Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân TÍCH PHÂN CH A D U GIÁ TR TUY T I ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng Tích phân ch a d u giá tr t đ i thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài Tính tích phân sau: 1) I1  x  xdx (D – 2003) 2) I  e e   x   x dx 3) I    x   x   dx 2 3 1 x dx 5) I   x  x2  12 1 ln x dx x 4) I   6) I    x dx 1 Gi i 1) I1  x  xdx (D – 2003) Ta xét d u f ( x)  x2  x  0; 2 : Cách 1: ( xét d u c a f ( x) tr  I1   x  xdx   0 ng trình f ( x)  nháp đ c ta tìm nghi m ph c x  x  )  x3 x2   x3 x2  x  xdx   x  xdx     x  xdx    x  xdx              1 1 2 2 2 V y I1  Cách 2: Xét ph I1   x  ng trình x2  x    Khi ta có: x  1  x3 x2   x3 x2  x  xdx   ( x  x)dx   ( x  x)dx             6    1 1 2 2 V y I1  1 2) I    x   x dx 2 Cách 1: Ta s l p b ng xét d u đ b tr t đ i: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 1 2 1 Nguyên hàm – Tích phân   x   x dx    x   x dx    x   x dx  I2  1    dx    x  1dx   dx   x 2  ( x2  x) 2 1 1  x0  1 V y I2  Ta có I  Cách 2: 1 1 0  2 2 2 2 1  2    x   x dx   x  1dx   xdx   x  1dx   x  1dx    xdx   xdx  1 1      ( x  1)dx   ( x  1)dx     xdx   xdx  2 1  2  1  x2   x2  x2     x    x    2   1 1 x2   22  2 2 V y I2  3) I    x   x   dx 3 Cách 1: Ta có b ng b tr t đ i: ( Ngh a : v i x[  3; 2] x   x   4 ; v i x[  2; 2] x   x   x …) 2 3 2  I3    x   x   dx    x   x   dx    x   x   dx 2 2  4  dx   xdx  4 dx  4 x 3  x2 3 2 2  4x  Cách 2: I3    x   x  dx  3  3 2 3 3 x  dx   x  dx   5 2  x  dx   x  dx    x  dx   x  dx  2  3  2 5      ( x  2)dx   ( x  2)dx     ( x  2)dx   ( x  2)dx  3 2  3  2 5  x2   x2   x2   x2  49 25     2x    2x    2x    2x      2   3   2   3  2 2 V y I3  e 4) I   e e e e ln x ln x ln x ln x ln x dx   dx   dx    dx   dx    ln xd ln x   ln xd ln x x x x x 1 x 1 1 e Hocmai.vn – Ngôi tr e ng chung c a h c trò Vi t e T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân e ln x ln x    V y I4  2 e 5) I  x 1 x dx  x2  12 1 x dx x dx x dx xdx xdx      4 4     x  x  12 1 x  x  12 x  x  12 x  x  12 x  x2  12 1 1 Ta có: I   t t  x2  dt  xdx ; i c n x : 1  t :1  x :  t :  ln V y I5 = 6) I    x dx 1 1 1 1 1 1 Ta có: I    x dx    x dx    xdx    xdx   (2  x) d (2  x)   (2  x) d (2  x) 0 2 2 1  (2  x)  x  (2  x)  x  3 1 2 1 Chú ý : Các b n ph i ch ng minh n u mu n s d ng hai tính ch t sau : V y I6   + ) N u hàm s  f ( x) ch n ( f ( x)  f ( x) )   f ( x)dx  2 f ( x)dx ( tách đ t x  t )  + ) N u hàm s f ( x) l ( f ( x)   f ( x) )  f ( x)dx  ( t x  t )  Bài Tính tích phân sau: 1) I1   x2  x  1dx 2) I       4) I     cos x sin xdx sin x dx x3  x2  xdx  3) I   2  5) I   sin xdx 0  6) I    tan x  cot x  2dx 7) I   2 x  x  dx 8) I8   e x  e x  2dx 1 2 e2   2ln x  ln x dx 9) I   x  10) I10   x2 (1  cos x)dx Gi i Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 1) I1   x2  x  1dx 24  2 24  2  2    x x  x2 x    x2 x  x x   V y I2  15 15 3 0 5 1    4) I     cos x sin xdx    1   +) Tính A   sin xdx   (1  cos x)dx   x  sin x   20 2 0 2     (1)    +) Tính B   cos x sin xdx   cos x sin xdx   cos x sin xdx   sin xd sin x   sin xd sin x   sin x sin x    (2) 3  +) Thay (1) (2) vào (*) ta đ Hocmai.vn – Ngôi tr c: I    ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 2 5) I    sin xdx x x x x x x x x  x  Ta có:  sin x  sin  cos  2sin cos   sin  cos   sin  cos  sin    2 2 2 2  2 4 2 x x    5  V i x   0; 2     0;       ;  D a vào đ 2 4  ng tròn đ n v : *) V i x    x  x   3     ;   sin     hay sin     x  0;  4  2 4 2 4   *) V i x   5  x  x   3     ;  sin     hay sin     x   ; 2    2 4 2 4    6) I    tan x  cot x  2dx Ta có: Vì  tan x  cot x   (tan x  cot x)2  tan x  cot x   x    Hocmai.vn – Ngôi tr  2x  2 D a vào đ ng chung c a h c trò Vi t sin x  cos x cos x 2 sin x cos x sin x ng tròn đ n v ta có: (hình v trang ti p theo) T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) sin x     *) x   ;   hay 3 2 cos x  sin x    2  *) x   ;   hay 2  cos x  V y I  ln cos x     x   ;  sin x 6 4 cos x     x   ;  sin x 4 3 1 7) I  Nguyên hàm – Tích phân 1 2 1 1  x  x  dx   x  x  dx   x  x  dx   3x  dx   x  dx 2 2 1 1 3  1  1     (3x  1)dx   ( x  1)dx   ( x  1)dx    x2  x    x2  x    x2  x   2  2   1  1 2 1 1 V y I7  8) I8   e  e  2dx  x x 1 2 x x   2x  2x  2 e e dx e e dx         1  1 x x x    2x 2 e e e e     , x   1;0  Cách 1: Do  x x x x e  e  e  e   , x  0;1    2  x x   x x   x x   x x    Nên I8     e  e dx    e  e dx  2  e  e    e  e    e   e  4 e e      1  0 0 1  Cách 2: +) Xét ph x ng trình e  e  x   x    1;   2x  2x   2x  2x   2x  2x   2x  2x  +) Khi I8    e  e dx    e  e dx   e  e    e  e      1  0 0 1     2 e   e  4 e e    V y I8   e   e  4 e e  e2 e   ln x   2ln x  ln x dx   dx 9) I   x x 1 +) Ta có  ln x   x  e nên d u c a  ln x đo n 1;e2  đ e e2 e c xác đ nh nh sau: e2  (1  ln x)  (1  ln x) ln x  ln x dx   dx   dx   dx +) Do I   x x x x 1 e e Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) e2 e e2 e Nguyên hàm – Tích phân ln x (2  ln x)   ln xd ln x   (2  ln x)d (2  ln x)   2 e 1 e +) V y I   10) I10   x2 (1  cos x)dx   0 +) Ta có I10   x2 (1  cos x)dx   +)  2     2 x cos xdx  2 x cos xdx    x cos xdx   x cos xdx   0     u  x du  dx  t  dv  cos xdx v  sin x             Khi I10   x sin x 02   sin xdx    x sin x    sin xdx                       cos x 02      cos x     2     Bài Tính tích phân sau:  1) I1   ln 2) I    sin xdx x  dx 3 3) I   e2 x  e x1 dx 0 Gi i 2 1) I1   x  dx  3  2 2 3 2 x  dx   x  dx    ( x  2)dx   ( x  2)dx 3 2  x2   x2      x     x   13 V y I1  13   3   2   0         2) I    sin xdx   cos xdx   cos xdx   cos xdx   cos xdx   cos xdx  sin x 02  sin x   2 ln 3) I   e2 x  e x1 dx +) Xét ph 2 ng trình e2 x  e x1   x  1 +) Khi I   e2 x  e x1 dx  ln  1 e2 x  e x1 dx     e2 x  e x1  dx  ln  e 2x  e x1  dx ln 1  1     e2 x  e x1    e2 x  e x1   e2  4e  V y I3  e2  4e  2 0 2 1 Bài Tính tích phân sau: 1) I1   x2  x  dx 2 3) I   Hocmai.vn – Ngôi tr 2) I    x   x  x   dx 1 x  x   ln x dx x2 ng chung c a h c trò Vi t 4) I   x2  3x  x 1 T ng đài t v n: 1900 58-58-12 dx - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 2 5) I   x  dx  6) I  8) I8  dx x 1  cos xdx 2 2 x 7) I   Nguyên hàm – Tích phân  ln  e x  dx 10) I10    x4  x; x  1dx 9) I   x ln 1  x  dx 1 Gi i 1) I1  x  x  dx 2 Cách trình