm số: y = d) Tìm M ( C ) cho khoảng cách IM ngắn nhất, với I giao tiệm cận e) Bằng đồ thị, tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: 14 x + ( m + 3) x + m + = Lời giải  x−3 x ≠ − a) PT hoành độ giao điểm là: = −x + m ⇔  2x +1  g ( x ) = x + (1 − m ) x − − m =  ∆ ' = ( m − 1)2 + ( m + ) >  Để d cắt ( C ) điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân ⇔    ( *) g  −  = − ≠   2  x1 + x2 = m −  Khi gọi x1 ; x2 nghiệm PT g ( x ) =  −m − x x =  2 Gọi A ( x1 ; − x1 + m ) ; B ( x2 ; − x2 + m ) ta có: AB = ( x1 − x2 ) = 32 ⇔ ( x1 − x2 ) = 16 2 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = m2 + = 16 ⇔ m = ±3 ( t / m (*) ) Vậy m = ±3 giá trị cần tìm  1  a −3  b) Ta có: I  − ;  Gọi M  a; , y'=  2  2a +  ( x + 1) Khi PTTT M có dạng: y = ( 2a + 1) ( x − a) + a −3 (d ) 2a + Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95  2a − 13  1 1  Ta có: d ∩ TCD : x = − : điểm A  − ;  d ∩ TCN : y = điểm B  2a + ;  2 2   2 ( 2a + 1)  1 14  1 Khi tam giác IAB vuông I nên: S IAB = IA.IB = 2a + =  ∀a ≠ −  2 4a + 2  2 1  a −3   Vây điểm M  a;   a ≠ −  thoã mãn ĐKBT 2  2a +   2a −  a −3  c) Gọi M  a; = 1− Để yM nguyên yM nguyên  Xét yM = 2a + 2a +  2a +   2a + = ±7  a = 3; a = −4 7⋮ ( 2a + 1)  ⇔  2a + = ±1  a = 0; a = −1 Vậy M ( 0; −3) ; M ( −1; ) ; M ( 3;0 ) ; M ( −4;1) điểm cần tìm ( 2a + 1) + 49 ≤ 49 = 1 49  a −3   d) Gọi M  a; =  ta có: IM =  a +  + 2  ( 2a + 1) 4  2a +   ( 2a + 1) Dấu xảy ⇔  −1 ± 14 ∓ 14  2a + −1 ± 14 = ⇔ ( 2a + 1) = 14 ⇔ a = ⇒ M  ;  2a + 2   x −3 nghiệm PT nên ta có: PT ⇔ = 7x + m 2x +1 Số nghiệm PT phụ thuộc vào số giao điểm đồ thị ( C ) đường thẳng d : y = x + m e) Do x = − d1 : y = x − Xét tiếp tuyến ( C ) có hệ số góc k = ta tiếp tuyến:  d : y = x + 11 Dựa vào đồ thị bên ta có:  m > 11 +) Với  PT cho có  m < −3 nghiệm phân biệt +) Với m = 11; m = −3 PT cho có nghiệm +) Với −3 < m < 11 PT cho vô nghiệm x + 2m ( C ) đường thẳng d : y = x − 1− x a) Tìm m để d cắt ( C ) hai điểm phân biệt A, B cho OA2 + OB = với O gốc tọa độ Ví dụ [Tham khảo]: Cho hàm số y = b) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số giao điểm (C) với trục hoành qua A ( 2;3) c) Gọi M ( 2; yM ) điểm thuộc ( C ) Tìm m cho tổng khoảng cách từ M đến trục tọa độ 10 d) Tìm m cho điểm M ( −1; yM ) ( C ) cách điểm A ( −2;5 ) B ( 4;3) Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 Lời giải x + 2m = x − ⇔ g ( x ) = x − x + m + = ( *) 1− x Để d cắt ( C ) hai điểm phân biệt A, B phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác a) Phương trình hoành độ giao điểm 15  ∆ > 9 − ( 2m + 3) > m < − ⇔ ⇔ ⇔ 16  g (1) ≠ 2m + ≠ m ≠ −1   x1 + x2 = Gọi A ( x1 ; x1 − 3) , B ( x2 ; x2 − 3) giao điểm d với ( C ) ⇒   x x = 2m +  2 Ta có OA2 + OB = ⇔ x12 + ( x1 − 3) + x22 + ( x2 − 3) = ⇔ ( x12 + x22 ) − 12 ( x1 + x2 ) + 13 = 2 ⇔ ( x1 + x2 ) − 10 x1 x2 − 12 ( x1 + x2 ) + 13 = ⇔ m = − giá trị cần tìm 2m + b) Ta có y ' = (1 − x ) Vậy m = − Gọi M giao điểm ( C ) với trục hoành nên tọa độ M ( − m; ) Phương trình tiếp tuyến ( C ) qua M y = Mà tiếp tuyến qua A ( 2;3) ⇒ = ( m + 2) m +1 2m + (1 + m ) ( x + m) hay y = ( x + m) m +1 ⇔ m =1 Vậy m = giá trị cần tìm c) Do M ( 2; yM ) điểm thuộc ( C ) nên tọa độ điểm M ( 2; −2m − ) Khoảng cách từ M đến trục Ox d1 = −2m − Khoảng cách từ M đến trục Oy d =  m = 10 − Ta có d1 + d = 10 ⇔ 2m + + = 10 ⇔ m + = 10 − ⇔   m = − 10 − Vậy m = 10 − 3; m = − 10 − giá trị cần tìm d) Do M ( −1; yM ) điểm thuộc ( C ) nên tọa độ điểm M ( −1; m − 1) Đường thẳng AB qua A ( −2;5 ) , B ( 4;3) nên phương trình đường thẳng AB : x + y − 13 = Gọi N trung điểm AB ⇒ N (1; ) Đường trung trục AB qua N (1; ) vuông góc với đường thẳng AB nên có phương trình x − y + = Do M cách A ( −2;5 ) , B ( 4;3) nên M thuộc trung trực AB ⇒ ( −1) − ( m − 1) + = ⇔ m = −1 Vậy m = −1 giá trị cần tìm Ví dụ [Tham khảo]: Cho hàm số y = 2mx + đường thẳng d : y = x − Tìm m để đồ thị cắt x+m đường thẳng hai điểm phân biệt A, B có hoành độ thoả mãn x12 − x1 = x2 2x −1 ( C ) Tìm (C) tất điểm M cho tiếp tuyến x−2 (C) M cắt hai tiệm cận (C) hai điểm A, B cho AB = 10 Ví dụ [Tham khảo]: Cho hàm số y = Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 Lời giải:  2a −  Giả sử M  a;  , ( a ≠ ) thuộc đồ thị (C)  a−2  −3 2a − ( x − a) + a−2 (a − 2)   Gọi A giao tiệm cận đứng với (∆) , suy A  2; + 2  a−2  B giao tiệm cận ngang với (∆) , suy B (2a − 2; 2) Tiếp tuyến đồ thị (C) M có dạng (∆) : y = Khi AB = (2a − 4) + 36 , theo ta có phương trình (a − 2) a = a =  (a − 2) = 36  4(a − 2) + = 40 ⇔ ( a − 2) − 10( a − 2) + = ⇔ ⇔   a = −1 (a − 2)2 ( a − 2) =   a = Vậy có điểm M thỏa mãn (1; −1), (3;5), (−1;1), (5;3) 2x + Ví dụ [Tham khảo]: Cho hàm số y = có đồ thị (C) 2x + Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến đồ thị (C) M cắt hai đường tiệm cận A B cho khoảng cách điểm A, B Lời giải: 1   Gọi điểm M  m;1 + ⇒ y '(m) = −  ∈ (C ) ; y ' = − 2 2m +   ( x + 6) ( 2m + ) Tiếp tuyến d M có phương trình: y = − ( 2m + ) ( x − m) + 2m + 2m + 4m + 15   Giao điểm d với tiệm cận đứng là: A  −3;  4m + 12   Giao điểm d với tiệm cận ngang là: B ( 3m + 6;1) Ta có: AB = ( m + 3) + 16 ( m + 3) AM-GM ≥ ( m + 3) 16 ( m + ) =  m=−  9 2 Suy AB = ⇔ ( m + 3) = ⇔ ( m + 3) = ⇔  2 16 ( m + 3) m = −  Vậy có đường đường tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề là: y = − x − ; y = − x − 2 2x + m Ví dụ 10 [Tham khảo]: Cho hàm số y = ( C ) Gọi M điểm đồ thị (C) Tìm m x −1 để tiếp tuyến M đồ thị cắt tiệm cận A, B cho diện tích tam giác IAB 2, với I giao điểm hai tiệm cận Lời giải: −2 − m −2 − m  2a + m  Gọi điểm M  a; ⇒ y '(m) =  ∈ ( C ) ; I (1; ) , y ' = 2 a −1   ( x − 1) ( a − 1) Tiếp tuyến d M có phương trình: y = − ( a − 1) ( x − m) + 2a + m a −1 Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95  2a + m +   2m +  Giao điểm d với tiệm cận đứng là: A 1;  ⇒ IA  0;  a −1 a −1     Giao điểm d với tiệm cận ngang là: B ( 2a − 1; ) ⇒ IB ( 2a − 2; ) IA.IB = 2m + = ⇔ m = −1.m = −3 x +1 Ví dụ 11 [Tham khảo]: Cho hàm số y = ( C ) Viết PTTT điểm M thuộc đồ thị cho tiếp x −3 tuyến cắt trục tọa độ A, B thỏa mãn a) OB = 4OA b) Tam giác OAB vuông cân 25 c) SOAB = d) Trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng d : x − y = Lời giải: −4 −4 a +1 a +   Ta có: y ' = Gọi M  a; x − a) + (d )  PT tiếp tuyến M là: y = 2 ( a −3  a −3 ( x − 3) ( a − 3) Ta có: S IAB =  tan ( d ; Ox ) = ±4 ( a − ) =  a) Do OB = 4OA ⇒ ⇔ ⇔ [ a = 2, a = 4, a = 7, a = −1  tan ( d ; Ox ) = ± ( a − 3)2 = 16   b) ∆OAB vuông cân d tạo với trục Ox góc 450 ⇒ k = ± tan 450 = ±1 ⇒ −4 ( a − 3) a = = −1 ⇔  a =  a + 2a −   a + 2a −   a + 2a − ≠ ;  , B = d ∩ Oy ⇒ B  0; c) Gọi A = d ∩ Ox ⇒ A   ( a − 3)     ( Ta có: SOAB )  a + 2a − = ( a − 3) 1  a + 2a −  25 = OA.OB =  ⇔ ⇔ a = 2, a = −9 ⇒ M  = 8 a −3   a + 2a − = −5 ( a − 3)  a + 2a − a + 2a −   d) Gọi G trọng tâm ∆OAB ta có: G  ;   12 a − ( )   Do G ∈ x − y = ⇒ a + 2a − = a + 2a − ( a − 3) Ví dụ 12 [Tham khảo]: Cho hàm số y = ⇔ a = 2, a = ⇒ M x+2 x −1 ( C ) Viết PTTT điểm M thuộc đồ thị cho tiếp tuyến cắt trục tọa độ A, B thỏa mãn a) SOAB = b) khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị đến tiếp tuyến 10 Lời giải: −3 a+2  a+2 Gọi M  a; x − a) + (d )  PT tiếp tuyến M là: y = ( a −1  a −1  ( a − 1)  a + 4a −   a + 4a −   Gọi A = d ∩ Ox ⇒ A  ;  , B = d ∩ Oy ⇒ B  0;   a − ( )     Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95  a + 4a − =2   a = 0, a = −2 1  a + 4a −  a −  Ta có: SOAB = OA.OB =  = ⇔ ⇔ ⇒M    a −1  a = −3 ± 13  a + 4a −  = −2  a −1  a+2 + −1 a −1 a −1 a −1 b) d ( I ; d ) = = = ⇒ ( a − 1) = ⇔ a = 0, a = 9 10 1+ 1+ 4 ( a − 1) ( a − 1) Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016