WWW.ToanCapBa.Net Bài tập số phức qua đề thi đại học 1.( ĐH khối A – 2009 ) z1, z2 nghiệm phương trình z2 + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = z1 + z2 Đáp án: A = 20 2.( ĐH khối B – 2009 ) Tìm số phức z thoả mãn z − (2 + i ) = 10 z.z = 25 Đáp án: z = + 4i z = 3.( ĐH khối D – 2009 ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện z − (3 − 4i) = Đáp án: Đường tròn tâm I(3; -4), bán kính R= 4.(ĐH khối A - 2010 ) Tìm phần ảo số phức z, biết z = Đáp án: - 5.(ĐH khối A – 2010 ) Cho số phức thoả mãn z = ( − 3i ) ( +i ) ( − 2i ) Tìm modun z + iz 1− i Đáp án: 6.( ĐH khối B – 2010 ) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thoả mãn điều kiện z − i = ( + i ) z Đáp án: Đường tròn có phương trình x2 + (y + 1)2 = 7.( ĐH khối D – 2010 ) Tìm số phức thoả mãn điều kiện z = z2 số ảo Đáp án: z1 = + i; z2 = – i; z3 = -1 –i; z4 = -1 + i Công thức Moivre ứng dụng Áp dụng công thức Moavre để thực phép tính a.Phương pháp Ta vận dụng công thức Moivre công thức lượng giác để tính toán : (cos a + i sin a) n = cos( na) + i sin( na) (cos a + i sin a)(cos b + i sin b) = cos ( a + b ) + i sin( a + b) cos a + i sin a = cos ( a − b ) + i sin( a − b) cos b + i sin b a a a a a a + cos a + i sin a = cos + 2i sin cos = cos  cos + i sin ÷ 2 2 2 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net + i tan a = + i sin a = ( cos a + i sin a ) cos a cos a b.Bài tập Tính giá trị số phức sau 10   2π 2π     3π 3π   cos + i sin ÷   cos + i sin      D=   7π 7π     cos + i sin ÷     ÷  Bài giải: Ta có   2π 2π c os + i sin   3     7π 7π   cos + i sin    ÷  10 20π 20π    ÷ = 32  cos + i sin ÷    = 35π 35π   32  cos + i sin ÷ 6   Thế vào (1) ta 20π 20π   3π 3π   32  cos + i sin ÷ cos + i sin ÷ 3  4   D= 35π 35π   32  cos + i sin ÷ 6   =   20π 3π 35π  cos  + −     20π 3π 35π + − ÷ + isin     ÷  = Tính giá trị biểu thức sau: 8π 8π   −  cos − i sin ÷ 3   a) A = (2) 8π 8π   −  cos +i sin ÷ 3   b) B = (1 + i)2008 + (1 – i) 2008 Bài giải: a) Ta có WWW.ToanCapBa.Net (1) WWW.ToanCapBa.Net   2π   − cos  − 4π ÷+ i sin  − ÷ =   3      2π   2π   2π  2 = 2sin  − ÷− 2i sin  − ÷cos  − ÷        2π   2π   2π  = 2sin  ÷+ 2i sin  ÷cos  ÷       Với phép biến đổi tương tự ta có:   4π   4π   8π 8π   −  cos +i sin ÷ = −  cos  ÷+ i sin  ÷ 3         2π   2π   2π  = 2sin  ÷− 2i sin  ÷cos  ÷       Thế hai đẳng thức vừa biến đổi vào (2) ta   2π 8π 8π   −  cos − i sin ÷ = −  cos  − 3      2π   2π   2π  2sin  ÷+ 2i sin  ÷cos  ÷       A=  2π   2π   2π  2sin  ÷− 2i sin  ÷cos  ÷        2π   2π   π  π sin  ÷+ icos  ÷ cos  − ÷+ i sin  − ÷      6  6 = = = π π  2π   2π  sin  cos + i sin ÷− icos  ÷ 6     π π  π π  π π = cos  − − ÷+ i sin  − − ÷ = cos + i sin 3  6  6 i − 2 b) Ta có = π π   cos + i sin ÷ 4  1+i= ⇒ (1+ i) 2008 = 21004 ( cos 502π + i sin 502π ) Tương tự 1–i=   π  π  cos  − ÷+ i sin  − ÷     4 WWW.ToanCapBa.Net   4π ÷+ i sin  −    ÷  WWW.ToanCapBa.Net ⇒ ( 1− i ) 2008 = 21004  cos ( −502π ) + i sin ( −502π )  Vậy B =21005 c Bài tập tham khảo ( 1)Tính giá trị biểu thức: B = + i ) ( 1− i) ( + ( 1+ i) 1− i ) Đáp số: B = -512 2)Tìm số phức sau: x = ( ( 1+ i) 10 3+i ) Đáp số: x = − 16 3) Tìm phần thực phần ảo số phức sau: w = z 2009 + z 2009 z biết z + = Đáp số: w = 1 4) Cho z = − + i Tính w = z 2011 + z 2012 + z 2013 2 5) Cho z = Tính C = – z + z2 – z + z4 + ….-z9 + z10 −i 2 2.Áp dụng công thức Moivre để chứng minh hệ thức lượng giác a.Phương pháp - Tính cosnx, sinnx thao cosx va sinx: CT Moivre (cosx + i sinx)n = cosnx + i sinnx Với công thức ta khai triển nhị thức vế trái đồng phần thực phần ảo hai vế ta tính cosnx, sinnx thao cosx sinx VD : Tính biểu thức sau theo sinx cosx cos2x sin 2x Ta có cos2x + i sin2x = ( cosx + i sinx )2 = cos2x – sin2x + 2i sinx cosx Vậy sin2x = sinx cosx cos2x = cos2x – sin2x - Công thức rút gọn biểu thức lượng giác tương tự phần b Bài tập Rút gọn biểu thức: A = + cos x + cos2 x + cos x + + cos9 x B = s inx + sin x + sin x + + sin x Bài giải : Ta xét biểu thức: A + i B = ( + cos x + cos2 x + cos x + + cos9 x ) + ( s inx + sin x + sin x + + sin x ) = + ( cos x + i sin x ) + ( cos x + i sin x ) + ( cos x + i sin x ) + + ( cos x + i sin x ) WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net = − ( cos x + i sin x ) 10 − ( cos x + i sin x ) 2sin x − 2i sin xcos5 x = = x x x 2sin − 2i sin cos − ( cos x + i sin x ) 2  −π   −π  cos  + x ÷+ i sin  + x ÷ sin x   x x   sin x 2 c os x − + i sin x −      ÷  ÷  = = 5x   2    5x −π x  −π x  sin   sin cos  + ÷+ i sin  + ÷ 2  2  2 sin x  9x 9x  c os + i sin ÷ 5x  = 2  sin  − ( cos10 x + i sin10 x ) sin x 9x cos 5x Vậy A = sin sin x 9x sin 5x B= sin c.Bài tập tham khảo 1.Chứng minh hệ thức + cos x + cos2 x + cos3 x + + cos nx = s inx + sin x + sin x + + sin nx = sin sin n +1 n +1 x.cos x 2 (1) x sin n +1 n x sin 2 (2) x sin 2.Cho z = cosx + isinx Chứng minh: 1 a z + z + + + = ( cos2 x + cox + 1) z z b z − = 2i sin x z 1 c z − z + − = 2i ( sin 3x − sin x ) z z WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Số phức toán tính tổng chứa số tổ hợp 1.Lý thuyết *Ta dùng số phức để tính tổng Ckn tổng có hai đặc điểm: - Các dấu tổng xen kẽ - k lẻ, chẵn chia k cho số ta số dư *Khai triển nhị thức Newton (1 + x)n = C 0n + xC1n + x 2C 2n + + x n-1C nn-1 + x n C nn *Một số tính chất sử dụng dạng toán: - Hai số phức z = x + iy, w = x/ + iy/ x = x/ y = y/ - z = r(cosϕ + isinϕ) ⇒ zn = [r(cosϕ + isinϕ)]n = rn(cosnϕ + isinnϕ) *Một số dạng khai triển thường sử dụng - Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị số phức thích hợp (thường ta chọn x = i) So sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính - Khai triển trực tiếp số phức (thường xét số phức có argument ± ± π , π π , ± ) Sau so sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính - Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau cho x nhận giá trị số phức thích hợp (thường ta chọn x = i) Sau so sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính Để chọn cac khai triển ta chủ yếu dựa số Ckn tổng 2.Bài tập 1)Tính tổng sau S = C2009 − C2009 + C2009 − − C2009 + C2009 P= 2006 2008 2007 2009 C2009 − C2009 + C2009 − − C2009 + C2009 Bài giải : Xét khai triển WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net ( 1+ i) (C 2009 2009 = (C 2009 2006 2008 − C2009 + C2009 − − C2009 + C2009 )+ 2007 2009 − C2009 + C2009 − − C2009 + C2009 )i Mặt khác ta tính ( + i ) theo dạng lượng giác số phức áp dụng công thức Moivre ta : 2009  2009π 2009π  2009 ( + i ) =  cos + i sin ÷ = 21004 + 21004.i   1004 Vậy so sánh phần thực phần ảo ta có S = B = 21004 2009 ( ) Nhận xét : việc xét khai triển ( + i ) = n n ∑C i k =0 k k n ta có kết tổng quát sau : n nπ  C − C + C − = c os n n n  n∈¥ * ( )  n n π C − C + C − = sin n n  n − 3C18 + C20 2.Tính tổng: D = 310 C020 − 39 C220 + 38 C420 − 37 C620 + + 32 C16 20 20 20 ( ) ( ) Giải: Xét khai triển: ( +i )20 = ( ) 20 C0 + i( )19 C1 − ( )18 C2 − − ( )2 C18 − i 3C19 + C20 = 20 20 20 20 20 20 10 C0 − 39 C2 + 38 C4 − 37 C6 + + 32 C16 − 3C18 + C20 ) + 20 20 20 20 20 20 20 = (3 19 17 3 17 19   +  ( ) C20 − ( ) C20 + + ( ) C20 − 3C20 i   Mặt khác: ( +i  ) 20 = 220  cos   1 = 220  + i  2  20 π π = 220  cos + isin  6  20  = 220  cos   4π 4π   + isin  = 220  − − i  = −219 − 219 i 3   WWW.ToanCapBa.Net 20π 20π  + isin = 6  WWW.ToanCapBa.Net So sánh phần thực ( +i )20 hai cách tính ta có: − 3C18 + C20 = - 219 D = 310 C020 − 39 C220 + 38 C420 − 37 C620 + + 32 C16 20 20 20 Dạng 2: Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau cho x nhận giá trị số phức thích hợp Ví dụ 1: − 27C 27 + 29C 29 Tính tổng: D = C130 − 3C 330 + 5C530 − 7C730 + + 25C 25 30 30 30 − 28C 28 + 30C 30 E = 2C 230 − 4C430 + 6C630 − 8C830 + + 26C 26 30 30 30 Giải: + xC1 + x 2C + x 3C3 + + x 28C 28 + x 29C 29 + x 30C30 (1 + x)30 = C30 30 30 30 30 30 30 Đạo hàm hai vế ta có: + 3x 2C3 + + 28x 27 C 28 + 29x 28C 29 + 30x 29C30 30(1 + x)29 = C130 + 2xC30 30 30 30 30 Cho x = i ta có: + + 25C25 − 27C27 + 29C29 ) + 30(1 + i)29 = ( C130 − 3C330 + 5C530 − 7C30 30 30 30 − 4C4 + 6C6 − 8C8 + + 26C26 − 28C28 + 30C30 )i + ( 2C30 30 30 30 30 30 30 Mặt khác: ( )29  cos π4 + isin π4  30(1 + i)29 = 30 ( )29  − = 30  29 29π  ( )29  cos 29π + isin = 4  = 30 2  − i  = −15.215 −15.215 i 2  So sánh phần thực ảo 30(1 + i)29 hai cách tính ta có: + + 25C25 − 27C27 + 29C29 = - 15.215 D = C130 − 3C330 + 5C530 − 7C30 30 30 30 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net − 4C4 + 6C6 − 8C8 + + 26C26 − 28C28 + 30C30 = - 15.215 E = 2C30 30 30 30 30 30 30 − 20.310 C20 2.Tính tổng S = 2.3C220 − 4.32 C420 + 6.33 C620 − + 18.39 C18 20 20 Giải: Xét khai triển: (1 + x)20 = + ( 3x) 20 C 20 = C 020 + ( 3x)C120 + ( 3x) C 220 + ( 3x)3 C320 + + ( 3x)19 C19 20 20 Đạo hàm hai vế ta có: 20 (1 + 3x)19 = = 3C1 + 2.3xC + 3.( )3 x 2C3 + + 19.( )19 x18C19 + 20.310 x19C 20 20 20 20 20 20 Cho x = i ta có: 20 (1 + 3i)19 = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 17 17 19 19   =  3C 20 − 3 C 20 + C 20 − + 17 C 20 − 19 C 20  +   +  2.3C2 − 4.32 C4 + 6.33 C6 − + 18.39 C18 − 20.310 C20 i 20 20 20 20 20   19 19 1  π π   19 19 19   Mặt khác: 20 (1 + 3i) = 20 3.2 + i = 20 3.2  cos + isin  = 2  3   1 19π 19π    = 20 3.219  cos + isin i  = 10 3.219 + 30.219 i  = 20 3.219  +  3    2 So sánh phần ảo 20 (1 + 3i)19 hai cách tính ta có: − 20.310 C20 = 30.219 S = 2.3C220 − 4.32 C420 + 6.33 C620 − + 18.39 C18 20 20 − 3C2 + 5C4 − 7C6 + + 13C12 − 15C14 3.Tính tổng sau: M = C15 15 15 15 15 15 + 6C5 − 8C7 + + 14C13 − 16C15 N = 2C115 − 4C15 15 15 15 15 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Giải: Xét khai triển: + xC1 + x 2C + x 3C3 + + x13C13 + x14C14 + x15C15 (1 + x)15 = C15 15 15 15 15 15 15 Nhân hai vế với x ta có: + x 2C1 + x 3C + x 4C3 + + x14C13 + x15C14 + x16C15 x(1 + x)15 = xC15 15 15 15 15 15 15 Đạo hàm hai vế ta có: (1 + x)15 + 15x(1 + x)14 = = C + 2xC1 + 3x 2C + 4x 3C3 + + 14x13C13 + 15x14C14 + 16x15C15 15 15 15 15 15 15 15 Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = 12 14   =  C15 − 3C15 + 5C15 − 7C15 + + 13C15 −15C15  +   13 15 +  2C15 − 4C15 + 6C15 − 8C15 + + 14C15 − 16C15  i Mặt khác: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = = ( 2) 15 14 14  π π π π  cos + isin  + 15i  cos + isin  = 4 4   ( ) 15  15  15π  14π 14π   ( )15 cos 15π + isin + isin  + 15.27 i cos  = ( 2) −  4  4    2  − i  + 15.27 = 2  = −27 − 27 i + 15.27 = 14.27 − 27 i = 7.28 − 27 i So sánh phần thực ảo (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 hai cách tính ta có: − 3C2 + 5C4 − 7C6 + + 13C12 −15C14 = 7.28 M = C15 15 15 15 15 15 + 6C5 − 8C7 + + 14C13 −16C15 = -27 N = 2C115 − 4C15 15 15 15 15 3.Bài tập tham khảo 1) Tính tổng sau: WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net ( ) ( ) ( ) ( ) 27 29 A = 3C1 − 3 C3 + C5 − − 27 C27 + 29 C29 30 30 30 30 30 A = 2.3C2 − 4.32 C4 + 6.33 C6 − − 28.314 C28 + 30.315 C30 30 30 30 30 30 ( ) Hướng dẫn: Xét khai triển: 1+ 3x 30 Đạo hàm hai vế, cho x = i so sánh phần thực, phần ảo hai số phức ĐS: A1 = 15 3.229 ; A2 = - 45.229 2) Tính tổng sau: B = C0 + 2C2 − 3.4C4 + 5.6C6 − 7.8C8 + + 21.22C22 − 23.24C24 25 25 25 25 25 25 25 B = C1 + 2.3C3 − 4.5C5 + 6.7C − 8.9C9 + + 22.23C 23 − 24.25C 25 25 25 25 25 25 25 25 Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)25 Đạo hàm hai vế hai lần, sau cho x = i So sánh phần thực phần ảo hai số phức ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214) 3) Tính tổng sau: C = C0 − 3C2 + 5C4 − 7C6 + + 17C16 −19C18 + 21C20 20 20 20 20 20 20 20 C = 2C1 − 4C3 + 6C5 − 8C + − 16C15 + 18C17 − 20C19 20 20 20 20 20 20 20 Hướng dẫn: Xét khai triển: ( + x)20 Nhân hai vế với x Đạo hàm hai vế Cho x = i ĐS: C1 = - 11.210; C2 = - 10.210 4) Tính tổng sau: D = 12 C1 − 32 C3 + 52 C5 − 72 C7 + + 952 C95 − 972 C97 + 992 C99 100 100 100 100 100 100 100 D = 2 C − C + C − 82 C8 + + 96 C96 − 982 C98 + 100 C100 100 100 100 100 100 100 100 Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)100 Đạo hàm hai vế Nhân hai vế với x Lại đạo hàm hai vế Cho x = i ĐS: D1 = - 50.100.250; D2 = -50.250 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 2n 2n 5) Chứng minh C2 n − 3C2 n + 9C2 n − 27C2 n + + ( −3) C2 n = cos n 6) Tính tổng sau S = C20 − 3C20 + C20 − C20 + + C20 2 WWW.ToanCapBa.Net 10 20 2nπ