GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÀI LI U BÀI GI NG KHÓA PEN – M – 2016 GV: Nguy n Thanh Tùng D NG CHU I B T CHU I B T  ( a  b)  I.1) a  b2  NG TH C I ng ta có: a b   2ab I.2) 1    a b ab   2  a b a  b2 nT hi D a b ie CHÚ Ý: uO Ch ng minh (Các b n xem cu i tài li u) ( a  b)  2ab a , b   ây đ u b t đ ng th c c b n quen thu c v i t n xu t có m t đ thi i H c – THPTQG cao Khi s d ng thi b n ph i ch ng minh (“nhúng” nh ng đo n ch ng minh gi ng c a th y vào bài) Trong tài li u đ không ph i ghi l i nhi u l n cách ch ng minh th y đ u b qua (ngh a b n ph i thêm đo n vào ) v n d ng m t cách “linh ho t” b t đ ng th c Các b n c n hi u rõ cách s d ng, c ng nh “ý ngh a” hay c a t ng b t đ ng th c Khi làm đ c u vi c làm ch chu i b t đ ng th c s khó kh n (th y s phân tích k gi ng) Các chu i b t đ ng th c có th đ c s d ng d i nhi u hình th c khác ta gán hai bi n a, b b i đ i l ng khác nhau, ví nh I.1) I.2) có th vi t d i d ng: s/ Ta iL B t đ ng th c a  b2  /g om c a b   w w w fa  a b  bo ok  ce  ro up   D u “=” x y a  b  01 Cho a , b, c s th c d NG TH C I H oc BÀI S a4a   ab ; 1  4  a b ab  a4b   2  a b a b 1 2 …  2    2 a b ab  a  b  a b a  b4 Các ví d minh h a Ví d Cho x, y, z s th c d ng Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : P   2 2( x  y  z  xz)  x  y  yz x  y  z Phân tích h ng gi i (Bài gi ng) Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Gi i Áp d ng b t đ ng a  b2  ( a  b) hay 2(a  b2 )  a  b chu i b t đ ng th c I.1, ta đ 2( x2  y2  z2  xz)  ( x  z)2  y2   x  z  y  2( x  y  z  xz)  2  c: x y z3 Áp d ng b t đ ng th c a  b  ab hay ab  a  b chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c: 3 3 hay  yz  y.2 z  y  z    2( x  y  z) x  y  yz x  y  yz x  y  y  z 8       v i t  x y z  x  y  z  2( x  y  z) x  y  z x  y  z  2( x  y  z) t  2t v i t 0 Xét hàm s f (t )   t  2t 3(t  1)(5t  3)  2 Ta có f '(t )   ; f '(t )   t  (do t  ) (t  3) 2t 2t (t  3)2 B ng bi n thiên: ro v i t  /g T b ng bi n thiên suy P  f (t )  f (1)  up s/ Ta iL ie uO nT hi D H oc 01 Khi P  bo ok c om x  z  y  2z 1 D u “=” x y   x z ;y x  y  z  t  1 V y P đ t giá tr l n nh t b ng , x  z  ; y  2 fa ce Ví d (A,A1 – 2014) Cho x, y, z s th c không âm th a mãn u ki n x2  y2  z2  w w Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  x2 y z  yz   x  yz  x  x  y  z  w Phân tích h ng gi i: (Bài gi ng) Gi i: Áp d ng b t đ ng a  b2  2ab chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c: 2(1  yz)  x  y  z  yz  x  ( y  z)  x( y  z)   yz  x( y  z) 2 2 x2 x2 x   Suy x  yz  x   x  x  x( y  z)  x( x  y  z  1)  x  yz  x  x( x  y  z  1) x  y  z  Khi P  x y z  yz 1  yz   1  x  y  z 1 x  y  z 1 9 Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ( a  b) chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c: ( x  y  z)2 ( x  y  z)2 2(1  yz)  x2  y2  z2  yz  x2  ( y  z)2    yz  Cách 1: Áp d ng b t đ ng th c a  b2  Suy P  ( x  y  z) x  y  z  yz   1  36 x  y  z 1 x  y  z 1 t t  x y z 0 Ta có t  ( x  y  z)2  3( x2  y2  z2 )    t  Khi P   t2   f (t ) Xét hàm s t  36 f (t )   t2 v i 0t   t  36 t (t  2)(t  4t  9)   ; f '(t )   t  (t  1)2 18 18(t  1)2 B ng bi n thiên: Ta s/ T b ng bi n thiên suy P  f (t )  f (2)  iL ie uO nT hi D H oc 01 Ta có f '(t )  ro up 5 Khi x  y  z  P  V y giá tr l n nh t c a P 9 /g ( a  b) hay a  b  2(a  b2 ) chu i b t đ ng