Chương VIII Khảo sát tính ổn định hệ thống tự động điều chỉnh Trong trình xây dựng khai thác hệ thống tự động điều chỉnh để đánh giá xác khả làm việc hệ thống; phải dựa vào số tính chất hệ thống, là: Tính ổn định tiêu chất lượng hệ thống chương chủ yếu sâu vào khái niệm ổn định phương pháp toán học biểu thị tính chất 8.1 Khái niệm trình chuyển tiếp hệ thống tự động điều chỉnh Quá trình chuyển tiếp hệ thống tự động điều chỉnh trình thay đổi theo thời gian đại lượng điều chỉnh hệ thống chuyển từ trạng thái cân sang trạng thái cân khác xác lập lại trạng thái cân cũ xuất tác động nhiễu (nhiễu nhiễu trong) Nếu gọi Y đại lượng điều chỉnh hệ thống biểu thức toán học biểu thị trình chuyển tiếp là: y = F (t) Như biết hệ thống tự động tuyến tính biểu thị phương trình: dn y d n −1 y dmx d m −1 x an + a n −1 n −1 + + a o y = b m + b m −1 m −1 + + b o x dt n dt dt m dt : N (p) y = M(p).x Trong đó: N(p) toán tử riêng hệ thống tự động M(p) toán tử tín hiệu vào hệ thống Y = F(t) nghiệm phương trình động hệ thống điều chỉnh (phương trình 2) Thông thường phương trình động (2) phương trình vi phân không đồng nghiệm y = F(t) tổng nghiệm phương trình có phần y phương trình vi phân không y2 y = y1 + y2 = f1(t) + f2(t) (3) Nghiệm y1 phương trình vi phân gọi nghiệm chung Nó biểu thị trình chuyển tiếp tự hệ thống Khái niệm tự ta hiểu trình chuyển tiếp mà tác động nhiễu nguyên nhân gây nên trình Quá trình chuyển tiếp tự biểu thị phương trình vi phân Nghiệm y đặc trưng cho trình chuyển tiếp cưỡng ảnh hưởng không đổi tác động nhiễu y2 = f2(t) (4) Trong trường hợp tác động nhiễu hệ thống tác động nhiễu từ bên (f) tác động hiệu chỉnh (x0) Do để biểu thị trình chuyển tiếp hệ thống tự động cần thiết phải tìm nghiệm tổng quát phương trình không (2) Muốn trước hết phải tìm nghiệm chung phương trình sau giải phương trình không Quá trình chuyển tiếp tự do: 159 Nghiệm phương trình có dạng: y1j = Cj epjt (5) Thay biểu thức (5) vào phương trình N (p)y = ta có: anCjPjnepjt + an-1CjPjn-1epjt+ + aoCjepjt = (6) Khi chia hai vế phương trình cho Cjepjt ta có: anPnj + an-1Pjn-1 + + a0 = (7) Phương trình (7) gọi phương trình đặc tính có n nghiệm từ P1 đến Pn đồng thời hệ số Pj biểu thức: C1ep1t C2ep2t C3ep3t Cnepnt (8) Với giá trị C không đổi thỏa mãn với phương trình N (p)y = Tất phần tử (8) nghiệm thành phần phương trình N (p)y = Vậy nghiệm chung phương trình tổng nghiệm thành phần: n y1 = ∑ C j e p jt (9) j =1 Các số tích phân C1, C2 Cn xác định biểu thức ban đầu thời điểm t = Phân tích phương trình đặc tính (7) cho thấy phương trình đặc tính viết dạng đa thức nhận từ định thước toán tử hệ thống tự động điều chỉnh N(p) = (10) Qua biểu thức (8) biểu thị nghiệm chung phương trình vi phân phương trình động hệ thống điều chỉnh phụ thuộc vào nghiệm phương trình đặc tính (7), nghiệm phương trình đặc tính có giá trị dương, âm, số phức Pj, j + = aj + i bj (11) Trong trường hợp chung phương trình đặc tính có k nghiệm thực số cặp nghiệm phức n−k nghiệm chung phương trình vi phân có dạng: k y1 = ∑ C j e j =1 p jt + n−k ∑C e j = k +1 α jt j sin( β j t + γ j ) (12) Vậy nghiệm chung phương trình xác định tổng đại số thành phần phi chu kỳ dao động Do qua biểu thức biểu thị nghiệm chung phương trình (9) (12) cho thấy đặc tính trình chuyển tiếp xác định giá trị dấu nghiệm phương trình đặc tính (7) (10) Thật vậy: 160 a) Quá trình chuyển tiếp phi chu kỳ (hàm mũ) điều kiện tất nghiệm phương n trình đặc tính có giá trị thực y1 = ∑C p j j =1 pit Giá trị tổng tiến tới không tất nghiệm phương trình đặc tính N (p) = giá trị thực âm Quá trình biểu thị đường cong phi chu kỳ hội tụ (2,3,4) hình 8-1a Nếu họ nghiệm phương trình đặc tính có nghiệm thực dương độ lệch tương đối thông số điều chỉnh yio lớn lên theo thời gian Quá trình chuyển tiếp mô tả đường dạng phi chu kỳ phân kỳ b Nếu họ nghiệm phương trình đặc thù dù có cặp nghiệm phức trình chuyển tiếp mô tả: k y1 = ∑ C j e j =1 p jt + n−k ∑C e j = k +1 α jt j sin( β j t + γ j ) trình chuyển tiếp trình dao động Thành phần dao động thành phần phi chu kỳ hội tụ phân kỳ Thành phần dao động trình chuyển tiếp y = f(t) hội tụ giá trị biên độ dao động khoảng thời gian khác sin (β it + γj) = +1 nhỏ dần theo thời gian tiến tới giá trị không Điều xảy phần thực cặp nghiệm phức có giá trị âm a j < - Còn trường hợp aj > giá trị độ lệch y 01 lớn lên theo thời gian thành phần dao động trình chuyển tiếp trình dao động phân kỳ hình 8-1c 161 - Trường hợp aj = nghiệm phương trình đặc tính có dạng ảo thành phần y j, (dao động) có giá trị biên độ dao động không đổi nghĩa khả trở lại trạng thái cân sau bị phá vỡ (8-1d) Quá trình chuyển tiếp gọi trình dao động điều hòa c Xét biểu thức (12) cho thấy Trong trường hợp tổng quát trình chuyển tiếp tự bao gồm thành phần dao động phi chu kỳ Vậy trình hội tụ tất thành phần chu kỳ dao động hội tụ Từ việc phân tích rút kết luận: Quá trình chuyển tiếp tự hệ thống tự động điều chỉnh hội tụ nghiệm phương trình đặc tính có nghiệm thực âm phần thực cặp nghiệm phức có giá trị âm Ngược lại họ nghiệm dù cần có nghiệm thực dương phần thực cặp nghiệm phức dương trình chuyển tiếp mang tính phân kỳ Quá trình chuyển tiếp cưỡng Nghiệm y2 phương trình (3) biểu thị thành phần chuyển động cưỡng xuất hệ thống có tác động nhiễu loạn Trong trường hợp tổng quát tác động nhiễu loạn phức tạp Như đề cập tồn tác động nhiễu - tác động cưỡng có hiệu chỉnh thông số cho trước (x 0) có tác động nhiễu từ bên làm phá vỡ cân hệ thống Trong chu trình trình chuyển tiếp xảy trường hợp là: Do có thay đổi tín hiệu cho trước (x 0) theo ý muốn người (thay đổi sức căng ban đầu lò xo, điều chỉnh vòng quay động diesel để thay đổi chế độ làm việc động cơ, lưu ý tác động nhiễu (sự thay đổi phụ tải) lực không (f = 0) Trong trường hợp chung nhất, thay đổi nhu cầu tiêu thụ lượng biểu thị: x = f (t) (13 Nếu biết rõ biểu thức (13) xác định y2 = f2(t) chẳng hạn phương trình thông số x có dạng: x = x0cos ωt (14) x0: Biên độ dao động phụ tải ω - Tần số dao động (vận tốc góc) Khi phương trình vi phân không đồng có dạng: N(P)y = M (p)X0 cosωt (15) nghiệm phương trình có dạng: y2 = X0A (ω) cos (ωt + γ(ω)) (16) A(ω) γ(ω) biên độ độ lệch pha đặc tính tần số hệ thống Nếu cho trước giá trị x0 tần số ω = ω0 tác động nhiễu xác định biên độ A2 dao động cưỡng A2 = X0 A (ω0) độ lệch pha γ2 = γ (ω0) Như y2 = A2cos (ωt + γ2) 162 Trong thực tế x = f(t) biểu thị thay đổi phụ tải có tính chất chu kỳ khai triển thành chuỗi Furie để tính nghiệm y y = y1 + y2 Khi phân tích trình chuyển tiếp nhiễu loạn phức việc nghiên cứu hệ thống tự động trở nên phức tạp 8.2 Khái niệm tính ổn định điều kiện ổn định hệ thống tự động tuyến tính Đảm bảo cho hệ thống tự động điều chỉnh hoạt động ổn định chế độ động yêu cầu quan trọng thiếu Hệ thống có khả sử dụng hay không chúng ổn định Nhà bác học Nga Liapunov người đề xướng lý thuyết "tính ổn định hệ thống tự động điều chỉnh" Tính ổn định hệ thống tự động điều chỉnh khả trì trạng thái điều chỉnh cho trước hệ thống tự động với độ xác định khả khôi phục lại bị phá vỡ Qua nghiên cứu cho thấy để đánh giá tính ổn định hệ thống tự động điều chỉnh phải biết đặc tính trình chuyển tiếp chúng Nếu gọi y giá trị thông số điều chỉnh trạng thái tĩnh y giá trị thông số điều chỉnh trạng thái động Khi trạng thái cân bị phá vỡ tính ổn định hệ thống tự động điều chỉnh biểu thị biểu thức toán học sau: lim ∆y (t ) < ε t →∞ (18) Trong đó: Δy = |y - y0| độ lệch thông số điều chỉnh ε - Giá trị nhỏ cho trước Qua biểu thức (18) cho thấy giới hạn độ lệch đại lượng (Δy) trạng thái động sau thời gian phải giảm dần, phải nhỏ giá trị nhỏ cho trước e hệ thống xác nhận ổn định Việc đánh giá tínhổn định hệ thống vấn đề khó khăn, tính phức tạp cấu trúc hệ thống tác động nhiễu Vì mà phải dùng toán học để đánh giá tính ổn định chuyển động Ở hiểu việc nghiên cứu đánh giá khả làm việc hệ thống từ tình trạng hoạt động bị tác động nhiễu trở lại trạng thái hoạt động không bị nhiễu, tức (khi tác động nhiễu kết thúc) Hay nói cách khác để nghiên cứu tính ổn định hệ thống, người ta nghiên cứu xu trở trạng thái cân tác động nhiễu loạn biến Do hệ thống tự động điều chỉnh thực tế để đánh giá tính ổn định chúng cần nghiên cứu trình chuyển tiếp tự hệ thống Khái niệm tính ổn định biểu thị đồ thị hình 8-2 biểu thị trình chuyển tiếp Δy (t) = f(t) 163 Để khảo sát hệ thống xem có ổn định hay không? Thường người ta tác động đại lượng nhỏ để phá vỡ trạng thái cân tĩnh Dựa vào khái niệm tính ổn định, người ta tìm điều kiện cần đủ để hệ thống tự động điều chỉnh ổn định 8.2.1 Xác định điều kiện ổn định hệ thóng tự động điều chỉnh Quá trình động hệ thống tự động điều chỉnh biểu thị phương trình vi phân có dạng: (anpn + an - 1pn-1 + + a0) Δy = (bmpm + bm-1pm-1 + + b0)x0 + (Cvpv + Cv- 1pv-1 + + C0)f (19) Trong đó: Δy : Độ lệch thông số điều chỉnh x0 : Tín hiệu cho trước f : Tác động nhiễu loạn Để khảo sát trình thay đổi thông số điều chỉnh phải giải phương trình vi phân (19) Như nêu, tác động nhiễu f xuất đột ngột biến đột ngột đủ làm phá vỡ trạng thái cân hệ thống, trình trở trạng thái cân cũ xác lập trạng thái cân tham gia tác động Cho nên khảo sát tính ổn định cần xác định nghiệm phương trình vi phân N(p).Δy = đủ hay nói cách khác cần tìm hiểu xu hướng trình chuyển tiếp tự Không phụ thuộc vào điều kiện bên x0 f Thành phần nghiệm biểu thị trình chuyển tiếp tự do: Δy1 = C1ep1t + C1ep2t + + Cnepnt (20) Trong đó: C1; C2 Cn số tích phân xác định tự điều kiện ban đầu P1, P2, P3 Pn nghiệm phương trình đặc tính anpn + an - 1pn-1 + + a0 = 164 Qua phân tích rút kết luận: Muốn khảo sát tính ổn định hệ thống TĐĐC cần khảo sát nghiệm phương trình đặc tính Sau xét trường hợp: Nếu nghiệm phương trình đặc tính nghiệm thực âm: Pj = -αj lim C j e p jt = lim C j e t →∞ − a jt t →∞ =00 thì: lim e −αt C sin( βt + γ ) → ∞ t →∞ Hệ thống có trình chuyển tiếp hội tụ - Hệ thống ổn định - Với α = thì: lim C sin(βt +γ ) →a t →∞ Hệ thống có trình chuyển tiếp dao động điều hòa - Hệ thống nằm ranh giới ổn định Qua phân tích rút kết luận: Điều kiện cần đủ cho hệ thống tự động điều chỉnh tuyến tính tất nghiệm thực phần thực cặp nghiệm phức phương trình đặc tính phải có giá trị âm Dù có nghiệm thực hay phần thực cặp cặp nghiệm phức số dương làm cho hệ thống không ổn định Để hiểu rõ điều kiện ổn định hệ thống TĐĐC người ta mô tả hình ảnh cách biểu thị mặt phẳng phức hình 8-3 Nếu lấy trục hoành trục thực trục tung trục ảo theo điều kiện ổn định phần trên, hình 8-3a biểu thị hệ thống ổn định; 8-3b biểu thị hệ thống không ổn định, hình 8-3c biểu thị hệ thống có nghiệm phương trình đặc tính không hệ thống có tính trung hòa hình 8-3d có cặp nghiệm ảo Hệ thống nằm ranh giới ổn định đủ để đảm bảo cho hệ thống TĐĐC tuyến tính ổn định tất nghiệm phương trình đặc tính phải nằm phía bên trái trục ảo Dù cho có nghiệm thực hay cặp nghiệm phức nằm phía bên phải trục ảo hệ thống không ổn định" 166 iβ iβ P4 P4 P1 P1 P3 P3 α α P2 P5 P1 P2 a/ P5 iβ iβ P4 P1 P4 P3 P3 P5 P2 b/ α c/ α P5 d/ P2 Hình 8-3 Biểu thị điều kiện ổn định mặt phẳng phức 8.2.3 Đánh giá tính ổn định sở hệ số phương trình động Từ điều kiện cần đủ để hệ thống TĐĐC ổn định nêu trên, tính ổn định nghiệm phương trình đặc tính có liên quan mật thiết với nhau, mặt khác qua phương trình đặc tính ta thấy phương trình đại số bậc n nên giá trị hệ số phương trình đặc tính nghiệm có quan hệ hữu với Vậy đánh giá tính ổn định sở hệ số phương trình đặc tính phương trình động hệ thống TĐĐC Ta biểu thị phương trình đặc tính dạng: N (p) = an (p - p1) (p - p2) (p - p3) (p - pn) (1) Vì hệ thống ổn định nên nghiệm phương trình đặc tính nằm phía trái trục ảo có nghiệm p1 = -α1; p2,3 = -α + iβ pn = -αn Thay giá trị nghiệm vào phương trình (1): N(p) = an (p + α1) (p + α - iβ)(p + α + iβ) (p + α n) = = an (p + α 1) (p2 + 2p α + α 22 + β2) + + (p + α n) (2) Qua biểu thức (2) cho thấy hệ số a j có giá trị dương hệ số phương trình đặc tính xác định tích hệ số aj nên hệ số phương trình có giá trị dương 167 Vậy điều kiện cần thiết hệ thống TĐĐC tuyến tính ổn định hệ số phương trình đặc tính phải có giá trị dương, với kết luận trình nghiên cứu tính ổn định hệ thống tự động điều chỉnh đó, biết phương trình động nó, sơ đánh giá tính ổn định qua hệ số phương trình 8.3 Các tiêu chuẩn ổn định Như phần nêu muốn biết hệ thống TĐĐC có ổn định hay không, điều quan trọng đặt phải giải phương trình động (phương trình vi phân) tìm nghiệm Nhưng điều thực dễ dàng phương trình vi phân bậc thấp (n=1,2) phương trình vi phân bậc cao gặp nhiều khó khăn, nhiều không giải nổi, điều quan trọng phải biết tính ổn định hệ thống tự động điều chỉnh phụ thuộc vào thông số Đôi cần phải xác định khoảng giá trị thông số có khả đảm bảo hệ thống ổn định điều biết khảo sát tính ổn định theo phương pháp Do người ta nghiên cứu tìm cách giải nhanh hơn, dễ dàng hơn, đáp ứng yêu cầu thực tế cách khảo sát tính ổn định hệ thống thông qua tiêu chuẩn ổn định Tiêu chuẩn ổn định tập hợp điều kiện, thông qua điều kiện cho phép kết luận tính ôn định hệ thống TĐĐC mà không cần giải phương trình vi phân phương trình đặc tính để tìm nghiệm Có thể gặp loại tiêu chuẩn ổn định 1) Tiêu chuẩn ổn định đại số: Là tiêu chuẩn xây dựng mối quan hệ hệ số phương trình đặc tính với tính chất phân bố nghiệm phương trình mặt phẳng phức Tiêu chuẩn bao gồm: a Tiêu chuẩn Vusnhiegradki b Tiêu chuẩn Rauth c Tiêu chuẩn Gurvitz Tiêu chuẩn ổn định tần số: tiêu chuẩn xây mối quan hệ hình dạng đường cong đặc tính tần số hệ thống với tính chất phân bố nghiệm phương trình đặc tính mặt phẳng phức Tiêu chuẩn loại bao gồm: a Tiêu chuẩn Mikhailov b Tiêu chuẩn Naivis c Tiêu chuẩn Logarit d Tiêu chuẩn khoanh vùng ổn định 8.3.1 Tiêu chuẩn ổn định đại số Vusnhiegrradski Tiêu chuẩn ông Vusnhiegradski, bác học Nga đề xuất vào năm 1876 Tiêu chuẩn áp dụng để nghiên cứu tính ổn định hệ thống TĐĐC có phương trình động phương trình vi phân tuyến tính bậc Ví dụ phương trình đặc tính bậc có dạng a3p3 + a2p2 + a1p +a0 = (1) Chia vế phương trình (1) cho a3: 168 ϕ = n π Vậy nội dung tiêu chuẩn ổn định Michilov: "Điều kiện cần đủ để đảm bảo cho hệ thống TĐĐC tuyến tính có phương trình đặc tính bậc n ổn định dường cong Michailov xuất phát từ điểm phần dương trục thực, thứ tự qua n góc vuông theo ngược chiều kim đồng hồ không qua gốc toạ độ ω biến thiên từ → ∞ Cụ thể mô tả biểu thức: ϕ = n π 0< ω < ∞ Ví dụ minh hoạ: + Dùng tiêu chuẩn Michailov để đánh giá tính ổn định hệ thống TĐĐC có phương trình đặc tính là: 2p3 + 4p2 + 3p + = (1) Cách giải quyết: Trên sở phương trình động (1) xây dựng đường cong Michailo thay P = jω phương trình (1) có dạng: N(jω) = 2(jω)3 + 4(jω)2 + 3(jω) + = (2) Phân tích phương trình thành phần thực phần ảo Phần thực: P(ω) = - 4ω2 Phần ảo: Q(ω) = 3ω - 2ω3 Tính giá trị R(ω) Q(ω) với giá trị ω: ω R(ω) Q(ω) 0 1,41 -4 1,5 1,7 -7 -2,25 -9,2 - 47 Trên sở giá trị xác định bảng trên, xây dựng đường cong Michailov thể hình -13 Trên sở đường cong hình 8-13 theo tiêu chuẩn Michailov kết luận: Hệ thống ổn định 182 iQ(ω) ω= ω= ω=0 x0 R(ω) Hình 8.13 Đường cong Mikhailov Ví dụ 2: Hãy khảo sát tính ổn định hệ thống TĐĐC kín có hàm truyền: G (P) = p +1 5p + 2p + 3p + Là hệ thống kín nên mẫu biểu thức hàm truyền phương trình đặc tính hệ thống vậy: phương trình đường cong Michilov có dạng: M(jω) = 5(jω)3 + 2(jω)2 + 3(jω) + Phần thực R(ω) = - 2ω2 Phần ảo Q(ω) = 3ω - 5ω3 Cho ω số giá trị tính R(ω) Q(ω) ω R(ω) Q(ω) 0,5 1,5 0,875 0,8 0,72 -0,16 -2 -6 -34 Xây dựng đường cong Michailov sở giá trị bảng trên: Theo điều kiện ổn định đường cong hình 8-14 không qua góc phần tư thứ mặt phẳng phức kết luận: 183 iQ(ω) ω = 0,5 ω = 0,8 ω=0 R(ω) -2 ω = Hình 8.14 Đường cong Mikhailov Hệ thống không ổn định Hệ quả: Dựa vào kết luận Michailov tính ổn định hệ thống tự động thấy hệ thống tự động điều chỉnh ổn định đường cong Michailov quay ngược chiều kim đồng hồ cắt trục thực trục ảo theo phương trình: R(ω) = (1) Q(ω) = (2) Vậy thời điểm trị số ω nghiẹm phương trình (1) (2) khẳng định hệ thống TĐĐC ổn định nghiệm phương trình (1) (2) có giá trị thay đổi từ đến ∞ hình 8-15 Nghiệm R(ω) = ω ω Nghiệm Q(ω) = Hình 8.15 Bằng phương pháp giúp ta giải số trường hợp xác định tính ổn định nhanh Bởi bậc phương trình R(ω) Q(ω) nhỏ nhiều so với bậc phương trình đặc tính ví dụ: Bậc phương trình đặc tính: 3456789 Bậc R(ω) 1223344 Bậc Q(ω) 1122334 Vậy biết phương trình đặc tính hệ tự động điều chỉnh Muốn khảo sát tính ổn định việc tìm phương trình R(ω) = Q(ω) = sau giải phương trình để tìm nghiệm lập biểu đồ hình -15 kết luận tính ổn định hệ thống 8.3.6 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist 184 Tiêu chuẩn ổn định Nyquista tiêu chuẩn ổn định tần số có nhiều ý nghĩa thực tế Cơ sở để xây dựng tiêu chuẩn dựa vào đặc tính tần số hệ thống hở để đánh giá tính ổn định cho hệ thống kín Dung tiêu chuẩn ổn định đánh giá tính ổn định hệ thống nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm Ta khảo sát hệ thống tự động tuyến tính thể hình 8-16 x0 + - G1(p) y G2(p) Hình 8.16 Khi hệ thống tự động trạng thái hở hàm truyền có dạng: G o ( p) = X ph (p) X o ( p) G1 (P).G (p) (1) Có thể biểu diễn hàm truyền (1) dạng tỷ số đa thức có biến số P G o ( p) = M o ( p) N o ( p) Trong có No(P) = (2) (3) phương trình đặc tính hệ thóng mạch hở giả sử bậc n Nếu hệ thống kín hàm truyền là: G k ( p) = G ( p) Y ( p) = X o (p) + G1 (p).G (p) (4) Thay phương trình (2) vào (4) sau biến đổi xác định hệ thống khép kín có phương trình đặc tính có dạng: Nk(p) = Mo(p) + No(p) (5) Ta xem xét mối quan hệ phương trình đặc tính hệ thống mạch hở hệ thống khép kín Thật xét tỷ số đa thức Nk(p) đa thức No(p) có dạng: + G o ( p) = N k ( p) N o ( p) (6) Và viết dạng + G o ( p) = (p − p1 )(p − p )(p − p ) (p − p n ) N k ( p) = a N o ( p) (p − p'1 )(p − p'2 ) (p − p'n ) (7) a hệ số trình biến đổi p p' nghiệm phương trình đặc tính mạch kín mạch hở Bây hàm (7) quan tâm đến giá trị iω = p mặt phẳng phức i + Go(p) nhân vectơ + G o (iω) = N k (iω) N o (iω) (8) 185 Và acgumen (góc quay) vectơ ϕ là: arg(1 + Go(iω)) = argNk(iω) - argNo(iω) 0[...]... với α > 0 và điều kiện để định thức (6) không thoả mãn, ví dụ P1 = -1; α = 0,1 và b = 1 đây là điều kiện để hệ thống không ổn định tuy nhiên vẫn đáp ứng với điều kiện cần A2 > 0, A1 > 0, Ao > 0 nhưng không thoả mãn điều kiện: 172 0 ,8 1,01 = 0,64 08 − 1,01 < 0 1 0 ,80 1 (8) Vậy có thể kết luận chi với giá trị dương của định thức (6) mới là điều kiện cần và đủ để đảm bảo cho hệ thống tự động điều chỉnh tuyến... vậy đã đáp ứng điều kiện cần ta thành lập bảng Rauth 1 a6 = 1 a5 = 26 b31 = 2 08, 5 b41 =86 1,6 b51 = 20 18, 4 2 a4 = 255 a3 = 1210 b32 = 2793 ,8 b42 = 3204,4 b52 - 1440 3 a2 = 2924 a1 = 3 384 b33 = 1440 4 ao = 1440 171 b61 = 2 589 ,6 Qua bảng cho thấy, tất cả ác phần tử (7 phần tử) ở cột thứ nhất của bảng đều có giá trị dương vậy hệ thống TĐĐC trên ổn định 8. 3.3 Tiêu chuẩn ổn định HURWITZ Năm 189 5 nhà bác học... được biểu thị trên hình 8- 8 Nếu ω biến thiên từ 0 → ∞ thì vectơ AB sẽ quét theo chi u ngược kim đồng hồ một góc bằng π 2 Lưu ý: Góc quay theo chi u ngược kim đồng hồ sẽ là góc quay dương (+) còn góc quay theo chi u ngược lại sẽ là góc quay âm (-) iω B iω φ1 A1 α α1 0 như hình 8- 9 vectơ (iω − p 2 ) = (iω − α 2 ) là vectơ A 2 B sẽ quét một góc theo chi u kim đồng hồ ϕ 2 =... tự như trên ta xác định được pha của tích 2 vectơ π π  π  ϕ 5,6 = ϕ5 + ϕ 6 = − + γ  + (−) − γ  = −2 2 2  2  e Phương trình đặc tính có cặp nghiệm thuần ảo p 7 , 8 = ± iω o p 7 = iω o p 8 = −i ω o ( ) Các vectơ ( iω − p 5 ) và iω − p 8 được thể hiện trên hình 8- 12 Khi ω biến thiên từ 0 → ∞ các góc quay ϕ7 và 8 đều quét một góc bằng 0 ϕ7 = 8 = 0 iω B iω iω iω-p5 iω φ5 iω0 A5 iω-p7 iω-p8... qua góc phần tư thứ 2 của mặt phẳng phức có thể kết luận: 183 iQ(ω) ω = 0,5 0 ω = 0 ,8 ω=0 R(ω) -2 ω = 1 Hình 8. 14 Đường cong Mikhailov Hệ thống không ổn định Hệ quả: Dựa vào kết luận của Michailov về tính ổn định của hệ thống tự động có thể thấy hệ thống tự động điều chỉnh ổn định thì đường cong Michailov quay ngược chi u kim đồng hồ và lần lượt cắt các trục thực và trục ảo theo phương trình: R(ω) =... ω =0 iQ(ω) ω = ∞ ω =0 R(ω) a/ Hệ thống ổn định (-1,io) R(ω) Hình 8. 18 b/ Hệ thống không ổn định a Hệ thống ổn định b Hệ thống không ổn định Các đặc tính trên hình 8- 18 có dạng không bình thường nên chỉ đơn thuần dựa vào điều kiện (8) không thể kết luận một cách chính xác được Sau đây là phương pháp chứng minh các đặc tính trên hình 8- 18 Từ phương trình (10) có thể tìm được mođun và argumen Môđun của... hình 8- 22 thì vectơ G o(iω) ở ácgumen ϕ(ω) = - 180 0 sẽ phải có môđun nhỏ hơn giá trị 1, hoặc có thể biểu thị: G o (iω) = M (ω) < 1 ( 18) Từ điều kiện ( 18) đối với mođun M(ω) có thể rút ra được điều kiện đối với hàm L(ω) = 20lgM: L(ω') = 20logM(ω'_: với M(ω') < 1 Thì L(ω') < 0 (19) ở đây ω' giá trị tần số của ω mà ở đó argumen của vectơ Go(iω) có giá trị bằng -π Để có thể thấy điều kiện (19) Trên hình 8- 23... (trên hình 8- 20) Bằng cách như vậy đường gianh giới giữa nửa 188 mặt trái và phỉa, nghiệm p = 0 sẽ gắn vào nửa mặt phẳng trái Ta nghiên cứu gianh giới như vậy chi u trên mặt phẳng Go(iω) iQ(ω) n→0 0 p φ R(ω) Hình 8. 20 Khi điểm P chuyển dịch dọc theo trục ảo từ vùng lân cận gốc toạ độ, biến số p thay đổi bằng i ω và vectơ chuyển động (1 + Go(p)) = 1 + Go(iω) sẽ tạo nên đặc tính như trên hình 8- 19 (đường... cong Michilov có dạng: M(jω) = 5(jω)3 + 2(jω)2 + 3(jω) + 2 Phần thực R(ω) = 2 - 2ω2 Phần ảo Q(ω) = 3ω - 5ω3 Cho ω một số các giá trị và tính R(ω) và Q(ω) ω R(ω) Q(ω) 0 2 0 0,5 1,5 0 ,87 5 0 ,8 0,72 -0,16 1 0 -2 2 -6 -34 Xây dựng đường cong Michailov trên cơ sở các giá trị ở bảng trên: Theo điều kiện ổn định đường cong trên hình 8- 14 không đi qua góc phần tư thứ 2 của mặt phẳng phức có thể kết luận: 183 iQ(ω)... thống tự động điều chỉnh khép kín ổn định chỉ khi đặc tính logarit của hệ thống hở có giá trị âm khi tần số ω có giá trị bằng độ lệch pha - 180 0 192 88 .3 .8 Độ dự trữ ổn định Trong các hệ thống ổn định, có thể phân biệt một số loại hệ thống ổn định với các giá trị bất kỳ của các thông số Các hệ thống đó được gọi là cấu trúc ổ định Trên thực tế, những hệ thống như vậy thường có phương trình động bậc nhất