Chương III khái niệm hàm truyền, hàm tần, đặc tính tần số hệ thống tự động điều chỉnh 3.1 Phép biến đổi Laplace phương pháp biểu diễn phương trình vi phân dạng toán tử 3.1.1 Khái niệm phương pháp biểu diễn phương trình vi phân dạng toán tử Phương trình động phần tử hay hệ thống tự động điều chỉnh biểu diễn dạng phương trình vi phân có nhiều nhược điểm: - Phương trình cồng kềnh, việc giải phương trình phức tạp, nhiều thời gian - Khó phân biệt phương trình thuộc dạng phương trình động khâu tiêu biểu - Phương trình có thứ nguyên biến số: điện áp, áp suất khí nén, cường độ dòng điện v.v mô tả làm việc phần tử hệ thống tự động cụ thể Vì phương trình phần tử hệ thống hệ thống thường viết dạng khác chung thuận tiện hơn, dạng phương trình động không thứ nguyên Phương trình động không thứ nguyên dạng phương trình tất đại lượng biến thiên (trừ biến số thời gian) thứ nguyên Muốn chuyển từ dạng phương trình có thứ nguyên sang dạng không thứ nguyên cần nhân chia số hạng phương trình cho đại lượng không đổi có thứ nguyên biến số nằm số hạng Thường lấy đại lượng không đổi nói có giá trị trị số định mức biến số Phương trình không thứ nguyên có thuận tiện cồng kềnh phức tạp tính toán Trong lý thuyết tự động điều chỉnh người ta thường biểu thị phương trình vi phân dạng toán tử để phương trình có dạng gọn hơn, đơn giản để giảm bớt trình biến đổi toán học trung gian khảo sát trình động hệ thống Để biểu thị phương trình vi phân dạng toán tử người ta đưa vào ký hiệu toán tử vi phân: t t d d2 d3 dn = p; = p ; = p ; n = p n ∫0dt = ; ∫0 p dt dt dt dt ∫ t2 dt dt = p2 Ví dụ: Phương trình vi phân phần tử hay hệ thống: a3 d3 x d2x dx df + a2 + a1 + a x = b1 + b o f dt dt dt dt viết dạng toán tử: (a3p3 + a2p2 + a1p + a0).x(t) = (b1p + bo).f(t) Trong số trường hợp p ký hiệu mà có giá trị chữ số, ta thực phép tính đại số với số Cụ thể phương trình vi phân thành lập số gia biến số với giá trị trạng thái ổn định Như điều kiện ban đầu phương trình xem không Trường hợp phương trình vi phân dạng chứa toán tử p trùng với phương trình vi phân dạng toán tử biến đổi theo Laplace Điều kiện nêu hoàn toàn phù hợp với giả thiết thành lập phương trình vi phân biểu thị trình động phần tử hay hệ thống Vì xem p trị số Phương trình vi phân biểu thị trình động phần tử hay hệ thống dạng toán tử viết dạng tổng quát: A(p)y = B(p)x + C(p)f (3.1.1) 34 y: đại lượng phần tử hay hệ thống x: đại lượng vào phần tử hay hệ thống f: tác động nhiễu loạn A(p); B(p); C(p) đa thức chứa p 3.1.2 Phép biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace phép tính toán tử Laplace phương pháp chủ yếu sử dụng lý thuyết tự động nhiều lĩnh vực kỹ thuật khác để nghiên cứu phương trình động khảo sát phần tử hệ thống tự động Như biết toán học, ảnh Fourier F(jω) hàm f(t) định nghĩa sau: +∞ F( jω) = ∫−∞ f (t ).e − jωt dt (3.1.2) Với phép biến đổi Fourier, hàm f(t) có hàm tần số F(jω) Tuy nhiên thực tế nhiều +∞ hàm quan trọng f(t) ảnh Fourier có nghĩa tích phân Fourier ∫−∞ f (t ).e − jωt dt không hội tụ Để cải thiện điều kiện hội tụ, có nghĩa để mở rộng cấp hàm người ta sử dụng ảnh Laplace định nghĩa sau: +∞ F(p) = ∫−∞ f (t ).e dt − pt (3.1.3) toán tử p = α + jω số phức Như ảnh Fourier coi trường hợp đặc biệt ảnh Laplace α = p = jω Phép biến đổi Laplace có hai chiều chúng có giới hạn tích phân từ -∞ → +∞ Trong thực tế thường quan tâm đến trình biến đổi thông thường từ thời điểm t = 0, f(t) = với t < ta cần sử dụng phép biến đổi chiều: +∞ F(p) = ∫0 f (t ).e dt − pt (3.1.4) Bên cạnh cần phải nhớ giả thiết để tiến hành biến đổi Laplace chiều là: - f(t) = với t < 0, - hàm f(t) phải liên tục khúc t > - hàm f(t) bị chặn (hội tụ) t => + ∞: nghĩa tồn số thực dương ú cho e lim x →∞ − σt f (t ) = Phép biến đổi Laplace tìm ảnh Laplace F(p) hàm f(t) ký hiệu sau: L{f(t)} = F(p) (3.1.5) L ký hiệu phép biến đổi Laplace theo công thức (3.1.3) hàm theo thời gian f(t) cần phải biến đổi gọi hàm gốc Nếu biết ảnh Laplace F(p) thực phép biến đổi ngược để tìm hàm gốc f(t) theo công thức sau: f (t ) = +∞ c+ j∞ pt ∫c− j∞ F(p ).e dp 2πj (3.1.6) − pt Với c bán kính hội tụ tích phân Laplace ∫0 e dt 35 Phép biến đổi Laplace ngược ký hiệu sau: f(t) = L-1{F(p)} Mối quan hệ hàm theo thời gian f(t) hàm theo biến số p phép biến đổi Laplace xuôi ngược thường ký hiệu: f(t) → F(p) F(p) →f(t) Vậy chất phép biến đổi Laplace từ hàm theo thời gian f(t) gọi hàm gốc, nhờ phép biến đổi toán học theo công thức (3.1.3) nhận hàm với biến số p = α+jω F(p) gọi ảnh Laplace hàm gốc f(t) Hàm F(p) cho phép thực xử lý toán học dễ dàng