Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian TÍNH GIÁN TI P TH TÍCH KH I A DI N ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng gi ng Tính gián ti p th tích kh i đa di n thu c khóa h c: Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình ch nh t, AB  a , AD  a 3, SA  2a SA vuông góc v i m t đáy ABCD M t m t ph ng qua A vuông góc v i SC c t SB, SC, SD l n l t i H , I , K Tính th tích c a kh i chóp đ t c t o b i m S, A, H , K, I theo a Gi i: +) Ta có AC  AB2  BC  a  3a  2a  SA S Suy tam giác SAC vuông cân t i A  SI  IC  SI  SC  BC  AB +) Ta có   BC  ( SAB)  BC  AH  BC  SA Mà SC  AH  AH  (SBC )  AH  SB , : I SH SA2 SA2 4a  2   SH SB  SA  2 SB SB SA  AB 4a  a T ng t ta có AK  SD , đó: H SK.SD  SA2  4a SK SA2 SA2     2 2 4a  3a SD SD SA  AD K D A B C V 2  VS AHI SH SI     VS AHI  VS ABC  VS ABCD  S ABCD V 5  S ABC SB SC 5 +) Khi  V 2  VS AKI  SK SI    V VS ADC  VS ABCD  S ABCD S AKI  VS ADC SD SC 7 7 V V 12 Suy ra: VS AHKI  VS AHI  VS AKI  S ABCD  S ABCD  VS ABCD (*) 35 a3 1 Ta có VS AHKI  SAS (2*) ABCD  SA AB AD  3 Thay (2*) vào (*) ta đ c: VS AHKI 4a 3  35 CHÚ Ý :   toán ta có th ti p c n theo ph ng pháp tr c ti p Trong trình d y h c c a mình, có h c sinh v hình gi i nh sau Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian +) Ta có AC  AB2  BC  a  3a  2a  SA S Suy tam giác SAC vuông cân t i A  SI  IC  SI  SC  BC  AB +) Ta có   BC  ( SAB)  BC  AH  BC  SA Mà SC  AH  AH  (SBC )  AH  SB , : K H SH SA2 SA2 4a  2   SH SB  SA2  2 SB SB SA  AB 4a  a T ng t ta có AK  SD , đó: SK.SD  SA2  +) Ta có VS AHK VS ABD I A D 4a SK SA2 SA2     B 2 2 4a  3a SD SD SA  AD SH SK 4 16 16 16     VS AHK  VS ABD  VS ABCD  VS ABCD (1) SB SD 35 35 35 35 VS AIK 2 1 SI SK     VS AIK  VS ACD  VS ABCD  VS ABCD 7 VS ACD SC SD 7 T (1) (2), suy ra: VS AHKI  VS AHK  VS AIK  C (2) 13 VS ABCD  VS ABCD  VS ABCD (*) 35 35 a3 1 (2*) Thay (2*) vào (*) ta đ Ta có VS AHKI  SAS ABCD  SA AB AD  3 c: VS AHKI  13a 3 105 L i gi i xác ng v i hình v trên, song ta làm m t hình v không xác B i toán này, đ ng AI , HK, SO ph i đ ng quy ( O giao m c a AC BD ), hình v không đ m b o đ c u Do ta đ n đáp s sai cho toán Vì v y nhi u vi c v hình m i giúp đ n đ c đáp s Bài Cho hình chóp đ u S ABCD có c nh đáy b ng a M t bên t o v i đáy góc 600 M t ph ng ( P ) ch a AB t o v i đáy góc 300 c t SC, SD l n l t t i M N Tính th tích c a kh i chóp S ABCD theo a Gi i: G i AC  BD  O  SO  ( ABCD) (vì S ABCD chóp đ u) G i I , J l n l t hình chi u vuông góc c a O DC, AB g i SO  ( P )  E Suy góc t o b i (SDC ) ( ABCD) SOI  600 ; góc t o b i ( P ) ( ABCD) EJO  300 Khi tam giác SIJ đ u Mà EJO  300  