B ộ• GIÁO DỤC • VÀ ĐÀO TẠO • TRƯỜNG ĐẠI • HỌC • s PHẠM • HÀ NỘI • ===£oCQGa=== v ũ THỊ LOAN PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUÂN • VĂN THAC • SĨ TO ÁN HOC • Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn G S T S K H N g u y ễ n X u â n T ấn Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau Đại học, thầy cô giáo nhà trường giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khóa học Thạc sĩ hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015 Tác giả V ũ T h ị L o an Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn G S T S K H N g u y ễ n X u â n T ấn Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015 Tác giả V ũ T h ị L o an M ục lục D a n h m ụ c k í h iệ u M đầu C h n g K iế n th ứ c c h u ẩ n b ị Bất đẳng thức biến phân toán bù Sự tồn nghiệm 1.3 Tính đơn điệu đơn điệu tổng quát 14 K ế t lu ậ n 37 T ài liệu th a m k h ả o 38 D an h m ục kí hiệu N : tập số tự nhiên M : tập số thực ệ : thuộc, không thuộc phần tử tập hợp , L_ : tập rỗng, tập H : không gian Hilbert thực l2 : không gian dãy bình phương khả tổng Mn : không gian Euclide n-chiều R” : ortan không âm R n RnXm : không gian ma trận thực cấp n K m M — {ĩĩiịị) : ma trận với phần tử rriij det M : định thức ma trận M M T : chuyển vị ma trận M M “ : nghịch đảo ma trận M lỵ : ma trận đơn vị cấp k diagịu) : ma trận đường chéo với phần tử đường chéo thành phần véc-tơ u [xk} : dãy phần tử \x I : chuẩn véc-tơ X , X , X 3, X ( x , y } : tích vô hướng véc-tơ X y r\ , u , K : giao, hợp, tích Decart F : u —>V : ánh xạ từ u vào V B [ u , r ) : hình cầu mở tâm u bán kính r B{ u, r ) : hình cầu đóng tâm u bán kính r V I { K , F) : toán bất đẳng thức biến phân xác định tập K ánh xạ F C P { K , F ) : toán bù xác định nón K ánh xạ F L C P { M , q) : toán bù tuyến tính xác định ma trận M véc-tơ q S o l{ K ,F ) : tập nghiệm V I { K , F ) C P { K , F ) S o l{M ,q ) : tập nghiệm L C P { M , q ) M đầu Lí chọn đề tài Bất đẳng thức biến phân toán tối ưu đóng vai trò quan trọng, có nhiều ứng dụng khoa học sống Những toán coi toán điển hình toán cân Toán tử đơn điệu nghiên cứu từ đầu năm 1960 F Brow­ der dùng phương pháp phân loại tính đơn điệu toán tử để nghiên cứu toán khác phương trình vi phân phi tuyến elliptic P H artm an G Stampacchia nghiên cứu bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu Toán tử đơn điệu sử dụng nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng elliptic parabolic, nghiên cứu nhiều toán tối ưu cân Cho đến toán tử đơn điệu tiếp tục đề tài nhà toán học quan tâm nghiên cứu Khái niệm toán tử giả đơn điệu giới thiệu s Karam ardian, mở rộng quan trọng toán tử đơn điệu Tác giả rằng, hàm giả lồi ánh xạ gradient giả đơn điệu Từ đó, s Karam ardian s Schaible đưa số khái niệm đơn điệu tổng quát giả đơn điệu chặt, giả đơn điệu mạnh, tựa đơn điệu Tác giả thiết lập mối quan hệ tính đơn điệu toán tử tương ứng với tính đơn điệu hàm Nó cho thấy toán tử giả đơn điệu trường hợp đặc biệt toán tử tựa đơn điệu Trong thập kỉ qua, tồn nghiệm phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu nhiều nhà toán học nước quan tâm ứng dụng thực tế Sau học kiến thức bất đẳng thức biến phân, với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, chọn đề tài: “P h n g p h p h iệ u c h ỉn h T ik h o n o v cho b i to n b ấ t đ ẳ n g th ứ c b iế n p h â n g iả đ n đ iệ u ” M ục đích nghiên cứu Giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân, đưa định nghĩa, khái niệm liên quan, tồn nghiệm tính chất Giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov để giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu hội tụ nghiệm phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Đ ối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, tồn nghiệm, phương pháp tìm nghiệm Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu báo công bố tạp chí quốc tế sách chuyên khảo liên quan tới toán tử đơn điệu ứng dụng chúng việc giải phương trình, bất phương trình T ham gia xemina giải tích phi tuyến liên quan đến ánh xạ đơn điệu giả đơn điệu Sử dụng phương pháp: tổng hợp, phân tích, đánh giá sử dụng phương pháp giải tích hàm Đ ón g góp luận văn Luận văn trình bày tổng quan có hệ thống với phân tích số tính chất bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, đưa phương pháp tìm nghiệm cho toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Chương K iến thứ c chuẩn bị Bất đẳng thức biến phân công cụ mạnh, sử dụng nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng Nhiều toán lý thuyết tối ưu, kinh tế vật lý toán dẫn đến bất đẳng thức biến phân Để dễ hình dung ta xét toán không gian 1.1 B ất đẳng thức biến phân toán bù Đ ịn h n g h ĩa 1.1.1 ( Xem(ỊỊT2], Định nghĩa 1.1)) Cho tập K khác rỗng ánh xạ F : K —> R n Bài toán bất đẳng thức biến phân, ký hiệu Vlị^K^P), toán tìm UT'^ K cho < № ') , u - u r- ) ^ 0, V« K (1.1) u ụ gọi nghiệm toán Tập hợp điểm ủ" thỏa mãn (1.1) gọi tập nghiệm V I { K , F) kí hiệu Sol{K, F) Sau đây, ta giả sử K tập lồi đóng, khác rỗng F ánh xạ liên tục K Khi K nón (nghĩa u £ K TU & K với vô hướng r ^ 0) ta có toán sau: Đ ịn h n g h ĩa 1.1.2 Cho nón lồi K ánh xạ F : K Bài toán bù, g{u[è)) Ợ \ u { e ) M 1q\,u{e) + M 1q) + £ (u{e), u[è) + M 1q} = Vì M nửa xác định dương nên ( M ị u i e ) + M ~ lq\,u{e) -\- M ~ íq'} ỉ ' Do [£),u(s) +- M _1ợ) ^ Thay u{e) = u {e) + Ì m - - M^q, y’ 1q u{e) -\- M 1q — u (£ ) + 2M vào bất đẳng thức cuối ta u(e) + lg Do đó, nghiệm V Ỉ ( R n,F e) thuộc tập K - - Ỗ ( - ị M - lq , ị \ M - lq \ } Ta biết u t Sol{M.n, Fe) g{u){Mu q) -\- £U = Phương trình cuối viết thành ệe{u) - u (2.1) với ậ£{u) M -1 - q- e u g{u)J ' Vì tập SolịM71, Fe) khác rỗng với £ > Do (2.1) có nghiệm Với u , v t K tùy ý ta Iệ £[u) - ậe(v)\ - -1 ỵ M 24 u V ^ g{u) + s g{v)r Theo Bổ đề 2.3.1 u 9Ì.u) V ^ L \u g(y) —V I, Vu, V ^ K, u với L số Lipschitz Gịu) := ——- K g{u) Vì \ộe{u) - ệe{v) I ^ e \ M -1 u V g{ù) g{v) ^ eL \ M 11|w —v\ (2.2) Cố định e t (0,L 11M 11 1) ý e L \ M 11 < với £ t (0,£) Theo tính chất (2.2) Iậ E{ u ) — ộ E{ v ) I < Iu —V I, Vw, V ỉr K , u 7^ V Vì vậy, phương trình (2.1) có nhiều nghiệm K Tóm lại V7(Kn, Fe) có nghiệm với £ t (0, È) Lớp toán tử giả đơn điệu giới thiệu Định lý 2.3.3 chứa nhiều phần tử không giả affin Do đó, Định lý 2.3.3 mở rộng thực Định lý 2.3.2 V í d ụ 2.3.1 Cho F [ u ) —g[u){Mu u — {UI,U2)T q) với g[u) — u\-\- u ị - \ - l vói 2,q — {qi,q 2)T t M2 véc-tơ chọn tùy ý, M - í ,/i > V II Rõ ràng M nửa xác định dương khả nghịch Ngoài ra, g[u) > vói ỉ i c R g khả vi liên tục M2 Do tất giả thiết Định lý 2.3.3 thỏa mãn Trong đó, M không đối xứng lệch nên F không giả affin 25 2.3.2 B i to n b ù tu y ế n tín h Xét toán bù tuyến tính có dạng (1.3) Ta có kết tiếp theo: Đ ịn h lý 2.3.4 Giả sử ịl.ơỷ có tính chấp nhận ánh xạ F { u ) — Mu-\-q ỉà giả đơn điệu R” Khi đó, toán hiệu chỉnh L C P ( M e, q), vói M e — M + e l có nghiệm với £ (0, -|-x>) tùy ý Để chứng minh Định lý 2.3.4 ta phải dựa vào khái niệm Ро­ та, trận, P- ma trận kết liên quan Đ ịn h n g h ĩa 2.3.2 ( Xem(pT)], Định nghĩa 3.3.1 3.4.1)) Ta gọi M t (a) P q- ma trận tất định thức không âm (b) P - ma trận tất định thức dương Nếu M P - ma trận P q- ma trận Đảo lại nói chung không B ổ đ ề 2.3.4 ( XemQÍĨÕ], Định lý 3.4.2)) Cho M t ЖпХп, mệnh đề sau tương đương (a) M ỉà P q- ma trận (b) Với £ > ữ, M + e l P - ma trận B ổ đ ề 2.3.5 ( Xem(ỊỊĨÕ], Định lý 3.3.7)) Phần tử M £ ШпКп P - ma trận toán L C P { M , q) có nghiệm với véc-tơ q £ Bổ đề đưa điều kiện đủ cho tính chất P q- ma trận 26 B ổ đ ề 2.3.6 ( Xem([6j, Định lý 1)) Giả sử toán L C P { M , q ) có tính chấp nhận ánh xạ F [ u ) — M u + q giả đơn điệu R ” Khi M Pq- ma trận C h ứ n g m in h Đ ịn h lý 2.3.4 Theo Bổ đề 2.3.6, L C P { M , q ) có tính chấp nhận ánh xạ F[u) — M u + q giả đơn điệu nên M P qma trận Do đó, theo Bổ đề 2.3.4, M £ — M e l P- ma trận với £ > Hơn nữa, theo Bổ đề 2.3.5 toán L C P { M Sìq) có nghiệm nhât với £ t (0, Trong Định lý 2.3.4 ta chứng minh tính nghiệm toán hiệu chỉnh cho toán bù tuyến tính giả đơn điệu điều kiện nhẹ tính chấp nhận toán ban đầu Chứng minh ta không sử dụng kết tồn nghiệm toán hiệu chỉnh Định lý 2.3.3 Kết Định lý 2.3.4 không bảo toàn giả thiết tính chấp nhận không tồn Ví dụ minh họa ý V í d ụ 2.3.2 X ét hàm số F [ u ) — M u + q, vói ( \ -1 Lấy u — (« , M2)T £ M2 £ £ (0, +30) ta có F { u ) - [u2 + 1, —u2 - 1)T, Fs{u) - [u2 + + EUí, —u — +- e u 2)T Ánh xạ F [ u ) giả đơn điệu K — R ị ; hai toán L C P { M , q) L C P { M s,q) với £ £ (0,1) ỉà nghiệm chấp nhận 27 Bây ta tính chấp nhận toán hiệu chỉnh L C P ( M e, q), £ £ (0,1) không kéo theo tính chấp nhận toán ban đầu L C P { M ,q ) V í d ụ 2.3.3 Chọn M — {0) Mlxl q ) tùy ý, x{e) — —q£~x nghiệm toán L C P { M Sì q) Hơn nữa, x{e) -|-x> £ —ỉ- Do vây, quỹ đạo sinh trình hiệu chỉnh không bị chặn Do đó, nhìn lại Ví dụ 2.2.1 ta thấy tính giả đơn điệu bị m ất suốt trình hiệu chỉnh toán tử giả đơn điệu không tuyến tính Vậy câu hỏi đặt tính giả đơn điệu ánh xạ affin có bảo toàn trình hiệu chỉnh hay không Trong mục ta đề cập đến vấn đề 2.4 T ính giả đơn điệu ánh xạ hiệu chỉnh Tác động phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov lên ánh xạ giả đơn điệu affin trình bày mục 2.4.1 T rư n g h ợ p m ộ t ch iều Bây ta định nghĩa tính giả đơn điệu ánh xạ F { u ) — au + b với a, số thực cho trước, K L_ R tập lồi, đóng, khác rỗng Đ ịn h lý 2.4.1 Cho K C- M tập lồi, đóng F [ u ) — au + b ánh xạ affin Khi F giả đơn điệu K 28 trường hợp sau xảy ra: (a) К có phần tử nhất; (b) К — Ш a ^ 0; (c) К — [a, +co) với а ^к а ^ а < aa + b < 0; (d) К — (—30, ß\ với ß t R а ^ а < aß + b > 0; (e) К аа — [ct,ß\ với dí, ß £ к , а < ß, а^ а < + b< о, а < оvà a ß -ị- b > Chứng minh Nếu к có phần tử th ì ta có (.F [и), V — и} — (F{v), V — и} — 0, Vu, V £ к , F giả đơn điệu K Nếu а ^ ánh xạ F[u) — au + b đơn điệu K, giả đơn điệu tập к Ĩ- Ж Nếu а < ta xét trường hợp sau: Trường hợp к - Ш Đặt и — — V а — , ta có а ( F [и), V — и } — [au -|- b){v — и) — о, \ F ( v ) , V — и } — a ị v □ Trên tảng Định lý 2.4.1, ta nghiên cứu bảo toàn tính giả đơn điệu ánh xạ hiệu chỉnh H ệ q u ả 2.4.1 Cho K tập lồi, đóng M F [ u ) — au + b ánh xạ affin Nếu F giả đơn điệu K tồn £ > cho F£[u ) — (a -|- e)u b giả đơn điệu K vói £ £ (0, ẽ) Chứng minh Ánh xạ F£[u) thỏa mãn Trường hợp Định lý 2.4.1 Ta chứng minh điều Trường hợp (a) — (6) tầm thường Trong trường hợp từ (c) —(e), a ^ khẳng định Vì ta cần xét trường hợp a < Nếu (c) xảy ra, a < aa + b < 0, a £ < (a -|- e ) a -|- b < 0, Ve £ (0, ẽ) với \a\ a ^ 0, *=< m in(|a|, \aa bịa 30 a > Do đó, theo Định lý 2.4.1, Fe{u) — [a -\- e)u + b giả đơn điệu K với £ e (0, ẽ) Nếu [d) xảy ra, a < aß [a + e)ß b > th ì a £ < b > 0, Ve t (0, ẽ) với £ \a ß ^ 0, min{|a|, Iaß + b\ß~x\ ß < — Do đó, theo Định lý 2.4.1 ta lại có Fe[u ) giả đơn điệu K với £ t (0, e) Nếu (e) xảy ra, a < aỊ3 + b > 0, ta chứng minh tương tự trường hợp (d) □ Trong mục ta thấy bảo toàn tính giả đơn điệu Fe, với £ > đủ nhỏ( với điều kiện F giả đơn điệu) trình bày Hệ |2.4.1| trường hợp ^ ! - l không hoàn toàn cho trường hợp K lồi, đóng, khác rỗng Kn, n > 2.4.2 T rư n g h ợ p n h iề u ch iề u Phần nghiên cứu tính giả đơn điệu ánh xạ affin trường hợp nón K — (trường hợp đặc biệt) Sau ta nhắc lại số kiến thức Đ ịn h lý 2.4.2 ( Xem(|3j, Mệnh đề 3.1)) Cho M & M.nKn q £ Rn Khi đó, F [ u ) — M u q giả đơn điệu R” khỉ M TV Ẹ Rn (v, M v } < 0) (v )ỉ max{0, —V ị ) với i ( v , q} ^ , ( V, q ) ^ 0, M TV với ^ — ,2 , ,71 31 ^ ( v , M v + q ) [...]... bất đẳng thức biến phân là sự thay thế bài toán ban đầu bằng một dãy các bài toán mà ta dễ tìm nghiệm hơn Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (viết tắ t TRM) là một trong những phương pháp như vậy Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov được áp dụng cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu Vì bài toán đơn điệu có thể không có tính chất ổn định như bài toán đơn điệu mạnh Từ đó người ta mở rộng nghiên cứu bất đẳng thức. .. đến phương pháp hiệu chỉnh T ikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Câu hỏi sau về mối liên hệ giữa ánh xạ giả đơn điệu với sự hội tụ của dãy lặp được xây dựng bởi phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov: Nếu K c_ Kn là tập lồi, đóng, khác rỗng, F : K —>№.n là ánh xạ giả đơn điệu liên tục và bài toán V I { K , F ) có một nghiệm, khi đó có tồn tại £i > 0 sao cho ánh xạ FB — F -\-EỈ là giả đơn. .. thấy nếu F liên tục và giả đơn điệu trên nón lồi K th ì u* t Sol{K, F) khi và chỉ khi ( F { u ) , u - u ) ^ 0 , V u ^ K Đây chính là bổ đề Minty cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Nội dung của chương này được viết dựa trên cơ sở của các tài liệu [TỊ, ỊH] 16 Chương 2 Phư ơng pháp hiệu chỉnh T ikhonov cho bài toán bất đẳng thứ c biến phân giả đơn điệu 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh T ikhonov Một trong... mạnh Từ đó người ta mở rộng nghiên cứu bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Điều thú vị là sự nghiên cứu bài toán giả đơn điệu đã dẫn tới sự phát triển sâu hơn về bất đẳng thức biến phân đơn điệu Xét bài toán V I { K , F ) trong không gian nhất của Kí hiệu ánh xạ đồng là I và đặt Fe — F + e l với mọi £ > 0 Để giải bài toán V I { K , F ), ta giải dãy bài toán V I { K , F £k) với [£k\ là một dãy số thực... trình hiệu chỉnh không bị chặn Do đó, nhìn lại Ví dụ 2.2.1 ta thấy tính giả đơn điệu có thể bị m ất đi trong suốt quá trình hiệu chỉnh đối với toán tử giả đơn điệu không tuyến tính Vậy câu hỏi đặt ra là tính giả đơn điệu của ánh xạ affin có được bảo toàn trong quá trình hiệu chỉnh hay không Trong mục tiếp theo ta đề cập đến vấn đề này 2.4 T ính giả đơn điệu của ánh xạ hiệu chỉnh Tác động của phương pháp. .. với mọi £ > 0 Hơn nữa, theo Bổ đề 2.3.5 bài toán L C P { M Sìq) có nghiệm duy nhât với mọi £ t (0, Trong Định lý 2.3.4 ta chứng minh được tính duy nhất nghiệm của bài toán hiệu chỉnh cho bài toán bù tuyến tính giả đơn điệu dưới điều kiện nhẹ về tính chấp nhận được của bài toán ban đầu Chứng minh của ta không sử dụng kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán hiệu chỉnh trong Định lý 2.3.3 Kết quả trong... chất của toán tử đảm bảo cho bài toán có nghiệm là tính đơn điệu và đơn điệu tổng quát Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1 ( XemỊỊĨÕ]) Ánh xạ F : K —>W 1 được gọi ỉà: (a) Đơn điệu nếu \ F { u ) —F{y), u — V ) ^ 0, Vw, V t K] 14 (b) Dơn điệu mạnh nếu d'y > 0 sao cho ( F { u ) — F { v ) , и — v } ^ 7 \u — V |2, Vw, V ^ К] (c) Giả đơn điệu nếu (F[u), V — ù) ^ 0 =?►(_F(v),v — ù) ^ 0, với mọi u , v t К] (d) Giả đơn điệu. .. xạ giả đơn điệu, đặc biệt là ánh xạ giả affin đã được giới thiệu và đưa ra các tính chất bởi M Bianchi, N.Hadjisavvas 19 và s Schaible Để dễ trình bày ta giới hạn trong luận văn này cho trường hợp ánh xạ là giả affin Ta xét ánh xạ F : K —* M.n có dạng F{u) — M u + q, F không nhất thiết giả affin nhưng Fe — F + e l là giả affin, với £ > 0 đủ nhỏ Ta đưa ra điều kiện đủ để bài toán bất đẳng thức biến phân. .. và Trường hợp 3 ta chỉ ra rằng F giả đơn điệu trên K khi và chỉ khi aa b < 0 hoặc aệ b > 0 □ Trên nền tảng của Định lý 2.4.1, ta nghiên cứu sự bảo toàn tính giả đơn điệu của ánh xạ hiệu chỉnh H ệ q u ả 2.4.1 Cho K là tập lồi, đóng trong M và F [ u ) — au + b là một ánh xạ affin Nếu F là giả đơn điệu trên K thì tồn tại £ > 0 sao cho F£[u ) — (a -|- e)u b là giả đơn điệu trên K vói mọi £ £ (0, ẽ) Chứng... chỉ ra rằng giả thiết của Định lý 2.3.2 là khá chặt chẽ Ta tìm cách để mở rộng khả năng áp dụng của Định lý 2.3.2, P hát biểu sau là mở rộng của 20 Định lý 2.3.2, Nó đưa ra điều kiện đủ về tính duy nhất nghiệm của bài toán hiệu chỉnh cho lớp bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Vì định lý sau là mở rộng của Định lý 2.3.2 nên ta không cần chứng minh riêng hai định lý này Đ ịn h lý 2.3.3 Giả sử F : —>