PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn – C,I 2015 - 2016 3: À Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/?fref=ts S ) - Trang | - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn À S sở phương pháp Nếu f ( x) đơn điệu khoảng (a; b) u, v  (a; b) : f (u)  f (v)  u  v Phương pháp: Mấu chốt PP xác định hàm đặc trưng f(t) chứng minh đơn điệu khoảng xác định + Thông thường ta quan sát phương trình hệ có dạng xem có dạng f(u)=f(v) hay không? - phương trình có biến dạng bậc ta sử dụng phương pháp điêm uốn, phương pháp hệ số bất định dạng hàm bậc thường đặt ẩn phụ tạm biểu thức chứa căn, biểu thức xuất nhiều lần từ dễ quan sát phát hàm đặc trưng f Chú ý hàm ta xét f tập D1  D2 D1 , D2 miền xác định biến u, v + Khi phương trình hệ có dạng hàm đặc trưng ta nghĩ tới việc kết hợp phương trình lại với phép biến đổi thường để đưa dạng f(u)=f(v) f(t)=0 với f hàm số đơn điệu  x  1 x   y  3  y  Bài 1: Giải hệ phương trình:  4 x  y   x  ướng dẫn  x  1 x   y  3  y  1  2  2 4 x  y   x  PT(1): x3  x    y  3  y  3 Đặt t   y  y    t2  t3  t  t2    3 t  2   t3  t   2x   2x  t  t Khi (2) : x  x  Xét hàm số : f(u)= u3  u  f '(u)  3u   0u suy f(u) đồng biến Do để f(x)=f(t) xảy : 2x=t  x   y  x   y  y   x     x2   3 Thay vào (2) : g ( x)  x      x   : x  0;   4   Ta thấy x=0 x= không nghiệm Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/?fref=ts - Trang | - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn 4 5   3 g'(x)= x  x   x    x  x  3   0x   0;   4x  4x 2   4 1 Mặt khác: g     x  nghiệm nhấy , thay vào (4) tìm y=2 2 1  Vậy hệ có nghiệm :  x; y    ;  2  Bài Giải hệ phương trình: x 2y 2x 2y x y2 5y y 2xy x2 x2 2xy y2 y ướng dẫn Điều kiện: x y2 y ,y y2 y x t2 Xét hàm số f t t Ta có f / t t y 1 t 2 x2 y x y t liên tuc 0; t t 2t t nên f y Suy hàm số nghịch biến 0; Thay vào (1) ta có y x x 1 2 f x y t t y x x 2y Vậy hệ có nghiệm: (x;y)=(4; 2)  2 x y  y  x  x Bài 3: Giải hệ phương trình sau:    x   y    x  1 ướng dẫn Cá 1: đ t ẩn PT (2) biế đổ đưa tam thức bậc 2 3   y  x  x  y  yx  x    2 x y  y  x  x 2 x  y  x   y   x       2 x  y   x         x   y    x  1 x  y   x        -Trường hợp 1: y= x , thay vào (2) :  x  2 x2    x2   2x  t :  x  t   x   t  x   t  2; t  x Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/?fref=ts - Trang | - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn  x2    x2   x     x   x  x    -Trường hợp : x2  y  yx  x   y  yx  x  x    y  x4   x2  x4   3x4  8x2   x  R   y   f (, y)  x2  y  yx  x   x, y Phương trình vô nghiệm   Do hệ có hai nghiệm : (x;y)=  3;3 , 3;3  Cách 2: dùng hàm số - Phương trình (1) x=0 y=0 không nghiệm ( không thỏa mãn (2) )  y  y - Chia vế phương trình (1) cho x   1        x  x3 x  x - Xét hàm số : f  t   2t  t  f '  t    3t  0t  R Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến y  x  y  x Đến ta Hướng dẫn nhưu TH1 x Để phương trình có nghiệm xảy : bên     x   x2 y   y   Bài 4: Giải hệ phương trình sau :    x x  xy   xy  x  ướng dẫn      x   x2   y    y    HPT   ( nhân liên hợp )  x x  xy   xy  x   Xét hàm số : f (t )  t   t  f '(t )   t 1 t2  1 t2  t t2 1  t t 1 t  0t  R Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f(x)=f(-y) xảy x=-y (*) - Thay vào phương trình (2) :  x  x   3x x  25  x x  x   4 x  x    x  x     x  2   x  x   2 x * Trường hợp : x  x  x  x   3x     x  1; y  1  2 x  x   x x  x     Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/?fref=ts - Trang | - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn * Trường hợp : x x  x  x  x   2 x    2 2 x  x   x 2 x  x    11 3  11  11 3  11 Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;-1),( ) ;y ; 2 2  y  x  y    4 1 - Ta có f(1)=2+  Suy t=1 nghiệm      x; y    ;  2 5 5  y   x    2  x   x    y Bài Giải hệ phương trình sau:    x   y   y  x  x  ướng dẫn Điều kiện : y  2; x  6 Từ (2) :  x   y   y  x  x   y2 y 1  x  2    x  2  y2  y 1  x  2   x  2  y  1    x    Xét hàm số y 1  x  2  f (t )  t 1 t t  0   1 f '(t )     '    Chứng tỏ hàm số nghịch biến t  2t  t Vậy f  x    f  y  1 xảy : y    x   Thay vào (1) ta phương trình : 1   x   2 t  x   t  x     x  2 x       t  2t t   2t t    t 0  t  x   0  t  x   0  t  x         4  3 2 2 t  t  46 t  49  t t    t          t  1  t  3t  49t  49    +/ Trường hợp : t=1 hay x-2=1 suy x=3 y+1=1 hay y=0 Vậy nghiệm hệ (x;y)=(3;0) +/ Trường hợp : f (t )  t  3t  49t  49   f '(t )  3t  6t  49   t  1  52  0t  0;  Hàm số nghịch biến f(0)= -49 nghiệm hệ là: (5; 5) Bài 14 Giải hệ phương trình: x (1 2x 2x ) 2y y(1 2y ) 2xy Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/?fref=ts (1) (2) - Trang | 33 - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn ướng dẫn Điều kiện: Đặt: a 2x b 2y x, y ; a, b 0; VT (1) 1 a VT (1) ta có: 1 a2 Ta có bổ đề sau: 1 b2 1 a b2 b ab VP ab Đẳng thức xảy x Thay vào (2) ta được: (x ; y ) y 36 73 ; 73 36 ; 36 73 ; 73 36  x2  y x  xy  y   x y  Bài 15 Giải hệ phương trình:    x xy  x   xy  x  ướng dẫn Ta có: x  xy  y   1 1 2  x  y    x2  y    x  y    x2  y    x  y  2 4 x2  y x  xy  y 2    x  y   x  y  x y  x y Dấu “=” sảy khi: x  y  PT (2)  x x2  5x   x2  5x   x2  5x   x x  5x   x   x  x   3x (VN )   x3  x  x   x Vậy hệ có nghiệm: (3; 3)   x y  x y  x 1  x   y  Bài 16 Giải hệ phương trình:  1    x  y   x3  x3  x  y   ướng dẫn Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/?fref=ts - Trang | 34 - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn   x y   x6  x4  y    Viết lại hệ phương trình:  1    x  y 2  x3  x3  x  y   Lấy phương trình (2) trừ (1) ta được:   x y  1     x  y    x  y   2    x y  1     x  y  Chú ý: (3)   x y  1      x  y  đẳng thức (3) xảy 2  nghiệm hệ phương trình (1; 1) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: 1;1 2  x  2x    y  y  Bài 17 Giải hệ phương trình:   6 x  y  11  10  x  x  ướng dẫn Từ phương trình thứ2, áp dung bất đẳng thức AM-GM ta có: 10  x  x  y  x  11  10  x  x  2   10  x  x => x2  20 x  y  30   x2  10 x  y  15  (1) Tiếp tục cho phương trình ta có: 1  y  y   x  2x    y  y   2     y2  y  2   y2  y 1  x2  x  y  y   (2) Lấy (1) + (2) vế theo vế ta có: (1)  (2)  3x2  x  y  y  12    x  1   y  3  2  x 1  x   Nghiệm bất phương trình là:  y 3   y  3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm 1; 3 Bài 18 Giải hệ phương trình: 3x x 4x y2 17 4y 16x 6y (1) (2) Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/?fref=ts - Trang | 35 - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn ướng dẫn y2 Điều kiện: 3x Ta có: (1) 6x 6y 8x y 10 x 4y 0;17 4x Mặt khác: (2) y2 6y 16x 6y y2 1 6y (3) 4y 17 16x x x2 18x 4y 16 (4) (4) vế với vế ta được: Lấy (3) 1)2 5(x 1)2 (y x y y y2 x Bài 19 Giải hệ phương trình: y (thỏa mãn) y y 3y 3x x x (1) (2) ướng dẫn Điều kiện: y 0; x y2 x Ta có: (1) Ta có: y x y 3y Ta chứng minh: 3y Dấu " y x y x x 2 3y x (y 1)2 y2 x " xảy khi: Bài 20 Giải hệ phương trình: x x y y x x y 32 x y2 32 x 6y 24 (đúng) ướng dẫn Điều kiện: x 32 Cộng vế với vế phương trình ta được: ( x x) 32 Ta có: y 6y ( 21 4 x (y 3)2 Áp dụng B.C.S ta được: ( x x Dấu " 32 x " xảy khi: x) 32 12 32 8, x [0;32] x 32 x y2 6y 21 12, y Dấu " " xảy y x )2 (12 12 )(x x 16 (2) 32 x) (1) 64 Áp dụng B.C.S kết hợp (2) ta được: Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/?fref=ts - Trang | 36 - PT – HPT – BPT Nguyễn Bá Tuấn (4 x 4 x Dấu " x )2 32 (12 x 32 " xảy ra: 12 )( x 4, x 4 x x 32 x x) 32 " xảy khi: x 16 [0;32] Từ (2),(3) suy ra: ( x Dấu " x) 32 16; y ( (3) x 32 x) 12 (4) x4 y4 Bài 21 Giải hệ phương trình: (x xy x y y) x 16 (1) y (2) ướng dẫn Điều kiện: x, y Áp dụng B.C.S ta được: x4 x2 y4 y2 y )4 (x Áp dụng Cô-si ta được: xy x y xy Dấu " " xảy 8 xy x Thay vào (2) ta được: VP (1) oo th y x x o VT (1) đ m ph n x y -h phương t nh v Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/?fref=ts t i i u há nh ! - Trang | 37 - [...]... suy ra: y  1 (**) Từ (*) và (**) ta có: y  1  x  1 Thử lại thấy x  1; y  1 thỏa mãn hệ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y   1; 1 2 2 2   x y  54 x  9 y  0 (1) Bài 12 Giải hệ phương trình:  2 3 (2)  2 x  y  12  45 ướng dẫn Từ phương trình (2) ta có: (2)  2  x  3   y3  27  y 3  27  y  3 2 Xem (1) là phương trình bậc 2 ẩn x phương trình có nghiệm   '  0... Đặt y x u (**) v x 1 1 v 0 1 x2 v v2 2 v x 2 y x f (x ) 2 v2 y 0 Thay vào phương trình ( 2) ta có y uv 3; 3 ; 1 2 2u v 0 u v 2 0 3; 3 y y2 x2 x 2v 3 Kết luận: vậy hệ có nghiệm Bài 16 Giải hệ phương trình: y y (**) 2u 3 x2 x 2x x 1 5 1 3 2 2 2x (1) 4y 2 (2) ướng dẫn Điều kiện 2x Ta có: (1) 4y 2x 2 4y 0 y2 2 2y y 2 1 Thay vào phương trình (2) ta được: x x x 1 2 1 Ta có: f '(t ) t x 1 2 y t2 1 trên R 2... f (x x Thay x 1 vào phương trình ( 2 ) ta có 2y 6y 2y 2 7y f (2y) 1) 1 0 Bài 19 Giải hệ phương trình: y 1 x y 1 6 x x ) 2y 1 x 6x 2xy 2 2y 2 2 2y 1 y 2 t t 1 t2 0 1 2 3 x2 y 1 1 y2 1 4xy 1 1 6x 1 ướng dẫn x Ta có hệ 1 x 6x Xét hàm số : f (t ) x2 2xy t 1 1 t y 1 y 4xy 6x 1 2 f '(t ) 2 t 1 1 Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f x f t2 1 t2 t2 y chỉ xảy ra x t 1 0 t R y (*) Thay vào phương trình (2) : x 6x... x  1   1 (3) 6 6 2 (2)  y  Do x  0 nên từ (3) suy ra y  1 (**) Từ (*) và (**) suy ra y  1 Thay y  1 , suy ra x  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là 1; 1  x3  1  2  x 2  x  y   Bài 10 Giải hệ phương trình:  3 2  y  1  2  y  y  x  ướng dẫn  x3  2 x 2  2 x  1  2 y  Hệ phương trình tương đương:  3 2   y  2 y  2 y 1  2x Xét f (t )  t 3  2t 2  2t... 10 x2 x 10 x 0 8 Kết luận: Hệ có nghiệm (9; 8) Bài 14 Giải hệ phương trình: 1 x 1 x 1 y 1 x x y 2 2 1 y 4 y 1 ướng dẫn x; y Điều kiện: 0 x Ta có: (1) 1 1 Ta có: f (t ) 2 t f (x ) f (1 1 x 5 (1 x x2 y) x x (1 1 y) y (*) 6 5 t t 0 , t 1 [0;1] y , thế vào (2) ta được : 1 1 2x 6x 2 5 6x x2 8 x2 (x 1)2 x 1 2 y 1 (t / m) 2 1 1 ; 2 2 Kết luận: Hệ có nghiệm 3 Bài 15 Giải hệ phương trình: 1 2 1 t )2 1 2 2 y... x Bài 19 Giải hệ phương trình: 1 3 y (thỏa mãn) y 2 3 y 3 3y 3 3x 5 x x 2 (1) 2 (2) ướng dẫn Điều kiện: y 0; x 2 y2 2 x Ta có: (1) Ta có: 3 y x y 3 3y 2 Ta chứng minh: 2 3y Dấu " 3 y 3 x y 4 x 4 x 2 2 2 3y x 2 3 (y 1)2 y2 2 x 2 " xảy ra khi và chỉ khi: Bài 20 Giải hệ phương trình: 1 x x y 1 y x x 1 y 2 32 x y2 3 32 x 6y 24 0 (đúng) 1 ướng dẫn Điều kiện: 0 x 32 Cộng vế với vế của 2 phương trình ta được:... (1  y  1) 2  x  1  x  1  2 x  7   0 Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi    y  1   y 1  0 Thử lại ta thấy x  1, y  1 là nghiệm của hệ Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm là:  x; y   1; 1 4 x3  3xy 2  7 y (1)  Bài 4 Giải hệ phương trình:  3 2 (2)   y  6x y  7 ướng dẫn Ta có: x  y  0 không là nghiệm của hệ (2)  y  y 2  6 x 2   7  0  y  0 (1)  x  4 x 2  3 y 2...  b 1  ab 1 1 a 2  1 1 b 2  2 (với 0  ab  1 ) 1  ab x Bài 1 Giải hệ phương trình: y 2 x xy xy 1 1 y x y x x 2 y y xy 4 ướng dẫn Điều kiện: x 0; y 0 y Ta có PT 1 x Thay vào 2 ta được: Khi đó ta có: x xy Vậy hệ có nghiệm y xy xy 2 (x x xy x 4 0 xy x 2y 2 y xy 2 xy 1 5 2 3 y 5 3 ; y xy 3 x 1 3 x 0 1 xy xy 3 Bài 2 Giải hệ phương trình: 2 5 2 5 2 2)2 y y 2 (x 2 4x (x 3)(y 2 1)(y 1) 1) 81 (1) (2)... Với y x2 y2 4 0 suy ra hàm số f t đơn điệu tăng 4 2 ) f y2 x 1 2 y2 y x 1 y 1 x 1 thay vào phuong trình hai ta có 2x 3x 1 3 x 1 1 1 2 x 0 1 2 y x thay vào phương trình hai ta có: 1 x2 1 4 4 trên [0; t 2 t y2 y2 4 1 1 Từ đó suy ra f x Với y 2 1 y2 5 2x 3x 1 3 1 x 0x 1 3 4 1 4 y Kết luận:… Bài 18 Giải hệ phương trình: 2x 2 x x 2 2y 2 x2 2y 2 2x y 2 y 0 2y 1 (1) (2) ướng dẫn Điều kiện: x Lấy (1) x2 (x... Tuấn Phương trình ( 1) tương đương : 2 Xét hàm số: f t Ta có f ' t 3t 2 Ta có: (*) f x x 2 x 2 2y t3 t trên R 1 0 sauy ra hàm số f t đơn điệu tăng x 2 f 2y 1 x 2 2y 1 1 x 2y 1 3 2y 2y 1 (*) Thay vào phương trình (2) ta được: 3 2y 5 2 y u u (*) u 2v 3 5 2v 2 v 1; v y y 2 x 2y y 2 v 65 0 23 ;v 4 65 3 ;v 4 u y 5 2 3 u 9 3 u 5 (*) Đặt 2 65 8 65 23 4 1 233 23 65 32 233 23 65 32 Bài 16 Giải hệ phương trình: