Đang tải... (xem toàn văn)
Hàm phức toán tử
1Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí MinhBộ môn Toán Ứng dụng-------------------------------------------------------------------------------------Hàm phức và biến đổi Laplace Chương 2: Biến đổi Laplace ngược•Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007) 2Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0.1 – Biến đổi Laplace ngược.0.2 – Tính chất của biến đổi Laplace ngược. 30.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Xét phương trình vi phân cấp hai '' '; (0) 0; (0) 1.− = − = =y y t y y Áp dụng biến đổi Laplace phương trình trên ta được ''{ - } {- }L y y L t= sử dụng các tính chất của phép biến đổi Laplace xuôi ''{ }- { } {- }L y L y L t⇔ =221( ) 1 ( )s Y s Y ss⇔ − − = −21( )Y ss⇔ =21{ ( )} { }L y t L ts⇒ = =Vậy nghiệm của phương trình vi phân là ( ) .y t t= 40.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa biến đổi Laplace ngượcBiến đổi Laplace ngược của hàm là một hàm liên tục trên và thỏa ( )f t[0,+ )∞ Ký hiệu phép biến đổi Laplace ngược là { ( )} ( )=L f t F s( )F s1( ) { }−=f t L F0{ ( )} ( ) ( )+∞−= =∫stL f t f t e dt F s1{ ( )} ( )−=L F s f t 50.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 32( ) =F ss GiảiDựa vào các biến đổi Laplace xuôi cơ bản ta thấy232!( ) { ( )}f t t L f ts= ⇒ =Vậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là1 2{ ( )}L F s t−= 60.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 32( )( 5)=−F ss GiảiSử dụng tính chất dời theo s, ta có232!( ) { ( )}f t t L f ts= ⇒ =Vậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là1 5 2{ ( )}tL F s e t−=532!{ ( )}( 5)tL e f ts=− 70.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 23( )9=+F ss GiảiDựa vào các biến đổi Laplace xuôi cơ bản ta thấy23( ) sin3 { ( )}9f t t L f ts= ⇒ =+Vậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là1{ ( )} sin3L F s t−= 80.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 21( )2 5−=− +sF ss s Giải2 21 12 5 ( 1) 4s ss s s− −=− + − +Vậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là1{ ( )} os2tL F s e c t−= 90.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Tính tuyến tínhGiả sử các biến đổi Laplace ngược tồn tại và liên tục trên và c là hằng số. Khi đó [0,+ )∞1 11 2{ ( )}; { ( )}L F s L F s− −1 1 11 2 1 21. { ( ) ( )}= { ( )}+ { ( )}L F s F s L F s L F s− − −+-1 -11 12. { ( )} { ( )}L cF s cL F s= 100.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 2 25 6 3( )69 2 8 10= − +−+ + +sF sss s s Giải1 1 1 12 21 3 1{ ( )} 5 { } 6 { } { }6 29 4 5− − − −= − +−+ + +sL F s L L Lss s s1 6 -23{ ( )} 5 6 cos3 sin2t tL F s e t e t−= − + [...]... ta có 2 3 2! ( ) { ( )}f t t L f t s = ⇒ = Vậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là 1 5 2 { ( )} t L F s e t − = 5 3 2! { ( )} ( 5) t L e f t s = − 16 0 .2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 2 2 ( ) 3 2 − = − + s e s F s s s Giải 2 2 1 2 1 3 2 = − − − − + s s s s s -1 2 2 { } 2 3 2 ⇒ = − − + t t s L e e s s ( ) -1 2( ) 2 2 2 2 { } 2 ( 3 2) 2 − −... thấy 2 3 2! ( ) { ( )}f t t L f t s = ⇒ = Vậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là 1 2 { ( )}L F s t − = 46 Bài tập Bài tập 3. Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 2 2 2 1. (tích chập) ( 4) s s + 2 2 2 2. ( 1) + + s s s 2 2 4 3. ln 1 + + s s 2 2 4. arctan s 42 0 .2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 2 2 1 ( ) ( 2) ( 2 5) + = − + + s F s s s s 2 2... Bài tập 2. Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 2 1 1. 6 7 2 + + + s s s 2 2 2 3 2. ( 1) ( 1) − + − + s s s s 3 4 2 16 24 3. 20 64 + − + + s s s s 2 2 4. ( 1) − − − + s s e e s s 21 0 .2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 2 ( ) ln( ) − − = s s F s e s Giải ' 2 1 1 ( ) ln 2 − = ⇒ = − − s G s G s s s -1 ' 2 { } ( )⇒ = − t L G e u t 2 -1 ( ) {... = 2 2 1 ( ) 1 ( )s Y s Y s s ⇔ − − = − 2 1 ( )Y s s ⇔ = 2 1 { ( )} { }L y t L t s ⇒ = = Vậy nghiệm của phương trình vi phân là ( ) .y t t= 29 0 .2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 2 2 ( ) 2 5 − = + + s s F s e s s Giải -1 -1 2 2 2 1 1 { } { } 2 5 ( 1) 2 = + + + + L L s s s ' -1 2 sin 2 { } sin 2 os2 2 2 2 5 − − − ⇒ = = − + + + t t... 1 1 2 { ( )}; { ( )}L F s L F s − − 1 1 1 1 2 1 2 1. { ( ) ( )}= { ( )}+ { ( )}L F s F s L F s L F s − − − + -1 -1 1 1 2. { ( )} { ( )}L cF s cL F s= 43 Bài tập Bài tập 1. Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm sinh 3 1. ( ) 3 = t f t 2. ( ) 3cos2 6sin 2 = − f t t t 2 3. ( ) (3cos2 4sin 2 )= − t f t e t t 6 4. ( ) (8cosh 2 34sinh 2 )= + t f t e t t 5. ( ) ( 2) ( 2) = − −f t t u t 2 1 1. 3 − s 2 3 -1 2 2.... 1)! k m k k s a d A s a F s k ds − − → = − − 25 0 .2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 2 2 1 ( ) ( 2 2) + = + + s F s s s Giải 2 2 2 1 1 1 ( ) . 2 ( 2 2) 2 2 +∞ +∞ + = = ∫ ∫ + + + + s s x F x dx dx x x s s -1 1 { ( ) } sin 2 +∞ − ⇒ = ∫ t s L F x dx e t -1 { ( )} sin 2 − ⇒ = t e t L F s t 9 0 .2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược 1. Tính tuyến... ) ( 2 5) ( ) ; 2 s s s s F s s φ + = + + = − 2 2 ( 1) 2 1, 2a bi s a b− + = + + ⇒ = = 11 10 ( ) ( 1 2 ) 13 13 a bi i i φ φ − + = − + = − 11 10 , 13 13 r i φ φ ⇒ = = − Khi đó số hạng của L -1 tương ứng với thừa số (s + 1) 2 + 2 2 là 10 11 cos2 sin2 2 13 13 t e t t − − + 10 0 .2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 2 2 5 6 3 ( ) 6 9 2 8... thừa số e -2 s và s ở tử của F(s), tìm Laplace ngược, ta được sin2 2 t e t − = áp dụng tính chất 3, dời theo t ta có kết quả. 47 Bài tập Bài tập 4. Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 2 1 1. ( 2 2)( 3) s s s s − + + + 2 3 1 2. ( 1) + s 2 1 3. ( 1)(1 ) π π − − + + − s s e s e 3 2 2 4. ( 1)+ s s 14 0 .2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 5 2 ( ) 9 − = − s s F... là 1 { ( )} sin3L F s t − = 22 0 .2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 2 1 ( ) ln ( 1) + = + s F s s s Giải ' 2 2 1 1 1 1 = − − + + s F s s s -1 ' - { } 2cos -1 - = t L F t e -1 1 2cos { ( )} − + − ⇒ = t e t L F s t 5 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 3 2 ( ) =F s s Giải Dựa vào các... Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 3 2 3 11 47 56 4 ( ) ( 2) ( 2) − + + = − + s s s F s s s 3 2 3 ( ) 11 47 56 4; ( ) ( 2) ( 2) P s s s s Q s s s= − + + = − + ' 2 3 1 ,2, 3 4 2, 2; ( ) 3( 2) ( 2) ( 2) a a Q s s s s= = − = − + + − 4 ' 4 ( ) 384 6; 64 ( ) P a B Q a − = = = − 6 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 3 2 ( ) ( 5) = − F s s Giải Sử . Vinh (9 /20 07) 2Nội dung -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - 0.1 –. ngược -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - - 2. Tính chất dời theo s1 - 1{