Đang tải... (xem toàn văn)
Mời các bạn xem và tải tài liệu Tổng hợp các chuyên đề ôn tập thi THPT quốc gia môn toán đây là tài liệu hay tổng hợp các chuyên đề ôn tập theo cấu trúc đề thi môn toán THPT quốc gia của BGD và đào tạo. Chúc các em thí sinh ôn thi tốt và thi đạt hiệu quả cao
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chủ đề 1: Bài toán tiếp tuyến 1.1 Dạng 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M( x0 , y0 ) ∈ (C ) : y = f ( x) * Tính y ' = f ' ( x) ; tính k = f ' ( x0 ) (hệ số góc tiếp tuyến) * Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) với y0 = f ( x0 ) Ví dụ 1: Cho hàm số y = x − 3x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): a) Tại điểm A (-1; 7) b) Tại điểm có hồnh độ x = c) Tại điểm có tung độ y =5 Đs: a) y = b) y = x − 11 c) y = -3x +5 y = 6x + + y = 6x − + Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) hàm số y = x − x + x − a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục hồnh b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục tung c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = Đs: a) y = 6( x − 2) b): y = x − 100 c) y = x − 27 Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 − 3x + (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hồnh độ x=2 b)Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) điểm N, tìm tọa độ điểm N Đs a) y = x − 15 Vậy phương trình tiếp tuyến d điểm M đồ thị (C) y = x − 15 b) N ( −4; −51) điểm cần tìm Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 − x + 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0 thỏa mãn y '' ( x0 ) = chứng minh d tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 ĐS y = −x + Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = đường thẳng (d): y = 3x − y = −3x − y = −3x + 10 x+2 giao điểm (C) với x −1 m Ví dụ 6: Cho hàm số y = x3 − x + (Cm).Gọi M điểm thuộc đồ thị (Cm) có hồnh độ 3 -1 Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) M song song với đường thẳng d: 5x-y=0 Đs: m = giá trị cần tìm Ví dụ 7: Cho hàm số y = x3 − 3x + m (1) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (1) điểm có hồnh độ cắt trục Ox, Oy điểm A B cho diện tích tam giác OAB ĐS m = m = - 1.2 Dạng 2: Viết tiếp tuyến đồ thi hàm số y = f ( x) (C) biết trước hệ số góc + Gọi M ( x0 , y0 ) tiếp điểm, giải phương trình f ' ( x0 ) = k ⇒ x = x0 , y0 = f ( x0 ) + Đến trở dạng 1,ta dễ dàng lập tiếp tuyến đồ thị: y = k ( x − x0 ) + y0 Các dạng biểu diễn hệ số góc k: *) Cho trực tiếp: k = 5; k = ±1; k = ± 3; k = ± 0 2π π *) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox góc α , với α ∈ 15 ;30 ;45 ; ; Khi 3 hệ số góc k = tan α *) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b Khi hệ số góc k = a −1 *) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): y = ax + b ⇒ ka = −1 ⇔ k = a Ví dụ 8: Cho hàm số y = x − 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết hệ số góc tiếp tuyến k = -3 ĐS y = −3x + Ví dụ 9: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − 3x + (C) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + ĐS y = x − 26 https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 Ví dụ 10: Cho hàm số y = x − 3x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = −1 x ĐS y =9x - 14 y = 9x + 18 Ví dụ 11: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: y = x + x , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): x + y − 2010 = ĐS y = x − 11 x+2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến 2x + cắt trục hoành A, trục tung B cho tam giác OAB vuông cân O, O góc tọa độ Đs y = − x − Ví dụ 12: Cho hàm số y = 2x −1 có đồ thị (C) x −1 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A B thỏa mãn OA = 4OB y = − x + Đs: y = − x + 13 4 Ví dụ 13: Cho hàm số y = 1.3 Dạng 3: Tiếp tuyến qua điểm Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(α ; β ) Cách giải + Tiếp tuyến có phương trình dạng: y − f ( x0 ) = f '( x0 )( x − x0 ) , (với x0 hoành độ tiếp điểm) + Tiếp tuyến qua A(α ; β ) nên β − f ( x0 ) = f '( x0 )(α − x0 ) (*) + Giải phương trình (*) để tìm x0 suy phương trình tiếp tuyến Ví dụ 14: Cho đồ thị (C): y = x3 − 3x + , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-2; -1) ĐS ∆ : y = −1; ∆ : y = x + 17 Bài tập tự luyện https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 Bài Cho hàm số y = x3 − 3x + x − (C ) Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x=1 Bài Cho hàm số y = x3 − x + , viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vng góc với 3 đường thẳng y = − x + (d ) 3 Bài Cho hàm số y = x + 3x − x + (C ) tất tiếp tuyến (C ) tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ 4x − Bài Cho hàm số: y = (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục Oy tiếp x +1 tuyến (C) điểm có hồnh độ x = Bài Cho hàm số y = − x − x + Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d: y = x −1 Bài Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số y = 2x + Biết tiếp tuyến qua x +1 điểm A(-1; 3) x+2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A(-6,5) x−2 Bài Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = 2x + 3x2 - 12x - kẻ từ điểm Bài Cho hàm số: y = 23 A ; −2 ÷ Chủ đề 2: Cực trị hàm số 2.1 Kiến thức 2.1.1 Các quy tắc tìm điểm cực trị hàm số: QUY TẮC I Bước 1: Tìm TXĐ / Bước 2: Tính f ( x ) Xác định điểm tới QUY TẮC II Bước 1: Tìm TXĐ / Bước 2: Tính f ( x ) Giải phương trình f / ( x ) = kí hiệu xi ( i = 1, 2, ) hạn Bước 3: Lập bảng biến thiên Kết luận nghiệm // // Bước 3: Tính f ( x ) f ( xi ) Kết luận 2.1.2 Sự tồn cực trị a/ Điều kiện để hàm số có cực trị x = x0: https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 y '( x0 ) = y ' ( x0 ) = y ' ' ( x0 ) ≠ y ' dôi dau qua x b/ Điều kiện để hàm số có cực đại x0: y '( x0 ) = y ' doi dau tu + sang − qua.x0 c/ Điều kiện để hàm số có cực tịểu x0: y' ( x ) = y' ' ( x ) < y '( x0 ) = y '(x ) = y ''(x ) > y ' doi dau tu − sang + qua.x0 d/ Điều kiện để hàm bậc có cực trị (có cực đại, cực tiểu): a ≠ y’= có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > / e/ Điều kiện để hàm bậc có cực trị: y = có nghiệm phân biệt 2.1.3 Tìm điều kiện để điểm cực trị hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: • Tìm điều kiện để hàm số có cực trị • Biễu diễn điều kiện toán qua tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số, từ đưa điều kiện tham số 2.2 Ví dụ tập Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số y = x − x − x + ĐS: hàm số đạt cực đại x = -1 giá trị cực đại yCĐ Hàm số đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu yCT = y ( −1) = = y ( 2) = 19 −4 2 Ví dụ 2: Tìm m để hàm số: y = 13 x + ( m − m + ) x + ( 3m + 1) x + m − đạt cực tiểu x = −2 Đs m = Ví dụ 3: Cho hàm số: y = x − 3(m + 1) x + x − m , với m tham số thực.Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x2 cho x1 − x2 ≤ ĐS https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 −3 ≤ m < −1 − −1 + < m ≤ Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x) = mx + 3mx − ( m − 1) x − , m tham số Xác định giá trị m để hàm số y = f ( x) khơng có cực trị ĐS: ≤ m ≤ gtct Ví dụ 5: Cho hàm số y = − x + (2m + 1) x − (m − 3m + 2) x − (m tham số) có đồ thị (Cm) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung ĐS1 < m < Ví dụ 6: Tìm m để hàm số f ( x ) = mx − ( m − 1) x + ( m − ) x + đạt cực trị x1, x2 thỏa 3 mãn x1 + x2 = Đs x1 + x2 = m = ∨ m = Bài tập tự luyện Bài Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + 6mx a) Tìm m để hàm số có cực trị b) Tìm m để hàm số có hai cực trị ( 0; +∞ ) c) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung d) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh 1 Bài Cho hàm số y = mx − ( m − 1) x + ( m − ) x + Tìm m để hàm số đạt cực đại x = 3 Bài Tìm m để hàm số y = x1 x2 + ( x1 + x2 ) = x − mx − ( 3m − 1) x + có hai điểm cực trị x1 x2 cho: 3 1 Bài Tìm tất giá trị m để hàm số y = x3 − mx + ( m − 3) x có cực đại xCĐ cực tiểu xCT cho xCĐ, xCT độ dài cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền Bài Xác định m x1 − x2 = để hàm số y = mx − ( 2m − 1) x − x + đạt cực trị x1 , x2 cho 16 https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 Bài Xác định m để hàm số y = x − ( m + 1) x + x − m đạt cực trị x1 , x2 cho x1 − x2 = Chủ đề 3: Bài toán tương giao 3.1 Kiến thức 3.1.1 Bài toán tương giao tổng quát: Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) y = g(x,m) Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình f(x, m) = g(x,m) (1) Nhận xét: Số nghiệm (1) số giao điểm hai đồ thị hàm số Sau lập phương trình tương giao d (C) 3.1.2 Bài toán bản: Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) d: y =ax+b Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình f(x,m) = ax+b (1) Chú ý: + Nếu đường thẳng d qua điểm M(x 0; y0) có hệ số góc k phương trình d có Dạng: y – y0 = k(x – x0) + Khai thác tọa độ giao điểm ( M ( xM ; yM ) (C) d, ta cần ý: xM nghiệm (1);M thuộc d nên yM = axM + b + Nếu (1) dẫn đên phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng định lý Viet Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ Cho phương trình: f ( x) = an x n + an −1 x n−1 + + a1 x + a0 = Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ x = p (p, q)=1 q \ an p \ a0 q Phương pháp hàm số Chuyển phương trình hồnh độ tương giao về: g(x) = m Khi số nghiệm số giao điểm đồ thị y = g(x) đường thẳng y = m 3.2 Ví dụ tập Ví dụ Cho hàm số y = − x + 3x − a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình x − x + m = ĐS m − > ⇔ m > : Phương trình có nghiệm m − = ⇔ m = : Phương trình có nghiệm > m − > −1 ⇔ > m > : Phương trình có nghiệm m − = −1 ⇔ m = : Phương trình có nghiệm m − < −1 ⇔ m < : Phương trình có nghiệm https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 Ví dụ 2.Cho hàm số y = − x + 3x + có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình x − 3x + m = có nghiệm phân biệt ĐS < m < 2x −1 Ví dụ Cho hàm số y = có đồ thị (C) x−2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Chứng minh với giá trị m, đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt Bài tập đề nghị Bài (Cho hàm số y = x + 3(m − 1) x − 3mx + đường thẳng d : y = x − Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt a) có hồnh độ dương b) có hồnh độ lớn c) có hồnh độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 = 21 Bài Cho hàm số y = x3 − 3mx − 3x + 3m + đường thẳng d : y = x − Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt a) có hồnh độ lớn –1 b) có hồnh độ x1; x2 ; x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 > 15 Bài Cho hàm số y = x − 3mx + (m − 1) x + m + đường thẳng d : y = x − m − Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn Bài Cho hàm số y = x − 3mx + 3(m − 1) x − (m − 1) Tìm m để đồ thị (C) cắt Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ dương CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT Kiến thức cần nhớ 1.1 Công thức lũy thừa Cho a > 0, b > m, n ∈ ¡ Khi đó: a m a n = a m+ n ( a m ) n = a m n (ab) n = a n b n https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 am = a m− n n a n = a−n n a a = −n a am = a m am a = ÷ bm b m n n 1.2 Cơng thức lơgarit Với điều kiện thích hợp ta có: log a b = α ⇔ aα = b log a = log a a = log a aα = α a log a b = b log a bα = α log a b log aα b = log a b α log am b n = log a (m.n) = log a m + log a n log a b = log c b log c a −n a b ÷ = ÷ b a n n log a b m m = log a m − log a n n log a b = log b a log a Phương trình bất phương trình mũ 2.1 Phương pháp đưa số: Cho a số dương khác Ta có: f ( x) = a g ( x) ⇔ f ( x ) = g ( x ) a) a b > f ( x) =b⇔ b) a f ( x ) = log a b * Lưu ý: Với b < phương trình vơ nghiệm c) a f ( x ) > a g ( x ) (*) ( ) - Với a > a f > a g ( x ) ⇔ f ( x ) > g ( x ) x ( ) - Với < a < a f > a g ( x ) ⇔ f ( x ) < g ( x ) x d) a f ( x ) > b - Với b ≤ 0, bất phương trình nghiệm với x ∈ D, D tập xác định f ( x ) - Với b > : + a > 1: a f ( x) > b ⇔ f ( x ) > log a b + < a < 1: a f ( x) > b ⇔ f ( x ) < log a b Bài Giải phương trình sau: a )5 x +3x = 625 Lời giải b) x −3 x − c) x +1.5 x = 200 = 16 https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 x = a) x = −4 x = b) x = −2 c) x = Bài Giải bất phương trình sau: a) x + x −7 − x2 +7 x + 3 b) ÷ 5 ≤ 49 > 25 Lời giải a ) S = [-3; 1] b) S = ( −∞;0 ) ∪ ( 7; +∞ ) Bài Giải phương trình: 23 x − x −10 + x x = −2, x = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải phương trình, bất phương trình: 1) 42 x + x+2 + x = 42 + x +5 x+2 − x−4 − 2x + x + x −4 ( x ∈ ¡ ) + x+ 3) x + x −1 + x −2 = 3x − 3x −1 + x−2 x +17 2) 32 x −7 = 0, 25.128 x −3 5) x 7) 2 x −2 x −5 x + 9) + x 4) x +9 −3 x + + 4x +6 x+5 = 42 x +3 x + +1 6) ( 10 + 3) x −2 > ( 10 − 3) x + + 21− x = 2.26−5 x + x+2 x−2 ≤ x −1 x +1 − 16 = Thay vào phương trình bất phương trình để biến đổi phương trình theo t Giải phương trình, bất phương trình tìm t, đối chiếu điều kiện Nếu có nghiệm thỏa thay t = a x để tìm x kết luận Bài Giải phương trình sau: a ) x − 10.3x + = b) 25 x + 3.5 x − 10 = 10 https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 Suy ra, f ( a ) ≤ f ( 3) = Mặt khác, b c + + = g ( c) 3+b b + c c +3 ( b − 3) ( 3b − c ) g′( c ) = + = 2 2 ( c + b ) ( c + 3) ( c + 3) ( b + c ) −b ≤0 3b 1 + + = h ( b) Suy ra, g ( c ) ≤ g ÷ = + b 3b + 10 3 ( − b) ( + b) ≤ − = Ta có, h′ ( b ) = 2 ( 3b + 1) ( b + 3) ( 3b + 1) ( b + 3) Bảng biến thiên b − 1 f ′ 3; b; ÷ 3 1 f 3; b; ÷ 3 + - 1 Từ bảng biến thiên suy f ( a; b; c ) ≤ f 3;1; ÷ = 3 * TH2: c ≥ b ≥ a Từ TH1 ta có f ( c; b; a ) ≤ Mặt khác ( a − b) ( b − a) ( a − c) ≤ f ( a; b; c ) − f ( c; b; a ) = ( a + b) ( b + a) ( a + c) Suy , f ( a; b; c ) ≤ Vậy max S = 1 1 , đạt ( a, b, c ) ∈ 3,1, ÷, ,3,1÷, 1, ,3 ÷ 3 Ví dụ Cho a, b, c ∈ [ 0;1] Tìm GTLN biểu thức S = a b c + + 3 3 b +c +6 c +a +6 a +b +6 Lời giải Đặt f ( c ) = a b c + + 3 Ta có 3 b +c +6 c +a +6 a +b +6 102 https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 3ac 3c f ′( c) = − − a + b3 + ( b3 + c + ) ( a + c + ) f ′′ ( c ) = − 6ac ( + b3 − 2c ) ( b3 + c + ) − 6bc ( + a − 2c ) ( a3 + c3 + ) ≤ f '' ( c ) liên tục [ 0;1] Nên f’(c) nghịch biến [0; 1] Suy f ′ ( c ) ≥ f ′ ( 1) = 3a 3b − − ≥ − > 2 3 + a + b ( + b3 ) ( + a3 ) 49 Suy ra, f(c) đồng biến [0; 1] Do S = f ( c ) ≤ f ( 1) = a b + + 3 = g (a ) b +7 a +7 a +b +6 6ab ( − 2a ) 6a ( b3 + − 2a ) 2a b 3a ′ g a = − − , g ′′ ( a ) = − − ≤0 2 Ta có ( ) b3 + 3 ( a + ) ( a + b3 + ) ( a3 + ) ( a + b3 + ) Nên g’(a) nghịch biến [0; 1] Suy ra, 3b − 3b g ′ ( a ) ≥ g ′ ( 1) = − − = − ÷ − >0 ÷+ b + 64 ( + b3 ) 64 b + b + Suy g(a) đồng biến [0; 1] Do đó, S = g ( a ) ≤ g ( 1) = b + = h(b) b +7 b3 + ) − 48b ( 6b − > 0, ∀b ∈ [ 0;1] Ta có h′ ( b ) = − ( b + 7) ( b3 + ) Suy h(b) đồng biến [0; 1], nên h ( b ) ≤ h ( 1) = 3 ⇒S≤ 8 Ví dụ (Đề thi VMO bảng A 1999) Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn abc + a + c = b Tìm GTLN biểu thức 2 P= − + a +1 b +1 c +1 Lời giải a+c Biến đổi giả thiết thành a + c = b(1 - ac) > suy a < , b = ( 1) c − ac Với a = b = c = max S = 2( a + c) + + −2 Thay (1) vào biểu thức P biến đổi P = a + c + ( + a ) ( + b2 ) 103 ( 2) https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 2( x + c) 1 + Xét hàm số f ( x ) = P = với < x < coi c tham số (c > 0) 2 x +1 (1+ x ) (1+ c ) 2 Ta có f ′ ( x ) = −2c ( x + 2cx − 1) ( 1+ c ) (1+ x ) 2 1 Trên 0, ÷ f ′ ( x ) = có nghiệm x0 = −c + c + c (3) với < x0 < f’(x) đổi dấu từ dương sang âm nên f(x) đạt cực đại x0 nên f ( x ) ≤ f ( x0 ) = + Từ theo (2) ta có P = f ( x ) − + c c +1 2c ≤ + = g ( c) c2 + c2 + c + Xét hàm số g(c) với c > Ta có g ′ ( c ) = Với c > 0, g’(c) = c0 = Qua x0 c (c 2(1 − 8c ) ( + 1) 3c + c + ) va qua c0 g’(c) đổi dấu từ dương sang âm nên g( c0 ) giá 10 trị cực đại, suy P ≤ g ÷= 8 1 10 ,a = , b = theo (1) (3) Giá trị P = đạt c = Ví dụ (Đề thi VMO năm 2001) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ điều kiện ≤ z ≤ { x, y} ( 1) ; xz ≥ ( ) ; yz ≥ ( 3) 15 Hãy tìm GTLN biểu thức P ( x, y, z ) = + + x y z Lời giải Từ điều kiện (1) (2) suy x ≥ max z , (4) 15 z 1 + với x > tham số z ≥ Xét hai trường hợp x z 1 * Nếu z ≥ x ≥ z ≥ theo (4) nên f ( x ) ≤ + = ≤ 15 (5) 15 15 z z z z 2 15 z ≥ z theo (4) nên f ( x ) ≤ + = g ( z) * Nếu ≤ z ≤ x ≥ 15 15 z z a) Xét hàm số f ( x ) = 104 https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 Xét hàm số g(z) với 2 15 ≤z≤ Ta có g ′ ( z ) = − < ⇔ z < z 15 15 2 Do g(z) hàm nghịch biến f ( z ) ≤ g ( z ) ≤ g ÷ = (6) 5 1 1 2 So sánh (5) (6) ta có + ≤ + = ⇔ x = , z = (7) x z x z 1 b) Xét hàm số h ( y ) = + với tham số z ≥ y z 1 Từ điều kiện (1) (3) suy y ≥ max z, (8) 5z Lập luận tương tự phần a) ta * Nếu z ≥ h ( y ) ≤ (9) * Nếu ≤ z ≤ h ( y ) ≤ (10) 5 1 1 So sánh (9) (10) ta có + ≤ + = ⇔ x = , y = y z x z (11) 1 1 1 1 So sánh kết phần a) b) ta có P ( x, y, z ) = + ÷+ + ÷ ≤ + = 13 x y y z 2 Đẳng thức xảy x = , y = , z = Vậy maxP = 13 10a 11b 12c 69 + + ≤ Ví dụ Chứng minh a, b, c ∈ [ 1;2] bc ca ab Lời giải Ta coi ba số a, b, c biến số hàm số, chẳng hạn a , ta đặt 11b 12c 10 x = a, x ∈ [ 1;2] ta xét hàm số f ( x ) = + ÷+ x , x c b bc 11b 12c 11b + 12c 10 + = , β= Đặt α = c b bc bc α α β x2 − α f ' x = ⇔ x = ( ) Khi f ' ( x ) = − + β = , β x x2 11b + 12c 33 10 α ≥ > = 3β ⇒ x = >1 Ta có α = bc bc bc β 105 https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 Như vậy, ta có f ( x ) ≤ max { f ( 1) , f ( ) } = max { g ( b ) , h ( b ) } , 10 11b 12c 20 11b 6c + + + + h ( b ) = f ( ) = bc c b bc 2c b 10 11 −1 Ta xét tiếp g ( b ) đoạn [ 1;2] có g ' ( b ) = − + 12c ÷+ = A + B , b c c b g ( b ) = f ( 1) = A = 10 10 + 12c 11 + 12c = , B= có g ' ( b ) = ⇔ b = c c c A >1 B 27 21 Như vậy, g ( b ) ≤ max { g ( 1) , g ( ) } = max + 12c, + 6c c c 21 27 + 6c đoạn [ 1;2] có Xét lần ϕ ( c ) = + 12c φ ( c ) = c c 69 69 69 max { ϕ ( c ) , φ ( c ) } ≤ max ,33 = g ( b) ≤ , từ suy với b, c ∈ [ 1;2] [ 1;2] 2 Xét tương tự h ( b ) đoạn [ 1;2] ta có 21 51 63 63 h ( b ) ≤ max { h ( 1) , h ( ) } = + 6c, + 3c ≤ , 24 = c 2c 2 10a 11b 12c 69 + + ≤ Vậy , đẳng thức xảy a = b = 1, c = bc ca ab Bài tập tự luyện 3 2 Bài 1: Chứng minh ( x + y + z ) − ( x y + y z + z x ) ≤ 3, ∀x, y , z ∈ [ 0;1] Bài 2: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b ) + 4abc > a + b + c 2 Bài 3: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác (có thể suy biến) Đặt T= ( a − b) ( b − a) ( a − c) ( a + b) ( b + a) ( a + c) 21 Bài 4: (Bảng A, 2001) Cho hàm số f ( x, y, z ) = xy + yz + zx − xyz miền Tìm maxT chứng minh max T < D = { ( x, y, z ) | ≤ x, y, z ≤ 1, x + y + z = 1} Bài 5: ( Bảng A, 2001) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ điều kiện 18 18 < z ≤ y ≤ x ≤ 3; + ≥ 1; + + ≥ xy y x y y z z x 106 https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 80 18 xyz + x + y 27 Bài 6: (Đề thi chọn ĐTQG, 2001) Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn 21ab + 2bc + 8ac ≤ 12 Hãy tìm GTLN biểu thức P ( x, y, z ) = Tìm GTNN biểu thức P ( a, b, c ) = + + a b c Phương pháp đổi biến Ví dụ (Trích đề thi khối D năm 2012) Cho số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy ≤ 32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2) Lời giải Ta có • ( x − 4) + ( y − 4) + xy ≤ 32 ⇔ ( x + y ) − 8( x + y ) ≤ ⇔ ≤ x + y ≤ xy ≤ ( x + y ) ⇒ − xy ≥ − ( x + y ) 2 3 A = x + y + 3( xy − 1)( x + y − 2) = ( x + y )3 − xy − 3( x + y ) + • A ≥ ( x + y )3 − ( x + y ) − 3( x + y ) + Đặt t = x + y ( ≤ t ≤ ), xét f(t) = t − t − 3t + ⇒ f’(t) = 3t − 3t − f’(t) = t = 1+ 1+ 17 − 5 ; f(0) = 6, f(8) = 398, f( )= 2 Vậy giá trị nhỏ f(t) 17 − 5 1+ xảy t = 17 − 5 1+ 1+ Dấu xảy x = y x + y = hay x = y = 4 Ví dụ (Trích đề thi khối B năm 2011) Cho a b số thực dương thỏa mãn 2(a + b2) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị A ≥ f(t) ≥ a b3 a b nhỏ biểu thức P = + ÷− + ÷ a b a b Lời giải 2 Theo giả thiết ta có ( a + b ) + ab = ( a + b ) ( ab + ) Từ suy ra: 2 a b 1 1 a b + ÷+ = + ÷( ab + ) hay + ÷+ = a + + b + b a b a a b b a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a + a 2 b +b+ ≥ 2 + ÷ b a b a 107 https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 Đặt t = a b + , ta suy ra: 2t + ≥ 2 t + ⇒ 4t2 – 4t – 15 ≥ ⇒ t ≥ b a a b3 a b Mặt khác: P = + ÷− + ÷ = 4(t3 – 3t) – 9(t2 – 2) = 4t3 – 9t2 – 12t + 18 = f(t) a b a b f’(t) = 12t2 – 18t – 12, f’(t) = ⇒ t = − hay t = 2 23 ⇒ Min f(t) = − t = 23 Vậy P = − a = b = hay a = b = 1 + + = Chứng minh Ví dụ Cho ba số thực a, b, c ≥ thỏa mãn 1+ a 1+ b 1+ c 1 + + ≥ ab − bc − ca − Lời giải 1 1 = x, = y, = z Khi x, y, z ≤ x + y + z = Đặt 1+ a 1+ b 1+ c z x y Ta có ab − = , bc − = , ac − = , bất đẳng thức cần chứng minh có dạng xy yz zx xy yz zx + + ≥ với điều kiện < x, y , z ≤ x + y + z = z x y x , Với nhận xét toán đối xứng với biến y nên ta đưa tốn từ ba biến hai biến s2 x + y = s , xy = p cách đặt , ≤ s < < p ≤ 2 xy yz zx xy z ( x + y ) 8p s2 − p Ta có P = + + = + = + (1− s) = f ( p) z x y z xy 1− s p s2 ( − s ) 8p s2 − p + (1− s) − Bây xét hàm số f ( p ) = có f ' ( p ) = , 1− s p 1− s p2 f '( p ) = ⇔ p = s ( 1− s) 2 Lập bảng biến thiên, biện luận so sánh s(1− s) f ( p) ≥ f 2 s(1− s) 2 với ÷= + s − ≥ − > ( ) 108 s ( − s ) s2 s2 ≤ ⇔ s ≥ − ta có có: Nếu 4 2 https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 s(1− s) s2 s2 f p ≥ f ⇔ s ≤ − ( ) Nếu ta có: ÷ = − s − 4s = g ( s ) 2 1 1 Khảo sát g ( s ) ;2 − có g ' ( s ) = −4 + , từ g ( s ) ≥ g ÷= (1− s) 2 2 ≥ Đẳng thức xảy x = y = 1 z = , tức a = b = 3, c = Ví dụ (Trích đề thi khối A năm 2012) Cho số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3| x − y| + 3| y − z| + 3| z − x| − x + y + z Lời giải Cách Đặt a =| y − z |≥ 0, b =| z − x |≥ 0, c =| x − y |≥ Khi ta có a + b + c = ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) = ( x + y + z ) − ( x + y + z ) = ( x + y + z ) Ta lại có, a + b = y − z + z − x ≥ x + y − z = z ⇒ ( a + b ) ≥ z 2 Tương tự ( a + c ) ≥ y , ( b + c ) ≥ x nên ta có: 2 ( a + b) + ( a + c ) + ( b + c ) ≥ ( x2 + y + z ) ⇔ ( a + b + c ) + ( a + b2 + c2 ) ≥ ( x2 + y + z ) ⇔ ( a + b + c ) ≥ ( x2 + y + z ) a b c Khi đó, ta có P ≥ + + − ( a + b + c ) t Xét hàm số: f ( t ) = − t , t ∈ [ 0; +∞ ) f ' ( t ) = 3t ln − > 0, ∀t ∈ [ 0; +∞ ) t Do đó, f ( t ) đồng biến ( 0; +∞ ) nên f ( t ) ≥ f ( ) ⇔ ≥ t + 1, ∀t ∈ [ 0; +∞ ) Nên P ≥ a + b + c + − ( a + b + c ) = 2 Dấu xảy x = y = z = Cách Do vai trị x, y, z nên giả sử: x ≥ y ≥ z Thay z = − x − y vào P ta P = 3x − y + y − z + 3x − z − ( x + y ) + ( x + y ) = 3x − y + 3x + y + y + x − 12 ( x + xy + y ) Tương tự cách (1) ta có: P ≥ x − y + 2x + y + y + x + − 12 ( x + xy + y ) = 4x + y + − 12 ( x + xy + y ) Ta cần chứng minh: 109 https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 4x + y ≥ 12 ( x + xy + y ) ⇔ 4x + 4xy − y ≥ ⇔ ( x − y ) ( x + y ) ≥ ⇔ ( x − y ) ( y − z ) ≥ (đúng theo giả thiết) Do đó, P ≥ Ví dụ (Trích đề thi khối A năm 2009) CMR với số dương x,y,z thỏa mãn: x(x+y+z)=3yz, ta có ( x + y ) + ( x + z ) + ( x + y ) ( y + z ) ( x + z ) ≤ ( y + z ) Lời giải Cách Đặt a = y + z , b = z + x, c = x + y a,b,c dương 3 b+c−a c+a−b a +b−c 2 ,y = ,z = điều kiện toán trở thành 4a = ( b + c ) + ( b − c ) (1) 2 3 , ta phải chứng minh: b + c + 3abc ≤ 5a x= Từ (1) ta có: 4a ≥ ( b + c ) ⇒ 2a ≥ b + c a = b + c − bc ≥ 2bc − bc ⇒ a ≥ bc 3 2 2 Có b + c + 3abc = ( b + c ) ( b − bc + c ) + 3a.bc ≤ 2a.a + 3a.a = 5a Dấu xảy a=b=c hay x=y=z Cách Đặt y=ax,z=by ( a,b>0) Khi , ta có tốn tương đương: “Cho a,b dương a+b+1=3ab (1).CMR ( a + 1) + ( b + 1) + ( a + 1) ( b + 1) ( a + b ) ≤ ( a + b ) 3 (2) ” 3( a + b ) Từ (1) ta có: a + b + = 3ab ≤ ⇔ ( a + b ) − ( a + b ) − ≥ ⇔ a + b ≥ ( a + b > ) (3) (2) ⇔ ( a + + b + 1) − ( a + 1) ( b + 1) ( a + + b + 1) + ( a + 1) ( b + 1) ( a + b ) ≤ ( a + b ) ⇔ ( a + b + ) − ( a + 1) ( b + 1) ≤ ( a + b ) 3 ⇔ ( a + b + ) − ( 3ab + 3a + 3b + 3) ≤ ( a + b ) ⇔ ( a + b + ) − ( a + b + 1) ≤ ( a + b ) 3 3 ( (1) ) Đặt t=a+b từ (3) ta có t≥2 suy , ( t + ) − ( t + 1) ≤ 5t ⇔ 2t ( 2t − 3t − ) ≥ ⇔ 2t ( 2t + 1) ( t − ) ≥ với t≥2 Dấu = xảy x=y=z Phương pháp tiếp tuyến 110 https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 Trong phần xét toán tổng quát: “Cho a1 , a2 , a3 , , an ∈ D thoả mãn a1 + a2 + a3 + + an = nα , α ∈D, với cần chứng minh bất đẳng thức f ( a1 ) + f ( a2 ) + + f ( an ) ≥ nf ( α ) , đẳng thức xảy a1 = a2 = a3 = = an = α ” Bài tốn có tính chất bật với vế trái biểu thức đối xứng biến a1 , a2 , a3 , , an viết dạng tổng hàm số với biến số khác Dẫn đến suy nghĩ cách tự nhiên để giải toán ta xét hàm số y = f ( x ) , sau chứng minh f ( x ) ≥ Ax + B với x ∈ D , A, B thỏa mãn A ( a1 + a2 + + an ) + nB = nf ( α ) (hay Aα + B = f ( α ) ) Dễ thấy y = Ax + B tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm x = α Như qua phân tích, đưa lời giải cho toán tổng quát sau: Xét hàm số y = f ( x ) , x ∈ D , viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số x = α y = Ax + B Ta chứng minh f ( x ) ≥ Ax + B với x∈D , từ suy ra: f ( a1 ) + f ( a2 ) + + f ( an ) ≥ nf ( α ) (đpcm) Sau xét số tốn điển hình để thể rõ cho phương pháp Ví dụ Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = Chứng minh ( a + b3 + c + d ) ≥ a + b + c + d + Lời giải Từ giả thiết ta có a, b, c, d ∈ ( 0;1) bất đẳng thức viết dạng f ( a) + f ( b) + f ( c) + f ( d ) ≥ 1 với f ( x ) = x − x , đẳng thức xảy a = b = c = d = Ta xét hàm số f ( x ) = x − x khoảng ( 0;1) , phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − 8 1 5 f ( x ) − x − ÷ = ( x − 1) ( x + 1) ≥ , 8 8 điểm có hồnh độ x0 = Xét ∀x ∈ ( 0;1) Từ ta có f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) + f ( d ) ≥ ∀x ∈ ( 0;1) , suy f ( x) ≥ 1 ( a + b + c + d ) − = , đẳng thức xảy 8 Ví dụ Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = Chứng minh a=b=c=d = 111 x− , 8 https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 1 + + ≥ a + b2 + c a b c Lời giải 1 Ta có nhận xét, có ba số a, b, c thuộc khoảng 0; ÷, chẳng hạn < a < 3 ta có 1 + + > = ( a + b + c ) > a + b + c nên toán chứng minh, ta a b c 1 1 xét a, b, c ∈ ; Ta xét hàm số f ( x ) = − x đoạn ; , phương trình tiếp tuyến x 3 3 3 f ( x) x0 = y = −4 x + đồ thị điểm có hồnh độ Ta có ( x − 1) − ( x − 1) 7 ≥ ∀x ∈ ; , suy f ( x ) ≥ −4 x + , ∀x ∈ ; f ( x ) − (−4 x + 4) = 3 3 x2 Từ ta có: f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) ≥ −4 ( a + b + c + d ) + 16 = , đẳng thức xảy a = b = c = Ví dụ Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = Chứng minh 10 ( a + b + c ) − ( a + b + c ) ≥ Lời giải Như toán trên, ta xét hàm số f ( x ) = 10 x − x khoảng ( 0;1) , phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ x0 = 25 16 x− y = 27 16 25 Xét f ( x ) − x − ÷ = ( 3x − 1) ( −27 x − 18 x + 21x + 16 ) , ta chưa thể khẳng 27 27 25 16 x− với x ∈ ( 0;1) , nên ta đặt g ( x ) = −27 x − 18 x + 21x + 16 xét 27 hàm số g ( x ) khoảng ( 0;1) , ta thấy g ( x ) không dương ( 0;1) , nên ta phải tìm cách định f ( x ) ≥ chia khoảng xác định x tốt cho khoảng g ( x ) > Bằng cách lập 9 bảng biến thiên hàm số g ( x ) khoảng ( 0;1) , ta suy g ( x ) > với x ∈ 0; ÷, từ 10 ta có f ( x ) ≥ 25 16 9 x− với x ∈ 0; ÷ Như toán chứng minh xong 27 10 9 a, b, c ∈ 0; ÷ a + b + c = Bây ta xét trường hợp có ba số a, b, c thuộc 10 112 https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 9 9 1 nửa khoảng ;1÷, giả sử a ∈ ;1÷ a, b, c dương có tổng nên b, c ∈ 0; , 10 10 10 9 dễ thấy hàm số f ( x ) nghịch biến ;1 đồng biến 10 f ( b ) > f (0) = 0, f ( c ) > , f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) > 1 0; 10 , suy f ( a ) > f ( 1) = , Vậy f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) ≥ với số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = Đẳng thức xảy a = b = c = Thông qua tốn này, ta thấy cần phân khoảng xét thành hai hay nhiều khoảng để có bước mà khơng tự nhiên! Ví dụ Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = Chứng minh 1 27 + + ≤ − ab − bc − ca Lời giải Nhìn tốn ta khó thấy việc sử dụng phương pháp tiếp tuyến, nhiên để ý chút ab ≤ ( a + b) ( 1− c) = suy ≤ nên ta đưa toán cho − ab + 2c − c toán quen thuộc: Chứng minh 1 27 + + ≤ với điều 2 + 2a − a + 2b − b + 2c − c 32 kiện a, b, c dương a + b + c = Bây xét hàm số f ( x ) = khoảng ( 0;1) , phương trình tiếp tuyến đồ + 2x − x2 thị hàm số điểm có hồnh độ −27 81 x+ y = 256 256 81 27 81 ( 3x − 1) ( 13 − x ) −27 x+ + x− = ≤ với Xét f ( x ) − ÷= 256 + x − x 256 256 256 ( + x − x ) 256 x ∈ ( 0;1) , f ( x ) ≤ − 27 81 x+ với x ∈ ( 0;1) Từ ta có 256 256 1 27 81 27 + + ≤− ( a + b + c ) + = , đẳng thức xảy 2 + 2a − a + 2b − b + 2c − c 256 256 32 a=b=c= Ví dụ Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = Chứng minh 113 https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 1 + + ≤ − ab − bc − ca Lời giải Áp dụng bất đẳng thức ab ≤ a2 + b2 ta có 2 2 1 ≤ + + + + 2 2 2 − ab − bc − ca − ( a + b ) − ( b + c ) − ( c + a ) 4 Tiếp theo đặt x = ( b + c ) , y = ( c + a ) , z = ( a + b ) x + y + z ≤ ( a + b + c ) = 12 Bây toán trở thành: Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z ≤ 12 Chứng minh 2 1 1 + + ≤ 8− x 8− y 8− z Xét hàm số f ( x ) = khoảng ( 0;12 ) phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 8− x điểm có hồnh độ x0 = y = 1 ( x − 4) − = Xét f ( x ) − 144 6 ( 1 ( x − 4) + 144 ( ) ( x − 4) x − − ( x − 4) = x + − x 144 144 x + − x x−4 )( ) ( )( ) 1 1 ( x − 4) − ≤ ⇔ f ( x ) ≤ ( x − 4) + 144 144 1 1 1 + + ≤ ( x + y + z − 12 ) + ≤ Do − x − y − z 144 Đẳng thức xảy x = y = z = hay a = b = c = Trên khoảng ( 0;12 ) f ( x ) − Bài tập tự luyện Bài Cho x, y, z ∈ [ 0;1] Tìm giá trị lớn biểu thức Q = ( x3 + y + z ) − ( x y + y z + z x ) Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + z Bài Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác a b c 1a c b + + ≥ + + + ÷ b c a 2 c b a Bài Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 114 https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 ( ab ) Bài Cho ba số + ( bc ) + ( ca ) ≤ thực ( x + y + z ) + 3xyz ≥ ( x y + y z + z x ) x, y , z Bài Cho 3 2 64 dương x, y , z Chứng minh dương Chứng minh rằng: số thực x y z + + ≤1 xy + x + yz + y + zx + z + Bài Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn P = x2 y + y2 z + z x Bài Cho số thực x, y, z > thoả mãn điều kiện ( x + y + z ) = 32 xyz Tìm GTLN – GTNN biểu thức P = x4 + y + z ( x + y + z) Bài Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh ( a + b3 + c ) abc 9( a + b + c) + ≥ 33 ( a + b2 + c2 ) Bài 10 Cho bốn số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = , chứng minh a b c d + + + ≤ 2 2 + 3a + 3b + 3c + 3d Bài 11 Cho bốn số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = , chứng minh ( a + b3 + c3 + d ) ≥ a + b + c + d + 16 Bài 12 Cho a, b, c số thực dương ( a + b − c) + ( a + c − b) + ( c + b − a ) 2 c2 + ( b + a ) b2 + ( a + c ) a2 + ( b + c ) Chứng minh rằng: 2 115 ≥