Phần I : Đặt vấn đề Giải toán nghệ thuật thực hành Vì để có kỹ giải tập Toán tìm quy luật toán phải qua trình luyện tập Tuy giải tập có kỹ hay tìm quy luật Việc luyện tập có hiệu , biết khéo léo khai thác từ tập sang loại tập tương tự , nhằm vận dụng tính chất hay khái quát cách giải chocho loại tập dạng có dạng tương tự Thực tế cho thấy học sinh học Toán thường không ý đến đặc điểm toán, phương pháp giải nên gặp toán có sử dụng phương pháp giải tương tự gặp nhiều khó khăn ,lúng túng,thậm chí cách giải nào.Điều khẳng định “không thầy đố mày làm nên”.Nếu hướng dẫn giáo viên người học phương pháp hay kết tốt.Chứng tỏ phương pháp học đóng vai trò quan trọng học tập Chính để nâng cao chất lượng môn toán lôi niềm đam mê,sự yêu thích dành cho môn Toán tiến hành soạn đề tài : “Khai thác ứng dụng từ toán có quy luật THCS” Phần II Giải vấn đề Cơ sở lý luận đề tài : Giải tập toán trình suy luận ,nhằm khám phá trình logic cho (giả thiết) với phải tìm (kết luận) Nhưng quy tắc suy luận chứng minh chưa tường minh Do , học sinh thường gặp nhiều khó khăn giải tập Thực tiễn dạy học cho thấy : học sinh giỏi thường đúc kết tri thức ,phương pháp cần thiết cho đường kinh nghiệmvà từ tìm quy luật cho toán ; học sinh trung bình, yếu , gặp nhiều lúng túng Để có kỹ giải tập phải qua trình rèn luyện Tuy ,không phải giải nhiều tập học sinh tìm quy luật toán Việc luyện tập có nhiều hiệu ,nếu biết khéo léo khai thác từ tập sang loại tập tương tự ,nhằm vận dụng tính chất ,nhằm rèn luyện phương pháp chứng minh Quan sát đặc điểm toán, khái quát đặc điểm đề mục vô quan trọng , song quan trọng khái quát hướng suy nghĩ phương pháp giải Sự thực giải tập không giải vấn đề cụ thể mà giải đề loại vấn đề Vì , hướng suy nghĩ phương pháp giải tập định có ý nghĩa chung Nếu ta ý mà khái quát hướng suy nghĩ cách giải vấn đề ta dùng để đạo giải vấn đề loại mở rộng : “ Mỗi vấn đề mà giải trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải vấn đề khác “ Do sau giải toán nên ý hướng khai thác,cách giảivà quy luật toán Thực trạng vấn đề: * Đối với giáo viên: Đa số giáo viên quan tâm,nghiên cứu,tìm tòi để có phương pháp hay truyền đạt kiến thức đến em cách dễ hiểu nhất.Bên cạnh giáo viên chưa sâu tìm hiểu đối tượng học sinh,chưa tìm tòi nghiên cứu để tìm phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh lớp dạy, có cách nghĩ chủ quan,áp đặt học sinh dẫn đến nội dung dạy bám sát vào sách giáo khoa chuẩn kiến thức mà chưa nâng cao mở rộng,hoăc có đưa dạng toán nâng cao mở rộng chưa phong phú dạng đưa để giới thiệu chưa sâu ,chưa hướng dẫn em cách khai thác dạng toán có phương pháp giải tương tự,chưa cho em phương pháp khai thác,tìm đặc điểm toán ,vận dụng,tìm mối liên hệ toán,dạng toán tương tự *Đối với học sinh: Thực tế đa số học sinh giải tập toán đơn tìm đáp số hay giải ,kể học sinh giỏi hay trung bình yếu Các em chưa có thói quen quan sát đặc điểm toán đưa phương pháp giải,chứ chưa nói đến việc mà em biết tìm mối liên hệ toán với toán khác ,để từ có phương pháp giải hợp lý hay vận dụng phương pháp từ toán sang toán khác có dạng tương tự,khai thác từ toán sang toán khác,vận dụng kết từ toán sang toán khác ,….Vì vậy,qua kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy thấy để học sinh đạt kết học tập tốt em phải có phương pháp giải toán tốt Đó biêt quan sát, biêt dụng ,biêt khai thác toán có dạng tương tự,từ tìm quy luật chung Do đó,khi chưa hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng từ toán có quy luật THCS mà hướng dẫn cụ thể.Đa số em gặp loại toán tương tự cách áp dụng mà loai hoay cách giải,kêt cụ thể : Lớp TS 6A 8A 15 15 Giỏi SL % 0 0 Khá SL % 0 0 TB Yếu Kém SL % SL % SL % 26,67 26,67 46,66 26,67 20 53,33 3.Giải pháp biện pháp thực hiện: a)Giải pháp: Trong trình giảng dạy nhận thấy để học sinh có phương pháp giải toán tốt người giáo viên cần phải giúp em có thói quen quan sát đặc điểm toán trước giải có ý thức liên hệ ,vận dụng,khai thác từ toán sang toán khác b)Biện pháp thực : Qua trình giảng dạy nhận thấy dạng tập có nhiều ứng dụng giải dạng toán : -Ứng dụng dạng tính toán ,toán rút gọn,toán chứng minh đẳng thức -Ứng dụng dạng toán chứng minh bât đăng thức -Ứng dụng dạng toán giải phương trình,bât phương trình Vì chọn dạng tập có quy luật để khai thác ứng dụng để hướng dẫn học sinh để tìm quy luật Xét toán sau: 1 a) Chứng tỏ với n ∈ N,n ≠ 0: n(n + 1) = n − n + b) Áp dụng kết để tính tổng sau: (1) 1 1 1 + + + + + 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 • Hướng dẫn: 1 n +1− n a) Biến đổi vế phải : n − n + = n(n + 1) = n(n + 1) b) Xét đặc điểm đẳng thức câu a: vế phải có mẫu tích hai biểu thức 1 cách 1; tử có n − n + = n(n + 1) Tương tự với đặc điểm vế phải câu a, ta có : 1 1 1 + + + + + 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − + − + − =1 − = 2 3 4 5 6 7 Cách phát biểu khác toán: a) Viết phân thức n(n + 1) thành hiệu hai phân thức có tử b) Vận dụng kết câu a rút gọn biểu thức sau: 1 1 1 + + + + + 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 I Khai thác tập tính toán ,trong toán rút gọn ,toán chứng minh đẳng thức: Bài : Tính : a) 1 1 1 + + + + + + 2.3 3.4 4.5 5.6 99.100 * Hướng dẫn : 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + = + − + − + − + − 2.3 3.4 4.5 5.6 99.100 2 3 4 99 100 99 =1 = 100 100 Từ có toán tổng quát : 1 1 1 c) Tính tổng: + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + + n(n + 1) với n ≥ * hướng dẫn : Tương tự câu a ,ta có kết quả: − n = n +1 n +1 Nhận xét : Đặc điểm mẫu phân thức để từ ta có dạng toán khác ; hạng tử tổng phân thức có dạng : mẫu tích hai nhân tử cách đơn vị tử Vậy mẫu tích hai nhân tử cách 2,hay 3,hay 4,…thì giải toán ? Chẳng hạn: 1 1 + + + + + 1.3 3.5 5.7 7.9 2005.2007 1 1 b) 2.5 + 5.8 + 8.11 + 11.14 + + (3n + 2)(3n + 5) a) *Hướng dẫn: a) Viết hạng tử dạng hiệu hai phân thức: 1 1 1 1 = ( − ); = ( − ) 1.3 5.7 1 1 1 1 1 1 = ( − ); = ( − ); ; = ( − ) 3.5 7.9 2005.2007 2005 2007 1 1 + + + + + Vậy: 1.3 3.5 5.7 7.9 2005.2007 1 1 1 1 1 1 1003 − ) = (1 − )= = ( − + − + − + − + + 3 5 7 2005 2007 2007 2007 b)Phương pháp làm tương tự câu a: 1 1 Xét hạng tử tổng quát: (3n + 2)(3n + 5) = ( 3n + − 3n + ) 1 1 nên ,ta có 2.5 + 5.8 + 8.11 + 11.14 + + (3n + 2)(3n + 5) 1 n +1 1 1 1 1 )= + + − )= ( − 3n + 2(3n + 5) 5 8 11 3n + 3n + = ( − + − + − - Tương tự ta đề xuất toán loại giải với phương pháp * Chú ý đến đặc điểm tử mẫu phân thức ta có toán tổng quát ;tử số (biểu thức) ,mẫu tích số (biểu thức) cách làm ? Chẳng hạn: Bài 2: Tính tổng: 5 5 + + + + + 2.4 4.6 6.8 8.10 98.100 n n n n n b) a a + a a + a a + a a + + a a 2 3 4 k k +1 a) với a2 - a1= a3 – a2 = a4 – a3 = …= ak+1- ak = b Hướng dẫn :Phương pháp làm :Viết hạng tử tổng dạng hiệu 5 1 5 1 = ( − ) = ( − ) ; 2.4 2 4.6 5 1 5 1 5 1 = ( − ); = ( − ); … ; = ( − ) 6.8 8.10 10 98.100 98 100 5 5 + + + + + 2.4 4.6 6.8 8.10 98.100 1 1 1 1 1 49 = ( − + − + − + + − )= ( − )= 2 4 6 98 100 2 100 40 (tương tự 1) Ta có : Do : b)Phương pháp làm tương tự câu a Đây toán tổng quát rút từ toán Vậy ta xét trường hợp sau: - Trường hợp 1: Nếu a2 - a1= a3 – a2 = a4 – a3 = …= ak+1- ak = n Bài toán giải dễ dàng theo cách phân tích 1,vì : n 1 = − a1a2 a1 a2 n 1 = − a2 a3 a2 a3 ………………………… n 1 = − ak ak +1 ak ak +1 n n n n n 1 Cộng vế với vế ta có : a a + a a + a a + a a + + a a = = a − a 2 3 4 k k +1 k +1 -Trường hợp 2: Nếu a2 - a1= a3 – a2 = a4 – a3 = …= ak+1- ak = b ≠ n n n n n n Ta có : a a + a a + a a + a a + + a a 2 3 4 k k +1 b b b b n b = ( a a + a a + a a + a a + + a a ) b 2 3 4 k k +1 Bài toán thực chất đưa 2; Do ta có kết là: n 1 ( − ) b a1 ak +1 Nếu mẫu tích số tự nhiên liên tiếp cách ? Từ ta có toán khó hơn: Bài 3: Tính tổng : 1 1 1 1 A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + + (n − 1).n.(n + 1) với n ≥ 1,n∈ N B = 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + 7.9.11 + + (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) với n ≥ 2,n∈ N *Hướng dẫn: Phương pháp giải tương tự toán trên:viết hạng tử dạng hiệu 1 *Nhận xét: (n − 1).n.(n + 1) = (n − 1)n − n(n + 1) Do ta có : 1 1 1 1 1 1 ( 1.2 − 2.3 + 2.3 − 3.4 + 3.4 − 4.5 + + ( n − 1).n − n(n + 1) )= ( − n(n + 1) ) 1 *Nhận xét: (2n − 1).(2n + 1).(2n + 3) = (2n − 1)(2n + 1) − (2n + 1)(2n + 3) Do ta có 1 1 1 1 B= ( 1.3 − 3.5 + 5.7 − 7.9 + 9.11 − 11.13 + + (2n − 1).(2n + 1) − (2n + 1)(2n + 3) ) 1 = ( − (2n + 1)(2n + 3) ) 1 b−a *) Từ (1) ta có đẳng thức tổng quát hơn: a − b = ab với a ≠ ; b ≠ việc áp A= dụng công thức thực tế sử dụng nhiều Chẳng hạn với toán sau: Bài 4: Cho biết a,b,c số thực khác Chứng minh : b−c c−a a −b 2 + + = + + (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a )(c − b) a − b b − c c − a *Hướng dẫn: Đối với dùng cách hòa đồng mẫu số vế trái để chứng minh trình tính phức tạp Có cách tính ngắn gọn không ? Quan sát số hạng vế trái tử số vừa hiệu hai thừa số mẫu số : b – c = (a – c) - (a – b) ; c – a = (b – a) – (b – c) ; a – b= (c- b) – (c – a) Điều gợi cho ta nhớ đến dùng ngược công thức b−a 1 b−a 1 = − = − tức Do : (a − b)(a − c) a − b a − c a.b a b b−c c−a a −b 1 1 1 + + = − + − + − (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a )(c − b) a − b a − c b − c b − a c − a c − b 1 1 1 − + − + − = a −b a −c b −c b −a c −a c −b 2 + + = (đpcm) a −b b−c c−a * Chú ý đến mẫu :nếu ta thay x(x+1) = x2 + x; (x+1)(x+2)= x2 + 3x +2;… Ta có toán luyện cho học sinh kỹ phân tích đa thức thành nhân tử: Bài 5: Rút gọn biểu thức sau : 1 1 + + + + x + x x + 3x + x + x + x + x + 12 x + x + 20 1 1 + + + b) N = x − x + x − x + 12 x − x + 20 x − 11x + 30 a) M = *Hướng dẫn : a) Để rút gọn M cần phân tích mẫu thành nhân tử : Ta có : x2 +x = x( x+ 1) ; x2 +3x + = x2 + x+ 2x +2= (x +1)(x +2) x2 + 5x + = x2 +3 x+ 2x +6= (x +3)(x +2) ; x2 + 7x + 12 = x2 + 3x+ 4x + 12= (x +3)(x +4) x2 + 9x + 20 = x2 + 4x+ 5x +20 = (x +4)(x +5) Do : 1 1 M= x( x + 1) + ( x + 1)( x + 2) + ( x + 2)( x + 3) + ( x + 3)( x + 4) + ( x + 4)( x + 5) 1 1 1 1 1 − + − + − + − + − x x +1 x +1 x + x + x + x + x + x + x + 1 = x − x + = x( x + 5) = b) Tương tự ta có: 1 1 N = ( x − 2)( x − 3) + ( x − 3)( x − 4) + ( x − 4)( x − 5) + ( x − 5)( x − 6) 1 1 1 1 − + − + − + − x −2 x −3 x −3 x −4 x − x −5 x −5 x −6 1 −4 = x − − x − = ( x − 2)( x − 6) = Bài 6: Rút gọn : a a a a + + + + 2 x + ax x + 3a.x + 2a x + 5.a.x + 6a x + 7.a.x + 12a x + 4a a a a a + + + + + b) B = 2 2 x + ax x + 3a.x + 2a x + 5.a.x + 6a x + 19.a.x + 90a x + 10a a) A= Hướng dẫn: a a a a a) A= x( x + a) + ( x + a)( x + 2a) + ( x + 2a)( x + 3a) + ( x + 3a)( x + 4a) + x + 4a 1 1 1 1 1 − + − + − + − + = a x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a x + 3a x + 4a x + 4a x a a a a B= + + + x ( x + a ) ( x +a )( x +2a ) ( x +2a)( x +3a ) ( x +3a )( x +4a ) b) 1 1 + − + + + = x +4a x +5a ( x +9a )( x +10a ) x +10a x 2x +1 1 * Xét biểu thức sau : ( x + 1)2 − x = x + nên ta có : x ( x + 1)2 = x − ( x + 1) = Do ta có toán sau: 2x +1 A = (1.2)2 + (2.3) + + x( x + 1) [ ] Bài 7: Rút gọn biểu thức sau: 2x +1 1 Hướng dẫn: Nhận xét: x ( x + 1)2 = x − ( x + 1)2 nên ta có : 1 1 1 1 1 1 x( x + 2) A = 12 − 22 + 22 − 32 + 32 − 42 + + x − ( x + 1) = − ( x + 1) = ( x + 1) II) Khai thác ứng dụng 28 chứng minh bất đẳng thức : Bài : Chứng minh rằ với số tự nhiên n ≥ 1 a) A = 22 + 42 + 62 + 82 + + (2n) < ; Hướng dẫn: 1 1 1 1 1 b) 32 + 52 + + 92 + + (2n + 1)2 < a) Nhận xét : (2n) = (n − 1).n mà (n − 1).n = n − − n nên ta có : 1 1 1 1 1 1 A = 22 + 42 + 62 + 82 + + (2n) = ( + + + + + + + ) nên 2 3 n 1 1 A< (1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + + (n − 1).n ) hay 1 1 1 1 (1 + − + − + − + + − ) A< 2 3 n − n hay A= 1 1 (1 + − ) n hay A〈 − hayA〈 4n (đpcm) 1 1 1  〈 ⇔ 〈  − ÷ nên ta có : 2 (2n + 1) (2n + 1) − (2n + 1)  2n 2n +  1 1 B < 32 − + 52 − + − + 92 − + + (2n + 1) − hay 1 1 B< 4.2 + 4.6 + 6.8 + 8.10 + + 2n.(2n + 2) hay 1 1 1 1 ) hay B< ( − + − + − + + − 2 4 6 2n 2n + b)Nhận xét : 1 B〈 − ⇒ B〈 1 )⇒ 4(n + 1) B< ( − 2 2n + (đpcm) Bài 9: Chứng minh với n nguyên ,n lớn 1: A= 1 1 1 + + + + + 〈 − 2 n n Hướng dẫn:Để áp dụng (1)cần sử dụng phương pháp làm trội,tương tự 1 1 Nhận xét với k = 2;3;4;…; n,ta có : k 〈 (k − 1).k hay k 〈 k − − k (2) Lần lượt cho :k = 2;3;4;…; n (2) cộng lại vế theo vế ta được: A= 1 1 1 1 1 1 + + + + + 〈 + − + − + − + + − 2 n 2 3 n −1 n hay A< 2(đpcm) n Từ ta tập sau: Bài 10: Chứng minh với số tự nhiên n,n ≥ thì: B= 1 1 + + + + + < 2 n *Hướng dẫn : Áp dụng kết 10,ta có : A< 2- mà B = A – hay n 1 hay B< 1hay B < (đpcm) n n Bài 11: Chứng minh với số tự nhiên n,n ≥ thì: 1 1 C = + + + + + < n A = B + 1,khi : B + < 2- *Hướng dẫn: Để áp dụng (1) cần sử dụng phương pháp làm trội Vậy vận dụng nào? Có giống 11 không ? 4 1 = 2< ⇔ < 2( − ) Do đó: n 4n 4n − n 2n − 2n + 1 1 1 1 − ) hay C < 2( − ) hay C < C< 2( − + − + + (đpcm) 5 2n − 2n + 2n + Bài 12: Chứng minh với số tự nhiên n,n ≥ ta có: 1 1 E = + + + 〈 n Hãy xem nhận xét sau : *Hướng dẫn: Để áp dụng (1) cần sử dụng phương pháp làm trội.Vậy sử dụng ? xem nhận xét sau: 1 1 1 1 〈 hay 〈 hay 〈 ( − ) Do ta có: k k −k k (k − 1)(k + 1) k (k − 1).k (k + 1).k 1 D < + + + −2 −3 n −n 1 1 1 hay D < (1.2 − 2.3 + 2.3 − 3.4 + + (n − 1).n − n.(n + 1) ) 1 1 hay D < (1.2 − n.(n + 1) ) hay D < (đpcm) Bài 13: Chứng minh với số tự nhiên n,n ≥ ta có: 1 1 + + + 〈 3 n 12 E= Hướngdẫn:Tacó 1 1 1 1 〈 hay 〈 hay 〈 ( − ) Do : n n −n n (n − 1).n.(n + 1) n (n − 1).n (n + 1).n 1 1 1 E < ( 2.3 − 3.4 + 3.4 − 4.5 + + (n − 1).n − n.(n + 1) ) hay 1 1 E < ( 2.3 − n.(n + 1) ) hay E < (đpcm) 12 Bài 14: Chứng minh với số nguyên dương n,ta có: 2n + M = + 36 + 144 + + n (n + 1) 〈1 2n + 1 Hướng dẫn: Ta có: n.2 n + = n − n + Do : ( ) ( ) 1 1 1 M = 1- 22 + 22 − 32 + + n − (n + 1) = − ( n + 1) 〈1 ( đpcm) III ) Khai thác ứng dụng toán giải phương trình ,bất phương trình: Bài 15: Giải phương trình : 1 1 1 1 + + + + )x = + + + + 1.101 2.102 3.103 10.110 11 2.12 3.13 100.110 1 1 148 98 )( x − 2) + x = x− b) ( + + + + 1.3 3.5 5.7 97.99 99 99 1 1 2007 + + + + = x( x + 1) 2009 c) 10 1 1 1 1 1 + + + + = (1 − + − + + − ) Hướng dẫn : a) 1.101 2.102 3.103 10.110 100 101 102 10 110 1 1 1 (1 + + + + − − − ) = 100 10 101 102 110 1 1 1 1 1 + + + − ) Xét + = ( − + − + + 11 2.12 3.13 100.110 10 11 12 100 110 1 1 1 1 − − ) = (1 + + + + - − − − 10 100 11 12 100 110 1 1 1 1 − − − ) ,ta có : x= : = 10 = (1 + + + + 10 10 101 102 110 10 100 1 1 1 1 1 1 + + + + b)Xét : = (1 − + − + − + + − ) 1.3 3.5 5.7 97.99 3 5 97 99 1 49 = (1 − ) = Khi ta có : 99 99 a) ( 10 49 148 98 ( x − 2) + x = x− hay 49(x- 2) + 99x = 148x - 98 hay 99 99 99 49x + 99x – 148x = hay 0.x = hay x ∈ R 1 1 2007 2 2 2007 + + + + = + + + + = x( x + 1) 2009 hay c) 10 2.3 3.4 4.5 x( x + 1) 2009 1 1 1 1 2007 ⇔ 2( − + − + − + + − )= 3 4 x x + 2009 1 2007 2007 2 ⇔ 2( − ⇔ 1− ⇔ ⇔ x = 2008 )= = = x + 2009 x + 2009 x + 2009 (thỏa mãn x ≠ ; x ≠ - ) Bài 16: Giải phương trình : 1 1 + + + + )( x − 1) + x = x − 1.2 2.3 3.4 9.10 10 10 1 1 1 1 + + + + )x = ( + + + + ) b) ( 1.51 2.52 3.53 10.60 1.11 2.12 3.13 50.60 a) ( *Hướng dẫn: 1 1 + + + + )( x − 1) + x = x − 1.2 2.3 3.4 9.10 10 10 1 1 1 1 ⇔ (1 − + − + − + + − )( x − 1) + x = x − 2 3 10 10 10 9 ⇔ ⇔ 0x = ⇔ x ∈ R ( x − 1) + x = x − 10 10 10 1 1 1 1 + + + + )x = ( + + + + ) b) ( 1.51 2.52 3.53 10.60 1.11 2.12 3.13 50.60 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ (1 − + − + − + + − ) x = ( − + − + + − ) 50 51 52 53 10 60 10 11 12 50 60 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ (1 + + + + − − − ) x = (1 + + + + - − − − ) 50 10 51 52 60 10 50 11 12 60 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ (1 + + + + − − − ) x = (1 + + + + - − − − ) 50 10 51 52 60 10 50 51 52 60 1 ⇔x= : =5 10 50 a) ( Bài 17: Giải phương trình sau: 1 1 1 −6 + = + + = b) x + x + x + x + 15 x − x + x − x + 15 x − 13 x + 40 1 + = c) x + x + 20 x + 13 x + 42 18 1 1 + + + + = d) x + x + x + x + x + x + 12 x + 15 x + 56 14 a) Hướng dẫn : a) Nhận xét: x2 + 4x +3 = (x + 1)(x + 3) ; x2 + 8x +15 = (x + 5)(x + 3) ĐKXĐ: x ≠ -1; x ≠ - 3; x ≠ - 11 1 Phương trình cho viết : ( x + 1)( x + 3) + ( x + 3)( x + 5) = ⇔ 1 1 1 ( − + − )= ⇔ x +1 x + x + x + 1 1 ( − )= x +1 x + ⇒ 3(x+ – x -1) = (x + 5)(x + 1) ⇔ (x+3)2 = 42 ⇔ x+ = x + = - ⇔ x = x = - ( thỏa mãn ĐKXĐ) • ) Các câu b;c;d phương pháp làm hoàn toàn câu a Bài18:Giảiphươngtrình ( 1 1 1 1 + + + + )x < ( + + + + ) 1.51 2.52 3.53 10.60 11 2.12 3.13 50.60 Hướng dẫn : Cách làm tương tự 21b,chỉ cần chý ý dấu BĐT thay cho dấu đẳng thức ta có giá trị biểu thức sau dương: 1+ 1 1 1 + + + - − − − nên ta có kết : x < 10 51 52 60 c) Kiểm nghiệm: Sau hướng dẫn tiến hành kiểm nghiệm khảo sát nhóm học sinh sau hướng dẫn kết đạt sau: Lớp TS Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 6A 15 6,67 26,67 33,33 20 13,33 8A 15 6,67 26,67 26,67 26,67 13,33 Phần : Kết luận đề xuất a) Kết luận: Phương pháp giải tập có hệ thống yếu tố giúp học sinh nắm vững kiến thức ,giải linh hoạt tập toán đạt kết cao học tập môn toán Điều quan trọng cần đề cập toán theo nhiều cách khác ,nghiên cứu kỹ ,khảo sát chi tiết kết hợp chi tiết toán theo nhiều cách để mở rộng cho toán khác Đồng thời qua khai thác ứng dụng toán vào giải toán loại Hi vọng với số ví dụ đưa đề tài giúp em học sinh biết cách làm chủ kiến thức ,thêm yêu mến môn toán học ,tự tin trình học tập nghiên cứu sau Đây kinh nghiệm cua thân nên chắn nhiều khiếm khuyết ,hi vọng bạn đồng nghiệp quan tâm góp ý để đề tài hoàn chỉnh * Lưu ý: 12 Khi học sinh giải dạng toán cân quan sát tử mâũ phân số, phân thức Từ học sinh khoảng cách hai thừa số,hiêụ hai đa thức tích mâũ so sánh với số,đa thức tử Nếu dạng toán mà mẫu số (một đa thức) tập 5;… ta phải biến đổi đưa mẫu dạng tích hai thừa số ( hai đa thức) áp dụng phương pháp b) Đề xuất: Đề nghị giáo viên dạy bô môn Toán trình giảng dạy nên cố gắng nghiên cứu đưa dạng tâp hướng dẫn học sinh cách khai thác,vận dụng, tìm mối liên Xác nhận Hiêụ trưởng Thanh Hóa ,ngày 10 tháng năm 2014 Cam kết không copy Tác giả Lê Thị Hương \ Tài liệu tham khảo Bài tập toán tập Nâng cao phát triển toán tập Phát triển toán Bồi dưỡng toán 13 Bài tập toán tập Nâng cao phát triển toán tập Một số tài liệu tham khảo khác Phụ lục Phần I : Đặt vấn đề ………………………………… Phần II: Giải vấn đề ………………………………… Cơ sở lý luận ………………………………… Thực trạng vấn đề ………………………………… Giải pháp biện pháp thực …………………………… Kiểm nghiệm …………………………………… Phần III : Kết luận đề xuất ………………………………… 1 1 12 12 14 [...]... môn toán Điều quan trọng nhất cần đề cập bài toán theo nhiều cách khác nhau ,nghiên cứu kỹ ,khảo sát từng chi tiết và kết hợp các chi tiết của bài toán theo nhiều cách để mở rộng cho các bài toán khác Đồng thời qua đó có thể khai thác các ứng dụng của một bài toán cơ bản vào giải quy t các bài toán cùng loại Hi vọng rằng với một số ví dụ tôi đưa ra trong đề tài này giúp các em học sinh sẽ biết cách... thức của tích ở dưới mâũ rồi so sánh với số,đa thức ở trên tử Nếu dạng toán mà dưới mẫu là một số (một đa thức) như bài tập bài 5;… ta phải biến đổi đưa mẫu về dạng tích hai thừa số ( hai đa thức) rồi mới áp dụng phương pháp trên b) Đề xuất: Đề nghị các giáo viên dạy bô môn Toán trong quá trình giảng dạy nên cố gắng nghiên cứu đưa ra các dạng bài tâp và hướng dẫn học sinh cách khai thác, vận dụng, tìm mối... Hiêụ trưởng Thanh Hóa ,ngày 10 tháng 4 năm 2014 Cam kết không copy Tác giả Lê Thị Hương \ Tài liệu tham khảo 1 2 3 4 Bài tập toán 8 tập 1 Nâng cao và phát triển toán 8 tập 1 Phát triển toán 8 Bồi dưỡng toán 8 13 5 Bài tập toán 6 tập 2 6 Nâng cao và phát triển toán 6 tập 2 7 Một số tài liệu tham khảo khác Phụ lục Phần I : Đặt vấn đề ………………………………… Phần II: Giải quy t vấn đề ………………………………… 1 Cơ sở lý luận... hành kiểm nghiệm khảo sát một nhóm học sinh sau khi hướng dẫn kết quả đạt được như sau: Lớp TS Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 6A 15 1 6,67 4 26,67 5 33,33 3 20 2 13,33 8A 15 1 6,67 4 26,67 4 26,67 4 26,67 2 13,33 Phần 3 : Kết luận và đề xuất a) Kết luận: Phương pháp giải bài tập có hệ thống là một yếu tố cơ bản giúp học sinh nắm vững kiến thức ,giải quy t linh hoạt các bài tập toán và đạt... chủ được kiến thức của mình ,thêm yêu mến môn toán học ,tự tin trong quá trình học tập và nghiên cứu sau này Đây mới chỉ là kinh nghiệm cua bản thân tôi nên chắc chắn còn nhiều khiếm khuyết ,hi vọng được các bạn đồng nghiệp quan tâm và góp ý để đề tài được hoàn chỉnh hơn * Lưu ý: 12 Khi học sinh giải dạng toán này cân quan sát tử và mâũ của phân số, phân thức Từ đó học sinh chỉ ra được khoảng cách giữa... thỏa mãn ĐKXĐ) • ) Các câu b;c;d phương pháp làm hoàn toàn như câu a Bài1 8:Giảiphươngtrình ( 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + )x < ( + + + + ) 1.51 2.52 3.53 10.60 11 2.12 3.13 50.60 Hướng dẫn : Cách làm tương tự như bài 21b,chỉ cần chý ý dấu BĐT thay cho dấu đẳng thức và ta có giá trị biểu thức sau luôn dương: 1+ 1 1 1 1 1 1 + + + - − − − nên ta có kết quả là : x < 5 2 3 10 51 52 60 c) Kiểm nghiệm: Sau khi... x + 1) 2009 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2007 ⇔ 2( − + − + − + + − )= 2 3 3 4 4 5 x x + 1 2009 1 1 2007 2 2007 2 2 ⇔ 2( − ⇔ 1− ⇔ ⇔ x = 2008 )= = = 2 x + 1 2009 x + 1 2009 x + 1 2009 (thỏa mãn x ≠ 0 ; x ≠ - 1 ) Bài 16: Giải phương trình : 1 1 1 1 1 9 + + + + )( x − 1) + x = x − 1.2 2.3 3.4 9.10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + )x = ( + + + + ) b) ( 1.51 2.52 3.53 10.60 1.11 2.12 3.13 50.60 a) ( *Hướng dẫn: 1... (1 + + + + - − − − ) 50 2 3 10 51 52 60 10 2 3 50 11 12 60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ (1 + + + + − − − ) x = (1 + + + + - − − − ) 50 2 3 10 51 52 60 10 2 3 50 51 52 60 1 1 ⇔x= : =5 10 50 a) ( Bài 17: Giải phương trình sau: 1 1 1 1 1 1 −6 + 2 = + 2 + 2 = b) 2 x + 4 x + 3 x + 8 x + 15 6 x − 5 x + 6 x − 8 x + 15 x − 13 x + 40 5 1 1 1 + = c) 2 x + 9 x + 20 x 2 + 13 x + 42 18 1 1 1 1 1 + 2 + 2 +... lục Phần I : Đặt vấn đề ………………………………… Phần II: Giải quy t vấn đề ………………………………… 1 Cơ sở lý luận ………………………………… 2 Thực trạng của vấn đề ………………………………… 3 Giải pháp và biện pháp thực hiện …………………………… 4 Kiểm nghiệm …………………………………… Phần III : Kết luận và đề xuất ………………………………… 1 1 1 1 2 12 12 14