PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Nguyễn Xuân Thành tkris1004@nuce.edu.vn Bộ môn Cơ học Kết cấu Trường Đại học Xây dựng Ngày 12 tháng năm 2013 THÔNG TIN VỀ KHÓA HỌC Thông tin chung Tên: Phương pháp Phần tử Hữu hạn Tên viết tắt: PP PTHH Số tín chỉ: Người giảng: Nguyễn Xuân Thành Đối tượng nghe: Sinh viên lớp 55XE Mục đích Trang bị cho sinh viên khái niệm rời rạc hóa kết cấu thành nhiều phần tử, ứng xử học phần tử chịu nguyên nhân tác dụng Trang bị cho sinh viên kiến thức sở toán học PP PTHH, quy trình chung toán phân tích kết cấu phương pháp Trang bị cho sinh viên cách vận dụng PP PTHH để giải toán hệ kết cấu dạng thanh, đáp ứng đòi hỏi tính toán môn chuyên ngành Nội dung tóm tắt Giới thiệu tổng quan: PP PTHH gì? Tính ưu việt, Mốc lịch sử, Các khái niệm Cơ sở phương pháp: Các phương trình Lý thuyết đàn hồi, nguyên lý toán học học Bài toán hệ thanh: Thiết lập phần tử (kéo/nén, uốn, xoắn), Chi tiết bước giải hệ theo PP PTHH Các vấn đề mở rộng: Bài toán phẳng Lý thuyết đàn hồi (thiết lập phần tử bản, bước giải toán phẳng theo PP PTHH) Tài liệu tham khảo Nguyễn Mạnh Yên (1996) Phương pháp số Cơ học Kết cấu, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội Nguyễn Xuân Thành (2013) Phương pháp phần tử hữu hạn, Các file giảng môn học Tài liệu tham khảo bổ sung Nguyễn Tiến Dũng (2009) Phương pháp Phần tử Hữu hạn, Sách giáo trình, chưa xuất bản, lưu hành nội Nguyễn Xuân Lựu (2007) Phương pháp Phần tử Hữu hạn, Nhà xuất Giao thông vận tải, Hà Nội Cook, R., D., et al (2002) Concepts and Applications of Finite Element Analysis, John Wiley & Sons, Inc Yêu cầu khóa học Tham gia vào giảng* / Làm kiểm tra tập / Dự thi cuối kỳ Yêu cầu tập Làm tập nhà, tham gia tích cực tập lớp Lời giải tập hợp lại, đóng thành quyển, nộp trước thi Yêu cầu làm kiểm tra "Tự lực cánh sinh" Giá trị tính toán số không quan trọng bước giải toán công thức đắn Đánh giá Tham gia vào giảng (15%) + Bài tập kiểm tra (25%) + Thi cuối kỳ (60%) Giờ tư vấn Các thảo luận liên quan đến nội dung môn học Địa điểm: Văn phòng Bộ môn P514A1 Lịch tư vấn*: Thứ Hai (14h30-15h30); Thứ Năm (9h30-10h30) Kiến thức cần có trước Sức bền vật liệu / Cơ học kết cấu / Đại số tuyến tính / Ma trận véc-tơ / Giải phương trình vi phân Giới thiệu Nhắc lại số kiến thức toán BÀI GIẢNG (giới thiệu) Nguyễn Xuân Thành tkris1004@nuce.edu.vn Bộ môn Cơ học Kết cấu Trường Đại học Xây dựng Ngày 12 tháng năm 2013 Giới thiệu Nhắc lại số kiến thức toán NỘI DUNG CHÍNH Giới thiệu Nó gì? Sao phải dùng ’phần tử hữu hạn’ ? Ý tưởng phương pháp Các bước thực Sự kiện, Mốc lịch sử Các phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn Nhắc lại số kiến thức toán Các phép tính với ma trận Phương pháp số dư trọng số giải phương trình vi phân Giới thiệu Nhắc lại số kiến thức toán NỘI DUNG CHÍNH Giới thiệu Nó gì? Sao phải dùng ’phần tử hữu hạn’ ? Ý tưởng phương pháp Các bước thực Sự kiện, Mốc lịch sử Các phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn Nhắc lại số kiến thức toán Các phép tính với ma trận Phương pháp số dư trọng số giải phương trình vi phân Giới thiệu Nhắc lại số kiến thức toán Lịch sử phương pháp (tiếp) PP PTHH lúc đầu bị giới học thuật trích, chí số tờ báo uy tín từ chối đăng có liên quan Tuy vậy, O.C Zienkiewicz R.H Gallagher nhận tiềm PP PTHH Zienkiewicz xây dựng nhóm nghiên cứu tiếng Swansea Wales, có B Iron, R Owen; tiên phong quan niệm phần tử đẳng tham số phương pháp phân tích phi tuyến Về sau, nhà toán học tìm thấy báo Courant năm 1943, phần tử tam giác sử dụng với nguyên lý biến phân để giải toán dao động Từ đó, có nhiều nhà toán học tuyên bố điểm xuất phát phương pháp Giới thiệu Nhắc lại số kiến thức toán Lịch sử phương pháp (tiếp) Một điều thú vị nhiều năm liền, PP PTHH thiếu sở lý thuyết, tức chứng minh toán học lời giải PTHH đáp án thực toán Từ cuối năm 1960 đến nay, lĩnh vực thu hút nhiều quan tâm nhà học toán học, người rằng, toán tuyến tính, lời giải PTHH hội tụ đến nghiệm xác phương trình đạo hàm riêng Giới thiệu Nhắc lại số kiến thức toán Năm báo quan trọng R Courant (Bll Am Math Soc., 1943) Bài toán hộp có lỗ vuông chịu xoắn (không nêu chi tiết toán học) J.H Argyris(Aircraft Eng., 1954, 1955) Phát triển lý thuyết ma trận tính kết cấu sử dụng khái niệm độ mềm, độ cứng (Argyris sử dụng phương pháp chuyển vị thay cho phương pháp lực phân tích cánh máy bay từ năm 1943) M.J Turner cộng (J Aero Sci., 1956) Đưa ý tưởng phương pháp Lập ma trận độ cứng phần tử dàn, tam giác chữ nhật hệ tổng thể Được dạng với kết Argyris R.W Clough (2𝑛𝑑 ASCE Conf Elec Comp., 1960) Lần đầu gọi "PP PTHH, phân biệt với: (a) phương pháp phân tích vật thể liên tục; (b) phương pháp ma trận O.C Zienkiewicz, Y.K Cheung (Water Power, 1964, 1965) Áp dụng có hệ thống vào toán phi kết cấu Làm rõ cách cực tiểu hóa phiếm hàm, dọn đường cho việc dùng PTHH vào toán phân tích trường Giới thiệu Nhắc lại số kiến thức toán Các phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn Có RẤT nhiều phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn Dưới điểm qua số điển hình Edward Wilson phát triển chương trình PTHH mà phát triển sử dụng rộng rãi đến ngày (chương trình SAP) với xuất phát điểm sau: Miễn phí* Bài toán ứng suất chiều Chương trình sử dụng sửa đổi nhiều nhóm nghiên cứu hàn lâm phòng thí nghiệm, qua cho thấy sức mạnh đa PTHH nhiều mục đích Giới thiệu Nhắc lại số kiến thức toán Các phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn Năm 1965, NASA tài trợ triệu USD cho Dick MacNeal phát triển chương trình PTHH tổng quát NASTRAN Phân tích ứng suất 2-D, 3-D, kết cấu phức tạp, kể tấm/vỏ, phân tích động Chương trình khởi thảo đưa công khai chứa nhiều lỗi