so với hàm gốc nhờ giải phương trình tích - vi phân dễ dàng Phép biến đổi Laplace (phép biến đổi toán tử) tạo thuận lợi sau: - Giải phương trình vi phân dễ dàng trình tính toán hệ thống - Cho phép giải cách hoàn toàn tích phân đặc biệt, đạo hàm mà cần phép biến đổi - Những điều kiện ban đầu đề cập đến cần lần thời điểm ban đầu thời điểm cuối So với phép biến đổi Fourier thường ứng dụng để phân tích vấn đề tần số động lực học nhằm hình ảnh hoá tính chất vật lý phép biến đổi Laplace ý nghĩa vật lý 3.1.3 Một số tính chất quan trọng ảnh số hàm tiêu biểu qua phép biến đổi Laplace Trong lý thuyết tự động số hàm sau thường ứng dụng hàm nhiễu chuẩn để khảo sát hệ thống phần tử tự động: a Hàm đột biến đơn vị 1(t) b Hàm đenta (hàm diraca) δ(t) c Bước nhảy tốc độ f(t) a ảnh Laplace hàm đột biến đơn vị (hàm bước nhảy đơn vị): Hàm đột biến đơn vị định nghĩa sau: 1(t) = t < 1(t) = t > Đặc tính hàm đột biến đơn vị mô tả hình 3.1.1 x(t) 1(t) t Hình 3.1.1: Hàm đột biến đơn vị 36 Hàm bước nhảy cho tín hiệu đơn vị xuất thời điểm t = trì sau thời điểm Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace: ∞ 1 ∞ ∞ L{1(t )} = 1(p ) = ∫0 1( t ).e − pt dt = ∫0 1.e − pt dt = − e − pt = p p Vậy ảnh Laplace hàm đột biến đơn vị là: I(p) = (3.1.7) p b ảnh Laplace hàm Đenta (hàm Điraca) Hàm Điraca hay người ta gọi xung Điraca định nghĩa sau: δ(t) = t < với t > 1/K X(t) δ(t) = K < t < K K →0 đây: K 1/K t Hình 3.1.2: Hàm đenta Theo định nghĩa tích phân hàm Diraca ∫ +∞ +0 −∞ −0 ∫ δ( t )dt = ∫ δ( t )dt = Như viết +0 −0 δ( t )dt = 1( t ) , nghĩa hàm đột biến đơn vị tích phân hàm Diraca ngược lại δ( t ) = d1( t ) dt ảnh Laplace hàm denta L{δ(t)} = c ảnh Laplace hàm bước nhảy tốc độ Hàm định nghĩa sau: f(t) = t < f(t) = t t ≥ (3.1.8) Hình 3.1.3: Hàm bước nhảy tốc độ x(t) t Hàm bước nhảy tốc độ tích phân hàm đột biến đơn vị: t t 0 ∫ 1( t )dt = ∫ 1dt = t = f (t ) (3.1.9) df ( t ) dt (3.1.10) ngược lại: 1(t) = Theo phép biến đổi Laplace ta có: 37 L{f(t)} = ∫ ∞ t.e −pt dt Sử dụng phép tính tích phân phần ∫ u.dv = uv − ∫ vdu với u = t dv = e-pt.dt e − pt Hơn du = dt; v = ∫ dv = ∫ e dt = − p − pt Vậy: ∞ −pt ∞ ∞ e − pt 1 )dt = − e −pt = ∫0 t.e dt = − t.e − ∫0 ( − p p p p ∞ − pt ảnh Laplace hàm bước nhảy tốc độ là: L{ f (t )} = p2 (3.1.11) d ảnh hàm mũ Đối với hàm mũ thời điểm ban đầu tính từ t = định nghĩa: f(t) = eαt t ≥ f(t) = t < (3.1.12) Sử dụng phép biến đổi Laplace để tìm ảnh L{ e αt }=∫ ∞ o ∞ e e dt = ∫0 e αt − pt ∞ ( α−p ) t dt = e ( α−p ) α−p Nếu p> α (điều kiện hội tụ tích phân Laplace) thì: L{ e α t } = p−α (3.1.13) Sử dụng công thức tìm ảnh Laplace hàm sin(ωt), cos(ωt) hàm sinh(ωt) cosh(ωt) đưa hàm dạng hàm mũ nhờ công thức ơ-le: sin(ωt ) = jωt (e − e − jωt ) ; cos(ωt ) = (e jωt + e − jωt ) ; 2j 1 sinh(ωt ) = ( eωt − e −ωt ) ; cosh(ωt ) = (eωt + e −ωt ) 2 f ảnh tích phân t L{∫ x(t )dt = X( p ) o p g ảnh đạo hàm Với giả thiết hàm x(t) thoả mãn điều kiện ban đầu không, nghĩa x(t) = t < x (k)(0) = với k = 1, 2, , n-1 thì: L{x(n)(t)} = pn.X(p) h Tính chất tuyến tính 38 L{a.x1(t) + b.x2(t)} = a.L{x1(t)} + b.L{x2(t)} với a, b số i Tính chất giới hạn x(t ) = lim p.X(p ) - Giá trị đầu: lim t →+0 p →∞ x(t ) = lim p.X(p ) - Giá trị cuối: lim t →∞ p →+0 3.2 Hàm truyền phương pháp biểu thị hệ thống sơ đồ khối 3.2.1 Khái niệm hàm truyền: Với việc sử dụng ảnh Laplace hàm định lý sở phép biến đổi Laplace định nghĩa tính tuyến tính, đạo hàm, tích phân (xem lại lý thuyết phép tính toán tử) ta giải nhiều vấn đề cụ thể hệ thống tự động Ví dụ dùng phép biến đổi Laplace để biến đổi phương trình dạng tổng quát hệ thống dạng: an dn y d n −1 y dmx d m −1 x + a + + a y = b + b + + b o x n −1 o m m −1 dt n dt n −1 dt m dt m −1 (3.2.1) thành phương trình dạng toán tử: an.pn.Y(p) +an-1.pn-1.Y(p) + + a1.p.Y(p) + ao.Y(p) = bm.pm.X(p) + bm-1.pm-1.X(p) + + bo.X(p) Nếu biết hàm cưỡng x(t) (hàm tín hiệu vào), dùng bảng tra ảnh Laplace số hàm tiêu biểu tìm ảnh Laplace vế phương trình (3.2.1) Với điều kiện ban đầu không: x t =0 = x' t =0 = = x m t =0 ; y t =0 = y' t =0 = = y n t =0 (3.2.2) Ký hiệu L{x(t)} = X(p) L{y(t)} = Y(p), thực phép biến đổi Laplace cho hai vế phương trình (3.2.1) ta nhận được: an.pn.Y(p) +an-1.pn-1.Y(p) + + a1.p.Y(p) + ao.Y(p) = bm.pm.X(p) + bm-1.pm-1.X(p)+ +bo.X(p) Từ rút ra: G(p) = Y(p ) b m p m + b m−1p m−1 + + b o = X(p ) a n p n + a n −1 p n−1 + + a o (3.2.3) Y(p ) b m p m + + b o G( p ) = = X(p ) a n p n + + a o (3.2.4) Y( p ) gọi hàm truyền X(p) Định nghĩa hàm truyền: hàm truyền phần tử hay hệ thống tỷ số ảnh tín hiệu ảnh tín hiệu vào qua phép biến đổi Laplace với điều kiện ban đầu không Từ (3.2.4) rút Y(p) = G(p).X(p) (3.2.5) 39 Có nghĩa ảnh Laplace tín hiệu phần tử hệ thống tích ảnh tín hiệu vào hàm truyền chúng ý nghĩa hàm truyền: hàm truyền đặc trưng cho khả truyền đạt tín hiệu phần tử hay hệ thống Hàm truyền cho biết tính chất phần tử hay hệ thống cụ thể biểu thị phương trình động dạng phương trình đại số Bằng sơ đồ khối ta biểu thị phần tử hệ thống sau: x x G1(p) y G1(p) y G2(p) Hình 3.2.1: Sơ đồ khối phần tử hệ thống Với phần tử có nhiều tín hiệu vào nhiều tín hiệu sơ đồ khối biểu thị hình 3.2.2 x1 y1 G(p) xn yn Hình 3.2.2: Sơ đồ khối phần tử có nhiều tín hiệu vào Vấn đề đặt làm để xác định hàm truyền phần tử có nhiều tín hiệu vào phần tử có dạng thay đổi tín hiệu vào làm ảnh hưởng đến tín hiệu đầu ra, tồn nhiều phương trình biểu thị quan hệ tín hiệu phần tử (số lượng phụ thuộc vào số m, n), phương trình có hàm truyền thành phần tương ứng Để xác định hàm truyền chung ta viết mối quan hệ tín hiệu phần tử phương trình sau: Với thay đổi tín hiệu vào x1: Y11(p) = G11(p) X1(p); Y12(p) = G12(p).X1(p); Y1m(p) = G1m(p).X1(p) Với thay đổi tín hiệu vào x2: Y21(p) = G21(p) X2(p); Y22(p) = G22(p).X2(p); Y2m(p) = G2m(p).X2(p) Với thay đổi tín hiệu vào xm: Yn1(p) = Gn1(p).Xm(p); Yn2(p) = Gn2(p).Xm(p); Ynm(p) = Gnm(p).Xm(p) Hơn nữa: Y1(p) = G11(p).X1(p) + G21(p).X2(p) + + Gn1(p).Xm(p) Yn(p) = G1m.X1(p) + G2m.X2(p) + + Gnm(p).Xm(p) Ta biểu thị phương trình động phần tử dạng ma trận: 40 Y1 (p ) G 11 (p ).G 12 (p ) G 1m ( p ) X (p ) Y2 ( p ) G 21 (p ).G 22 (p ) G m (p ) X (p ) = Yn (p ) G n1 ( p ).G n (p ) G nm ( p ) X m (p ) (3.2.6) Vậy hàm truyền tổng hợp phần tử có nhiều tín hiệu vào nhiều tín hiệu có dạng: G 11 (p ).G 12 ( p ) G 1m (p ) G 21 ( p ).G 22 ( p ) G m ( p ) G( p ) = G n1 (p ) G n ( p ).G nm (p ) (3.2.7) Trong lý thuyết tự động, việc nối phần tử với hệ thống chia thành loại bản: - Các phần tử mắc nối tiếp với - Các phần tử mắc song song với - Các phần tử nối với theo liên hệ ngược Chúng ta xét nguyên lý nối phần tử với hệ thống a Các phần tử mắc nối tiếp với G1(p) G2(p) Gn(p) Hình 3.2.3: Hệ thống phần tử mắc nối tiếp Từ công thức xác định hàm truyền theo định nghĩa có: X1(p) = G1.X(p) (3.2.8) X2(p) = G2.X1(p) = G1.G2.X(p) (3.2.9) Y(p) = Gn.Xn-1(p) Suy Y(p) = Gn.Gn-1 G1.X(p) G( p ) = n Y( p ) = G n G n−1 G1 = ∏ G i ( p ) i =1 X(p) (3.2.10) Vậy hàm truyền tập hợp khâu mắc nối tiếp với tích hàm truyền khâu (phần tử) Nhưng cần phải lưu ý công thức (3.2.10) xác trường hợp phần tử G 2(p) đứng sau không làm ảnh hưởng đến phần tử trước G 1(p) Hiện tượng làm thay đổi G1(p) ảnh hưởng phần tử đứng sau G2(p) thường xảy tải hệ thống mang tính chất lượng Vì trình nghiên cứu hệ thống xác định hàm truyền tổng hợp cần phải lưu ý đến tượng 41 b Các phần tử mắc song song với Hình 3.2.4 biểu thị sơ đồ khối phần tử mắc song song với hệ thống G1(p) G2(p) Gn(p) Hình 3.2.4: Hệ thống phần tử mắc song song Điểm đặc trưng hệ thống tín hiệu vào tất phần tử giống (giống tín hiệu vào hệ thống), tín hiệu phần tử khác phụ thuộc vào hàm truyền phần tử Tín hiệu hệ thống tổng hợp tín hiệu thành phần Y(p) = Y1(p) + Y2(p) + + Yn(p) Theo định nghĩa hàm truyền ta viết: Y1(p) = G1.X(p) Y2(p) = G2.X(p) Yn(p) = Gn.X(p) Cộng hai vế tất phương trình ta có: Y1(p) + Y2(p) + +Yn(p) = X(p).G1 + X(p).G2 + + X(p).Gn Y(p) = (G1 + G2 + G3 + + Gn).X(p) G( p ) = n Y( p ) = G + G + + G n = ∑ G i i =1 X(p) (3.2.11) Vậy hàm truyền tổng hợp hệ thống tự động có n phần tử mắc song song với tổng hàm truyền thành phần c Các phần tử mắc với theo kiểu có liên hệ ngược Kiểu liên kết phần tử có mạch liên hệ ngược phổ biến hệ thống tự động Có dạng mắc phần tử thành mạch có liên hệ ngược (mạch phản hồi) sau: -Kiểu hàm truyền mạch phản hồi Gph = X(p) E(p) (-) G1(p) W(p) G2(p) Y(p) 42 Hình 3.2.5: Hệ thống có mạch liên hệ ngược Theo định nghĩa hàm truyền tổng hợp hệ thống xác định: G( p ) = Y( p ) X(p) (3.2.12) Còn hàm truyền mạch thành phần xác định sau: W( p ) Y ( p) G ( p) = W ( p) E( p ) (3.2.13) e = x - y => x = e + y => X(p) = E(p) + Y(p) (3.2.14) G1 (p ) = Với liên hệ ngược âm: Từ biểu thức 3.2.12; 3.2.13; 3.2.14 ta có: G ( p) = Y ( p) X ( p) = Y (p) E ( p) + Y ( p) G( p ) = = Y ( p) / W ( p) E (p) / W ( p) + Y ( p) / W ( p) G (p) + G (p) G1 (p) = G (p ).G ( p ) + G1 ( p ).G (p ) (3.2.15) Như ta thành lập công thức xác định hàm truyền cho hệ thống có liên hệ ngược âm Trong trường hợp liên hệ ngược dương: e = x + y => E(p) = X(p) + Y(p) Tính toán ta biểu thức xác định hàm truyền tương tự khác dấu (+) mẫu số thay dấu (-) - Kiểu hàm truyền mạch GC = X(p) Y(p) E(p) (-) Xrph(p) G1(p) W(p) G2(p) Hình 3.2.6: Hệ thống có mạch liên hệ ngược Trên thực tế thông số hệ thống y lại độ lệch e Trong trường hợp hàm truyền tổng hợp hệ thống gọi hàm truyền độ lệch có ký hiệu Ge(p) Có: G (p ) = X rph (p ) X rph (p ) X rph (p ) W( p ) = G ( p ) = => G ( p).G ( p ) = Y( p ) W( p ) Y( p ) E( p ) Với liên hệ ngược âm: e = x - xrph => x = e + xrph => X(p) = E(p) + Xrph(p) 43 G e (p ) = Y ( p ) E( p ) E( p ) = = = X(p ) X(p ) E( p ) + X rph (p ) 1 = X (p ) + G1 ( p ).G (p ) + rph E(p ) (3.2.16) Với liên hệ ngược dương hàm truyền tổng hợp xác định tương tự khác dấu (+) mẫu số thay dấu (-) - Kiểu hàm truyền mạch mạch liên hệ ngược khác 1: X(p) G1(p) Xrph(p) Y(p) G2(p) Hình 3.2.7: Hệ thống có mạch liên hệ ngược Với liên hệ ngược âm e = x - xrph => X(p) = E(p) + Xrph(p) Có G1 ( p ) = X rph (p ) X rph (p ) Y( p ) G ( p ) = => G1 ( p ).G (p ) = E( p ) Y( p ) E( p ) Y( p ) Y( p ) Y( p ) G1 ( p ) E( p ) G( p ) = = = = X (p ) + G (p ).G ( p ) X( p ) E(p ) + X rph (p ) + rph E( p ) (3.2.17) Với liên hệ ngược dương, dấu (+) mẫu số thay dấu (-) Ba biểu thức xác định hàm truyền tổng hợp hệ thống có liên hệ ngược 3.2.15, 3.2.16, 3.2.17 có mẫu số M(p) = ± G1(p).G2(p) giống nhau, có tử số (chính hàm truyền mạch chính) khác Vậy: Hàm truyền tổng hợp hệ thống có liên hệ ngược tỷ số hàm truyền mạch hệ thống với biểu thức + tích tất hàm truyền thành phần Dấu (+) ứng với liên hệ ngược âm dấu (-) ứng với liên hệ ngược dương d Xác định hàm truyền hệ thống phức tạp có phần tử mắc chéo Trên thực tế hệ thống tự động có từ phần tử trở lên thường có mối quan hệ phần tử phức tạp Trong số trường hợp đơn ứng dụng cách xác định tìm hàm truyền tổng hợp hệ thống Để tìm hàm truyền tổng hợp hệ thống phức tạp cách nhanh chóng, người ta áp dụng nguyên tắc biến đổi sơ đồ cấu trúc thật hệ thống thành sơ đồ cấu trúc tương đương cho phép tính toán nhanh chóng Người ta gọi phương pháp biến đổi sơ đồ tương đương đại số sơ đồ khối 44 Cơ sở lý thuyết để xây dựng quy tắc biến đổi dựa sở hàm truyền phương trình nút tổng hợp (phần tử so sánh) số quy tắc biến đổi thường dùng: Biến đổi nút thông tin 1 2 Phân chia nút thông tin kép 1 2 Phân chia mạch nút thông tin G G Hoán vị nút tổng hợp y x1 + x1+x3 + x3 x2 - y x1 + x1-x2 x2 x3 + Phân chia nút tổng hợp kép x2 x1 + ± y x ± x1 + x2 y ± Phân chia mạch nút tổng hợp x1 + y x2 ± ± x3 y + ± G x1 G ± x3 G ± G x2 x3 Hoán vị nút thông tin sang phía trước phần tử x x y G y G x 1/G x Hoán vị nút thông tin phía sau phần tử x y G y x G y G y Chuyển nút tổng hợp sang phía trước phần tử 45 x1 + ± x2 y G x1 + G y ± G x2 10 Chuyển nút tổng hợp phía sau phần tử x1 + G x1 + y ± x2 ± y G 1/G x2 11 Tạo nút tổng hợp tương đương cho tín hiệu (y) x1 y x1 + x2 y + - - + y x2 y 12 Tạo thêm nút tổng hợp tương đương cho tín hiệu (x) x1 y + x2 x1 x1 - y + - + + x2 x1 Ví dụ 1: Hãy xác định hàm truyền tổng hợp hệ thống tự động biểu thị sơ đồ sau: + x - G1 + y G3 Biến đổi sơ đồ tương đương: x G2 + + G1.G2 - + + y G3 x G1.G2 1+G1.G2.G3 + + x y G1.G2 y 1+G1.G2.G3 Hàm truyền tổng hợp hệ thống: 46 G( p ) = + G1G + G1G G + G1G = + G1G G + G1 G G Ví dụ 2: Hãy sử dụng phép biến đổi tương đương để xác định hàm truyền tổng hợp hệ thống hình sơ đồ khối sau: G4 + x + G1 - - G2 y G3 G5 Biến đổi sơ đồ tương đương xác định hàm truyền tổng hợp hệ thống sau: G4 + x + G1 - 1/G3 y G2.G3 - G5 G4/G3 x + + - G1 1− x - y G G + G G G G4 G3 G G G + G G G y G 1G G + G G G G1 G G G ( p) = = G1 G G G + G G G + G1 G (G − G ) 1+ (1 − ) + G G G G3 3.2.2 ứng dụng hàm truyền để giải phương trình vi phân thông thường Trong lý thuyết tự động việc khảo sát tính chất động hệ thống tự động vấn đề quan trọng để đánh giá khả ứng dụng thực tế (với trình thiết kế hệ thống) khả làm việc hệ thống (với trình kiểm tra tình trạng hệ thống) Quá trình động hệ thống tự động thường mô tả phương trình vi phân Để khảo sát tính chất động hệ thống phải giải phương trình vi phân mô tả trạng thái hệ thống Các hệ thống tự động phức tạp thường có phương trình động phương trình vi phân bậc cao, việc giải phương trình vi phân bậc cao theo phương pháp cổ điển gặp nhiều khó khăn nhiều không giải Với việc ứng dụng hàm truyền ta có số 47 phương pháp giải phương trình vi phân cách đơn giản Phần sau trình bày vài phương pháp ứng dụng hàm truyền để giải phương trình vi phân a Tìm hàm gốc sở khai triển ảnh Laplace thành phân số đơn giản Nếu biết ảnh Laplace Y(p) ta tìm hàm gốc y(t): y(t) = L-1{Y(p)} Nếu ảnh Laplace Y(p) đơn giản có dạng quen thuộc tra hàm gốc từ bảng ảnh hàm Tuy nhiên thực tế gặp trường hợp xác định hàm gốc mà thường phải khai triển hàm ảnh Y(p) thành biểu thức đơn giản sau sử dụng bảng ảnh hàm để tìm hàm gốc Xét hệ thống tự động có ảnh Laplace Y(p) tín hiệu y(t) có dạng sau: N ( p ) b m p m + b m−1 p m−1 + + b o Y( p ) = = M(p ) a n p n + a n−1p n−1 + + a o (3.2.18) Nếu phương trình động hệ thống có bậc đa thức mẫu số lớn tử số n > m (do tính chất vật lý) hàm Y(p) phân số thực Còn n < m, lấy tử số chia cho mẫu số nhận phân số tổng đa thức bậc (n-m) phân số thật Ví dụ: n < m 2p + 3p + p + p 43p + 45 Y( p ) = = p − p + 15 − p + 4p + p + 4p + Ta nhận đa thức bậc hai (2p2 - 5p + 15) phân số thật 43p + 45 p2 + + ảnh Laplace ngược đa thức bậc (n-m) thường hàm đặc biệt, chẳng hạn hàm xung δ(t) ảnh Để tìm ảnh Laplace ngược phân số thật phải khai triển phân số thành phân số đơn giản, muốn trước hết phải tìm nghiệm p1, p2 pn đa thức mẫu số M(p) = Nghiệm p1, p2 pn M(p) = là: - Nghiệm thực đơn - Các cặp nghiệm phức - Nghiệm lặp nhiều lần (thực phức) Trường hợp 1: Đa thức mẫu số có tất nghiệm nghiệm thực đơn Khi dó viết Y(p) dạng: Y( p ) = N (p) (p − p )(p − p ) (p − p n ) (3.2.19) Khai triển thành phân thức đơn giản: Y( p ) = n C1 C2 Cn Ck + + + =∑ p − p1 p − p p − p n k =1 (p − p k ) (3.2.20) Các hệ số Ck xác định theo phương pháp sau: 48 Tìm C1 cách nhân vế 3.2.20 với (p - p1) (p − p ).Y(p ) = C + p − p1 p − p1 C + + C n p − p2 p − pn (3.2.21) Cho p = p1 có nghĩa p - p1 = C = (p − p ).Y(p ) p=p (3.2.22) Tổng quát: C k = (p − p k ).Y(p ) p =p k (3.2.23) Hoặc sử dụng công thức L'Hospital C k = N (p) N(p k ) = M' ( p ) p = p M' ( p k ) k N(p k ) = N(p) p =p k M' (p k ) = d [ M(p )] dp p =p (3.2.24) k Thay (4) vào (2) ta có: N (p k ) k =1 M ' ( p ) p − p k k n Y( p ) = ∑ (3.2.25) Sau phân tích Y(p) thành phân thức đơn giản, tra bảng để xác định hàm gốc cho phân thức ảnh Laplace ngược phân thức có dạng Ck → e at , → C k e p k t p−a p − pk Hàm gốc y(t) xác định sau: n L−1{Y(p )} = y( t ) = ∑ C k e p k t (3.2.26) k =1 Ví dụ minh hoạ: Tìm hàm gốc hàm Y(p ) = 3p + 10 p + 7p + 12 (3.2.27) Nghiệm đa thức mẫu số p + 7p + 12 = p = - 3, p2 = - Khai triển Y(p) thành tổng phân thức đơn giản: C C 3p + 10 3p + 10 = = + p + p + 12 ( p + 3)(p + 4) p + p + (3.2.28) Các hệ số C1 C2 tính theo công thức 3.2.23 C = ( p + 3).Y(p ) p=−3 = 3p + 10 3p + 10 = C = (p + 4).Y(p ) p =−4 = =2 p + p =−3 p + p = −4 Hàm truyền 3.2.27 viết dạng tổng phân thức đơn giản: Y( p ) = 1 +2 p+3 p+4 áp dụng công thức xác định ảnh hàm (tra bảng tìm hàm Laplace ngược) → e −at p+a 49 Vậy y(t ) = e −3 t + e −4 t Trường hợp 2: Đa thức mẫu số có nghiệm cặp nghiệm phức p = a ± jω Biến đổi hàm truyền Y(p) thành dạng Y(p ) = N (p) p+a ω = α + β với α, β 2 M( p ) (p + a ) + ω ( p + a )2 + ω2 hệ số số Sau áp dụng công thức xác định ảnh Laplace ngược hàm có sẵn bảng tra: p+a ω −at −1 L−1{ } = e cos ω t L { } = e −at sin ωt 2 2 (p + a ) + ω (p + a ) + ω (3.2.29) để tìm hàm gốc y(t) Ví dụ minh hoạ: Xác định hàm gốc Y(p ) = 2p + p + 4p + 29 Đa thức mẫu số M(p) = p2 + 4p + 29 có cặp nghiệm phức p = -2 ± j5 (tức a = -2 ω = 5) Viết lại Y(p) dạng sau: Y( p ) = 2p + 2(p + 2) + p+2 = = + p + 4p + 29 (p + 2)2 + 52 ( p + 2) + ( p + 2)2 + (Trong trường hợp α = β =1) Tra bảng ta có: p+2 → e −2 t cos 5t → e −2 t sin 5t 2 2 ( p + 2) + ( p + 2) + Suy y(t) = 2e-2t.cos5t + e-2t.sin5t = e-2t.(2cos5t + sin5t) 3.3.3 Hàm tần số, đặc tính tần số, đặc tính lôgarrit tần số 3.3.1 Khái niệm hàm tần Trong phần ta nói đến hàm truyền hệ thống phần tử, thông qua hàm truyền biết tính chất phần tử hay hệ thống Hơn nữa, biết tín hiệu vào, thông qua hàm truyền biết phản ứng phần tử hay hệ thống tín hiệu qua thay đổi độ lớn tín hiệu Như hàm truyền cho biết thay đổi trị số tín hiệu Trên thực tế tín hiệu vào (hoặc nhiễu loạn) hệ thống tín hiệu dao động có tần số ω thay đổi Khi tín hiệu vào có tần số thay đổi phản ứng phần tử hay hệ thống tự động nào? Chúng ta nghiên cứu trường hợp tín hiệu vào (hoặc nhiễu) tín hiệu dao động hình sin x(t) = A.sinωt (A biên độ dao động cực đại, ω tần số dao động) Khi nghiên cứu phản ứng phần tử hay hệ thống với tín hiệu có tần số thay đổi vấn đề cần quan tâm trạng thái tĩnh dao động sau kết thúc trình chuyển tiếp, thời gian coi biến số không phụ thuộc Phản ứng (tín hiệu ra) phần tử hay hệ thống tuyến tính với tín hiệu vào dao động hình sin dao động hình sin 50 Thực tế tần số tín hiệu vào thay đổi, hệ thống tồn đồng thời dao động: dao động cưỡng dao động riêng hệ thống hệ thống ổn định nên sau khoảng thời gian định dao động riêng hệ thống suy giảm biến mất, tín hiệu cuối dao động điều hoà hình sin, có tần số với tín hiệu vào khác biên độ lệch pha so với tín hiệu vào: y(t) = B.sin(ωt + ϕ) (3.3.1) (B biên độ dao động cực đại, ω tần số dao động, ϕ góc lệch pha) y x B A G(p ) ω Hình 3.3.1: Quan hệ tín hiệu vào tín hiệu tần số thay đổi Giả sử biên độ tín hiệu B tỷ lệ với biên độ A tín hiệu vào B = α.A Nếu tín hiệu vào có biên độ A = thì: x = sinωt y = α.sin(ωt + ϕ) (3.3.2) Sau ta dùng phương pháp toán học để khảo sát hàm tần số đặc tính tần số hệ thống Giả sử đưa vào phần tử hay hệ thống tự động tín hiệu dao động với tần số ω thay đổi x = x1 = sinωt tín hiệu (ở trạng thái ổn định) y = y = α.sin(ωt + ϕ) Nếu đưa vào phần tử hay hệ thống tín hiệu x = x2 = cosωt nhận tín hiệu y = y = α.cos(ωt + ϕ) Theo nguyên lý tổng hợp tín hiệu ta đưa vào phần tử hay hệ thống tín hiệu tổng hợp x = x + x2 = sinωt + cosωt phản ứng phần tử hay hệ thống với tín hiệu y = y1 + y2 = α.[sin(ωt + ϕ) + cos(ωt + ϕ)] Nếu đưa vào tín hiệu dao động phức: x1 = jsinωt nhận y1 = jα.sin (ωt + ϕ) x2 = cosωt nhận y2 = α.cos(ωt + ϕ) Theo công thức ơle: x = x1 + x2 = cosωt + jsinωt = ejωt y = y1 + y2 = α.[cos(ωt + ϕ) + jsin(ωt + ϕ)] = α.ej(ωt+ϕ) Vậy phản ứng phần tử hay hệ thống với tín hiệu vào dao động phức x = ejωt có dạng y = α.ej(ωt + ϕ) (3.3.3) Kết không gian số phức trực tiếp sử dụng không gian thực góc lệch pha ϕ = ϕ(ω) biên độ α = α(ω) có giá trị giống biểu thức 3.3.2 Sử dụng biểu thức 3.3.3 để giải phương trình động tổng quát phương trình vi phân không nhất: Vì x = ejωt nên: 51 dx = jω.e jωt = ( jω).x dt dmx = ( jω) m e jωt = ( jω) m x m dt (3.3.4) Tương tự y = α.ej(ωt + ϕ) = α.ejωt.ejϕ dy = jω.α.e j ( ωt +ϕ ) = ( jω).y dt dny = ( jω) n α.e j ( ωt +ϕ) = ( jω) n y n dt (3.3.5) Thay 3.3.4 3.3.5 vào phương trình động tổng quát phần tử hay hệ thống tự động dny d n −1y dmx a n n + a n −1 n −1 + + a o = b m m + + b o phương trình dạng phức: dt dt dt an.(jω)n.y + an-1.(jω)n-1.y + + ao.y = bm.(jω)m.x + bm-1.(jω)m-1.x + + bo.x Sau xếp lại có: [an.(jω)n + an-1.(jω)n-1 + + ao].y = [bm.(jω)m + + bo].x Đặt G( jω) = Y( jω) b m ( jω) m + b m−1 ( jω) m−1 + + b o = X( jω) a n ( jω) n + a n−1 ( jω) n−1 + + a o (3.3.6) G(jω) gọi hàm tần số hay hàm truyền phức So sánh hàm tần số G(jω) hàm truyền G(p) thấy: G( jω) = G(p ) p= jω (3.3.7) Nếu biết hàm tần G(jω) ta xác định dao động tín hiệu ra: y(jω) = G(jω).x(jω) Thay 3.3.3 vào G(jự) = (3.3.8) y( jω) α.e jωt + jϕ G( jω) = = α.e jϕ biểu thị hàm tần cách jωt x( jω) e trọn vẹn: b m ( jω) m + b m−1 ( jω) m−1 + + b o G( jω) = α.e = a n ( jω) n + b n −1 ( jω) n−1 + + a o jϕ (3.3.9) Định nghĩa hàm tần: hàm tần hàm số biểu thị phụ thuộc vào tần số tín hiệu vào ự hai đại lượng tỷ số biên độ tín hiệu với biên độ tín hiệu vào ỏ độ lệch pha hai tín hiệu ý nghĩa hàm tần: hàm tần số hàm phức biểu thị phản ứng phần tử hay hệ thống tự động tín hiệu vào có tần số thay đổi, qua biến thiên biên độ tín hiệu α(ω) độ lệch 52 pha ϕ(ω) Giá trị hàm tần G(jω) phụ thuộc vào hệ số a k (k = 1~n), bk (k = 1~m) phương trình vi phân phụ thuộc vào tần số dao động riêng ω tín hiệu Vì j số phức nên hàm tần G(jω) số phức Để tách riêng phần thực phần ảo G(jω) nhân tử số mẫu số với biểu thức liên hợp mẫu số sau tiến hành khai triển đơn giản hoá để viết hàm tần dạng phức G(jω) = R(ω) +jQ(ω) R(ω) phần thực, Q(ω) phần ảo Hàm tần biểu diễn dạng G(jω) C(ω).ejϕ(ω), = C(ω) = G( jω) == R (ω) + Q (ω) gọi mô đun véctơ G(jω) ϕ(ω) = arctg Q(ω) R(ω) argument vectơ G(jω) Đồ thị hàm tần G(jω) biểu diễn mặt phẳng phức gọi đặc tính tần số - biên độ, pha (hay gọi biểu đồ Nyquist) Đồ thị quỹ tích đầu mút véctơ có độ dài tỷ số biên độ tín hiệu biên độ tín hiệu vào (ỏ), góc lệch véctơ góc lệch pha ω hai tín hiệu Một ví dụ đường đặc tính biểu thị hình 3.3.3 Nyquist Diagrams 1.5 Imaginary Axis 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 Real Axis Hình 3.3.3: Đặc tính tần số – biên độ, pha (biểu đồ Nyquist) Ta có hàm tần: G(jω) = R(ω) + jQ(ω) Biểu diễn hàm tần mặt phẳng phức: ứng với giá trị ω = ω1 có Q1(ω); R1(ω), cho ω biến thiên từ ÷ ∞; ÷ -∞ xác định đường cong mặt phẳng phức Chú ý: Nếu phần thực R(ω) hàm số chẵn phần ảo Q(ω) hàm số lẻ đặc tính tần số - biên độ, pha đối xứng qua trục thực R 53 Ngoài đặc tính tần số - biên độ, pha nghiên cứu hệ thống tự động, để biết rõ thay đổi biên độ tín hiệu theo biến thiên tần số tín hiệu vào thay đổi độ lệch pha hai tín hiệu tần số tín hiệu vào thay đổi cách riêng biệt sử dụng hai đặc tính riêng biệt đặc tính biên - tần số (biên độ - tần số) α(ω) = G(jω) đặc tính pha - tần (góc lệch pha - tần số) ϕ(ω) = arctgG(jω) Các đồ thị đặc tính gọi biểu đồ Bode α(ω) bo/ao φ(ω) ω -π/2 Hình 3.3.4: Đặc tính biên độ - tần số, pha - tần số (biểu đồ Bode) Ví dụ: Vẽ đặc tính tần số với biên độ pha hệ thống tự động điều chỉnh có hàm truyền G(p) = p + 5p2 + 6p + Thay p = jω xác định hàm tần G(jω): G(jω) = (jω)3 + 5(jω)2 + 6jω + = (-5ω + 4) + j(6ω - ω3) Phần thực R(ω) = -5ω + 4, phần ảo Q(ω) = 6ω - ω3 Nyquist Diagrams 10 Imaginary Axis -5 -10 -40 -30 -10 10 Real Axis Bảng biến thiên: ω R(ω) Q(ω) -20 -1 -16 -41 -9 -16 -40 3.3.2 Đặc tính tần số lôgarit biên độ pha 54 Trong hệ thống tự động phức tạp số lượng phần tử có mối liên kết nối tiếp thường nhiều so với phần tử có mối liên kết song song, để dễ dàng xác định hàm tần phần tử mắc nối tiếp sử dụng đặc tính tần số phần tử riêng rẽ (cộng đồ thị) Hàm tần G(jω) n phần tử mắc nối tiếp có hàm tần thành phần G 1(jω); G2(jω) Gn(jω) xác định sau: G(jω) = G1(jω).G2(jω) Gn(jω) (3.3.10) viết dạng phức: α.e Ñϕ = α1 e jϕ α e jϕ α n e jϕ = α1 α α α n e j ( ϕ +ϕ + +ϕ ) n Từ rút α = α1.α2 αn ϕ = ϕ1 + ϕ2 + + ϕn n (3.3.11) (3.3.12) Từ 3.3.12 ta thấy để tính acgument ϕ hàm tần tổng hợp phần tử mắc nối tiếp sử dụng đặc tính pha- tần cách cộng toạ độ đặc tính với giá trị ω xác định Tuy nhiên xác định môđun (biên độ) α hàm tần tổng hợp cách cộng đồ thị đặc tính hàm tần số phần tử mắc nối tiếp Nếu áp dụng 3.3.12 để xác định môđun hàm tần, phải nhân toạ độ đặc tính tần số Đây việc không làm đồ thị Với khái niệm đặc tính lôgarit môđun (lgα) với lôgarit tần số (lgω), lôgarit tần số nhân với số thời gian T (lgTω), lấy lôgarit hai vế 3.3.12: lgα = lgα1 + lgα2 + + lgαn (3.3.13) Như có đặc tính lôgarit biên độ phần tử riêng biệt phép cộng đồ thị ta nhận đặc tính lôgarit môđun hàm tần tổng hợp mạch nối tiếp Đặc tính lôgarit biên độ thường xây dựng hệ trục toạ độ mà trục tung biểu thị L(ω) = 20lgα, trục hoành biểu thị lgω Ví dụ với môđun α = 10 lgα = = 20lgα = 20 [dB] Đơn vị L(ω) đềxiben (dB), đơn vị lgω đềkađa nghĩa vạch chia độ lớn gấp 10 lần vạch chia độ trước (công sai 10) hay oktava (công sai 2) Đặc tính lôgarit tần số - biên độ xây dựng cách cho ω biến thiên từ giá trị gốc đến +∞ để xác định giá trị α(ω) 20lgα(ω) tương ứng Trên trục hoành chọn giá trị ω làm điểm gốc ban đầu, nhiên nên chọn điểm gốc hợp lý để đồ thị đặc tính tần số nằm gần điểm gốc 55 Bode Diagrams 25 Phase (deg); Magnitude (dB) 20 15 biểu thị mối quan hệ độ lệch pha ϕ = ϕ(ω) lôgarit tần số Đồ thị đặc tính lôgarit tần số - pha 10 lệch pha ϕ (đơn vị độ radian), trục hoành chia theo tỷ (lgω) Trục tung đồ thị biểu thị độ lệ lgω đồ thị đặc tính lôgarit tần số - biên độ ϕ(ω) 100 101 lgω ự -20 -40 -60 -80 10 -1 10 10 Hình 3.3.5: Đặc tính lôgarit tần số - biên độ Frequency (rad/sec) Thông thường đồ thị đặc tính lôgarit tần số - biên độ, lôgarit tần số - pha biểu thị đồ thị gọi đặc tính lôgarit tần số - biên độ, pha hay đặc tính lôgarit tần số Ví dụ: Xây dựng đặc tính lôgarit tần số hệ thống có L(ω) sau: L(ω) = 20 lg K T ω +1 2 = 20 lg K − 20 lg T ω2 + Lập bảng biến thiên: ω lgα K 20lgα 20lgK T K 20lgK-10lg2 ∞ 0 Phương trình đường tiệm cận LTC Khi ω → 0: LTC(ω) = 20lgK - 20lg1 = 20lgK Khi ω → ∞: LTC(ω) = 20lgK - 20lgTω Đồ thị: 56 Bode Diagrams 20lgK L(ω) dB 25 Phase (deg); Magnitude (dB) 20 20 lg 15 10 K T ω2 + 20lgK - 20lgTω lgω ự -20 -40 -60 -80 -1 10 10 10 Frequency (rad/sec) Ưu điểm đặc tính lôgarit tần số - biên độ, pha - Dựa vào đặc tính đánh giá cách dễ dàng nhanh chóng tính chất động phần tử hay hệ thống tự động, việc thiết kế, xây dựng hệ thống hiệu nhiều Nói cách khác công cụ hữu hiệu để khảo sát, nghiên cứu thiết kế phần tử hệ thống tự động - Việc xây dựng đường đặc tính lôgarit tần số - biên độ, pha thường đơn giản không gặp nhiều khó khăn tính toán 3.3.3 Đại số hàm tần Đại số hàm tần (các phép tính hàm tần) tương tự hàm truyền a Hàm tần tổng hợp phần tử mắc nối tiếp: Hàm tần tổng hợp phần tử mắc nối tiếp tích hàm tần tất phần tử n n n i =1 i =1 G( jω) = ∏ G i ( jω) = ∏ α i (ω).e j[ ∑ ϕj ( ω) ] i =1 n n i =1 i =1 Đặc tính tần số biên độ, pha α(ω) = ∏ G( jω) , ϕ(ω) = ∑ ϕi (ω) đặc tính lôgarit tần số xây dựng cách cộng đồ thị b Hàm tần tổng hợp phần tử mắc song song: Hàm tần tổng hợp phần tử mắc song song tổng hàm tần tất phần tử n G( jω) = ∑ G i ( jω) t =1 c Hàm tần tổng hợp phần tử mắc có liên hệ ngược (có phản hồi) G( jω) = G1 ( jω) ± G ( jω).G ( jω) 57 Trong đó: G1(jω) hàm truyền tổng hợp phần tử mạch chính, G 2(jω) hàm truyền phần tử liên hệ ngược d.Hàm tần tổng hợp hệ thống kín (có liên hệ ngược âm Glhn(jω) = 1) G K ( jω) = G H ( jω) + G H ( jω) Trong đó: Glhn(jω) hàm truyền phần tử liên hệ ngược, G H(jω) hàm truyền tổng hợp hệ thống hở GK(jω) hàm truyền tổng hợp hệ thống kín Câu hỏi ôn tập: Trình bày hàm truyền phương pháp mắc phần tử Trình bày hàm tần đặc tính tần số hàm tần Trình bày đặc tính logarit tần số hàm tần 58 [...]... 3 1 + G 2 G 3 G 5 G4 G3 G 1 G 2 G 3 1 + G 2 G 3 G 5 y G 1G 2 G 3 1 + G 2 G 3 G 5 G1 G 2 G 3 G ( p) = = G1 G 2 G 3 G 1 + G 2 G 3 G 5 + G1 G 2 (G 3 − G 4 ) 1+ (1 − 4 ) 1 + G 2 G 3 G 5 G3 3. 2.2 ứng dụng hàm truyền để giải các phương trình vi phân thông thường Trong lý thuyết tự động việc khảo sát tính chất động của hệ thống tự động là vấn đề rất quan trọng để có thể đánh giá được khả năng ứng dụng thực... k e p k t (3. 2.26) k =1 Ví dụ minh hoạ: Tìm hàm gốc của hàm Y(p ) = 3p + 10 p 2 + 7p + 12 (3. 2.27) Nghiệm của đa thức mẫu số p 2 + 7p + 12 = 0 là p 1 = - 3, p2 = - 4 Khai triển Y(p) thành tổng của các phân thức đơn giản: C C 3p + 10 3p + 10 = = 1 + 2 p + 7 p + 12 ( p + 3) (p + 4) p + 3 p + 4 (3. 2.28) 2 Các hệ số C1 và C2 có thể tính theo công thức 3. 2. 23 C 1 = ( p + 3) .Y(p ) p= 3 = 3p + 10 3p + 10 =... G 3 + G1G 2 = 1 + G1G 2 G 3 1 + G1 G 2 G 3 Ví dụ 2: Hãy sử dụng phép biến đổi tương đương để xác định hàm truyền tổng hợp của hệ thống như trên hình sơ đồ khối sau: G4 + x + G1 - - G2 y G3 G5 Biến đổi sơ đồ tương đương và xác định hàm truyền tổng hợp của hệ thống như sau: G4 + x + G1 - 1/G3 y G2.G3 - G5 G4/G3 x + + - G1 1− x - y G 2 G 3 1 + G 2 G 3 G 5 G4 G3 G 1 G 2 G 3 1 + G 2 G 3 G 5 y G 1G 2 G 3. .. Vì x = ejωt nên: 51 dx = jω.e jωt = ( jω).x dt dmx = ( jω) m e jωt = ( jω) m x m dt (3. 3.4) Tương tự như vậy y = α.ej(ωt + ϕ) = α.ejωt.ejϕ dy = jω.α.e j ( ωt +ϕ ) = ( jω).y dt dny = ( jω) n α.e j ( ωt +ϕ) = ( jω) n y n dt (3. 3.5) Thay 3. 3.4 và 3. 3.5 vào phương trình động tổng quát của phần tử hay hệ thống tự động dny d n −1y dmx a n n + a n −1 n −1 + + a o = b m m + + b o được phương trình dạng... α.ej(ωt+ϕ) Vậy phản ứng của phần tử hay hệ thống với tín hiệu vào là dao động phức x = ejωt có dạng y = α.ej(ωt + ϕ) (3. 3 .3) Kết quả trong không gian số phức có thể trực tiếp sử dụng trong không gian thực bởi vì các góc lệch pha ϕ = ϕ(ω) và biên độ α = α(ω) có giá trị giống trong biểu thức 3. 3.2 Sử dụng biểu thức 3. 3 .3 để giải phương trình động tổng quát là phương trình vi phân không thuần nhất: Vì x = ejωt... 2 dao động: dao động cưỡng bức và dao động riêng của hệ thống nhưng vì hệ thống ổn định nên sau một khoảng thời gian nhất định dao động riêng của hệ thống suy giảm và biến mất, tín hiệu ra cuối cùng là một dao động điều hoà hình sin, có cùng tần số với tín hiệu vào nhưng khác biên độ và lệch pha so với tín hiệu vào: y(t) = B.sin(ωt + ϕ) (3. 3.1) (B là biên độ dao động cực đại, ω là tần số dao động, ... m−1 ( jω) m−1 + + b o = X( jω) a n ( jω) n + a n−1 ( jω) n−1 + + a o (3. 3.6) G(jω) được gọi là hàm tần số hay hàm truyền phức So sánh hàm tần số G(jω) và hàm truyền G(p) chúng ta thấy: G( jω) = G(p ) p= jω (3. 3.7) Nếu biết hàm tần G(jω) ta có thể xác định được dao động của tín hiệu ra: y(jω) = G(jω).x(jω) Thay 3. 3 .3 vào G(jự) = (3. 3.8) y( jω) α.e jωt + jϕ được G( jω) = = α.e jϕ và có thể biểu thị hàm... ω -π/2 Hình 3. 3.4: Đặc tính biên độ - tần số, pha - tần số (biểu đồ Bode) Ví dụ: Vẽ đặc tính tần số với biên độ và pha của hệ thống tự động điều chỉnh có hàm truyền G(p) = p 3 + 5p2 + 6p + 4 Thay p = jω xác định được hàm tần G(jω): G(jω) = (jω )3 + 5(jω)2 + 6jω + 4 = (-5ω + 4) + j(6ω - 3) Phần thực R(ω) = -5ω + 4, phần ảo Q(ω) = 6ω - 3 Nyquist Diagrams 10 Imaginary Axis 5 0 -5 -10 -40 -30 -10 0 10... Phân chia nút thông tin kép 1 1 2 2 3 Phân chia mạch giữa 2 nút thông tin G G 4 5 Hoán vị nút tổng hợp y x1 + x1+x3 + x3 x2 - y x1 + x1-x2 x2 x3 + Phân chia nút tổng hợp kép x2 x1 + ± y x ± x1 + x2 y ± Phân chia mạch giữa 2 nút tổng hợp x1 + y x2 ± ± x3 y + ± G x1 G 7 ± x3 3 6 G ± G x2 x3 Hoán vị nút thông tin sang phía trước phần tử x x y G y G x 1/G x 8 Hoán vị nút thông tin về phía sau phần tử x... tiếp có các hàm tần thành phần G 1(jω); G2(jω) Gn(jω) được xác định như sau: G(jω) = G1(jω).G2(jω) Gn(jω) (3. 3.10) hoặc viết dưới dạng phức: α.e Ñϕ = α1 e jϕ α 2 e jϕ α n e jϕ = α1 α 2 α 3 α n e j ( ϕ +ϕ + +ϕ ) 1 2 n Từ đây rút ra α = α1.α2 αn và ϕ = ϕ1 + ϕ2 + + ϕn 1 2 n (3. 3.11) (3. 3.12) Từ 3. 3.12 ta thấy để tính acgument ϕ của hàm tần tổng hợp của các phần tử mắc nối tiếp có thể sử dụng đặc tính pha-