bày 1: x  +) L p b ng xét d u x2  x   2; 4 v i ý x2  x     Nên ta có: x  +) Khi I1   2 2 x2  x  dx   ( x2  x  3)dx   ( x2  x  3)dx   ( x2  x  3)dx  x3   x3   x3  4 62    x2  3x     x2  3x     x2  3x   18    3   2  1  3 62 Cách trình bày 2: +) V y I1  +) Xét ph x  ng trình x2  x     v i 2    nên ta có: x  +) I1   (x 2  x  3)dx   ( x  x  3)dx   ( x2  x  3)dx 1 3  x3   x3   x3  4 62    x2  3x     x2  3x     x2  3x   18     3   2  1  3 +) V y I1  62 2) I    x   x  x   dx 1 +) Ta có b ng phá tr t đ i: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân  x2   x2    ( x  1)dx   ( x  3)dx     x     3x   2    2   1  1 1 1 +) V y I   2 2 x   ln x 2x 1 x2  x   ln x ln x    dx dx dx dx  A B (*) 2 2    x x x x 1 3) I   +) Do x  v i x  1; 2 nên : A  2x 1 x2 2x 1 1 2   dx   dx     dx   2ln x      2ln x x x  x1  1 2 (1) ln x dx x2 +) Tính B   dx  du  u  ln x 2  ln x 1 1 dx   x     ln    ln (2) t  , B   dx   x 1x x1 2 dv  x2 v    x +) Thay (1) (2) vào (*) ta đ c: I  1  ln 2 4) I   x2  3x  x 1 dx +) L p b ng xét d u +) Khi I   x2  3x  x 1 x   0;3 v i ý x2  3x     x  Nên ta có: x  x2  3x  x2  3x  x2  3x  dx   dx   dx 1 x 1 x x   2         x 4 dx    x   dx    x   dx x 1  x 1  x 1  0 1 2 3  x2   x2   x2     x  6ln x      x  6ln x      x  6ln x    0  1  2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)  24ln  12ln  Nguyên hàm – Tích phân +) V y I  24ln  12ln  5) I   x  dx ng trình 2x    x   (0;3) Do : +) Ta xét ph  2x   2x  I   (2  4)dx   (2  4)dx    4x    4x  ln   ln 2 2 x x 4 8  4  8  4  4 ln ln ln ln ln +) V y I   ln Nh n xét: toán ta ch n theo cách – cách không quan tâm t i d u giá tr t đ i Song  c d u c a 2x   0;3 nên b n có th gi i theo Cách toán ta c ng d dàng xác đ nh đ 2 6) I  2   cos xdx  2  2sin xdx   sin xdx +) Xét ph ng trình sin x   x     0;2  Nên ta có:  2  2    2  I   sin xdx   sin xdx   sin xdx   sin xdx   cos x  cos x 4 +) V y I  7) I   2 2 x dx x ng trình  x   x   1;9  V i x   1;4   x    +) Xét ph Suy  x  v i x 1; 4  x  v i x  4;9  (2  x ) 22 x dx 4     dx   dx   dx x x x 4 x x 3  x  4ln x  x  6ln V y I  ln 2 +) Khi : I     8) I8   ln  e x  dx   +) Ta có e x    x   ln ;1 V i x    0;1 e x   e       e x   , x   0;1 e x   , x  ln ;0    +) Suy I8   ln Hocmai.vn – Ngôi tr 1  (e x  1)dx    (e x  1)dx  ng chung c a h c trò Vi t  ln  e x dx   e x dx  A B T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) x x  2tdt  e dx  e dx  2tdt t t   ex  t   ex   x  e   t  *) Tính A  ln  e x dx ; i c n x   t  x  ln Khi A  2 t  3 3 2e x  t t  e dx   tdt  2  dt  2  1  dt x 2 2    e t t t   1 x  ln 2    1  t  ln  2  1    2 ln   2   dt  2  t    t  t   t    1 *) Tính B     3 2  1 x e 1 e dx   e dx  e  2 x x e 3   2 ln V y I8  Nguyên hàm – Tích phân   3 2  9) I   x ln 1  x  dx   x ln 1  x dx   x2 ln 1  x dx  A B (*) 2 1 1 dx  du   u  ln(1  x)  1 x  t dv  x dx v  x  +) Tính A   x2 ln 1  x dx 1 x3 ln   x3 ln(1  x) Suy A       x  x 1 dx  dx 3 1 x  3 1  x 1  1 0  ln  x3 x2 2ln      x  ln x      3 18  1 dx  du  u  ln(1  x)  1 x  t dv  x dx v  x  +) Tính B   x2 ln 1  x dx (1) x3 8ln   x3 ln(1  x) Suy B  dx       x  x 1  dx 3 x 1 3 0 x 1  2  8ln  x3 x2      x  ln x      3ln (2) 3 0 Thay (1) (2) vào (*) ta đ c: I9    ln  3ln 10) I10    x4  x; x  1dx Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân  x  1  0; 2 +) Xét hi u h( x)   x4  x   x  1  x4     nên ta có b ng d u cho h( x) :  x  1  0; 2  x5 x2   x2  9 +) Khi I10   ( x  x)dx   ( x  1)dx        x    V y I10   5  0  1 1  Bài Tính tích phân I    sin x  cos xdx Gi i  +) Ta có:  sin x  2cos2 x  sin x  sin x cos x  3cos x  sin x  cos x  2  1    cos x    4sin  x      sin x  3         sin x  2cos x  2sin x      3  2          +) Khi I   sin x  dx    sin x  dx   sin x  dx   2  sin  x  dx   sin  x  dx 3  3 3     0 0 3     3  2    cos  x    cos  x     3 0 3   +) V y I   Bài Tính tích phân :   1) I1   max x3 ;  xdx 2) I   max sin x;cos x dx 0 3) I       4) I   x ; x  dx x;3x  10 2 Gi i  1) I1   max x3 ;  xdx +) Xét h( x)  x3  (2  x)  x3  x   ( x  1)( x2  x  2)   x  Khi ta có b ng d u c a h( x) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 12 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân  21 x2  x4 +) Suy : I1   (2  x)dx   x dx   x     0 4  1 +) V y I1  21 Nh n xét:     Nh v y đ tính tích phân có d ng I   max  f ( x); g ( x) dx ho c I    f ( x); g ( x) dx ta s th c hi n theo b c sau: c 1: Xét d u h( x)  f ( x)  g ( x)  ;   C th : +) B + ) N u h( x)  v i x  D1   ;   suy max  f ( x); g ( x)  f ( x)  f ( x); g ( x)  g ( x) + ) N u h( x)  v i x  D2   ;   suy max  f ( x); g ( x)  g ( x)  f ( x); g ( x)  f ( x) c 2: Sau suy max  f ( x); g ( x) (ho c  f ( x); g ( x) ) t b +) B c 1, ngh a xác đ nh xác đ Chú ý: Th c bi u th c d u tính phân Ph n ti p theo ta tính tích phân v a t o ng D1  D2   ;   v i D1   ; x0  , D2   x0 ;   h( x0 )  ta s tách thành hai tích phân b ng vi c áp d ng tính ch t :  x0    x0 I   max  f ( x); g ( x) dx   max  f ( x); g ( x) dx   max  f ( x); g ( x) dx  x0    x0 ho c I    f ( x); g ( x) dx    f ( x); g ( x) dx    f ( x); g ( x) dx  2) I   max sin x;cos x dx      +) Xét hi u h( x)  sin x  cos x   sin  x     x   0;  4  2  Ta có b ng d u c a h( x) : Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 13 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)    Nguyên hàm – Tích phân   +) Khi I   cos xdx   sin xdx  sin x 04  cos x 2  4 +) V y I  3) I     x;3x  10  10 x   10  x     x   x   3;9 +) Xét hi u h( x)  x  (3x  10)   x  3x  10    x  (3x  10)  25   x   Ta có b ng d u c a h( x) : 4 +) Khi I   (3x  10)dx     3x2  2x x 79 xdx    10 x     3  4) I   x ; x  dx 2  x  1  2;3 +) Xét hi u h( x)  x  x    x  x   x2  x     x    2;3 Ta có b ng d u c a h( x) : +) Khi I  1  2  +) V y I  1 1 2 x  2dx   x dx   x  2dx  2( x  2) x  1  2 x  1 2 x  1 x  2d ( x  2)   xdx   xdx   x  2d ( x  2)  2( x  2) x  2 10  16 20  13    2  3 20  13 m Bài Cho tích phân I     x; x dx v i m  Tìm m đ I  31 Gi i Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 14 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân  x    0; m x  +) Xét hi u h( x)  x  x   x  x      x  1  0; m x  x Ta có b ng d u c a h( x) : m +) Suy I   x dx   m x2 2x x 2m m     xdx   xdx   x dx  3 1 m 31 2m m  31     m m 8 m 6 +) V y giá tr m c n tìm m  +) Khi I  Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 15 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng - [...]... Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân  x  1  0; 2 +) Xét hi u h( x)   x4  x   x  1  x4  1  0   nên ta có b ng d u cho h( x) :  x  1  0; 2 1 2  x5 x2   x2  9 9 +) Khi đó I10   ( x  x)dx   ( x  1)dx        x    V y I10   5 5  5 2 0  2 1 0 1 1 2 4  2 Bài 5 Tính tích phân I   1  3 sin 2 x  2 cos 2 xdx 0 Gi i  +) Ta có: 1  3 sin 2 x  2cos2... c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 1 Nguyên hàm – Tích phân 2  21 x2  x4 +) Suy ra : I1   (2  x)dx   x dx   2 x     2 0 4 1 4  0 1 1 2 3 +) V y I1  21 4 Nh n xét:     Nh v y đ tính tích phân có d ng I   max  f ( x); g ( x) dx ho c I   min  f ( x); g ( x) dx ta s th c hi n theo các b c sau: c 1: Xét...  13    2  3 3 2 3 6 2 20 5  13 6 m Bài 7 Cho tích phân I   min   x; x dx v i m  1 Tìm m đ I  0 31 6 Gi i Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 14 - Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân  x  0   0; m x  0 +) Xét hi u... g ( x) (ho c min  f ( x); g ( x) ) t b +) B c 1, ngh a là xác đ nh chính xác đ Chú ý: Th c bi u th c trong d u tính phân Ph n ti p theo ta đi tính tích phân v a t o ra ng thì D1  D2   ;   v i D1   ; x0  , D2   x0 ;   và h( x0 )  0 khi đó ta s tách thành hai tích phân b ng vi c áp d ng tính ch t :  x0    x0 I   max  f ( x); g ( x) dx   max  f ( x); g ( x) dx   max ... Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian đi l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm 4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á... cos  x    3  3 3 0 3   3 +) V y I  3  3 Bài 6 Tính các tích phân :  2  1) I1   max x3 ; 2  xdx 2 2) I 2   max sin x;cos x dx 0 0 9 3) I 3   min   3   4) I 4   min x ; x  2 dx x;3x  10 2 3 Gi i 2  1) I1   max x3 ; 2  xdx 0 +) Xét h( x)  x3  (2  x)  x3  x  2  ( x  1)( x2  x  2)  0  x  1 Khi đó ta có b ng d u c a h( x) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c...  cos x  0  2 sin  x    0  x   0;  4 4  2  Ta có b ng d u c a h( x) : Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 13 - Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)   4 2 0  Nguyên hàm – Tích phân   +) Khi đó I 2   cos xdx   sin xdx  sin x 04  cos... 0; m x  0 +) Xét hi u h( x)  x  x  0  x  x     2  x  1  0; m x  x Ta có b ng d u c a h( x) : 1 m 0 1 +) Suy ra I   x dx   1 m x2 2x x 1 2m m  2    xdx   xdx   x dx  2 0 3 1 2 3 0 1 1 m 1 2 31 1 2m m  2 31     m m 8 m 4 6 2 3 6 +) V y giá tr m c n tìm là m  4 +) Khi đó I  Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn... 2 2 ln   2   dt  2  t   2  t  2 t  2  2 t 2  3 1   1 1 *) Tính B   0  6  3 2 2  1 1 x e 1 e dx   e dx  e 2  2 0 2 0 1 x x 2 e 3 4   2 2 ln 2 3 V y I8  Nguyên hàm – Tích phân 2  6  3 2 2 0  2 9) I 9   x ln 1  x  dx   x ln 1  x dx   x2 ln 1  x dx  A B (*) 2 2 1 1 0 dx  du   u  ln(1  x)  1 x  t 2 3 dv  x dx v  x  3 0 +) Tính... t quá trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là các khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là các khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n bài b n Là các khóa h c t p trung vào