SJI  JE phân giác c a góc SJI  F trung m c a SI (1) (v i JE  SI  F  ) M t khác BC // AD  BC // ( P )  BC // MN (2) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) ng trung bình tam giác SBC  T (1) (2) suy MN đ Hình h c không gian SM SN   SC SD 1 VS ABM SM V V VS ABCD      S ABM S ABC V SC 2  S ABC Khi ta có  1 VS AMN  SM SN    V VS ACD  VS ABCD S AMN   VS ACD SC SD 2 4 1  VS ABMN  VS ABM  VS AMN  VS ABCD  VS ABCD  VS ABCD (*) 8 a 1 a a3 Tam giác SIJ đ u c nh a ( IJ  BC  a )  SO   VS ABCD  SO.SABCD  a  3 (2*) Thay (2*) vào (*) ta đ a3 a3 c:  VS ABMN   16 Bài Cho hình h p ch nh t ABCD A' B ' C ' D ' có đáy hình vuông c nh a , chi u cao AA'  b G i M trung m c a CC ' Tính th tích kh i t di n BDA' M theo a , b Gi i: D' C' B' A' M E C D O A B Trong m t ph ng ( AA' C ' C ) g i A' M Ta có MC  A' A , suy MC đ Khi đó: CE  AC  a  OE  AC  E G i AC ng trung bình tam giác A' AE 3a M t khác ABCD hình vuông nên OE  BD  SBDE  Ta có VA' BMD  VA' BDE  VMBDE V y VA' BMD  BD  O 1 3a 3a  BD.OE  a 2 2 1 1 b  3a a 2b  AA'.SBDE  MC '.SBDE  ( AA' MC ').SBDE   b    3 3 2 a 2b Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , c nh b ng a BAD  600 C nh SC vuông góc v i m t ph ng ( ABCD) SC  a G i K hình chi u vuông góc c a O lên SA Tính th tích kh i đa di n SCBDK theo a Gi i: Do ABCD hình thoi tâm c nh a BAD  600 a a2  BAD đ u c nh a  OA  SBAD   SABCD  2SBAD  S a3 a2 , đó: VS ABCD  SC.SABCD  K  BD  AC Do   BD  ( SAC )  BD  SA  BD  SC Mà OK  SA nên SA  ( BKD) hay AK  ( BKD) A B M t khác SCA ~ OKA (g.g) SC SA AC OASC OASC a     OK    OK OA AK SA SC  AC 2 O C D OK AC a (vì AC  2OA  a )  SC  BD  ( SAC ) a2 a3  OK  BD  SBDK  OK.BD  Suy VABKD  AK.SBKD  L i có  24 OK  ( SAC ) AK  Khi VSCBKD  VS ABCD  VABKD a a 5a    24 24 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi c nh a , SA  SB  a , SD  a m t ph ng ( SBD) vuông góc v i m t ph ng ( ABCD) Tính theo a th tích kh i chóp S ABCD Gi i: G i AC S ( SBD)  ( ABCD)  BD  O , đó: ( SBD) ( ABCD)  BD  AO  ( SBD) (1)  AO  BD  Ta có AS  AB  AD  a (2) T (1) (2), suy AO tr c c a tam giác SBD Suy OB  OD  OS  SBD vuông t i S D Khi BD  SB2  SD2  a  AO  AB2  OB2  AB2  Ta có VS ABD  VA.SBD  O 2 BD 3a a  a2   4 A B a3 1 a AO.SSBD  AO.SB.SD  a.a  6 12 Suy VS ABCD  2VS ABD  Hocmai.vn – Ngôi tr C a3 ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian Chú ý: toán ta v n có th tính theo cách tr c ti p b ng cách d ng H hình chi u vuông góc SB.SD c a S BD , SH  ( ABCD) tính SH  BD Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình ch nh t, AB  a , AD  a SA  a SA vuông góc v i m t ph ng ( ABCD) G i M N l n l t trung m c a AD SC ; I giao m c a BM AC Tính th tích kh i t di n ANIM G i AC Gi i: BD  {H } Ta có I tr ng tâm tam giác ABD , suy ra: AI 2 1 AH  AC  AC   AC 3 3 V AI AM 1 Khi đó: A NIM    (1) VA NCD AC AD AI  M t khác: VA NCD VC ADN CN (2)    VS ACD VC ADS CS T (1) (2), suy ra: VA NIM VA NIM VA NCD 1 1     VA NIM  VS ACD (*) 12 VS ACD VA NCD VS ACD 12 Ta có SACD  a2 1 1 a2 a3 (2*) AD.DC  a 2.a   VS ACD  SAS  ACD  a 2 3 a3 72 Nh n xét: Ngoài cách gi i b n có th làm theo cách tính tr c ti p b ng cách xác đ nh chi u cao 1 NH c a hình chóp ANIM v i H trung m c a AC di n tích đáy SAIM  SABD  SABCD 12 Thay (*) vào (2*) ta đ c: VA NIM  2a Hình chi u c a A' đáy ABCD trùng v i tr ng tâm c a tam giác ABC L y m I đo n B ' D m J tr ng tâm tam giác ABD cho IJ song song v i BC ' Tính theo a th tích kh i t di n IBB ' C ' Gi i: Bài Cho hình h p ABCD.A' B ' C ' D ' có đáy hình thoi c nh a , AC  a AA'  A' D' B' C' I A D J E Hocmai.vn – Ngôi tr G B ng chung c a h c trò Vi t M C T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian G i M trung m c a BC Do ABC tam giác đ u c nh a nên 4a a 2 a a 2  A' G  AA'  AG   a AG  AM   3 3 a2 a3 a  Kéo dài DJ (đi qua trung m c a AB ) c t BC t i E , suy suy B trung m c a EC Khi B ' C ' BE hình bình hành, suy IJ // BC ' // EB ' hay IJ // EB ' V V B' I EJ CJ B' I Theo đ nh lí Ta – lét ta có:     IBB'C '  B'.IBC '   B ' D ED CA VDBB'C ' VB'.DBC ' B ' D Khi VABCD A' B'C ' D '  A' G.SABCD  2SABC A' G  2 a3 Suy VIBB'C '  VDBB'C '  VABCD A' B'C ' D '  18 3 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AB  a , AD  b BAD  600 C nh SA  4a SA  ( ABCD) Trên SA l y m M cho AM  x (  x  4a ) M t ph ng ( MBC ) c t c nh SD t i N Tìm x đ m t ph ng ( MBC ) chia kh i chóp S ABCD thành hai ph n cho th tích kh i SBCNM b ng th tích c a kh i BCNMAD Gi i: S N M D A B C Ta có (MBC ) (SAD)  MN (do AD // BC ) N  SD 1 2 3a 2b Ta có VS ABCD  SAS ; ABCD  SA.2SABD  SA AB AD sin 600  3 3 3a 2b VS ABC  VS ACD  VS ABCD  M t khác VS.MBC SM 4a  x 4a  x 3ab(4a  x)    VS.MBC  VS ABC  VS ABC SA 4a 4a 12 VS.MNC SM SN  SM   4a  x  3b(4a  x)  4a  x  V V       S MNC      S ADC VS ADC SA SD  SA   4a  48  4a  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t 2 T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Khi VS.BCNM  VSMBC  VSMNC  Hình h c không gian 3ab(4a  x) 3b(4a  x) 3b(4a  x)(8a  x)   12 48 48 Suy VBCNMAD  VS ABCD  VS.BCNM  3b(4a  x)(8a  x) 3a 2b 3bx(12a  x)   48 48 3b(4a  x)(8a  x) 3bx(12a  x) Theo gi thi t VS.BCNM  VBCNMAD   48 48 4a 32a ho c x   x2  108ax  128a   x   4a (lo i) 3 4a V y x giá tr c n tìm Giáo viên Ngu n Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng -