Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) D NG IS C AS L ng giác – S ph c PH C ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ ANH TU N ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng D ng đ i s c a s ph c (ph n 02) thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài 1: Tính c n b c hai c a s ph c sau: a) –1 + 2i b) 16 – 30i c) + 6i Gi i d) – i a G i w  x  yi  x, y  R m t c n b c hai c a s ph c z  1  2i Khi  y 1   x y      x   x  yi   1  2i   2 xy  2  x2   1    x2 y  x      x4  x2    x2     x  1  y   2 V y s ph c z  1  2i có hai c n b c hai w1   2i w  1  2i b) G i w  x  yi  x, y  R m t c n b c hai c a s ph c z  16  30i Khi 15  y  1  x  y  16  x   x  yi   16  30i   2 xy  30  x2  225  16    x2 x   y  3     x4  16 x2  225   x2  25    x  5 y  2 V y s ph c z  16  30i có hai c n b c hai w1   3i w  5  3i c) G i w  x  yi  x, y  R m t c n b c hai c a s ph c z   6i Khi  y  1  x  y  x   x  yi    6i   2 xy   x2      x2 x  y 1     x4  x2    x2     x  3  y  1 2 V y s ph c z  16  30i có hai c n b c hai w1   i w  3  i d) T ng t ta tìm đ Hocmai.vn – Ngôi tr c c n b c hai c a s ph c z   i l  ( ng chung c a h c trò Vi t 1 1  –i ) 2 T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) L ng giác – S ph c Bài Tìm c n b c c a s ph c sau: a 1  6i ` b 5  12i c 8  6i Gi i: a Gi s s ph c có c n b c : w  a  bi; a , b  R Ta có: w  1  6i  a  a   a  a    a  b  1  a         2abi  2 6i  b   b   b a   a V y w  Các tr   3i  ng h p khác t b    3i  ng t : c  1  3i  Bài 3: Gi i ph ng trình: a) 2x2 + 3x + = b) x2 – (2 + i)x + (–1 + 7i) = c) x2 + (3 – 2i)x + (5 – 5i) = d) x4 – 3x2 + = Gi i a) Ta c ó    40  31  31i Do ph b) ng trình cho có hai nghi m là: x1  3  31i 3  31i ; x2  4 Ta c ó     i    1  7i    24i G i w  a  bi  a , b  R m t c n b c hai c a s ph c  24i Khi 12  b  1  a  b  a   a  bi    24i   ab 24    a  144     a2 a  b  3     a  7a  144   a  16    a  4 b  2 Suy ra,  3i m t c n b c hai c a s ph c  24i Do ph c) ng trình cho có hai nghi m là: x1   i    3i   i    3i    i; x2   1  2i 2 Ta có     2i     5i   15  8i Làm t ng t ta tìm đ c m t c n b c hai c a s ph c 15  8i s ph c  4i Do ph ng trình cho có hai nghi m là: x1  d) t z  x2 , ph 3  2i  1  4i  3  2i  1  4i   1  3i; x2   2  i 2 ng trình tr thành z2  3z   Ta có    16  7  7i Do z1  Hocmai.vn – Ngôi tr  7i  7i ; z2  2 ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Gi s x  a  bi,  a , b  R Khi đó, v i z1   a  bi  ng giác – S ph c  7i ta có  2   7 a b  a a      7i    hoac     2ab  b  b      2  Do x1  7  i, x2    i 2 2 V i z2   7i ta có  a  bi   2   7 a b  a   a    7i   hoac     2ab   b   b     2  L Do x3  7  i, x4    i 2 2 7 7  i, x2    i; x3   i, x4    i 2 2 2 2 Bài 4: Cho ,  hai nghi m c a ph ng trình: x2 + (2 – i)x + + 5i = không gi i ph ng trình, tính: V y ph ng trình cho có nghi m x1  a) 2 + 2 b) 4 + 4 c)      d) 4 + 4 Gi i b       a  2  i ng trình Theo đ nh lí Vi – et, ta có    c   5i  a Vì ,  hai nghi m c a ph a) Ta có          2       2  i     5i   3  14i b) Ta có              3  14i     5i   55  24i c) Ta có 2      3  14i 79 27      i     5i 34 34 d) Ta có     4                      5i  2  i   3  14i    5i    63  99i Bài 5: Gi i ph a) z3 – = ng trình: b) z4 + = c) z3  5z2  3z    z  1 i  bi t ph Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t