Sau dự án, MacNeal McCormick thành lập công ty phần mềm sửa hầu hết lỗi bán thị trường công nghiệp Cho đến năm 1990, chương trình coi chiến mã chủ lực cho hầu hết sở công nghiệp lớn Giới thiệu Nhắc lại số kiến thức toán Các phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn Cũng khoảng năm 1965, John Swanson phát triển chương trình PTHH Cty Điện lực Westinghouse để phân tích lò phản ứng nguyên tử Vào năm 1969, Swanson rời Westinghouse để phát triển tiếp thị chương trình ANSYS Chương trình có khả phân tích tuyến tính phi tuyến, nhanh chóng Cty ứng dụng rộng rãi Năm 1996, Cty phát hành cổ phiếu, đến năm 2006, giá trị vốn hóa 1,8 tỷ USD Giới thiệu Nhắc lại số kiến thức toán Các phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn Một số chương trình khác kể đến LS-DYNA mạnh phân tích động, toán va chạm giao thông, toán tạo hình kim loại, mô nguyên mẫu thí nghiệm rơi tự do, Chương trình ABAQUS Cty HSK phát triển tập trung vào ứng dụng phi tuyến Có đặc điểm HSK để cửa ngỏ cho chương trình mà qua đó, người sử dụng thêm vào phần tử mô hình vật liệu Chương trình CALFEM (hiện dừng phát triển) trực quan, dễ hiểu, viết ngôn ngữ MATLAB, ứng dụng tốt việc dạy học PP PTHH Chương trình FrameDesign tính toán hệ khung, nhỏ gọn, miễn phí, chạy thiết bị Android Giới thiệu Nhắc lại số kiến thức toán NỘI DUNG CHÍNH Giới thiệu Nó gì? Sao phải dùng ’phần tử hữu hạn’ ? Ý tưởng phương pháp Các bước thực Sự kiện, Mốc lịch sử Các phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn Nhắc lại số kiến thức toán Các phép tính với ma trận Phương pháp số dư trọng số giải phương trình vi phân Giới thiệu Nhắc lại số kiến thức toán Các phép tính với ma trận Cho ma trận A có kích thước 𝑚 × 𝑛 sau: ⎡ ⎤ 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 ⎢ 𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛 ⎥ ⎢ ⎥ A=⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛 Chuyển trí ma trận A ma trận C = AT với thành phần sau 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 Cộng (trừ) ma trận kích thước =⇒ ma trận kết có thành phần tổng (hiệu) phần tử tương ứng hai ma trận Giới thiệu Nhắc lại số kiến thức toán Các phép tính với ma trận Cho ma trận B có kích thước 𝑛 × 𝑘 sau: ⎡ ⎤ 𝑏11 𝑏12 𝑏1𝑘 ⎢ 𝑏21 𝑏22 𝑏2𝑘 ⎥ ⎢ ⎥ B=⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 𝑏𝑛𝑘 Phép nhân ma trận C = A.B cho kết thành phần 𝑖𝑗 là: 𝑛 ∑︁ 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑙 𝑏𝑙𝑗 𝑙=1 Chú ý Phép nhân ma trận tính giao hoán Giới thiệu Nhắc lại số kiến thức toán Các phép tính với ma trận Cho ma trận vuông A có kích thước 𝑛 × 𝑛 Định thức ma trận A viết det A định nghĩa là: 𝐷 = det A = 𝑎11 𝑛 = 𝐷 = 𝑎𝑗1 𝐶𝑗1 + 𝑎𝑗2 𝐶𝑗2 + · · · + 𝑎𝑗𝑛 𝐶𝑗𝑛 𝑛 ≥ 𝐶𝑗𝑘 = (−1)𝑗+𝑘 𝑀𝑗𝑘 với 𝑀𝑗𝑘 định thức ma trận tạo từ việc bỏ hàng 𝑗 cột 𝑘 ma trận A 𝐶𝑗𝑘 gọi đồng hệ số (cofactor) 𝑎𝑗𝑘 ma trận A Giới thiệu Nhắc lại số kiến thức toán Các phép tính với ma trận Cho ma trận vuông không suy biến A có kích thước 𝑛 × 𝑛 Nghịch đảo ma trận A−1 xác định sau: A−1 = [𝐶𝑗𝑘 ]𝑇 det A 𝐶𝑗𝑘 đồng hệ số 𝑎𝑗𝑘 ma trận A Giới thiệu Nhắc lại số kiến thức toán Phương pháp số dư trọng số Tư tưởng phương pháp trình bày thông qua ví dụ sau Phát biểu toán Giải phương trình vi phân với điều kiện biên cho trước 𝐷𝑢 − 𝑓 = miền 𝑉 đó: 𝑥 biến độc lập, ví dụ: tọa độ phân tố vật liệu 𝑢 = 𝑢(𝑥) biến phụ thuộc, ví dụ: chuyển vị phân tố vật liệu 𝑓 hàm 𝑥 𝐷 toán tử vi phân Giới thiệu Nhắc lại số kiến thức toán Phương pháp số dư trọng số Phát biểu dạng thức mạnh (strong form) toán tức: phương trình vi phân cần phải thỏa mãn điểm bên điều kiện biên Gọi 𝑢 ˜=𝑢 ˜(𝑥) nghiệm xấp xỉ Thường nghiệm xấp xỉ không thỏa mãn phát biểu mạnh toán Do đó, định nghĩa số dư miền 𝑉 sau 𝑅 = 𝐷˜ 𝑢−𝑓 Giới thiệu Nhắc lại số kiến thức toán Phương pháp số dư trọng số Hàm 𝑢 ˜ xây dựng từ hàm sở (được chọn trước) Trong thực hành, hàm 𝑢 ˜ có dạng đa thức có 𝑛 số hạng, với số hạng thứ 𝑖 nhân với 𝑎𝑖 (𝑎𝑖 gọi bậc tự khái quát thứ 𝑖) 𝑛 giá trị 𝑎𝑖 chọn để cho 𝑅 nhỏ Phương pháp số dư trọng số: nhỏ theo nghĩa sau ∫︁ 𝑊𝑖 𝑅 𝑑𝑉 = với 𝑖 = 1, 2, , 𝑛 𝑊𝑖 = 𝑊𝑖 (𝑥) hàm trọng số Dạng thức gọi dạng thức yếu (weak form) toán Sau giải 𝑎𝑖 , ta tìm 𝑢 ˜, toán giải cách gần [...]... hóa hệ thành một số hữu hạn các phần tử hữu hạn ghép nối nhau tại các nút 2 Thiết lập công thức dạng thức yếu (weak form) cho phương trình vi phân của các phần tử điển hình 3 Thiết lập các ma trận đặc trưng của các phần tử điển hình 4 Chuyển các ma trận đặc trưng của tất cả các phần tử về hệ tọa độ chung, thực hiện việc ghép nối 5 Đưa vào các điều kiện biên của bài toán, lúc này được một hệ phương. .. một số kiến thức toán Ý tưởng chính của phương pháp 1 Rời rạc hóa hệ thành một số hữu hạn các phần nhỏ (gọi là phần tử) có kích thước hữu hạn, nối nhau tại các nút 2 Nghiên cứu chi tiết ứng xử cơ học của từng phần tử (ví dụ bằng Lý thuyết đàn hồi) 3 Ghép nối các phần tử và nghiên cứu tổng thể hệ kết cấu với các đặc trưng tại các nút ⇒ tìm được nghiệm xấp xỉ của bài toán Giới thiệu Nhắc lại một số kiến... tích vật thể liên tục; và (b) phương pháp ma trận O.C Zienkiewicz, Y.K Cheung (Water Power, 1964, 1965) Áp dụng có hệ thống vào bài toán phi kết cấu Làm rõ cách cực tiểu hóa phiếm hàm, dọn đường cho việc dùng PTHH vào bài toán phân tích trường Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán Các phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn Có RẤT nhiều phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn Dưới đây chỉ điểm qua... thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán NỘI DUNG CHÍNH 1 Giới thiệu Nó là gì? Sao phải dùng phần tử hữu hạn’ ? Ý tưởng của phương pháp và Các bước thực hiện Sự kiện, Mốc lịch sử Các phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn 2 Nhắc lại một số kiến thức toán Các phép tính với ma trận Phương pháp số dư trọng số giải phương trình vi phân Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán Các phép tính với ma trận Cho... PTHH là một tổng quát hóa của phương pháp biến phân cổ điển Ritz và các phương pháp số dư trọng số (như Galerkin, bình phương tối thiểu, ) một phương pháp số mạnh mẽ để giải các phương trình vi phân và tích phân gặp trong các bài toán trường (field problems) của nhiều lĩnh vực kỹ thuật và khoa học ứng dụng Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán Nó là gì? Về phương pháp luận, PP PTHH là một sự kết... cho phần mềm và thời gian tính toán PTHH Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán Sao phải dùng phần tử hữu hạn’ ? Ví dụ bài toán thường gặp Đã học CHKC và LTĐH rồi, làm thử xem sao? Nhận xét gì? Dạng hình học / vật liệu / tải trọng và các điều kiện biên phức tạp Tính toán theo các phương pháp cổ điển cồng kềnh, không hệ thống Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán Sao phải dùng phần tử hữu. .. (Argyris đã sử dụng phương pháp chuyển vị thay cho phương pháp lực khi phân tích cánh máy bay từ năm 1943) M.J Turner và cộng sự (J Aero Sci., 1956) Đưa ra ý tưởng phương pháp Lập ma trận độ cứng phần tử thanh dàn, tấm tam giác và chữ nhật trong hệ tổng thể Được cùng dạng với kết quả của Argyris R.W Clough (2𝑛𝑑 ASCE Conf Elec Comp., 1960) Lần đầu gọi "PP PTHH, phân biệt với: (a) các phương pháp phân tích... từ chối đăng bài có liên quan Tuy vậy, O.C Zienkiewicz và R.H Gallagher vẫn nhận ra tiềm năng của PP PTHH Zienkiewicz xây dựng một nhóm nghiên cứu nổi tiếng tại Swansea ở Wales, trong đó có B Iron, R Owen; đi tiên phong trong các quan niệm về phần tử đẳng tham số và phương pháp phân tích phi tuyến Về sau, các nhà toán học đã tìm thấy một bài báo của Courant năm 1943, trong đó các phần tử tam giác được... pháp luận, PP PTHH là một sự kết hợp Kết cấu Phân tách Tổng hợp Các phần tử một sự tiến hóa PP chuyển vị dạng ma trận để phân tích hệ khung PP PTHH một phép xấp xỉ rời rạc Hệ liên tục; vô hạn BTD; PDE Hệ được rời rạc; hữu hạn BTD; ODE Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán Sự phổ biến của phương pháp Tháng 8/2013: Google "phần tử hữu hạn": 1,4 triệu kết quả; Google "finite element": 10 triệu kết... các thành phần như sau 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 Cộng (trừ) ma trận cùng kích thước =⇒ được ma trận kết quả có các thành phần là tổng (hiệu) các phần tử tương ứng trong hai ma trận Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán Các phép tính với ma trận Cho ma trận B có kích thước 𝑛 × 𝑘 như sau: ⎡ ⎤ 𝑏11 𝑏12 𝑏1𝑘 ⎢ 𝑏21 𝑏22 𝑏2𝑘 ⎥ ⎢ ⎥ B=⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 𝑏𝑛𝑘 Phép nhân ma trận C = A.B cho kết quả các thành phần