Cõu Ni dung www.DeThiThuDaiHoc.com 2cos4x-2sinx.cosx-2sin x 2cos4x 2(cos x-sin x).sinx Website http://thptthuanthanh1.bacninh.edu.vn cos x s inx cos x s inx cos x s inx cos2x-sin2x 2cos4x I1= /4 / /4 /4 /4 /4 Xột I1= I t sin( t )dt /4 /4 /4 x sin xdx I1 I1=0 sin x dx x sin xdx x sin xdx I1 I x2 x / / dx dt x sin xdx , t x=-t x : t 4 x : t /4 (2) cosx-sinx=0 cos2x-sin2x- 2cos4x=0 (3) Gii (2) ta c x k (tha (*)) x= k 4x=2x+ k Gii (3) : 2cos x 2cos4x x=- k 4x=-2x- k 24 i chiu iu kin ta c h nghim x3 y m( x y ) (1) Xột h: (2) x y (2) y = x thay vo (1) ta cú : (2x - 2)[x2 - 2x + - m] = x II.2 (1,0) x x m (*) Nhn xột : Nu pt (*) cú nghim x1, x2 phõn bit thỡ : x1 < < x2 v x1 + x2 = Vy h cú nghim v x1, x2, x3 theo th t lp thnh cp s cng pt (*) cú nghim phõn bit ' = - + m > m > Vy m>3 l giỏ tr cn tỡm III.1 (1,0) /4 u x du dx Xột I = x sin xdx , t dv sin xdx v cos x /4 /4 4 = I2= x cos x cos xdx x cos x sin x /4 4 dx sinxdx 2 sinx.cos x sin x.cos x www.MATHVN.com III.2 t t cosx dt=-sinxdx (1,0) KIM TRA CHT LNG LN TH NM HC 2013 2014 MễN : TON Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian giao ) x mx 2m (1), cú th l (Cm), m l tham s mx Ngy /8/2013 TRNG THPT THUN THNH S Cõu I (2,0 im) Cho hm s y im 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) m = Xỏc nh m tim cn xiờn ca (Cm) i qua gc ta v hm s (1) cú cc i, cc tiu Cõu II (2,0 im) Gii phng trỡnh lng giỏc: cot x 1 2cos4x 2sin x x3 y m( x y ) x2 x x y 2 Cho h phng trỡnh: /4 /4 Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh trờn cú nghim phõn bit (x1; y1), (x2; y2) v (x3; y3) cho x1, x2, x3 theo th t lp thnh mt cp s cng Cõu III (1,0 im) (Hc sinh t chn mt hai phn) sin x dx Tớnh tớch phõn: I a , mt phng bit rng Tỡm mt nguyờn hm F(x) ca hm s f ( x ) sinx.cos x F( ) Cõu IV (1,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB= a,AD= 2a Cnh SA vuụng gúc vi mt phng ỏy, cnh bờn SB to vi mt phng ỏy mt gúc 600 Trờn cnh SA ly im M cho AM = (BCM) ct cnh SD ti N Tớnh th tớch chúp S.BCNM Cõu V (1,0 im) Cho a, b l cỏc s thc tho a b c Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc M 2012 a 2013b 2014c 2012b 2013c 2014a 2012c 2013a 2014b Cõu VI (2,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy cho hai ng thng d: x y , d ' : x y v im A(-1 ; 1) Tỡm ta tõm ng trũn thuc ng thng d, bit rng ng trũn i qua im A v ct ng thng d ti hai phõn bit im B, C cho BC=2 Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho A(1;2;-1), B(8;1;-2) , C(1;2;1) , v x y z Tỡm M(d) cho | MA MB MC | t ng thng d : x y giỏ tr nh nht Cõu VII (1,0 im) 12 Tỡm h s ca s hng cha x8 khai trin Newton: x x www.DeThiThuDaiHoc.com Website http://thptthuanthanh1.bacninh.edu.vn 22 C 2 2 22 22 Vy mt nguyờn hm cn tỡm l: 2 a MN SM MN a AD SA 2a a 2a 4a Suy MN = ; BM = 3 Din tớch hỡnh thang BCMN l : M A 10 3a3 Gi V l th tớch chúp S.BCNM ta cú V = SH.S BCNM = 27 N C Ht Website http://thptthuanthanh1.bacninh.edu.vn www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Xột vộc t u 2012a ; 2013b ; 2014c , v 2012b ; 2013c ; 2014a , w 2012c ; 2013a ; 2014b 4a 2a 2a 10 a2 BC MN SBCMN = BM 2 3 H AH BM Ta cú SH BM v BC (SAB) BC SH Vy SH ( BCNM) SH l ng cao ca chúp S.BCNM AB AM Trong tam giỏc SBA ta cú SB = 2a , = SB MS 30 SH = SB.sin30 = a Vy BM l phõn giỏc ca gúc SBA SBH B Do ( BCM)// AD nờn mt phng ny ct mp( SAD) theo giao tuyn MN // AD BC AB Ta cú : BC BM BC SA T giỏc BCMN l hỡnh thang vuụng cú BM S l ng cao Ta cú SA = AB tan60 = a , 1 cosx 1 F(x)= ln ln cosx cosx C= ln Mt khỏc F ( ) ln dt dt dt t 1 2 ln C t ( t 1) t t t t cosx 1 ln C =F(x) cosx cosx Cõu Ni dung IV (1,0) V (1,0) x x 0 -1 + -2 + + + lim ( y x) ng thng y=x l tim cn xiờn ca th hm s x + b Chiu bin thiờn x2 2x y' , x ; y = x = 0, x = ( x 1) Bng bin thiờn: x y' y -5 -4 10 D x=2, yCT=3 P N V BIU IM Cõu Ni dung x2 x 1 m=1, y x , TX: D=R\{1} x x S bin thiờn a Gii hn, tim cn lim y ; lim y ng thng x=1 l tim cn ng ca th hm s I.1 (1,0) -10 Hm s ng bin trờn cỏc khong (-;0) v (2; +) Hm s nghch bin trờn cỏc khong (0;1) v (1;2) Hm s t cc i ti x=0, yC=-1; Hm s t cc tiu ti th + Giao Ox: y=0 vụ nghim |+ Giao Oy : x=0 y=-1 Nhn xột: th nhn im I(1; 1) lm tõm i xng x m 2m 2m x m2 y l tim cn xiờn vi iu m m2 m (mx 1) m m x mx m mx x 2m 2m y ; y' mx (mx 1) Mt khỏc y I.2 kin 2m 2m v m (1,0) mx x m2 2m =0 co nghiem phan biet m2 YCBT m m=1 m 2m3 2m iu kin sinx x k (*) Vi iu kin (*), phng trỡnh cos x s inx 2cos4x 2cos2x.sinx II.1 (1,0) www.MATHVN.com im 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 im 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Cs3A TRNGTHCS&THPTNGUYNKHUYN TPHCM Thigian:150phỳt KIMTRANHKèLN1 MụnToỏn. GV:MTH Cõu1 (2im)Chohm s y = x + (3m + 1) x2 -3 (vi mltham s) 1.Khosỏtsbin thiờnvvth cahm skhi m=ư1. 2.Tỡm ttccỏcgiỏtr camth hm scúbaim cctr tothnhmttamgiỏc cõnsaochodi cnh ỏy bng ln di cnhbờn. x- Cõu2 (2im)Chohms y= cúth ( C). x -2 1)Vitphngtrỡnhtiptuyn D vith ( C)saocho D cttrchonhti A m OA =6 2)VitphngtrỡnhtiptuyntiimMthuc(C)bittiptuynúcttimcnng ã vtimcnnganglnlttiA,Bsaochocụsingúc ABI bng ,viIlgiao2 17 ) ( x + 1)+ 4x x + Ê x x - x +5. timcn Cõu3.(3im) 3sin x+ 2s inx - 1)Giiphngtrỡnh: + - 2sin x =0. c otx ( 2)Giibtphngtrỡnh: + x - x + AA ( ABC ) )=60 Tớnh V (ã AÂ.ABC v d ( G( AÂBC ) ) ) ( ) 2xy ỡ 2 ù x + y + x + y = 3)Giihphngtrỡnh: ù ợ x + y = x - y Cõu4 (2im) ã=600 ,hỡnhchiuvuụng 1)Chohỡnhlngtr ABC AÂBÂC  ,vi AB = a , BC = 2a , ABC gúcca A lờnmtphng ( ABC) trựngvitrngtõm G ca DABC ( 2)Trongmtphng Oxy ,cho DABC vi A , B -5 - M limnmtrờn onthng BC saocho MC =2MB Tỡmtaim C bit MA = AC =9 vng thng BC cúhsgúclmtsnguyờn. Cõu5.(1im) b c a b c 2012 Cho hai s a > 0, b >0thamón ( a + 2b ) + 3a b = ( a + b )( a +2b ). Tỡm giỏ tr www.DeThiThuDaiHoc.com Website http://thptthuanthanh1.bacninh.edu.vn nhnhtcabiuthc: 2 2ựộ 2 ự ộ a + b3 8b3 ở( a + b ) + 2a + 5b ỷ ở( a - b ) + 2a + 5b ỷ + + b3 a ab ( a +2b ) A= Cõu Ni dung Ta cú M 2012 a 2013b 2014c 2012b 2013c 2014a 2012c 2013a 2014b u vw a a b c a b c a b c 2012 2012 2012 2013 2013 2013 2014 2014 2014 2014 Mt khỏc: 2012 2012 2012 33 2012 a b c a b c 2013 2013 2013 33 2013 2013 a b c a b c 2014 2014 2014 33 2014 M 6039 , du = a=b=c=1 k VI.1 Gi I(2t-1;t)(d) , H l hỡnh chiu ca I trờn d ú H l trung im ca BC (1,0) HC=HB=1 d ( I ; d ') IH IC HC IA2 2t t (2t )2 (t 1)2 (t 2) 2(5t 2t ) 12 (1)2 9t2-4=0 t Vy cú hai tõm ng trũn tha l: I ; , I ; 3 3 Gi M(5-t;t;2-2t)(d), ú: MA (t 4; t ; 2t 3), MB (t 3;1 t ; 2t 4), MC (t 4; t ; 2t 1) MA MB MC (3t 5;5 3t ; 6t 8) 2 VI.2 P= | MA MB MC | 3t (5 3t ) 6t (1,0) = 54t 156t 114 f (t ) , f(t) l Parabol quay b lừm lờn trờn 32 13 13 M ; ; 9 12 12 x (1)12 k C12k x x x k Pmin f(t)min t= 12 VII Ta cú: x (1,0) x www.MATHVN.com im 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 ti A v BC = ( x0 -2)2 ( x - x0 ) + x0 - 2 x0 - (0,25im) ổ -3m- ( 3m+ 1) ổ -3m - AB 9.4 ỗ + ữ = 4ỗỗ 16 ố ứ ố ữ m = - ( ữ ứ PN Cõu1. 1)(1im)HcsinhTlm ộ x= 2) y  = x3 + ( 3m + 1)x= (0,25im) x = - 3m+ hmscú3cctr m < - (0,25im) Tacỏcimcctr ổ -3m - ( 3m + 1) ổ -3m- ( 3m+ 1) A ( -3 ) , B ỗ - 3ữ , C ỗ - 3ữ (0,25im) ỗ ữ ỗ ữ 4 ố ứ ố ứ DABC cõn 0,25im) Cõu2. ổ 2x - 1)Gi M ỗ x ; ữ ẻ (C ) , x0 ạ2 x0 - ứ ố Phngtrỡnhtiptuyn D tiM: y = Vi A = ( D ) ầ x ị A ( x02 - x0 +6 0) (0,25im) k i 0 i 12 12 k 12 k k i k i i x ( 1) C12Ck x x k i k i Website http://thptthuanthanh1.bacninh.edu.vn www.DeThiThuDaiHoc.com ộ x0 = (0,25im) M OA = x0 - x0 + = ởx0 = 3 ộ ( D ) :y = - x+ (0,25im) Vyphngtỡnhtiptuyncntỡm: ờ ờ( D ): y = - x + ổ 2x - 2) I(22).Gi M ỗ x ; ữ ẻ (C ) , x0 ạ2 x -2 ố ứ 2x - Phngtrỡnhtiptuyn D tiM: (0,25 ( x - x0 ) + y=x0 - ( x0 -2)2 im) ổ 2x - (0,25im) Giaoimca Dvicỏctimcn: A ỗ 2; ữ , B(2 x -2;2) ố x - ứ ã IA ã IB = 16.IA2 ( x0 - 2)4 =16 ( 0, 25 Do cos ABI = nờn tan ABI = = IB 17 im) Cõu Ni dung 12 k k ( 1)12 k C12k Cki x 12 k i (1)12 k C12k Cki x k 5i Ta chn: i, k N, i k 12; 4k 5i = i = 0, k = 2; i = , k = 7; i = 8, k= 12 Ghi chỳ: Cỏc cỏch gii khỏc ỳng cho im tng ng Vy h s cn tỡm l: C12 C2 C12 C7 C12 C12 27159 www.MATHVN.com 0.25 im 0.25 0.25 97 lim f ( t ) = +Ơ, f ( 3)= tđ+Ơ Bngbinthiờn Davobngbinthiờn,tac 97 A = f ( t )= ,khi a = b = c =1 [3+Ơ ) (0,25im) ộx = ởx = Ktlun: (0,25im) ổ 3ử Ti M ỗ 0; ữ phngtrỡnhtiptuyn: y = - x + ố ứ ổ 5ử Ti M ỗ 4; ữ phngtrỡnhtiptuyn: y = - x + ố ứ Cõu3. 1)Tacú:K: sin x ạ0 (0,25im) s inx ( 3sin x+ s inx - 3) Pt + - sin x= cosx 3sin x + 2s in x - 3s inx + 3cos x - 2sin x.cos x =0(0,25im) 3s inx ( sin x - 1)+ 2sin x (1 - s inx.cos x )+ 3cos x = 3cos x ( s inx.cos x - 1) = sin x (1 - s inx.cosx ) ( ) x ( 3x + x- 1) x + + x - x +5 Ê (0,25im) 2p ( k ẻZ )(0,25m) ộs inx.cos x= (0,25im) ( cos x.s inx - 1) 3cos x + 2sin x = ở2cos x - 3cos x - = ộsin x = 2( PTVN) 2p ộcos x= x= + k 2p ( k ẻ Z) ờờ ờcosx = ởở ) Soviiukin,tacnghimcaphngtrỡnh: x = 2)Tacú: ( Pt + x - x + ( x+ 1) + ộ ự x ( x- 1) ( x + 1) + x - x+ + ỳ Ê (0,25im) x + + x - x + 5ỷ ( x + 1) ộ x + + x - x + + ( x + 1)( x - x + )+ x - x + 5ự Ê ( 0,25 ỳ ởờ ỷ im) x + Ê x Ê -1 (0,25im) ỡ x + y> 3)Tacú:iukin: ợx - y > Hpt ( x + y ) ộ( x + y ) - 1ự - xy ộ( x + y )- 1ự = (0,25im) ỷ ỷ ộ x + y= (0,25im) ( x + y - 1) ộở( x + y )( x + y - 1) - xyựỷ = 2 ởx + y + x + y = 0( PTVN ) TRNG THPT TRIU SN T TON TIN chớnh thc KHO ST CHT LNG THI I HC NM HC: 2013 - 2014 MễN: TON KHI A , A1- B - D Thi gian lm bi: 180 phỳt khụng k thi gian phỏt ( x, y R ) I PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7,0 im): x (C) Cõu (2 im) Cho hm s: y = 2( x + 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s Tỡm nhng im M trờn (C) cho tip tuyn vi (C) ti M to vi hai trc ta mt tam giỏc cú trng tõm nm trờn ng thng 4x + y = Cõu (1 im).Gii phng trỡnh: 2cos 2 x 2cos x + 4sin x + cos x = + sin x cos x y + y + x x = x Cõu (1 im).Gii h phng trỡnh: y + y = x 4x 10 Cõu (1 im) Gii bt phng trỡnh: x + x+ xR x x Cõu (1 im) Cho hỡnh chúp S ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A, AC = BC = 2a Mt phng ( SAC ) to vi mt phng ( ABC ) mt gúc 600 Hỡnh chiu ca S lờn mt phng ( ABC ) l trung im H ca cnh BC Tớnh th tớch chúp S ABC v khong cỏch gia hai ng thng AH v SB Cõu (1 im) Cho x, y, z tho x + y + z > 0.Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc x3 + y + 16 z P= (x + y + z) II PHN RIấNG (3,0 im) : Thớ sinh ch c lm mt hai phn (phn A hoc B) A Theo chng trỡnh Chun Cõu 7.a (1 im) Trong mt phng vi h ta Oxy cho tam giỏc ABC vuụng ti A , bit B v C i xng qua gc ta ng phõn giỏc gúc B ca tam giỏc ABC l ng thng ( d ) : x + y = Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc, bit ng thng AC i qua im K ( 6; ) n n c +c n + + cn + cn = 255 n Cõu 8.a (1 im) Trong khụng gian Oxyz cho tam giác ABC có: A ( 2;3;1) , B ( 1; 2; ) , C (1;1; ) Viết phơng trình đờng thẳng ( d) qua trực tâm H tam giác ABC vuông góc với mặt phẳng ( P): x - 3y + 2z + = Cõu 9.a(1 im) Cho n l s nguyờn dng tha n Hóy tỡm s hng cha x14 khai trin nh thc Niu tn P(x) = (1 + x + x ) B Theo chng trỡnh Nõng cao Cõu 7.b (1 im) Trong mt phng vi h trc ta Oxy cho tam giỏc ABC cú nh A ( 2; ) , chõn = 2a 51 51 (0,25im) ng phõn giỏc k t nh A l im D 2; v tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC l im I ;1 Vit phng trỡnh ng thng cha cnh BC Cõu8.b(1im).Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho bn im A(0;0;1) , B(1;2;1) , C (2;1;1) , D(3;3;3) Tỡm ta im M thuc ng thng AB v im N thuc trc honh cho ng thng MN vuụng gúc vi ng thng CD v di MN = log ( y x + 8) = Cõu 9.b (1 im) Gii h phng trỡnh: x + x y = 2.3 x + y AA lờnmtphng ( ABC)Gi M ltrungimca BC ộ x = ị y= Vi x + y =1 thayvopt ( 2) ,tac: x + x- = (0,25im) ởx = -2 ị y = Vynghimcahphngtrỡnh: (10 ) , ( -23 ) Cõu4 1)(HStvhỡnh) Tacú: AÂG ^ ( ABC )ị AÂG lngcaohỡnhchúp AÂ.ABC v AG lhỡnhchiuca AÂG.GI 2a 2a ã Khiú: AG = AI = AÂAG =60 ị AÂG = AG.tan 600 = (0,25im) 3 Trong DABC cú AC = AB + BC - AB.BC cos600 = 3a ị AC =a Licú: AB + AC = 4a = BC ị DABC vuụngti A a3 Doú: VAÂ.ABC = S DABC.AÂG = (0,25im) 3 ỡ AK ^ BC GI MG 1 AB AC a Dng: = = ị GI = AK = = ị GI PAK ị AK MA 3 3.BC ợGI ^ BC K GH ^ AÂI ỡ BC ^ GI Vi ị BC ^ GH ị GH ^ ( AÂBC ) ị d ởộG( AÂBC )ỷự = GH(0,25im) ợBC ^ AÂG Trong DAÂGI vuụngti G,vi GH = AÂG +GI Cõu5:Chohais a > 0, b >0thamón ( a + 2b ) + 3a b = ( a + b )( a +2b ).Tỡm + 2b ) + 3a b = ( a + b )( a + 2b ) 4ab ( a +2b ) A= giỏtrnhnhtcabiuthc 2 2ựộ 2 ự ộ a + b3 8b3 ở( a + b ) + 2a + 5b ỷ ở( a - b ) + 2a + 5b ỷ + + b3 a ab ( a +2b ) Tacú (a a 2b ổ a 2b ổ a 2b ị ỗ + ữ + 4ỗ + ữ + 3.(0,25) ốb a ứ ố b a ứ b a 4 ổ a 2b ổ a 2b ổ a 2b ổ a 2b ổ a 2bử A= ỗ + ữ - ỗ + ữ + ỗ + ữ +1 = ỗ + ữ + 3ỗ + ữ + ốb a ứ ố b a ứ ố b a ứ a + 2b ốb a ứ ố b a ứ a + 2b b a b a hms f ( t ) = t + 3t - + 1, tẻ [ 3+Ơ ) t 3t + 3t2 + +3 = > 0, "tẻ ( 3+Ơ).(0,5im) t2 t f  ( t ) = 3t + 1 ( x > x > K: 10 x>0 x+ 20 x x + 10 x Vi iu kin trờn, K ( x 1)2 + (*) B I -1 O x KHO ST CHT LNG THI I HC L1 NM HC: 2013 - 2014 x0 ) (C ) l im cn tỡm 2( x + 1) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0,5 0,25 0,25 1.0 DeThiThuDaiHoc.com t x x + 10 x x + ( x 1) luụn ỳng S H a M Vy nghim bt phng trỡnh l C A x ( 0; + ) t Bpt tr thnh 2t t 15 t ( (*) ) t t t = x x + 10 = (bpt) x x + x x + 10 x x + 10 15 x x + 10 ) Xột hm s f (t ) = 2t + t , ta cú f , (t ) = 6t + > 0t R f (t ) ng bin trờn R y Vy (1) f ( y ) = f ( x ) y = x y = x x Th vo (2) ta c : x x = x = x 2x + x (2 x ) = x + x = 1( x x 0) 2x + x x = Suy nghim ca h l (x; y) =(1; 0) Gii bt phng trỡnh y + y = 2(1 x) x + x y + y + x x = x (1) Gii h phng trỡnh: y + y = x(2) iu kin: x Vi iu kin ú, ta cú (1) y + y = x x x + x www.MATHVN.com Toỏn hc Vit Nam N ABC vuụng ti A cú BC = 2a; AC = a; B = 30 ; C = 60 ; Gi N l trung im ca AC Vỡ + MễN: TON Thi gian lm bi: 180 phỳt Hng dn chm > , vi x D ( x + 1) x y, y 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 im DeThiThuDaiHoc.com AC AB AC HN ; AC SH AC ( SHN ) SNH = 60 www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Toỏn hc Vit Nam TRNG THPT TRIU SN HNG DN CHM chớnh thc www.DeThiThuDaiHoc.com y= Bng bin thiờn: Gi M( x0 ; th: i qua cỏc im (0; ) ; (-2; ) 2 Nhn giao im ca hai tim cn I(-1; ) lm tõm yi xng + hm s ng bin trờn mi khong : ( ; 1) v ( 1; + ) Cc tr: hm s khụng cú cc tr Gii hn, tim cn : 1 lim y = , lim y = ; Lim+ y = , Lim y = + x + x ( 1) x x( 1) l tim cn ngang; x = l tim cn ng Chiu bin thiờn: y , = TX: D = R\ {1} I PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7,0 im): Cõu í 1 www.DeThiThuDaiHoc.com z , t ); a H ( x; y; z ) ( x + y) ca tam = + 64 z a3 (a z) = (1 t ) + 64t b = v ch 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 DeThiThuDaiHoc.com a a 3a a2 ; SH = ; mt khỏc S ABC = 2 + 64 z (chng minh bng cỏch bin i tng ng) a3 ( x + y) Xột hm s f(t) = (1 t)3 + 64t3 vi t [ 0;1] Cú 64 16 GTNN ca P l t c 81 81 l trc tõm Vi b = B( 5;5), C (5; 5) A Gọi giỏc ABC Vi b = B(3;1), C ( 3; 1) A(3;1) B loi 31 17 31 17 ; Vy A ; ; B(5;5);C(5; 5) 5 5 b = ( 2b 3)(11 2b ) + ( b )( + b ) = 5b + 30b 25 = CK = (11 2b; + b ) Tam giỏc ABC vuụng ti A nờn BI = ( 2b 3; b ) vuụng gúc vi Gi I i xng vi O qua phõn giỏc gúc B l ( d ) : x + y = I (2;4) v I AB B ( d ) : x + y = nờn gi B ( 2b; b ) , vỡ B, C i xng vi qua O suy C (2b 5; b) v O(0;0) BC t[ 0;1] Lp bng bin thiờn Minf ( t ) = f '(t ) = 64t (1 t ) , f '(t ) = t = [ 0;1] (vi t = t x + y + z = a Khi ú P Trc ht ta cú: x3 + y 1 3a Trong tam giỏc SHM ta cú = + HK = HK HM HS Tam giỏc ACH u nờn HBM = AHC = 60 HM = HB sin 60 = HK = d ( HA; SB ) Gi M l hỡnh chiu ca H lờn a v K l hỡnh chiu ca H trờn SM ú a3 VS ABCD = S ABC SH = (vtt ) K a // AH (a i qua B) HA // ( SB, a ) Trong tam giỏc SNH HN = www.MATHVN.com Toỏn hc Vit Nam 1 x = y = 4z > A.Theo chng trỡnh Chun 7.a 8.a www.DeThiThuDaiHoc.com 1 : y = f ' ( x0 )( x x0 ) + (vỡ A, B O nờn x02 x0 ) 3 2 x02 x0 x02 x0 + =0 6( x0 + 1) x x0 Gi A = ox A( ;0) x02 x0 ) Khi ú to vi hai trc ta OAB cú trng 2( x0 + 1) B = oy B(0; x x0 x02 x0 ; tõm l: G 6( x0 + 1) ( x0 + 1) Do G ng thng:4x + y = 4= 1 x0 + = x0 = x +1 = x = 0 2 Vi x0 = M ( ; ) ; vi x0 = M ( ; ) ( PT ) cos 2 x cos x + sin x + cos x = sin 3x cos 3x cos x cos x + sin x = sin 3x cos 3x ( ) cos x cos x + 2sin x = sin x cos x 2sin x sin x + 4sin x cos 3x = sin x cos x 2sin x sin x 2cos3x + cos x = 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 www.MATHVN.com Toỏn hc Vit Nam DeThiThuDaiHoc.com Gi tip tuyn vi (C) ti M ta cú phng trỡnh x0 x 1 ( x x0 ) + y= 2( x0 + 1) 2( x0 + 1) ( x0 + 1) k k + k ; x = + ;x = (k Z ) 12 24 sin 3x = sin x + cos x = cos 3x * sin x = x = k ( k Z ) *sin x + cos x = 2cos x cos x = cos3 x x = 12 + k (k Z ) x = + k 24 Vy nghim ca phng trỡnh l x = www.DeThiThuDaiHoc.com CHNH THC TRNG H NI AMSTERDAM THI TH I HC LN I NM 2014 Mụn: TON ; Khi A, A1, B v D Thi gian : 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt I PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (8 im) Cõu (2,0 im) Cho hm s y x x a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho b) Tỡm trờn ng thng y x nhng im m qua ú k c ba tip tuyn n th (C) ca hm s Cõu (2,0 im) sin x cos x 4cos x.sin x a) Gii phng trỡnh: 2sin x 1 b) Gii phng trỡnh: log2 x log x log 2 x x 2 2 x x y y Cõu (1,5 im) Gii h phng trỡnh: 3 12 y 10 y x Cõu (1,5 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi tõm O, cnh a, BD a Trờn cnh AB ly im M cho BM AM Bit rng hai mt phng (SAC) v (SDM) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABCD) v mt bờn (SAB) to vi mt ỏy mt gúc 600 Tớnh th tớch ca chúp S.ABCD theo a v cosin ca gúc to bi hai ng thng OM v SA Cõu (1,0 im) Cho cỏc s thc dng a, b, c tha món: a b c Tỡm giỏ tr 1 nh nht ca biu thc: P 3( a b c ) a b c II PHN RIấNG (2,0 im) A Dnh cho thớ sinh thi A, A1 n Cõu 6a (1,0 im) Cho P( x) ( x x ) Xỏc nh s hng khụng ph thuc vo x x khai trin P( x) bit n l s nguyờn dng tha Cn3 2n An21 Cõu 7a (1,0 im) Trong mt phng ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú nh A(1;5) Tõm ng trũn ni tip v ngoi tip ca tam giỏc ln lt l I 2;2 v K ;3 Tỡm ta cỏc nh B v C ca tam giỏc A Dnh cho thớ sinh thi B, D Cõu 6b (1,0 im) Cho hp A tt c cỏc s t nhiờn cú nm ch s m cỏc ch s u khỏc Hi cú th ly c bao s t nhiờn t A m s ú ch cú mt ba ch s khỏc Cõu 7b (1,0 im) Trong mt phng ta Oxy, cho hai im A(0;2), B 0; v hai ng thng d1 : x y 0, d : x y Hóy vit phng trỡnh ng thng d i qua gc ta v ct d1 , d ln lt ti M, N cho AM song song vi BN - HT - k=0 k 8 k k = 0.25 0.25 0,5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 DeThiThuDaiHoc.com Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn + Cnn = (1 + 1) n = 2n Do (d) vuụng gúc vi mp(p) nờn (d) nhn u (1; -3; 2) lm vộc t ch phng 29 x y z+ 15 = 15 = 3 Vi n nguyờn dng ta cú: Ta cú Phng trỡnh ng thng (d) l: 29 H( ; ; ) 15 15 x = 15 BH AC = ( x + 1) + ( y ) + 3z = 29 CH AB = ( x 1) + ( y 1) + ( z + ) = y = 15 AH AB, AC = ( x ) ( y 3) + ( z 1) = z = www.MATHVN.com Toỏn hc Vit Nam BH AC , CH AB, H ( ABC ) Cn1 + Cn1 + + Cnn = 2n k C (3x + x) Theo gi thit ta cú 2n = 255 2n = 256 = 28 n = 8 P(x) = (1 + x + 3x2)8 = E ( 2; ) IA = IE ( t 1) + = + + 52 ( t 1) = 52 t = 6; t = Do o ta c 9.a = C8k Ckm (3x2 )k m xm = C8kCkm3k m.x2k m k =0 m=0 k=0 m=0 2k m = 14 m = m = m k YCBT k = k = m, k Z Vy s hng cha x14 l: ( C87 C70 37 + C88C82 36 )x14 B Theo chng trỡnh Nõng cao Gi E l giao im th hai ca AD vi ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Ta cú phng trỡnh ng thng AD: x = Do E thuc ng thng AD nờn E ( 2; t ) Mt khỏc I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC nờn 7.b Do AD l phõn giỏc nờn E l im chớnh gia cung BC suy IE vuụng gúc vi BC hay BC nhn EI = (1; ) l vect phỏp tuyn Do ú pt ca BC l: BC :1 ( x ) y + = x y = Vy BC : x y = www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com 2 ỏp ỏn Vy cỏc im M cn tỡm cú ta (m; 9m 7) vi m < hoc a) iu kin: sin x Vi iu kin trờn, phng