ng trình có nghi m th c T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) d) z4  z3  L ng giác – S ph c z2  z 1  Gi i z  a) Ta có z3     z  1  z2  z  1    z  z 1  Gi i ph ng trình z2  z    1  3i z      3  3i    1  3i z   V y ph ng trình cho có ba nghi m phân bi t: z1  1; z2  1  3i 1  3i ; z3  2  z2  i b) Ta có z    z  i   z  i  z  i      z  i 4 2 Gi s z  a  bi,  a , b  R Khi đó, v i z2  i ta có  a  bi  1   a  a    a  b  hoac  i   2ab  b  b    2  2 Do z1  V y ph c) 2 2  i, z    i.T 2 2 ng trình cho có nghi m z1  Vì ph  z ng t , v i z2  i ta có z3  2 2  i, z    i 2 2 2 2 2 2  i, z    i; z3   i, z    i 2 2 2 2 2 z3  z2  3z   ng trình có nghi m th c nên  2 z   th a mãn c hai ph ng trình c a h  z  Do đó, ph ng trình cho t ng đ ng v i  z  1  z  3z   i      z  3z   i  Gi i ph ng trình ta tìm đ c nghi m c a ph ng trình cho là: z1   , z   i; z3   i 2 1 1 z2  d) Ta có z  z   z    z2  z2  z      2 z z   z   1   5   z  z     z         1  1 z z   z  z          z  z 2 t w  z  , ph z Hocmai.vn – Ngôi tr ng trình th hai tr thành w2  w  ng chung c a h c trò Vi t 0 T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Gi i ph ng trình b c hai n w ta đ c hai nghi m là: w1  L ng giác – S ph c  3i  3i ; w2  2  3i 1  3i  z   z2  1  3i  z    z1   i; z2   i z 2  3i 1  3i 1  i 1  i V i w1  ; z4   z   z2  1  3i  z    z3  2 2 z 1  i 1  i V y ph ng trình cho có nghi m z1   i; z2   i; z3  , z4  2 V i w1  Bài 6: Bi u di n s ph c sau m t ph ng ph c: 2i 2i a)  + 2i b)  i c)  2i 2i H ng d n c bi u di n b i m M  5;  m t ph ng t a đ Oxy a) S ph c z  5  2i đ b) S ph c z   i đ d) i c bi u di n b i m N  3;1 m t ph ng t a đ Oxy   i     i    4i   4i  2i 2i c)    i  i   i   i    i   i  5 V y s ph c 2i 2i đ  2i 2i 6  c bi u di n b i m  ;0  m t ph ng t a đ Oxy 5  d) S ph c z  i đ c bi u di n b i m  0;1 m t ph ng t a đ Oxy Bài 7: Gi i ph ng trình: a) 2iz   5z  4i c) z2  z b) 3z   i    2iz 1  i   3i d) z2  z  Gi i a) 2iz   z  4i   2i  5 z  3  4i  z   3  4i  5  2i   23  14 i 3  4i  z 5  2i  5  2i  5  2i  29 29 b) 3z   i    2iz 1  i   3i  3z   i    z  1  i   3i  z 8  5i   1  3i  z 1  3i  1  3i   5i  23  19i 23 19     i  5i 89 89 89 8  5i 8  5i  c) Gi s ph ng trình có nghi m z  a  bi Thay vào ph  a  bi  Gi i h ph ng trình đ ng trình ta có a  b  a  a  bi  a  b  2abi  a  bi   2ab  b  3  3 c  a ; b    0;0  , 1;0  ,   ;  ,   ;     2   3 ng trình có nghi m là: z  0; z  1; z    i; z    i 2 2 d) Gi s ph ng trình có nghi m z  a  bi Thay vào ph ng trình ta có V y ph Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)  a  bi  Gi i h ph V y ph L ng giác – S ph c  a  b  a  b   a  b   a  b  2abi  a  b     2ab  ng trình đ c  a ; b    0;0  ,  0;1 , 0; 1 ng trình có nghi m là: z  0; z  i; z  i Bài 8: Tìm x y đ : a) (x + 2i)2 = yi H b) (x – 2i)2 = 3x + yi ng d n a) (x + 2i) = yi  x2    x  2i   yi  x   xi  yi   4 x  y b) (x – 2i)2 = 3x + yi 2  x2   3x  3x  yi  x2   xi  3x  yi   4 x  y Bài 9: Tìm s ph c z th a mãn đ ng th i u ki n sau:  x  2i  z   2i  z   i z  i  Gi i Gi s z  a  bi,  a , b  R Theo gi thi t  a  12   b  2   a  2  1  y 2  a    b   i  a   1  b  i   2    a b i    a   b  1   a   b  3a a    hoac   b    a a 10   b    V y có hai s ph c th a mãn z   3i; z    i 5 im ; m R Bài 10 Xét s ph c z th a mãn z   m  m  2i  b)Tìm m đ c) Tìm s ph c z có modun l n nh t a) Tìm m đ zz  zi  Gi i a) Ta có m 1  m2   i 1  m2   i  m 1  m2  2mi  im z    m2  2mi 1  m2  2mi 1  m2  2mi  1  m2  1 m m i z i   2 1 m 1 m  m  m2 1 m2   zz     m2    m  1 2  m  1  b) Ta có Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) zi   L ng giác – S ph c m m m2 1   i i         2 2 1 m  1 m 1 m 1 m  m2 m4  1  m  1  m  2 2  m2  c) Ta có z  m  1 1  16m2   m2    m 16 15 15  m2  1  z max   m  V y s ph c có modun l n nh t z  i Bài 11: Gi i ph ng trình sau t p s ph c: a z4 – z3  z2 – 8z –16  b z2  2(2  i) z   4i  t p s ph c Gi i:  z  1 z  2 a z – z  z – 8z –16   ( z  1)( z  2)( z  8)     z  2i   z  2 2i b z   i; z   3i Bài 12: Tìm s th c a, b, c đ có: z3  2(1  i) z2  4(1  i) z  8i  ( z  ai)( z2  bz  c) T gi i ph ng trình: z3  2(1  i) z2  4(1  i) z  8i  t p s ph c Tìm môđun c a nghi m Gi i: Cân b ng h s ta đ Ph c a = 2, b = –2, c = ng trình  ( z  2i)( z2  z  4)   z  2i; z   3i; z   3i  z  Bài 13: Gi i ph ng trình: z2  (1  i)2009 z  2i  t p s ph c (1  i)2008 Gi i: (1  i)2009   i  2008 Ta có:   (1  i)  i (1  i)   i (1  i)2008   i  PT  z2  2(1 + i)z +2i =  z2  2(1 + i)z + (i + 1)2 =  (z  i  1)2 =  z = i + Bài 14: Ký hi u x1 x2 hai nghi m ph c c a ph ng trình 2x2 – 2x + = Tính giá tr s ph c: 1 x1 x2 2008 Gi i: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) L ng giác – S ph c 1 1 PT có hai nghi m x1  (1  i), x2  (1  i)   2i;  2i 2 x1 x2 Bài 15: Tìm t p h p m M bi u di n s ph c z th a mãn m t u ki n sau: a z   i  b  z  z  d z  z   e z2  z  4 c.1  z   i  f z 3 zi g zi s th c zi Gi i: Chú ý: gi i d ng tìm t p h p m M bi u di n s ph c z th a mãn u ki n ta làm nh sau: - B c 1: G i s ph c z = x + yi (x, y  R) - B c 2: Thay vào u ki n đ M t s công th c hay dùng: z  a  bi  z  a  bi; z  a  b2 a T p h p nh ng m M đ ng tròn tâm A(1; -1) bán kính R = b M n m bên ph i tr tung (x = 0) c M thu c mi n có hình vành kh n t o b i đ ng tròn tâm A(-1; 1) bán kính l n l d M có th n m đ ng th ng x   x   2  M  xy  e   M  xy  1 t  9 ng tròn tâm I  0;  bán kính R   8 g Qu tích m bi u di n s ph c z t t c nh ng m n m tr c t a đ b đi m có t a đ (0; 1) f T p h p m M bi u di n s ph c z th a mãn u ki n đ Bài 16 Gi i ph ng trình  z  i   z2  1 z3  i   (1) Gi i:  zi   zi  (1)   z     z  i  z3  i   z3  i (*) Gi i ph ng trình (*): Gi s s ph c c n tìm : z  a  bi; a , b  R  (a  bi )3  i   a 0  a  3ab       a  3b 3a b  b  1  3a b  b  1 * a  0, b   zi * a  3b2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)  8b3  1  b  V y ph ng giác – S ph c 1 a  2 ng trình cho có nghi m z  i; z  i; z  Bài 17 Gi i ph L i 3i ;z   2 ng trình: a) z3  3z2  3z  63  (1) b) z2  z c) z2   2i  1 z   i  Gi i: a) (1)  ( z  3)( z  z  21)  z3    z  z  21  0(*) Gi i ph ng trình (*)  '   21  12  12i  z  3  3i z3  V y:    z  3  3i  z  3  3i b) Gi s ph ng trình có nghi m z  a  bi Thay vào ph  a  bi  a  b  a  a  bi  a  b  2abi  a  bi   2ab  b Gi i h ph V y ph ng trình ta có ng trình đ  3  3 c  a ; b    0;0  , 1;0  ,   ;  ,   ;     2   3 ng trình có nghi m là: z  0; z  1; z    i; z    i 2 2 c)   (2i  1)2  4(1  i)  (2i  1)   i  z   z  (2i  1)    i  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t Giáo viên Ngu n T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Lê Anh Tu n : Hocmai.vn - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng -