Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học s phạm hµ néi céng hoµ x· héi chđ nghÜa viƯt nam Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc Đề thức đề thi tuyển sinh Vào trờng trung học phổ thông chuyên năm 2015 Môn thi : Toán (Dùng cho thí sinh thi vo trng chuyên) Thời gian làm :120  a b  1   + + 1÷ − ÷ b a a b Câu (2.5 điểm ) Cho biểu thức P =  2  với a>0 , b>0 a ≠ b a b a b + − + ÷ b2 a2  b a  1 Chứng minh p = ab Giả sử a, b thay đổi cho 4a + b + ab = Tìm P Câu ( điểm ) cho hệ phương trình  x − my = − 4m   mx + y = 3m + Với m tham số Giải phương trình m = 2 Chứng minh hệ ln có nghiệm với giá trị m Giả sử (x0,y0) 2 nghiệm của hệ phương trình chứng minh đẳng thức x0 + y0 − ( x0 + y0 ) + 10 = Câu ( 1.5điểm ) 2 Cho a, b số thực khác o Biết phương trình a ( x − a ) + b ( x − b ) = Có nghiệm Chứng minh a = b Câu ( 3điểm ) Cho tam giác ABC có góc ABC góc ACB nhọn góc BAC = 600 Các đường phân giác BB1, CC1 tam giác ABC cắt I Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp Gọi K giao điểm thứ hai khác B đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC1I Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp Chứng minh AK ⊥ B1C1 Câu ( điểm) Tìm số thực không âm a b thỏa mãn  3   1   a + b + ÷ b + a + ÷ =  2a + ÷ 2b + ÷  4   2  Bé gi¸o dơc đào tạo Trờng đại học s phạm hà nội cộng hoà xà hội chủ nghĩa việt nam Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc đề thi tuyển sinh Đề thức Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2015 Môn thi: TON (Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán chuyên Tin) Thời gian làm :150 phút Câu 1: (2,5 điểm) Cho a ≥ 0, a # Rút gọn biểu thức  a −1  S = − 20 + 14 + ( a + 3) a − 3a − :  − 1  2( a − 1)  Cho x,y thỏa mãn 0< x Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp Gọi K giao điểm thứ hai khác B đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC1I Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp Chứng minh AK ⊥ B1C1 Hướng dẫn · IC = BIC · · IC + BAC · = 120 ⇒ B = 120o + 60o = 1800 Mà hai góc đối Ta có B 1 1 Nên tứ giác AB1IC1 nội tiếp (đpcm) o · · ¼ Vì tứ giác BC1IK nội tiếp nên BIC = BKC1 = 60 ( góc nội tiếp chắn BC1 ) o · · K ( góc nội tiếp chắn » ) = BC Và BIK BK o o o · · · · · Xét tam giác ABC: KCB = 180 − BAC − ABC = 180 − 60 − ABC = 120 − ABC o o · · K = 180o − BKC · · · · = BC Xét tam giác BC1K: BIK 1 − ABC = 180 − 60 − ABC = 120 − ABC · · ⇒ Tứ giác CKIB1 nội tiếp (đpcm) Suy KCB = BIK o · · · · ⇒ KAC Vì BIC = BAC = 60 ⇒ Tứ giác ACKC1 nội tiếp = KCC1 (cùng chắn cung KC1) · Và ·AKC1 = ·ACC1 (cùng chắn cung AC1) Mà ·ACC1 = KCC (GT) · · ⇒ Tam giác C1AK cân C1 ⇒ C1A = C1K (1) Suy KAC = AKC1 CMTT: B1A = B1K (2) Từ (1), (2) suy B1C1 đường trung trực AK nên AK ⊥ B1C1 (đpcm Câu ( điểm) Tìm số thực khơng âm a b thỏa mãn  3   1   a + b + ÷ b + a + ÷ =  2a + ÷ 2b + ÷  4   2  Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Côsi  3  1  1  1   a + b + ÷ b + a + ÷ =  a + + b + ÷ b + + a + ÷ ≥  a + b + ÷  4   2  2  1   1   a + b + ÷ ≤  2a + ÷ 2b + ÷ 2   2  Dấu xảy a= b = ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HƯỚNG DẪN THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUN NĂM 2015 Mơn thi :TỐN VỊNG II ( Dùng cho thí sinh thi chun Tốn ,Tin ) Câu 1: (2,5 điểm) Cho a ≥ 0, a ≠ Rút gọn biểu thức  a −1  S = − 20 + 14 + ( a + 3) a − 3a − :  − 1  2( a − 1)  Cho x,y thỏa mãn 0< x 0 ; b>0 a ≠ b a+ b  Q= + 3a + 3b ab a a −b a Chøng minh r»ng giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b 2.Các số thực a,b,c thỏa mÃn a+b+c=0.Chứng minh đẳng thøc (a + b + c ) = a + b + c ( ) Câu 2(2 điểm) Cho Parabol (P) : y=x2 đờng thẳng (d) : y = mx + biÖt 2m ( tham sè m ≠ 0) 1.Chứng minh với m đờng thẳng (d) cắt (P) điểm phân Gọi A( x1 ; y1 ) ; B( x ; y ) giao điểm (d) (P).Tính giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc M = y12 + y 22 Câu (1,5 điểm) Giả sử a,b,c số thực a b cho hai phơng tr×nh x + ax + = 0; x + bx + c = 0; cã nghiÖm chung phơng trình x + x + a = 0; x + cx + b = 0; có nghiệm chung Tính a+b+c Câu (3 điểm): Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AA1;BB1;CC1 tam giác ABC cắt H.Các đờng thẳng A1C1 AC cắt điểm D, gọi X giao điểm thức hai đờng thẳng BD với đờng tròn (O) 1.Chứng minh DX.DB=DC1.DA1 2.Gọi M trung điểm cạnh AC Chứng minh DH BM Câu 5: (1 ®iĨm) Cho c¸c sè thùc x,y,z tháa m·n  x + 2011 + y + 2012 + z + 2013 = y + 2011 + z + 2012 + x + 2013   y + 2011 + z + 2012 + x + 2013 = z + 2011 + x + 2012 + y + 2013 Chøng minh r»ng x=y=z HÕt Ghi chó : C¸n bé coi thi không giải thích thêm Họ tên thÝ sinh .sè báo danh Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học s phạm hà nội cộng hoà xà hội chủ nghĩa việt nam Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc đề thi tuyển sinh Đề thức Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2013 Môn thi: TON (Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán chuyên Tin) Thời gian lµm bµi :150 -Câu (2,5 điểm) 1.Cho số thực a, b,c thỏa mãn đồng thời hai đẳng thức sau i ( a + b )( b + c )( c + a ) = abc ii ( a + b )( c + b )( a + c ) = a 3b c Chứng minh a=b=c 2.Cho số thực dương a,b thỏa mãn ab > 2013a + 2014b Chứng minh bất đẳng thức a + b > ( 2013 + 2014 ) Câu (2 điểm)Tìm tất cặp số hữu tỷ (x;y) thỏa mãn hệ phương trình  x − y = x + y  6 x − 19 xy + 15 y = Câu (1điểm) Với số nguyên dương n,kí hiệu Sn tổng n số nguyên tố ( S1=2;S2=2+3; S3=2+3+5….) Chứng minh dãy số S1; S2; S3… không tồn hai số hạng liên tiếp số phương Câu (2,5điểm) Cho tam giác khơng cân ABC nội tiếp đường tròn (O) ,BD phân giác góc BAC.Đường thẳng BD cắt (O) điểm thứ hai E Đường trịn (O1) đường kính DE cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F 1.Chứng minh đường thẳng đối xứng với đường thẳng BF qua đường thẳng BD qua trung điểm cạnh AC 2.Biết tam giác ABC vng B góc BAC=600 bán kính đường trịn (O) R Tính bán kính đường tròn (O1) theo R Câu 5(1điểm) Độ dài ba cạnh tam giác ABC ba số nguyên tố Chứng minh diện tích tam giác ABC khơng thể số nguyên Câu 6(1điểm) Cho a1,a2;….a11 số nguyên dương lớn đôi khác thỏa mãn a1+a2+….+a11=407 tồn hay không số nguyên dương n cho tổng số dư phép chia n cho 22 số a1,a2;….a11 , 4a1,4a2;….4a11 2012 HÕt Ghi chó : C¸n bé coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh .sè b¸o danh Trờng đại học s phạm hà nội đề thi tuyển sinh Vào trờng trung học phổ thông chuyên năm 2013 Môn thi : Toán (Dùng cho thí sinh thi vào trờng THPT chuyên HSP) Câu 1(2,5 điểm) 1.Cho biÓu thøc  a −b    + 2a a + b b ab − a víi a>0 ; b>0 a ≠ b a + b   Q= + 3a + 3b ab a a −b a Chứng minh giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b 2.Các số thực a,b,c thỏa mÃn a+b+c=0.Chứng minh đẳng thức (a + b + c ) = a + b + c Hướng dẫn Câu 1: ( ) a)  a −b   ÷ + 2a a + b b ab − a a+ b  Q= + = 3a + 3b ab a a −b a = ( a− b ) + 2a a + b b 3a + 3b ab − a ( a− b a ( a − b) ) a a − b b − 3a b + 3b a + 2a a + b b 3a a − 3a b + 3b a − = − 2 3a + 3b ab a+ b 3a + 3b ab a+ b ( 3a = a − 3a b + 3b a ( 3a )( + 3b ab ) a + b − 3a − 3b ab )( a+ b ) = 3a + 3a ab − 3a ab − 3ab + 3ab + 3b ab − 3a − 3b ab ( 3a + 3b ab )( a+ b ) =0 b) Ta có a + b + c = (a + b + c ) − 2(a b + b c + c a )(*) Từ a+b+c=0 ta có  a2 + b2 + c2  a2 + b2 + c2  ab + bc + ca = ⇔ a b + b c + c a + 2abc ( a + b + c) =  2   ⇔ 2( a b + b c + c a ) = (a + b + c ) 2 Thay vào (*) Ta có ĐPCM Cách khác a + b + c = ⇒ a + b + c = −2 ( ab + bc + ac ) ⇒ a + b + c + ( a 2b + b 2c + c a ) = ( a 2b + b 2c + c a ) + 4abc ( a + b + c ) = ( a 2b + b c + c a ) ⇔ ( a + b4 + c4 ) = ( a + b2 + c ) Câu 2(2 điểm) Cho Parabol (P) : y=x2 đờng th¼ng (d) : y = −mx + biƯt 2m ( tham sè m ≠ 0) 1.Chøng minh r»ng với m đờng thẳng (d) cắt (P) điểm phân Gọi A( x1 ; y1 ) ; B( x ; y ) lµ giao điểm (d) (P).Tính giá trị nhỏ cđa biĨu thøc M = y12 + y 22 Hướng dẫn Câu Ta có tọa độ giao (d) (P) nghiệm hệ PT y = x2 y = x2    ⇔ = 0; (*)  y = −mx +  x + mx − 2m 2m   Xét PT(*) có ∆ = m + ≥ 2 > m ⇒ Phương trình (*) ln có nghiệm phân biệt với ∀m ≠ Vậy (d ) cắt ( P ) điểm phân biệt Ta có ( M = y12 + y 22 = x14 + x24 = x12 + x22 ) [( − x12 x22 = x1 + x2 ) − x1 x2 ] − 2x x  x1 + x = − m  − thay vào M ta có Áp dụng định lý Viet:   x1 x = 2m 2  1  M =  m2 +  − = m4 + +2≥ +2 m  2m 2m  C©u (1,5 điểm)Giả sử a,b,c số thực a b cho hai phơng trình x + ax + = 0; x + bx + c = 0; có nghiệm chung phơng trình x + x + a = 0; x + cx + b = 0; cã nghiÖm chung TÝnh a+b+c Hướng dẫn Câu 3: x + ax + = ( 1) Min(M)= + m = ± x + bx + c = ( ) x + x + a = ( 3) x + cx + b = ( ) Gọi x1 nghiệm chung phương trình (1) (2) Từ (1),(2) x12 + ax1 + = x12 + bx1 + c = ⇒ x1 ( a − b ) = c − c −1 (5) Vì a ≠ b ⇒ x1 = a−b CMTT : Nếu c = ⇒ a = b (vô lý) ⇒ c ≠ 2 Ta có : x2 = a−b (6) c −1 Từ (5), (6) ⇒ x1 x2 = ⇒ x1 = Từ (1) , (3) x1 + ax1 + = x2 1 + a + = ⇒ x22 + ax2 + = ⇒ x1 = x2 = x2 x2 a = −2 ⇒ ⇒ a + b + c = −3 b + c = − Câu (3 điểm): Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AA1;BB1;CC1 tam giác ABC cắt H.Các đờng thẳng A1C1 AC cắt điểm D, gọi X giao điểm thức hai đờng thẳng BD với đờng tròn (O) 1.Chứng minh DX.DB=DC1.DA1 2.Gọi M trung điểm cạnh AC Chứng minh DH ⊥ BM Hướng dẫn D A B1 M C1 X B N H A1 C a)Ta có tứ giác AC1 A1C , ABXC tứ giác nội tiếp DC DX ∆DCX ∆DBA ( g g ) ⇒ = ⇒ BD.DX = DC AD DB DA DA1 DC = ⇒ DC AD = DA1.DC1 ∆DCA1 ∆DC1 A ( g g ) ⇒ DA DC1 ⇒ DA1.DC1 = DX DB d) Ta thấy :theo a) DA1.DC1 = DX DB suy BC1 HA1 , BC1 A1 X tứ giác nội tiếp · · H = 180° ⇒ BXH · ⇒ BC1HX tứ giác nội tiếp ⇒ BXH + BC = 90° ⇒ HX ⊥ BX Kẻ đường kính BL · Ta có : BAL = 90° ( chắn nửa đường tròn) ⇒ BA ⊥ AL mà CH ⊥ BA ⇒ CH P AL · BCL = 90° ( chắn nửa đường tròn) ⇒ BC ⊥ CL mà AH ⊥ BC ⇒ AH PCL ⇒ AHCL hình bình hành Vì M trung điểm AC ⇒ M trung điểm LH · mà BXL = 90° ( chắn nửa đường tròn) ⇒ BX ⊥ XL mà HX ⊥ BX ⇒ L, H , X thẳng hàng hay M , H , X thẳng hàng.Nên H trực tâm tam giác BDM nên DH ⊥ BM Câu 5: (1 điểm) Cho số thực x,y,z thỏa m·n  x + 2011 + y + 2012 + z + 2013 = y + 2011 + z + 2012 + x + 2013   y + 2011 + z + 2012 + x + 2013 = z + 2011 + x + 2012 + y + 2013 Chøng minh r»ng x=y=z Híng dÉn  x + 2011 + y + 2012 + z + 2013 = y + 2011 + z + 2012 + x + 2013   y + 2011 + z + 2012 + x + 2013 = z + 2011 + x + 2012 + y + 2013  y + 2012 − y + 2011 + z + 2013 − z + 2012 = x + 2013 − x + 2011 ⇔  z + 2012 − z + 2011 + x + 2013 − x + 2012 = y + 2013 − y + 2011 1   y + 2012 + y + 2011 + z + 2013 − z + 2012 = x + 2013 + x + 2011  ⇔ 1  + =  z + 2012 + z + 2011 x + 2013 + x + 2012 y + 2013 + y + 2011  1   y + 2012 + y + 2011 − x + 2013 + x + 2011 =  ⇔ 1  − =  z + 2012 + z + 2011 y + 2013 + y + 2011  x + 2013 + x + 2011 y + 2013 + y + 2011 − − z + 2013 + z + 2012 x + 2013 + x + 2012 Nếu xz VP dương VT âm vơ lí Nếu xy VP dương VT âm vơ lí Vậy x=y=z Cách khác Giả sử z ≥ x, z ≥ y Ta có : (1) ( 2) x + 2011 + y + 2012 + z + 2013 = y + 2011 + z + 2012 + x + 2013 ⇒ z + 2013 − z + 2011 = x + 2012 − x + 2011 + y + 2013 − y + 2012 ⇔ z + 2013 − z + 2012 + z + 2012 − z + 2011 = x + 2012 − x + 2011 + y + 2013 − y + 2012 + z + 2013 + z + 2012 + y + 2012 + y + 2011 Vì z ≥ x, z ≥ y ⇒ ⇒ ≤ z + 2013 + z + 2012 = z + 2012 + z + 2011 y + 2013 + y + 2012 1 ≤ z + 2011 + z + 2012 x + 2011 + x + 2012 1 ⇒ + ≤ z + 2013 + z + 2012 z + 2011 + z + 2012 + Mà x + 2013 + x + 2012 y + 2013 + y + 2012 x + 2011 + x + 2012 + z + 2013 + z + 2012 = z + 2011 + z + 2012 y + 2013 + y + 2012 x + 2011 + x + 2012 ⇒ x = y = z Vậy x = y = z Cách khác Đặt a = x + 2011, b = y + 2011, c = z + 2011 Ta có hệ  a + b +1 + c + = b + c +1 + a +  4 2A 4 43 4 2B 4 43  + = 1c4+4 a4 +214+ b43 +2  1b4+4 c4+214+ 4a43  B C + vai trò x,y z bình đẳng Giả sử c = max{a;b;c} A = C Ta có a + b +1 + c + = c + a +1 + b + ( ⇔( ⇔ ⇔ ) ( a) +( ) b + 1) = ( a +1 − a + b + − b +1 = c + − c a +1 − b+2 − ) ( c + − c +1 + c +1 − c ) 1 1 + = + ( *) a +1 + a b + + b +1 c + + c +1 c +1 + c Mặt khác, 1 ≤ a +1 + a c +1 + c 1 c≥b⇒ ≤ b + + b +1 c + + c +1 c≥a⇒ Suy (*) xảy a=b=c, suy x=y=z Trờng đại học s phạm hà nội đề thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2013 Môn thi: TON (Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán chuyên Tin) Cõu (2,5 im) 1.Cho số thực a, b,c thỏa mãn đồng thời hai đẳng thức sau i ( a + b )( b + c )( c + a ) = abc ii ( a + b )( c + b )( a + c ) = a 3b c Chứng minh a=b=c 2.Cho số thực dương a,b thỏa mãn ab > 2013a + 2014b Chứng minh bất đẳng thức a + b > ( 2013 + 2014 ) Hướng dẫn 1) Ta có : (a + b3 ) ( b3 + c3 ) ( c3 + a3 ) = a 3b3c3 ⇔ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ( a + b − ab ) ( b + c − bc ) ( a + c − ac ) = a 3b 3c ⇔ abc ( a + b − ab ) ( b + c − bc ) ( a + c − ac ) = a 3b 3c Nếu abc = thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2 Nếu abc ≠ ⇒ ( a + b − ab ) ( b + c − bc ) ( a + c − ac ) = a b c Vì a + b − ab ≥ a + b − ab ≥ ab − ab ≥ ab CMTT : … 2 2 ( )( Ta có : a + b − ab b + c − bc 2 2 )(a + c − ac ) ≥ ab bc ac = a 2b 2c Dấu = xảy a = b = c thay vào điều kiện vơ lý Vậy abc = 2) Áp dụng BĐT Bunhiacopxiki cho dãy : b , a 2013 2014 , b a Ta có : ( )  2013 2014  ÷≥ b + a  +  ÷ b a   ⇒a+b> ( 2013 + 2014 ) ( 2013 + 2014 ) 2 Vì ab > 2013a + 2014b ⇒ > 2013 2014 + b a Câu (2 điểm)Tìm tất cặp số hữu tỷ (x;y) thỏa mãn hệ phương trình  x − y = x + y  6 x − 19 xy + 15 y = Hướng dẫn Nếu x = không nghiệm phương trình Nếu x ≠ Đặt y = tx ta có hệ phương trình   x − 2t x3 = x + 4tx  x ( − 2t ) = + 4t ⇒  2 2 6 x − 19tx + 15t x =  x ( − 19t + 15t ) = 1 + 4t ⇒ = ⇒ ( + 4t ) ( − 19t + 15t ) = − 2t 3 − 2t − 19t + 15t ⇔ + 5t − 61t + 62t = ⇔ ( 2t − 1) ( 31t − 15t − ) = ⇒ 2t − = ⇒ t = ( tÔ ) x = y ⇒ x = ⇔ x = ±2 ⇒ y = ±1 Vậy S = { ( 2;1) , ( −2; −1) } Câu (1điểm) Với số nguyên dương n,kí hiệu Sn tổng n số nguyên tố ( S1=2;S2=2+3; S3=2+3+5….) Chứng minh dãy số S1; S2; S3… không tồn hai số hạng liên tiếp số phương Hướng dẫn 2 Ký hiệu pn số nguyên tố thứ n Giả sử tồn S m−1 = k , S m = l ( k , l ∈ ¥ *, m > ) Sm−1 = + + + + + pm−1, S m = + + + + + pm 2 Ta có : pm = S m − Sm −1 = l − k = ( l − k ) ( l + k ) pm số nguyên tố k + l >  k + l = pm  pm +  ( pm + 1) pm pm + ⇒ ⇒ pm = 2l − = Sm − ⇒ S m =  + ÷ = 4   l − k = 1 p +1 = ( + + + + pm ) + m > ( + + + + pm ) > + + + + + pm (Vô lý) Câu (2,5điểm) Cho tam giác không cân ABC nội tiếp đường trịn (O) ,BD phân giác góc BAC.Đường thẳng BD cắt (O) điểm thứ hai E Đường trịn (O1) đường kính DE cắt đường trịn (O) điểm thứ hai F 1.Chứng minh đường thẳng đối xứng với đường thẳng BF qua đường thẳng BD qua trung điểm cạnh AC 2.Biết tam giác ABC vng B góc BAC=600 bán kính đường trịn (O) R Tính bán kính đường trịn (O1) theo R Hướng dẫn a) CM : FKCA hình thang cân ·  ·ABD = CBD · ⇒ ·ABF = CBK ⇒ AF = KC Ta có :  · · = NBM  FBM Mà FKCA tứ giác nội tiếp ⇒ FKCA hình thang cân ⇒ FK PCA, AF = KC · · Ta lại có : ·AOF = DOF (chắn cung DF) = DEF · · · · · · Mà DEF (chắn cung BF) = KPC ⇒ KPC = FOA = BEF = BKF ⇒ ∆AFP = ∆CKP ( g c.g ) ⇒ AP = KP b) · Ta có : BD phân giác ·ABC ⇒ ·ABD = 45° ⇒ ·ADB = 75° ⇒ EDO = 75° · BAD = 60° · ⇒ DEO = 15° · Mà DOE = 90° (chắn nửa đường tròn) OE OE R · ⇒ = cos DEO = cos15° ⇒ DE = ⇒ R1 = DE cos15° 2cos15° Câu 5(1điểm) Độ dài ba cạnh tam giác ABC ba số nguyên tố Chứng minh diện tích tam giác ABC khơng thể số nguyên Hướng dẫn Gọi cạnh ∆ABC a, b, c ( a, b, c ∈ Ρ ) Chu vi tam giác ∆ABC 2p