th c I.1, ta đ om Cách 2: Áp d ng b t đ ng th c a  b2  c: bo ok c x  y  z   x2  ( y  z)2   2(2  yz)   yz t2   f (t ) t t   yz  , đó: P   2t  ce 1  yz  Suy P    yz  t2  v i t  2t  2t 2(t  1)(4t  8t  9)    v i t  1, suy f (t ) ngh ch bi n v i t  Ta có f '(t )  (2t  1)2 9(2t  1) Suy P  f (t )  f (1)  5 Khi x  y  z  P  V y giá tr l n nh t c a P 9 fa f (t )   w w w Xét hàm s Ví d Cho hai s th c x, y thu c kho ng (0;1) th a mãn ( x3  y3 )( x  y)  xy( x  1)( y  1)  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c sau P  12 36  (1  x2 )(1  y2 )  3xy  x4  y4 xy Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phân tích h ng gi i (Bài gi ng) Gi i Ta có ( x  y )( x  y)  xy( x  1)( y  1)   ( x3  y3 )( x  y)  xy( x  1)( y  1) (*) Áp d ng b t đ ng th c a  b  ab chu i b t đ ng th c I.1, ta đ ( x3  y3 )( x  y)  x3 y3 xy  x2 y2   xy( x  1)( y  1)  xy  xy  ( x  y)  1  xy xy  xy    T (*) (2*) , suy ra:    c: (2*)  x2 y2  xy xy  xy   xy  xy  xy   3xy  xy     xy  Ti p t c áp d ng b t đ ng th c a  b  ab chu i b t đ ng th c I.1, ta đ 1   xy  c: H oc 2 2  12 x2 y2 (1  x )(1  y )  x y  36 xy       xy P xy  2 4 xy   36 36 xy xy  x  y  x y  2x y 01 hi D uO ie  10  2t     v i t  1; t  2 t t   iL Ta có f '(t )    10  2  t  v i t  1;  t   Ta f (t )  s/ Xét hàm s  10  10 2 hay t  1;    xy   Khi P   t   t   nT t t   xy ,  xy  c om /g ro up  10   10  1 Suy f (t ) đ ng bi n v i t  1;  D u “=” x y x  y      P  f (t )  f  10     1  , x  y  V y P đ t giá tr l n nh t b ng 10 fa ce bo ok Ví d (B – 2013) Cho a , b, c s th c d ng Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : P  a  b2  c  (a  b) (a  2c)(b  2c) w w Phân tích h w Áp d ng b t đ ng th c xy  ng gi i (Bài gi ng) Gi i x y 2xy  x2  y2 chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c: a  b  4c a  b2  2ab  4bc  4ca  2 2 2 2 a  b  a  b  2(b  c )  2(c  a )  2(a  b2  c )  9 Suy P  t t  a  b2  c   , đó: P    2 t 2(t  4) a  b2  c  2(a  b  c ) (a  b) (a  2c)(b  2c)  (a  b) Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Xét hàm s f (t )   v i t2 t 2(t  4) Ta có f '(t )   9t (4  t )(4t  7t  4t  16)   t (t  4)2 t (t  4)2 nT a  b  c  uO V y P đ t giá tr nh nh t b ng D u “=” x y a  b  c  hi D T b ng bi n thiên suy P  f (t )  H oc 01 Mà 4t  7t  4t  16  4(t  4)  t (7t  4)  v i t  , suy f '(t )   t  B ng bi n thiên ie Ví d (B – 2014) Cho s th c a , b, c không âm th a mãn u ki n (a  b)c  Ta iL a b c   bc a  c 2(a  b) s/ Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P  c: om /g ro up Phân tích h ng gi i: (Bài gi ng) Gi i: x y V i a  , áp d ng b t đ ng th c x  y  xy hay xy  chu i b t đ ng I.1, ta đ bo ok c a a a 2a (1)    bc a (b  c) a  b  c a  b  c a 2a  (2) T (1) (2), suy bc a bc fa c: a 2a  bc a bc b 2b  a c a bc w ng t ta đ w T ce V i a  ta có w Áp d ng b t đ ng th c x  y  xy chu i b t đ ng I.1, suy ra: P  2(a  b) a  b  c  2(a  b) c 2(a  b) a  b  c    2     a  b  c 2(a  b)  a  b  c 2(a  b)  a  b  c 2(a  b) 2 3 V y giá tr nh nh t c a P b ng 2 Chú ý: toán ta có th d n bi n đ dùng hàm s hàm s nh sau: c 2(a  b) c c 0 P      2t  f (t ) v i t  a b a  b  c 2(a  b)  c 2(a  b)  t a b Khi a  0, b  c  P  Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Ví d ( minh h a BGD – 2015) Xét s th c x Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c sau: 3(2 x2  x  1) 1   P x2  (3  3) x  x2  (3  3) x  Phân tích h ng gi i (xem gi ng) Gi i 1 2   chu i b t đ ng th c I.2) Khi đó: a b a b Áp d ng b t đ ng th c : x  (3  3) x   2 x  (3  3) x   2 4x  6x  01 3(2 x2  x  1)  x2  x   x2  x  M t khác, ta có: hi D H oc x2  x  2 Suy P   4x  6x  Cách trình bày 1: t 3 2  15 15    f (t ) t t  x  x   4 x     , đó: P  4 4 t  t 3 2 15  v i t t ie f (t )  iL Xét hàm s uO nT s/ Ta t t  2(t  3) (t  6)(t  6t  36)    Ta có f '(t )  t 3 t t 6t t (t  3) 6t t (t  3) t t  2(t  3)  fa ce bo ok c om /g ro up 15  f '(t )   t    ;   , t ta có b ng bi n thiên: 4  w w w T b ng bi n thiên ta có P  f (t )  f (6)  D u “=” x y x  V y giá tr nh nh t c a P Cách trình bày 2: t2  2  15 15    f (t ) t t  x2  x    x     , đó: P  t 4  Xét hàm s t2  2 t 2 t  2(t  3) 15  f (t )  v i t Ta có f '(t )  ;   t t t2  3t t   15  f '(t )   t  2(t  3)   t  72(t  3)  (t  6)(t  6t  36)   t    ;     T ta có b ng bi n thiên: Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 T b ng bi n thiên ta có P  f (t )  f ( 6)  D u “=” x y x  V y giá tr nh nh t c a P ng th a mãn: 1   x y z x2  y2 2z  z x y Phân tích h ng gi i (xem gi ng) Gi i 1 2 xy x  y    xy  ( x  y) z   , đó: x y z z z 01 Ví d Cho x, y, z ba s th c d hi D nT x2  y2 2z ( x  y)2  xy 2z 2z 2z  x  y  xy  x y  x y            2 z x y z x y  z  z x y  z  z x y ie uO P H oc Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P  T iL 1 x y 1 2  chu i b t đ ng th c I.2), ta có:      z x y x y z a b a b x y , P  t  t   f (t ) v i t  t t t z up s/ Ta Áp d ng b t đ ng th c c om /g ro 2t  t  (t  2)(2t  3t  6)  10   v i t  Ta có f '(t )  2t    t t2 t2 Suy f (t ) đ ng bi n  2;   , f (t )  f (2)  hay P  bo ok x  y D u “=” x y   x  y  z V y giá tr nh nh t c a P x  y  2z w w w fa ce Ví d Cho a , b, c s th c d ng th a mãn a  b  c  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: bc ca ab P   3a  bc 3b  ca 3c  ab Phân tích h ng gi i (xem gi ng) Gi i T u ki n a  b  c   3a  bc  (a  b  c )a  bc  a (a  b )  c (a b )  (a b )(a c ) Áp d ng b t đ ng th c 1   hay x y xy 11 1     chu i b t đ ng th c I.2), ta đ xy  x y  c: bc bc  1    bc    3a  bc (a  b)(a  c)  a  b a  c  Ch ng minh t ng t ca ca  1      bc ba  3b  ca ab ab  1      3c  ab  c  a c  b  Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 bc  1  ca  1  ab  1  Khi P            a b a c  bc ba   c a c b   bc  ca ab  ca ab  bc  a  b  c 3      hay P   2 a b bc ca  2 3 V i a  b  c  P  V y giá tr l n nh t c a P 2 Ví d Cho x, y, z s th c d x  yz y2  zx z2  xy   y  zx z  xy x  yz 01 Phân tích h ng gi i (xem gi ng) Gi i H oc P ng th a mãn x  y  z  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : hi D P x2  yz y2  zx z2  xy    3 y  3zx 3z  3xy 3x  yz Ta có Áp d ng b t đ ng th c a  b2  2ab hay 2ab  a  b2 chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c: 2 ng t ta có: 3z  3xy  x2  y2  z2  xy  yz  zx 3x  yz  x2  y2  z2  xy  yz  zx uO T nT y  3zx  ( x  y  z) y  zx  zx  ( x  y  z) y  zx  z  x  x  y  z  xy  yz  zx ie P x2  yz  y2  zx  z2  xy    P  D u “=” x y x  y  z  x2  y2  z2  xy  yz  zx V y P đ t giá tr nh nh t b ng , x  y  z  up s/ Ta iL Khi ng th a mãn x2  y2  z2  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: 1 32 P   2 2 x x y y  x y (1  z)3 om /g ro Ví d 10 Cho x, y, z s th c d ce 1   chu i b t đ ng th c I.2, ta đ x y x y c: fa Áp d ng b t đ ng th c bo ok c Phân tích h ng gi i (Bài gi ng) Gi i: T u ki n ta có x, y, z (0;1) w w w 1 4     2 2 2 2 2 x x y y x y x x y y x y (x  y ) (1  z2 )2 32 32    f ( z) Xét f ( z)  Suy P  v i z (0;1) 2 2 (1  z ) (1  z)3 (1  z ) (1  z) Ta có f '( z)  16 z 96 16(6 z3  17 z2  19 z  6) 16(2 z  1)(3z2  z  6)    (1  z2 )3 (1  z)4 (1  z)3 (1  z) (1  z)3 (1  z) Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Suy f '( z)   z  z (0;1) B ng bi n thiên: nT 448 , x  y  z  27 uO V y P đ t giá tr nh nh t b ng hi D H oc 01 x  y  x y   1 448     D u “=” x y  z  T b ng bi n thiên ta có P  f ( z)  f       27  z   x2  y2  z2   s/ ng gi i (Bài gi ng) Gi i up Phân tích h Ta iL ie Ví d 11 Cho a , b, c đ dài ba c nh tam giác th a mãn u ki n abc  b  2c Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P    b c a a c b a b c c om /g ro T u ki n ta suy a   c b 1 Áp d ng b t đ ng th c   chu i b t đ ng th c I.2 x  y  xy chu i b t đ ng th c I.1, x y x y 4 3 1 3           a    2.2 a  hay P  a a 2c 2b 2a c b a   fa  1 1 1         2   3  bc a a c b  bc a a bc   a cb a bc  bo ok c: P  ce ta đ w w D u “=” x y a  b  c  w Ví d 12 Cho a , b, c s th c d ng Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: 3(b  c) 4a  3c 12(b  c)   P 2a 3b 2a  3c Phân tích h ng gi i (Bài gi ng) Gi i 3(b  c) 4a  3c 12(b  c) 4a  3b  3c 4a  3b  3c 4(4a  3b  3c) Ta có P  11  2 1 8    2a 3b 2a  3c 2a 3b 2a  3c    (4a  3b  3c)      2a 3b 2a  3c  Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 1 Áp d ng b t đ ng th c   chu i b t đ ng th c I.2, ta có: x y x y 1    1 16   2a 3b 2a  3b       (4a  3b  3c)       16 16 2a 3b 2a  3c 4a  3b  3c  2a 3b 2a  3c       2a  3b 2a  3c 4a  3b  3c c: nT 1   chu i b t đ ng th c I.2, ta đ x y x y 1 4    x y y  z x y  y  z x 2y  z ie uO Áp d ng b t đ ng th c ng gi i: (Bài gi ng) Gi i: hi D Phân tích h H oc Ví d 13 Cho x, y, z s th c d ng th a mãn x2  y2  z2  Ch ng minh r ng: 1 4      x y y z z x x  y  z  01 Hay P  11  16  P  D u “=” x y 2a  3b  3c  V y P đ t giá tr nh nh t b ng 2a  3b  3c  c: Ta iL Áp d ng b t đ ng th c a  b2  2ab chu i b t đ ng th c I.1, ta đ x 1  2x  2 2  2( y  1)  2.2 y  y  2( x  y  z)  x  y  z   y   x 2y  z y   z2   z  1 1     z x x y x 7 y z z x z 7 1 4      c: x y y z z x x  y  z  ng t ta có om 1   T x y y z y  c Suy /g ro up s/ bo ok C ng theo v ba b t đ ng th c ta đ fa ce D u “=” x y x  y  z  w w w Ví d 14 (A – 2005) Cho x, y, z s th c d ng th a mãn 1    Ch ng minh r ng : x y z 1   1 2x  y  z x  y  z x  y  2z Phân tích h ng gi i: (Bài gi ng) Gi i: 11 1 1     chu i b t đ ng th c I.2, ta đ Áp d ng b t đ ng th c   hay a b 4 a b  a a a b c: 1 1 1    1   1   1                     x  y  z ( x  y)  ( x  z)  x  y x  z    x y   x z   16  x y z  Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 1 1 1 1 1 2 T ng t ta có:           x  y  z 16  x y z  x  y  z 16  x y z  1 1 1 1         x  y  z x  y  z x  y  z 16  x y z  D u “=” x y x  y  z  Ví d 15 Cho x, y, z s th c d ng th a mãn x  y   z Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : P  x y z2    x  yz y  zx z  xy 01 Suy Phân tích h hi D ng t ta có: y  zx  ( x  y)( x  1) nT T H oc ng gi i: (Bài gi ng) Gi i: Ta có: z  xy  x  y   xy  ( x  1)( y  1) x  yz  x  y( x  y  1)  x  y  y( x  y)  ( x  y)( y  1) uO x y z2  x2  y2  x  y z2      Khi P  ( x  y)( y  1) ( x  y)( x  1) ( x  1)( y  1) ( x  y)( x  1)( y  1) ( x  1)( y  1) ie iL s/ ( x  y)2 ( x   y  1)2 ( x  y  2)2  ( x  1)( y  1)  4 up x2  y2  ( a  b) ( a  b) ab  chu i b t đ ng th c I.1, ta có: Ta Áp d ng b t đ ng th c a  b2  w w w fa ce bo ok c om /g ro ( x  y)2  x y 4( z2  2) 4( z2  2) z2  2 Suy P        f ( z) v i z  ( x  y  2) ( x  y  2) x  y  ( x  y  2) z  ( z  1) ( x  y) 4 2 4( z  2) 8( z  2) 6( z  3)    Xét hàm s f ( z)  v i z  Ta có f '( z)   ; f '( z)   z  2 z  ( z  1) ( z  1) ( z  1)3 ( z  1)3 B ng bi n thiên T b ng bi n thiên, suy P  f ( z)  V y P đ t giá tr nh nh t b ng  x  y; z   x  y  13 D u “=” x y   x  y 1  z z  13 , x  y  z  Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 2 Ví d 16 Cho x, y, z s th c d ng th a mãn u ki n x  y  z  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  2( y  z  x)  xyz Phân tích h Áp d ng b t đ ng th c a  b2  b t đ ng th c I.1, ta đ ng gi i: (Bài gi ng) Gi i: a  b2 ( a  b) hay a  b  2(a  b2 ) a  b2  2ab hay ab  chu i 2 c:     2(1  x2 )  x  x.(1  x2 )  2(1  x2 )  x3  x  f ( x) 2 Xét hàm s H oc 01 P  2( y  z  x)  xyz  y2  z2 2( y  z )  x  x 2 2 f ( x)  2(1  x2 )  x3  x v i  x  2 2 x c om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D 27 x  (27 x2  5)  x2  x    x2 2  x2 0  x  1  2 Khi f '( x)   x  (27 x  5)  x  27 x2    x (3x2  1)(9 x2  1)(27 x2  25)   B ng bi n thiên Ta có f '( x)  fa ce bo ok   10 T b ng bi n thiên suy P  f ( x)  f    3 10 10 Khi x  ; y  z  P  V y giá tr l n nh t c a P 3 3 ng th a mãn x  y  z  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : w w w Ví d 17 Cho x, y, z s th c d P x y2   ( x  y)2 2 ( y  z)  yz ( z  x)  zx Phân tích h ng gi i: (Bài gi ng) Gi i: ( a  b) chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c: Áp d ng b t đ ng th c (a  b)2  4ab hay ab  y2 y2 x2 x2 x2  (1) T ng t ta có: (2)   ( z  x)2  zx 9( z  x) ( y  z) 9( y  z) ( y  z)2  yz ( y  z)  Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 2 C ng (1) (2), k t h p b t đ ng th c a  b2  ( a  b) ( a  b) ab  chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c: 2 x2 y2  x   y    x y            ( y  z)  yz ( z  x)  zx  y  z   z  x    y  z z  x  2  ( x  y)   (1  z)  2 z x y z z     ( ) (1 ) 2      x  y  z( x  y)  2  z 1  2             xy  z( x  y)  z2   ( x  y)2  (1  z)  z 1  2 2  z( x  y)  z  z(1  z)  z      z 1  Khi P     (1  z)  f ( z) (*)  z 1  01  z 1  Xét f ( z)     (1  z) v i c  (0;1)  z 1  H oc up s/ Ta iL ie uO nT hi D ( z  1)  43  (3z  31)3  16 z   ( z  1)  Ta có f '( z)  ; f '( z)   z  (vì z (0;1) ) z  ( z  1) 18( z  1) ro v i z  (0;1) (2*) /g D a vào b ng bi n thiên : f ( z)   om 1 D u “=” x y x  y  z  V y giá tr nh nh t c a P  bo ok c T (*) (2*) suy P   ng th a mãn x2  y2  z2  26 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: z z(9 x  y)  P 32 xy xy  13 w w w fa ce Ví d 18 Cho x, y, z ba s th c d Phân tích h ng gi i: (Bài gi ng) Gi i: 2 Áp d ng b t đ ng th c a  b  2ab chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c: 2( xy  13)  xy  x2  y2  z2  ( x  y)2  z2  2( x  y) z hay xy  13  ( x  y) z Suy z  xy  13 Ta s ch ng minh z2 z2   xy  13 ( x  y) z z x y 9x  y  (xem cách phân tích gi ng đ bi t đ 32 xy 2( x  y) c ta có đánh giá này) Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Th t v y, b t đ ng th c t ng đ ng: (9 x  y)( x  y)  16 xy  x2  xy  y2   (3x  y)2  (luôn đúng) Khi P  Xét hàm s z z  x  y 2( x  y) f (t )  t  t t t2 z , suy P  t   f (t ) 0 x y t2 v i t  Ta có f '(t )   t ; f '(t )   t  nT 1 V y P có giá tr l n nh t b ng 2 uO Khi x  1; y  3; z  P  hi D T suy P  f (t )  f (1)  H oc 01 B ng bi n thiên: t2 1   (t  1)2   2 2 Ta iL ie Chú ý: Có th tìm giá tr l n nh t c a f (t ) b ng cách bi n đ i: f (t )  t  ng x, y, z th a mãn x4   y2  1  z4  s/ Ví d 19 Cho s th c d x  y  z2  2 ng gi i: (Bài gi ng) Gi i: c Phân tích h om /g ro up Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  y  x  z   a  b2 ( a  b)  a  b2 chu i b t đ ng th c I.1, ta đ 2 bo ok Áp d ng b t đ ng th c ab  c: ce y   x  z 1 a  b)   y2  x2  z2   2ab ) : P  (suy t a  b  2 2 x  y  z 1 x  y  z2  2 T gi i thi t ta có  x4   y2  1  z4   x2  y2  z2  1 , suy  x2  y2  z2  2 t t  x  y  z 1 1  t  2 w w w fa 1 Xét hàm s f  t   t   ; t  Ta có f '  t     v i t  1;5  t t 21 Suy f (t ) đ ng bi n 1;5 , P  f (t )  f  5    5  21 x  z  ng th c x y  V y max P   y  Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 2 Ví d 20 Cho x, y, z s th c th a mãn x  y  z  xyz  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  2( x  y  z)  xyz Phân tích h ng gi i: (Bài gi ng) Gi i: Không m t tính t ng quát, gi s x   x; y; z , xyz   x  M t khác x2  y2  z2   x2   x   3;0 y2  z ( x  z)2 hay y  z  2( y2  z2 ) yz  chu i b t đ ng I.1, ta 2 y2  z2  x2 x3 x đ c: P  2( x  y  z)  xyz  x  2( y2  z2 )  x  x  2(9  x2 )  x    2(9  x2 ) 2 2 x 5x Xét hàm s f ( x)    2(9  x2 ) v i x  3;0  2 Áp d ng b t đ ng th c y2  z2  H oc hi D 3x2 2 x (3x2  5)  x2  2 x    2  x2  x2 nT Ta có f '( x)    01   3x2    Khi f '( x)   (3x  5)  x  2 x   2 2  (3x  5) (9  x )  x 5 1 Ta 3x2  2  x 3x        9 x  111x  327 x  225   x    x ie uO iL /g ro up s/ 25  x   x  1  3;0  3 om Ta có f (3)  6 ; f (1)  10 f (0)   f ( x)  f (1)  10 ce bo ok c  x  1; y  z   x  1 D u “=” x y    2 y  z  x  y  z  V y P đ t giá tr nh nh t b ng 10 , x  1 ; y  z  w w fa Chú ý: toán có th không c n u ki n xyz  Khi b n tham kh o nh ng b c gi i sau: Áp d ng b t đ ng th c Cauchy – Schwarz (s đ c tìm hi u k h c sau), ta có: w 2( x  y  z)  xyz  x(2  yz)  ( y  z).2  ( x2  ( y  z)  (2  yz)  4  (2 yz  9)( y2 z2  yz  8) t t  yz , suy ra: P  2( x  y  z)  xyz  (2t  9)(t  4t  8)  f (t ) Gi s x  max  x , y , z   3x2  x2  y2  z2   x2   y2  z2   yz  Ta d dàng ch ng minh đ c y2  z2  hay t  (2t  9)(t  4t  8)  10 v i t  Khi ta suy đ c đáp s toán Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng  HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 BÀI LUY N THÊM Bài Cho s th c x, y th a mãn x  y  Ch ng minh r ng xy(4 x2  y2 )  Bài Cho s th c x, y  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c M  ng a , b, c, d Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: (a  b)(a  b  c)(a  b  c  d ) abcd Bài Cho a , b  c  Ch ng minh r ng: 01 M c(a  c)  c(b  c)  ab uO nT hi D Bài Cho hai s th c x, y th a mãn u ki n x4  16 y4  2(2 xy  5)2  41 Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a bi u th c P  xy  x  y2  H oc Bài Cho s th c d x3  y3  ( x2  y2 ) ( x  1)( y  1) s/ Ta iL ie Bài Cho x, y, z s th c d ng Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : 4 P   x2  y2  z2  ( x  y) ( x  z)( y  z) ( y  z) ( y  x)( z  x) 1 1 th a mãn:   2 a 1 b 1 c 1 1 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P    4a  4b  4c  om /g ro up Bài Cho a , b, c s th c l n h n  bo ok c Bài Cho x, y, z s th c d ng th a mãn x  y  z  Ch ng minh r ng: 1 1 1      x  y y  3z z  3x x  y  z  w w fa ce Bài Cho a , b, c s th c không âm đôi m t phân bi t th a mãn ab  bc  ca  1   Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P  2 (a  b) (b  c) (c  a ) w Bài 10 Cho x, y, z s th c không âm th a mãn x2  y2  z2  xyz  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P  xy  yz  zx  xyz Bài 11 Cho s th c d ng a , b, c Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P  a  b2  c   a  1 b  1 c  1 ng th a mãn a  2b  c  a  b2  c2  ab  bc  ca  a c2 a  b 1  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P  a (b  c)  a  b  (a  c)(a  2b  c) Bài 12 Cho a , b, c s th c d Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CHU I B T Cho a , b, c s th c d I.1) a  b2  ( a  b) 2   NG TH C I ng ta có: a b   2ab I.2) 1    a b ab  a b   2  a b a  b2 D u “=” x y a  b 01 Ch ng minh H oc ( a  b) ch ng minh chu i b t đ ng th c I.1) ta ch c n ch ng minh b t đ ng th c a  b  ; 2       2ab ie a b s/ Ta ( a  b) 2 1) Ch ng minh: a  b2   iL Chu i b t đ ng th c I.1) ( a  b) a  b2   uO nT hi D a b a b ( a  b)   2ab Song đ ti n cho vi c làm ví d t p, ta s ch ng 8 minh “đ y đ ” b t đ ng th c đ c t o t chu i b t đ ng th c I.1) t ng t ta c ng s ch ng minh 10 b t đ ng th c t chu i b t đ ng th c I.2) up ( a  b)  2(a  b2 )  (a  b)2  (a  b)  a , b   (đpcm) Ta có a  b   a b  /g ( a  b)  2) Ch ng minh: ro om 8  w w w Áp d ng AM – GM ta có: 4) Ch ng minh: a  b  2  ( a  b)   a b  4 ( a  b)    a b  (đpcm) ce a b a b  2ab fa 3) Ch  ng minh: bo ok c  V i a , b  áp d ng 1) ta có a  b    a  b  ab  a b   a b    16ab  a b    T 1) 2) suy a  b a b 8   2ab (đpcm) ( a  b)  2ab 5) Ch ng minh: ( a  b)  2ab  (a  b)2  4ab   (a  b)2  (đpcm) Ta có: 6) Ch ng minh: a  b2  2ab Ta có: a  b2  a 2b2  ab  2ab (ho c ch ng minh a  b2  2ab  a  b2  2ab   (a  b)2  ) Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Chu i b t đ ng th c I.2) a b   2  a b a  b2 1   a b ab Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có : Áp d ng bđt AM – GM ta có:  a b    a  b  ab   a b   ab   ab   (đpcm) 01 a b a b H oc  1   (đpcm) a b ab a b  a b    a b   (đpcm) a b uO Áp d ng bđt AM – GM ta có: a  b  ab  2(a  b)  hi D  ab 2) Ch ng minh: 3) Ch ng minh:  nT 1) Ch ng minh: 1    a b ab 2  a b a  b2 2 16 Ta có     2(a  b2 )  (a  b)2  (a  b)  (đpcm) 2 2 a b ( a  b ) a  b a b 1 5) Ch ng minh:   a b a b ro  /g  up s/ Ta iL ie 4) Ch ng minh: 1   a b ab  a b  c a  b  ab  bo ok M t khác: om Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có :  ab  ab  a b  , suy 1   a b  a b  (đpcm)  ab a  b fa ce 6) Ch ng minh:  (đpcm) ab a  b w w Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có : a  b  ab  w 7) Ch ng minh:   a b  2  a  b2 Ta có a  b2  2ab  2(a  b2 )  (a  b)  a  b   Áp d ng (*) ta có: a  b  T (*) (2*), suy a  b2 a b  2   ( a  b)   a b   ( a  b) (*) a b  (2*)  a b 2   2 a b    a b   2 a  b2 (đpcm) Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 1   a b a b 1 Ta có:    (a  b)2  4ab  (a  b)2  (đpcm) a b a b 2 9) Ch ng minh:  ab a  b2 8) Ch ng minh: 2     a  b2  2ab  (a  b)2  (đpcm) 2 ab a  b ab a b 1 2 10) Ch ng minh:   a b a  b2 nT uO N CÁC B N Ã C TÀI LI U w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL C M hi D 1 2 (đpcm)   a b a  b2 ie Suy 1 2   a  b2  2ab     a b ab a  b ab ab a  b2 H oc Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có: 01 Ta có GV: Nguy n Thanh Tùng Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 [...]... bđt AM – GM ta có: a  b  2 ab  2(a  b)  hi D 2  ab 2) Ch ng minh: 3) Ch ng minh:  8 nT 1) Ch ng minh: 1 1 2    a b ab 4 2 2  a b a 2  b2 4 2 2 16 8 Ta có    2  2(a 2  b2 )  (a  b)2  (a  b) 2  0 luôn đúng (đpcm) 2 2 2 2 a b ( a  b ) a  b a b 1 1 8 5) Ch ng minh:   2 a b a b ro  /g  up s/ Ta iL ie 4) Ch ng minh: 1 1 2   a b ab  a b  2 c a  b  2 4 ab  bo ok M t khác:... Ch ng minh: 2 ro 2 om 2 8 8  4 w w w Áp d ng AM – GM ta có: 4) Ch ng minh: a 2  b 2  2 2  ( a  b) 2   a b  4 4 ( a  b) 2   2  a b 8  4 (đpcm) ce a b a b  2ab fa 3) Ch  ng minh: bo ok c  V i a , b  0 áp d ng 1) ta có a  b    a  b  2 4 ab  a b 8   a b  4   16ab  a b    4 T 1) và 2) suy ra a 2  b 2 a b 8 8  4  2ab (đpcm) 4 ( a  b) 2  2ab 5) Ch ng minh: 2... GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CHU I B T Cho a , b, c là các s th c d I.1) a 2  b2  ( a  b) 2 2   NG TH C I ng ta có: a b  4  2ab 8 I.2) 1 1 2    a b ab 8  a b  2  4 2 2  a b a 2  b2 D u “=” x y ra khi a  b 01 Ch ng minh ai H oc ( a  b) 2 ch ng minh chu i b t đ ng th c I.1) ta ch c n ch ng minh 3 b t đ ng th... www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 1 1 4   a b a b 1 1 4 Ta có:    (a  b)2  4ab  (a  b)2  0 luôn đúng (đpcm) a b a b 2 2 2 9) Ch ng minh:  ab a 2  b2 8) Ch ng minh: 2 2 2 4 8    2  a 2  b2  2ab  (a  b)2  0 luôn đúng (đpcm) 2 2 2 ab a  b ab a b 1 1 2 2 10) Ch ng minh:   a b a 2  b2 nT uO N...  b)2  4ab  0  (a  b)2  0 (đpcm) Ta có: 2 6) Ch ng minh: a 2  b2  2ab Ta có: a 2  b2  2 a 2b2  2 ab  2ab (ho c ch ng minh a 2  b2  2ab  a 2  b2  2ab  0  (a  b)2  0 ) Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01...   4  4 2  4  2ab ie a b 8 s/ Ta ( a  b) 2 2 1) Ch ng minh: a 2  b2   iL Chu i b t đ ng th c I.1) ( a  b) 2 a 2  b2   2 uO nT hi D a b a b ( a  b) 2   2ab Song đ ti n cho vi c làm trong các ví d và bài t p, ta s ch ng và 8 2 8 minh “đ y đ ” 6 b t đ ng th c đ c t o ra t chu i b t đ ng th c I.1) và t ng t ta c ng s đi ch ng minh 10 b t đ ng th c t chu i b t đ ng th c I.2) up ( a ... 3x2  x2  y2  z2  9  x2  3  y2  z2  6  yz  Ta d dàng ch ng minh đ c y2  z2  3 hay t  3 2 (2t  9)(t 2  4t  8)  10 v i t  3 Khi đó ta suy ra đ c đáp s bài toán Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng  HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01...  13  ( x  y) z Suy ra z  xy  13 Ta s ch ng minh z2 z2   xy  13 ( x  y) z z x y 9x  y 1  (xem cách phân tích trong bài gi ng đ bi t đ 32 xy 2( x  y) c vì sao ta có đánh giá này) Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01... www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 BÀI LUY N THÊM Bài 1 Cho các s th c x, y th a mãn 2 x  y  2 Ch ng minh r ng xy(4 x2  y2 )  1 Bài 2 Cho các s th c x, y  1 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c M  ng a , b, c, d Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: (a  b)(a  b  c)(a  b  c  d ) 2 abcd Bài 4 Cho a , b  c  0 Ch ng minh r ng: 01 M c(a  c)  c(b  c)  ab uO nT hi D Bài 5 Cho hai s th c x, y th a mãn đi... (t ) đ ng bi n trên 1;5 , khi đó P  f (t )  f  5  4   5 5  21 x  z  1 ng th c x y ra khi  V y max P  5  y  2 Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 2 2 2 Ví d 20 Cho x, y,