Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) NGUYÊN HÀM – CÁC PH Nguyên hàm – Tích phân NG PHÁP TÌM ÁP ÁN BÀI T P T LUYÊN Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng Nguyên hàm – ph ng pháp tính nguyên hàm thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng ( x  2)2 Bài Tính nguyên hàm sau: 1) I1   dx x Gi i 1) I1   2) I   (2 x  5)2015 dx ( x  2)2 dx x    12 x x  4   dx    x   +) Cách 1: I1    dx    x   4.x  dx x x    2 4.x 2x x x  4x  C   4x  x  C 3 2 dx dx +) Cách 2: Do d ( x  2)  ( x  2) '.dx    2d ( x  2) nên ta có: x x dx I1   ( x  2)2   ( x  2)2 2d ( x  2)  2 ( x  2) d ( x  2)  ( x  2)3  C x  2) I   (2 x  5) 2015 (2 x  5)2016 2015 dx   (2 x  5) d (2 x  5)  C 4032 Bài Tính nguyên hàm sau: 1) I1   sin x.(1  cos3x  sin x)dx 2) I   1  sin 3x dx Gi i 1  cos x   1) I1    sin x  sin x cos 3x  sin xdx   sin x   sin x  sin x   dx 2  1 1 1 1     sin x  sin x  sin x  cos x   dx   cos x  cos x  cos x  sin x  x  C 2 2 4   cos x   2) I   1  sin 3x dx   1  2sin 3x  sin 3x.dx   1  2sin 3x   dx   3      2sin 3x  cos x  dx  x  cos 3x  sin x  C 2 12 2  Bài Tính nguyên hàm sau: 2) I   1) I1   tan xdx (cos x  2sin x)(cos x  2sin x) dx cos 2 x  cos3 x Gi i Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân  tan x  1) I1   tan xdx   1  tan x tan x  tan x dx     tan x  dx  cos x   tan x sin x d cos x tan x tan tan dx  dx  xd x   cos x   cos x   ln cos x  C cos2 x 2) I    (cos x  2sin x)(cos x  2sin x) cos 2 x  4sin x dx   cos2 x.(1  cos x) dx cos 2 x  cos3 x cos2 x  4sin x   1 dx dx dx       cot x  tan x  C  dx    2 2 2 2cos x.sin x  sin x cos x  sin x cos x Bài Tính nguyên hàm sau: 1) I1     2x  2) I    dx    x  x  ( x  x)( x  x  3)  ln(ln x) dx x ln x Gi i ln(ln x) dx ln (ln x) d ln x   ln(ln x)   ln(ln x).d ln(ln x)  C ln x x ln x   2x  dx 2x  dx   dx  I  J   2) I     4x  4x 1 ( x  x)( x2  x  3)  x  x  ( x  x)( x  x  3)  1) I1   +) Tính I   dx dx d (2 x  1)      C1 2 4x  4x 1 (2 x  1) (2 x  1) 2(2 x  1) +) Tính J   2x  2x  2x  dx   dx   dx ( x  x)( x  x  3) ( x  3x)( x2  3x  2) x( x  2)( x  1)( x  3) 2 ( x2  3x  2)  ( x2  3x)  1     (2 x  3)dx    (2 x  3)dx 2 ( x  3x)( x  3x  2)  x  3x x  3x    2x  2x  d ( x2  3x  2)  x2  3x   d ( x  3x) ln      C2 dx   dx       x  3x x  3x    x  3x x  3x   x2  3x  Suy I   1 1 x2  3x x2  3x  C1  ln  C2    ln C 2(2 x  1) x  3x  2(2 x  1) x  3x  Bài Tính nguyên hàm sau: dx dx 1) I1   2) I    sin x  cos x dx dx 4) I   5) I      sin x  cos x sin x sin  x   6  x 3) I   sin sin xdx 6) I   (1  2sin x)(sin x  cos6 x)dx Gi i Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 1) 2) 3) 4) 5) Nguyên hàm – Tích phân x  d   dx dx dx 4 x  I1         cot     C  sin x x  x  2 4 x x  2sin    sin     sin  cos  2 4 2 4 2  1 ( ho c bi n đ i )      sin x  2 x  cos  x   2sin    2  2 4 x d dx dx  tan x  C I2     x x  cos x 2 cos cos 2 x x x x x x I   sin sin xdx  2 sin cos dx  4 sin d sin  sin  C 2 2 dx dx dx   I4       sin x  cos x  cos  x     cos  x     4 4   x  d   dx     cot  x     C       2 sin  x    sin  x    2 8     2 8 2 8 2dx dx dx   2 I5     sin x sin x  cos x sin x  cot x sin x  sin x  cos x      2 d    cot x  cot x     ln     cot x  C 6) I   (1  2sin x)(sin x  cos6 x)dx 1  2sin x  cos x  Ta có:  6 2 2 2 sin x  cos x  (sin x  cos x)  3sin x.cos x(sin x  cos x)   sin x   1     Khi I   cos x 1  sin 2 x  dx   1  sin 2 x  d sin x   sin x  sin x   C  2     Bài Tính nguyên hàm sau: x x 1   1) I1       dx  x  3x  x  x  x    x4  3x2  x  x   x2e2 x  2) I     sin 3x  sin x  tan x  2cot x  dx x   Gi i   x x 1 x x 1     1) I1       dx     dx  x  3x  x  x  x    (2 x  1)( x  2) ( x  1) ( x  3)( x  3)  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân  x 3( x  2)  (2 x  1)     (2 x  1)( x  2) 2x 1 x   (2 x  1)( x  2)  x 1 x 1 2 +) Ta có     2 x  ( x  1) ( x  1)  ( x  1)  1 ( x  3)  ( x  3)  1         x3 x3  ( x  3)( x  3) ( x  3)( x  3)  1 1 1  +) Khi I1           dx  x  x  x  ( x  1)  x  x    x3  ln x   ln x   ln x    ln C x 1 x  Nh n xét: Vi c tách đ c x   3( x  2)  (2 x 1) ta tr i qua công đo n làm nháp nh sau : a  2b  a  Ta bi u di n x   a ( x  2)  b(2 x 1)  x   (a  2b) x  2a  b Khi    2a  b  b  1 Các b n s tìm hi u k l p nguyên hàm h u t ph n tích phân s đ c đ c p ph n sau  x4  3x2  x  x   x2e2 x  2 2) I        x x x x sin sin tan 2cot  dx x2    1 1  cos x      x2      e2 x  sin 3x       1  dx x x x x cos x  sin x     3 1     x2   x   e2 x   sin 3x  cos x    dx x x 2 cos x sin x    1 2x 1 x3  ln x    e  x  cos3x  sin x  tan x  2cot x  C 3 x x    x2  x  ex   2) I     dx 2e x    x x Bài Tính h nguyên hàm sau: 1) I1   x  x dx Gi i:     1) I1   x  x dx   x2  x x  x2 dx   x2 dx  2 x dx   x dx x x x x3 x2 x 3x x2     C    C 3 3  x2  x   x2  x  ex  ex   ex  I dx   dx dx dx      2)      x2 ( x  1) 2e x  1 x  x    x x e   x x e          Hocmai.vn – Ngôi tr dx dx d (2e x  1) 1     ln x    ln(2e x  1)  C x x 1 x 2e  x ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Bài Tìm a đ hàm s F ( x)  Nguyên hàm – Tích phân ax  a  m t nguyên hàm c a hàm s x Gi i: f ( x)  6 ( x  2)2  ax  a   a  2a   +) V i x  ta có: F '( x) =  =  ( x  2)  x  a  2a  6  +) F ( x) m t nguyên hàm c a f ( x) : F '( x)  f ( x)   , x  2 ( x  2) ( x  2) a   a  2a    a  a      a  3 V y v i a  ho c a  3 F ( x) m t nguyên hàm c a f ( x) Bài Tìm m, n, p cho F ( x)  (mx2  nx  p) x  m t nguyên hàm c a hàm s 15 x2  3x  1  f ( x)  kho ng  ;   2x 1 2  Gi i: mx2  nx  p 1  +) V i x   ;   ta có: F '( x)  (2mx  n) x   2x 1 2  (2mx  n)(2 x  1)  mx  nx  p 5mx2  (3n  2m) x  p  n   2x 1 2x 1 1  +) F ( x) m t nguyên hàm c a f ( x) : F '( x)  f ( x) v i x   ;   2  5mx  (3n  2m) x  p  n 15 x2  3x  1    , x   ;   2x 1 2x 1 2  5m  15 m     3n  2m  3  n  p  n 1 p    Bài 10 Tìm m t nguyên hàm F ( x) c a hàm s f ( x) th a mãn u ki n cho tr 2) f ( x)  x.e x 1) f ( x)  8x3  3x2  x  F (1)  3) f ( x)  x F (0)  x 1 1 c: F (0)  3e 4) f ( x)  e x  e x  v i F (2)  2e Gi i: 1) Ta có: F ( x)   (8x  3x  x  5)dx  x4  x3  x2  5x  C i u ki n F (1)    1   C   C  5 V y F ( x)  x4  x3  x2  5x  e x 1 dx   e x 1d ( x2  1)  C 2 2) Ta có: F ( x)   x.e x2 1 e x 1 3e 3e e e i u ki n F (0)    C   C  e V y F ( x)  2 2 x x  1   dx   dx    x   3) Ta có: F ( x)    dx x 1 x 1 x 1   Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 1    2( x  1) x    ( x  1)  ( x  1)  dx   x 1  C   10 i u ki n F (0)     C   C  3 2( x 1) x 1 10 V y F ( x)   x 1  3 4) Ta có: F ( x)   e  e  2dx   x x x x  2x   2x  e e e e dx           x x x  x   x   x     e  e  dx    e  e  dx   e  e   C       x x   2 i u ki n F (2)  2e   e  e1   C  2e  C  2e1  V y F ( x)   e  e   e   e     sin x Nguyên hàm F ( x) c a f ( x) th a mãn F (0)  F     4 Xác đ nh m Khi tìm F ( x) Gi i:  4m   4m  cos x   4m 1  +) Ta có: F ( x)     sin x dx       cos x dx dx    2           4m     x  sin x  C 2    F (0)  C  C  C      +) V i        4m      m  C  m  F          C      4       3  V y m   F ( x)     x  sin x  4   2 Bài 11 Cho f ( x)  4m (a  b)sin x  b v i a , b s th c sin 2 x       Tìm nguyên hàm F ( x) c a hàm s f ( x) bi t F    ; F    F    3 6 4 Gi i: (a  b)sin x  b a sin x  b cos x dx  +) Ta có: F ( x)    4sin x cos2 x dx sin 2 x  a b        a tan x  b cot x  C  cos x sin x  Bài 12 Cho hàm s +) f ( x)  1  a     b   F    6   C         3a  3b  12C  a  b       a  b  C   a  b  4C   i u ki n  F       4   C   3 3a  3b  12C  12    1  b 3 F      3a   C 1   3   Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) V y F ( x)  Nguyên hàm – Tích phân  tan x  cot x  Bài 13 ( HQGHN – 96) Tìm m t nguyên hàm F ( x) c a hàm s f ( x)  2sin x  x  cho đ th F ( x) c t f ( x) t i m t m thu c Oy Gi i: 3 2  +) Ta có: F ( x)    2sin x  x  dx   cos x  x x  x  C 5 5  3  3 +) Giao m c a f ( x) tr c Oy m A 0;  nên F (0)     C   C  5  5 2 +) V y F ( x)   cos x  x x  x  5 Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng Ngu n : Hocmai.vn Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng -