Chinh phục điểm Nguyễn Tiến Chinh Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài Giải phương trình: x 1  x  x  2x  2x   Điều kiện: x  1, x  13 x2  x  ( x  2)( x   2) 1 ( x=3 không nghiệm) 3 2x   2x 1   (2 x  1)  x   ( x  1) x   x  Pt  x    Hàm số f (t )  t  t đồng biến  phương trình  x   x   x  1/  x  1/    2 (2 x  1)  ( x  1) x  x  x   x  1/ 1     x  0, x   x  0, x   Vậy phương trình có nghiệm S  {0, 1 } Bài 32 x  y   y ( y  4) y   x Giải hệ phương trình:   x, y    ( y   1) x   x  13( y  2)  82 x  29 Hướng dẫn giải Đặt đk x   , y  +) (1)  (2 x)5  x  ( y  y ) y   y   (2 x)5  x   y2   y  2(3) Xét hàm số f (t )  t  t , f '(t )  5t   0, x  R , suy hàm số f(t) liên tục R Từ (3) ta có f (2 x)  f ( y  2)  x  y  Thay x  y  2( x  0) vào (2) Chinh phục điểm Nguyễn Tiến Chinh (2 x  1) x   x  52 x  82 x  29  (2 x  1) x   (2 x  1)(4 x  24 x  29)  (2 x  1)   x   x  24 x  29   x    x   x  24 x  29  0(4) Với x=1/2 Ta có y=3 (4)  ( x   2)  (4 x  24 x  27)   2x   (2 x  3)(2 x  9)  2x 1  x  /   (2 x  9)  0(5)  x   Với x=3/2 Ta có y=1 Xét (5) Đặt t  x    x  t  Thay vao (5) t  2t  10  21   (t  3)(t  t  7)  Tìm t  x  29 Từ tìm 13  29 103  13 29 ,y  Bài  x  y  x  y  3x  y Giải hệ phương trình :  (5 x  y  10) y   (2 y  6) x   x  13 y  x  32 Chinh phục điểm Bài Nguyễn Tiến Chinh Giải bất phương trình: x4  16 x  12 x x 4    x  1  x  R Hướng dẫn giải  Điều kiện: 1  x   x  Pt  x4  x   x  x     x3  x   x2  x  x2  2x   x3  x  TH: 1  x   x  x   x  x  Pt  x  x    x  1,1       TH: x   x  x   x  x  x  x2   x    x  x     x  1,1   Vậy S   1,1    1,1     Bài 3  3   3x  x y  y  x  y  x y  Giải hệ phương trình:  2  x  y  y   x, y  R Hướng dẫn giải     Thay (2) vào (1)  3x  x2 y  y  x  y  x x  y   x  y  x  xy  y   Thay vào (2) y  y    y  1   y  1  y   y   y   1 1  3y   y    y x  y  y    1 1  1 1  Hệ cho có nghiệm  , , ;       Bài 3x  x  y   xy  y  x x    y x   y y  x Giải hệ phương trình:    Hướng dẫn giải  y  0, y  x   x  Điều kiện:  Pt  1    y  x  2x    2x     y  x  2x    2x     x, y  R Chinh phục điểm Nguyễn Tiến Chinh  y  3x  Thay vào (2) y  x 2x   2x    x   y  x   y   x  x2   x   3x   x  (3)  x  x    x   y  TH 1: TH 2: y  x x   x   (*)   x   x   Từ pt(2) y x2   y y  y y  x3  3xy  x2  3x     Kết hợp điều kiện  x   x   y  x   y  x x    x     (*)   xy2  x  Thử lại  2,  nghiệm hệ Vậy hệ có nghiệm  1,1 ,  2,  Bài   Giải phương trình: x   x x  x   x4   x  R Hướng dẫn giải Điều kiện: x  Xét x     x  nghiệm phương trình Xét x  chia vế cho x : x  2  x    x2  x x x 2  2  x   x    x    x x x  x Đặt t  x    x  Pt  t   t  t 2 2 t 2t 2 2 x    t  t   t  4t  2t  t  4t   Xét hàm f  t   2t  t  4t  với t  2   f '  t   4t  2t    f  t   f  2    phương trình vô nghiệm   Vậy phương trình có nghiệm x  Bài  x  xy  y   y  x  Giải hệ phương trình:  2  x  y   x  1 y    x  y Hướng dẫn giải  x, y  R Chinh phục điểm Nguyễn Tiến Chinh  x  1 y  1  Điều kiện:  2 x  y  Từ (2)  x  y  , từ (1)  x  x  y   y   x  1 y     x   y1 2 x  xy  y   x  1 y      x  xy  y   x  1 y   Hệ   2 2  x  y   x  1 y    x  y  x  y  x  xy  y  x  y  x2  2y Pt (2)  x2  y    x2  y  x  y 2 x  xy  y  x  y  1 2  (l ) y  32 2  Thay vào (1)   2 y  2  y      y   2  (l )  32     Vậy hệ cho vô nghiệm Cách 2: Do (2) đẳng cấp nên chia vế (2) cho y đặt t  x y   t2  0 t   2t  2t   t    t      t  t   t     t   x  2y Bài  Giải phương trình:  x   Hướng dẫn giải Điều kiện xác định:     x     x  3 2 2   x     x  3 x  1   x    x  x    81x  32 x17  32 81   x     x  3   x  x    81x  32   x  3  81xx132  81x  32 x    81x  32    81x  32   Trường hợp 2:  2 x1 x    x  3 Ta có:  x   Trường hợp 1:  x  3x  2  x   x    x  x   x2  x  x1 0   x   x2  4x   3x x    x  x  3 x    x  3  x x   x      x  3 x x    x  x  3   x2    x  3  x x    0 x33 x 1 x3 x1  Chinh phục điểm Vì: Nguyễn Tiến Chinh  x x 1 1  x 1x      1   1   x    x  1  x1 x1 x 1   Theo bất đẳng thức AM – GM ta có:  x  1  Vậy: 1  3  x  1 1  3 x 1 x 1 x 1 1  1   x x 1 1  x  1  x 1 x1 Do đó: x1  x x 1 1 x2 x 3 x1  0, x  1 Do phương trình có nghiệm Bài 10  Giải bất phương trình x3 x 32 81 x   x  x   x  Hướng dẫn giải Điều kiện: x  Bất phương trình cho  x2  x   x   4x    x2  2x   x   4x  0 x   4x  33  x       x  3  x      * x   4x  x   4x    1  Ta có hàm số f  x   x   liên tục  ;   x   4x  2   x   x   f x đồng biến  ;   f '  x    x     2   x   4x    x  1 x  3    3 Do f  x   f      x  15 2 Từ bpt (*)  x    x  Kết luận: Tập nghiệm bpt cho  ;3 2  Chinh phục điểm Bài 11 Nguyễn Tiến Chinh  x  x  x2 log  2log log y  2  y  1 y Giải hệ phương trình   27 x y x  x  xy  x  x   Hướng dẫn giải Điều kiện: x  0, y  Viết lại pt (1) dạng     log x  x  x  log y   y  2log 3.log y     y  1 y  log  x  x  x   log y  log x  x  x  log y   y  log y 2 2  x  x  x2  1  y y  1'  y2 Xét hàm số f  t   t  t  t , t  Ta có f '  t     t  t2 1 t2  t   hàm số f  t  liên tục đồng biến  0;   , pt (1’)  x   xy  y Khi pt (2) trở thành x   x2  2x  27 2 x x  x   x2  x  27 2 27 x x    1  x x x 27 27 2  x  x      ' x 4 x 27 27 Đặt g  x   x    , x  Ta có g '  x   x  x  1 1 x 2 1 x Vậy hàm số g(x) liên tục đồng biến  0;   Từ pt (2’) có tối đa nghiệm  0;   Mà g    3 Kết luận: Hpt cho có nghiệm  x; y    ;     x  Chinh phục điểm Bài 12 Giải bất phương trình Nguyễn Tiến Chinh x2 1  3x   x2  1 tập số thực Hướng dẫn giải +) Đặt t = x2 – 2, bpt trở thành: 1   ĐK: t  với đk trên, t 3 3t  t 1 bpt tương đương 1  )  Theo Cô-si ta có: t 3 3t  t t t 1  t t 1  1 11            t 1 t   t 1 t   t 3 2 t 3 t 3 t 3 t 2t 11 2t       3t   3t   3t  ( t  1)( 1 t 1  t 1       t  3t   t  3t   3t   VT  2t  +) Thay ẩn x x2   x  (;  2]  [ 2; )  T  (;  2]  [ 2; ) Bài 14 Giải bất phương trình sau tập R 1 x 1 x   1  x x x Gọi bpt cho (1).+ ĐK: x  [-1; 0)  [1; +  ) Lúc đó:VP (1) không âm nên (1) có nghiệm khi: 1 1    x     x  Vậy (1) có nghiệm (1; +  ) x x x x x 1 x 1 Trên (1; +  ): (1) x     x 1   x x x 1 x2  Do x     x > nên: x x x 1 x2  1 x2 1 x   2 1 x   1  x x x x x x2  x2  x2 1 1 2 1   (  1)  x  x x x Chinh phục điểm Nguyễn Tiến Chinh x   Vậy nghiệm BPT là:   x    x  x  y   x  x  y    Giải hệ phương trình   x  x x  y   2x  x  y   Bài 15   Hướng dẫn giải x  y   x  y   Điều kiện  x   x3  x  x     y  x  (1) ta  x     x  1   x  1 x   x  4 x   x     x    Hệ có nghiệm  x; y    1; 2  ,  2;  1 Giải bất phương trình Bài 16 x x 6   x 1  x 2  x   3x  9x  Hướng dẫn giải x x 6     x2  x  x    x   3x  9x    x 1  x 2  x 1 1  x 2  x 6 x 2  x 12 x  5x   x    2x  10x  12   x  2x  3  2x x 1 1 x  5x  x     2 x  x 1 2  10x  12   5x  x 1 1  x 2   x  5x     2  x 1 2  x 1 1     x 1 1   x  5x       x  1;2   3;  x   2  x 1 1           Chinh phục điểm Nguyễn Tiến Chinh 2 y  y  x  x   x Giải hệ phương trình:  2 Bài 17   y  x  y  Hướng dẫn giải ĐK: x  , ta có: 2 y    y  x  x   x  y  y   x   x  y   x Vì h/s f t   2t  t đồng biến R Thế vào pt ta pt: 2x2  6x 1  4x   4x2  8x   4x   4x    2 x      4x  1   x  x   x   x  1 tmđk Bài 18  x x  y  y  x4  x3  x  Giải hệ phương trình   x  y  x   y ( x  1)   Hướng dẫn giải x  Đk:  y  (1)  x( x  y  x  x )  ( x  y )  x yx 2  x  y   ( x  y )( x  y  x  x  x )  x y x x Do đ ó x=y thay v pt (2) : x  x  x   x( x  1)  Đ ặt t  x  x  1(t  0)  t  x   x ( x  1) Pt trở thành t2+1+2t=9 hay t2+2t-8=0 lấy t=2  x   x   25 x  x( x  1)   x   x 16 4 x  x  25  20 x  x  25 25 Vậy hệ có nghiệm nhất( ; ) 16 16 (x,y R ) Chinh phục điểm Bài 19 Nguyễn Tiến Chinh  x  y  x   3x   x  x  y  Giải hệ phương trình:   x 12  y  y 12  x   12 Hướng dẫn giải  x    Điều kiện:  y  12  y 12  x     x  x  y    * Ta có  x 12  y  12 y 12  x   12  x 12  y   12 x  24 x 12  y  12 12  y   y  12  x  x 12  y  12      x  12  y    x  3;  y  12   2    (0,25) Thay vào phương trình 1 ta được: x  x   3x   x        x  x   x   3x   x   x   1     x2  x     0 x   3x  x   x     x  x   x  x  Khi ta nghiệm  x; y   0;12  1;11 Bài 20 (4 y  1) x   x  y  Giải hệ phương trình:   x  x y  y  Hướng dẫn giải Xét phương trình: (4y-1) x   x  y  Đặt: t = x   , ta pt: 2t2 – (4y-1)t + 2y – = Chinh phục điểm Nguyễn Tiến Chinh  t   1(loai ) Giải được:   t  y  y  thay vào pt (2) ta được: 16y2(y - 1)2+4y2(y - 1) + y2 – =  2 x  y  y  y = 1(do y  )  x = x  y  Vậy nghiệm phương trình  Bài 21 ( xy  3) y   x  x5  ( y  x) y  Giải hệ phương trình:   x  16  2 y    x Hướng dẫn giải 0  x  Đk:   y  2 (*) Với đk(*) ta có x  (1)  ( x  1)  ( y  3) y   ( x  1) x      ( y  3) y   ( x  1) x 31 Với x = thay vào (2) ta được: 2 y    y   (loai ) Ta có: (3)    (3) y   y   ( x )3  x (4) Xét hàm số f (t )  t  t  f '(t )  3t   0; t  Hàm số f(t) hs đồng biến, đó: (4)  f ( y  2)  f ( x )  y   x  y  x  thay vào pt(2) ta được:  x  2 x   x  16  32  x  16 2(4  x )  x  8(4  x )  16 2(4  x )  ( x  x)  Đặt: t  2(4  x ) Hay  x t  2 (t  0) ; PT trở thành: 4t  16t  ( x  x )    t   x   0(loai)  0  x  x 4 6  2(4  x )    32  x   y 3  x  Chinh phục điểm Nguyễn Tiến Chinh  4 6 Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) là:  ;  3    2x  y  x  3( xy  1)  y  Giải hệ phương trình:  2   2x  y    5x  x  y   Bài 22  x, y    Hướng dẫn giải 2 x  y  ĐK :   x  Biến đổi phương trình thứ hệ ta có : 2x  y  x  3( xy  1)  y   x  y  1 2x  y  3   y  x  Với y  x  thay vào phương trình thứ hai ta phương trình sau : 2    x    5x x  10      x  10   x    5x  9  x    5x  x   5x     x    5x  x    5x  4x  41   4 nên x    5x  4x  41  )    x    5x   ( Do x   1;   x    5x   x   5x   4x  x 1   x  1  5x  x      x    5x  x  Với x   y  1; x  1  y  2  x    Đối chiếu với điều kiện thay lại hệ phương trình ban đầu ta thấy hệ cho có nghiệm : ( x; y)  (0; 1);( x; y)  (1; 2) Chinh phục điểm Nguyễn Tiến Chinh 2 x  y   ĐK :   x  Biến đổi phương trình thứ hệ ta có : 2x  y  x  3( xy  1)  y   x  y  1 2x  y  3   y  x  Với y  x  thay vào phương trình thứ hai ta phương trình sau : 2    x    5x x  10      x  10   x    5x  9  x    5x  x   5x     x    5x  x    5x  4x  41   4 nên x    5x  4x  41  )    x    5x   ( Do x   1;   x    5x   x   5x   4x  x 1   x  1  5x  x      x    5x  x  Với x   y  1; x  1  y  2  x    Đối chiếu với điều kiện thay lại hệ phương trình ban đầu ta thấy hệ cho có nghiệm : ( x; y)  (0; 1);( x; y)  (1; 2) [...]... thay vào pt( 2) ta được: 4 2  x  2 2 x  4  9 x 2  16  32  8 x  16 2(4  x 2 )  9 x 2  8(4  x 2 )  16 2(4  x 2 )  ( x 2  8 x)  0 Đặt: t  2(4  x 2 ) Hay  x t  2 2 2 (t  0) ; PT trở thành: 4t  16t  ( x  8 x )  0   t   x  4  0(loai)  2 0  x  2 x 4 2 4 2 6  2(4  x )    2 32  x   y 2 3 3  x  9 2 Chinh phục điểm 9 Nguyễn Tiến Chinh  4 2 4 2 6 Vậy hệ pt có... phương trình:   x 4  x 2 y  y 2  1 Hướng dẫn giải Xét phương trình: (4y-1) x 2  1  2 x 2  2 y  1 Đặt: t = x 2  1  1 , ta được pt: 2t2 – (4y-1)t + 2y – 1 = 0 Chinh phục điểm 9 Nguyễn Tiến Chinh  1 t   1(loai ) Giải ra được:  2  t  2 y  1 y  1 thay vào pt (2) ta được: 16y2(y - 1)2+4y2(y - 1) + y2 – 1 = 0  2 2 x  4 y  4 y  y = 1(do y  1 )  x = 0 x  0 y  1 Vậy nghiệm của phương.. .Chinh phục điểm 9 Bài 19 Nguyễn Tiến Chinh  4 x 2  y  x  9  3x  1  x 2  5 x  y  8 Giải hệ phương trình:  2  x 12  y  y 12  x   12 Hướng dẫn giải 1  x   3  Điều kiện:  y  12  y 12  x 2  ... 2 x  1 Với x  0  y  1; x  1  y  2  x  1   Đối chiếu với điều kiện và thay lại hệ phương trình ban đầu ta thấy hệ đã cho có nghiệm : ( x; y)  (0; 1);( x; y)  (1; 2) Chinh phục điểm 9 Nguyễn Tiến Chinh 2 x  y  0  ĐK :  4  x  5 Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ ta có : 2x 2  y 2  x  3( xy  1)  2 y   x  y  1 2x  y  3  0  y  x  1 Với y  x  1 thay vào