trỡnh ó cho tng ng: sin x cos x 4cos x.sin x sin x cos x sin x cos x sin x cos x 3sin 2 x sin x.cos x cos 2 x sin x sin x.cos x 2cos x cos x sin x cos x sin x cos x 2(*) M sin x cos2 x sin x cos2 x 2 (*) sin x cos x sin(2 x ) x k k , k Vy nghim ca phng trỡnh l: x www.DeThiThuDaiHoc.com AM = ( m1; m2 ; m3 + 1) , AB = (1; 2; ) Gi M ( m1; m2 ; m3 ) l im thuc ( AB ) ú AM , AB cựng phng AM , AB cựng phng m1 = t t R : AM = t AB m2 = 2t M ( t ; 2t ; + 2t ) m3 = + 2t Gi N ( n;0;0 ) ( Ox ) NM = ( t n; 2t ; 2t 1) , CD = (1; 2; ) y = 2x x 3x x 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 im MN vuụng gúc CD nờn NM CD = t n + 4t 4t + = t = n (1) ( 2) MN = MN = ( t ( t ) ) + 4t + ( 2t 1) = t = 8t 4t + = 8t 4t = t = x ; (PT 1) y 2x + = n = M ;1;0 , N ;0;0 2 Vi t = n = M (1; 2;1) , N ( 1;0;0 ) Vi t = K: y-2x +8 > Th vo pt th hai ta c: 18 2 x + x.32 x = 2.33 x x + 18 x = 2.27 x + = + = 27 27 3 x 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 DeThiThuDaiHoc.com x x (5 3m) x m Do ú iu kin ca m l: m 9m 42m 15 3m 8(5 9m) m m 2.1 (5 3m).1 9m m 1 m x x (3 x x)( x m) 9m x x k Qua M k c ba tip tuyn n (C) h trờn cú ba nghim phõn bit hay phng trỡnh sau cú ba nghim phõn bit: x3 x 3mx mx 9m b) Gi M (m; 9m 7) l im bt kỡ nm trờn ng thng y = 9x Vỡ mi ng thng cú dng x = m khụng l tip tuyn ca th (C) nờn ta xột d l ng thng i qua M v cú dng: y = k(x m) + 9m ng thng d l tip tuyn ca (C) v ch h sau cú nghim: x x k ( x m) 9m x x k a) Hc sinh t gii P N THANG IM THI TH I HC LN TH I NM 2014 Mụn: TON TRNG H NI AMSTERDAM T TON TIN Cõu Cõu (2,0 im) Cõu (2,0 im) 1 www.MATHVN.com Toỏn hc Vit Nam 8.b 9.b t: t = , (k t > ) , ta cú pt: t + t = ( t 1) ( t + t + ) = x = t =1 Vy nghim ca phng trỡnh l (0; 0) y = Chỳ ý :- Hc sinh lm cỏch khỏc ỏp ỏn m ỳng thỡ cho im ti a - Cõu hỡnh hc khụng gian hc sinh khụng v hỡnh hoc v hỡnh sai c bn thỡ khụng cho im www.DeThiThuDaiHoc.com Cõu 6b (1,0 im) Cõu 7b (1,0 im) www.MATHVN.com 2 x x D ; Gii ta c hai nghim v 2 y y ICB BCD C A ICA IAC CID ICD cõn ti Li cú ICD 2 D DC DI m DC DB B, C l nghim ca h x y DI 2 x y x 25 x y Vy B, C cú ta l 1;1 , 4;1 S cỏch chn ch s phõn bit a, b, c t ch s thp phõn khỏc l C93 Chn ch s cũn li t ch s ú, cú trng hp sau õy: Trng hp C ch s cũn li cựng bng ch s a, b, c: cú cỏch; mi hoỏn v t 5! hoỏn v ca ch s (chng hn) a, a, a, b, c to mt s t nhiờn n; nhng c 3! hoỏn v ca cỏc v trớ m a, a, a chim ch thỡ ch to cựng 5! mt s n, nờn trng hp ny cú c thy 60 s t nhiờn 3! Trng hp Mt ch s cũn li bng ch s a, b, c v ch s bng ch s khỏc ch s ú: cú cỏch; mi hoỏn v t 5! hoỏn v ca ch s (chng hn) a, a, b, b, c to mt s t nhiờn n; nhng c 2! hoỏn v ca cỏc v trớ m a, a chim ch v 2! hoỏn v ca cỏc v trớ m b, b chim ch thỡ ch 5! to cựng mt s n, nờn trng hp ny cú c thy 90 s t nhiờn 2!2! 9! Vy: (60 90)C93 150 150 12600 s tha iu kin bi 3!6! Gi s M d1 M t; t , N d N s; s Nu t M (0; 1) AM Oy (loi) Do O, M, N thng hng v AM // BN nờn: s s t t t 3st s 2t OM kON t s Vy 15st 15s 6t s 2s s AM l BN t t M 2;1 , N ; 5 x2 4x x * 16 x 4x t t t x 2 x 3 x vi y g (t ) t 2t ( x 1)3 2( x 1) x3 x3 x x x3 x3 Gi H AC DM vỡ SAC ABCD , SDM ABCD SH ABCD x y x y Vy nghim ca h phng trỡnh ó cho l: 1; , 0; 3x 3x x x3 g x g Ta cú g '(t ) 3t 0, t g t l hm s ng bin trờn R T ú: g x g Th x y vo phng trỡnh sau ca h phng trỡnh ó cho ta c: t t t t2 t Ta cú f '(t ) 0, t f t l hm s ng t2 t2 t2 bin trờn R T ú f x f y x y f x f y vi y f (t ) t t x x (2 y) (2 y ) Phng trỡnh u tiờn ca h tng ng vi: Vy nghim ca phng trỡnh ó cho l: x t t (4 x)2 4x Chia hai v ca (*) cho x ta c: (1 x ) x b) iu kin x Phng trỡnh ó cho tng ng vi: 2x x x2 x www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Chỳ ý Nu hc sinh cú cỏch gii khỏc m kt qu ỳng tớnh im ti a Cõu (1,5 im) Cõu (1,5 im) 60o l gúc gia hai mt phng SAB T H k HK AB SK AB SKH v ABCD HA AM 1 AO Do AM // CD AH AC HC CD M ABD u , AO l ng cao a a a HK AH sin HAK 4 AH 3a www.DeThiThuDaiHoc.com SH HK tan 60o 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 0,75 0,75 0,75 TRNG THPT CHUYấN QUC HC HU T Toỏn cot x = THI TH I HC LN Mụn: TON; B Nm hc: 2013 - 2014 Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) - I PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im) Cõu (2,0 im) Cho hm s y = x3 3x + a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho b) Gi d l ng thng i qua A ( 2;4 ) v cú h s gúc l k Tỡm k d ct (C) ti ba im phõn bit A, B, C cho tam giỏc OBC cõn ti O (vi O l gc ta ) cos x ( x ằ) sin x cos x Cõu (1,0 im) Gii phng trỡnh: log x +7 ( 2 ) Tỡm cỏc s thc x bit rng s hng cha a3 khai log5 3x1 +1 v b = x y = x + y Cõu (1,0 im) Gii h phng trỡnh: ( x; y ằ ) 13 x 41xy + 21 y = Cõu (1,0 im) Tớnh cỏc gii hn sau: a) lim ( x + ) sin x + x x 3 x b) lim x x Cõu (1,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A; AB = AC = a Gi M l trung im ca cnh AB, hỡnh chiu vuụng gúc ca nh S lờn mt phng (ABC) trựng vi im O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc BMC Gúc gia ng thng SB v mt phng (ABC) bng 60o Tớnh theo a th tớch chúp S.ABC v khong cỏch t im C n mt phng (SAB) Cõu (1,0 im) Cho x ; y ; z l cỏc s thc dng thay i cho x + y + z = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: F = x + y + z + xyz II PHN RIấNG (3,0 im): Thớ sinh ch c lm mt hai phn ( phn A hoc phn B) A Theo chng trỡnh Chun Cõu 7a (1,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh thoi ABCD Cỏc nh B v D ln lt thuc cỏc ng thng d1 : x + y = v d2 : x y + = ng thng AC cú phng trỡnh l x + y 31 = Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh thoi ABCD bit din tớch hỡnh thoi ABCD bng 75 v im A cú honh õm Cõu 8a (1,0 im) Cho a = 5 trin Niu-tn ca ( a + b ) l 224 Cõu 9a (1,0 im) Tỡm cỏc s thc m bt phng trỡnh x x + m.2 x x +1 + m nghim ỳng vi mi x [0;2 ] A Theo chng trỡnh Nõng cao Cõu 7b (1,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú C ( 4;3) ; ng phõn giỏc v www.MATHVN.com 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 ng trung tuyn k t nh A ca tam giỏc ln lt cú phng trỡnh l x + y = v x + 13 y 10 = Vit phng trỡnh cỏc ng thng cha cỏc cnh ca tam giỏc ABC 2012 2013 + 2 C2013 + + 2012 C2013 + 20132 C2013 = 2013 ì 2014 ì 2011 Cõu 8b (1,0 im) Chng minh rng: 12 C2013 -HT - Cõu 9b (1,0 im) Tỡm cỏc s thc m phng trỡnh m x + = x + m cú ỳng mt nghim thc 5 Phng trỡnh ng trũn ngoi tip ABC tõm K ;3 bỏn kớnh R AK : 2 Vy C83C32 C84 C40 98 1 f x x x C80 C81 x C82 x C88 x x x x x x S hng khụng ph thuc vo x ch cú hai biu thc C83 x v x C84 x Trong ú cú hai s hng khụng ph thuc x l C83C32 v C84 C40 Ta cú b2 c2 Tng t 3b ; 3c b 2 c 2 27 1 1 15 Vy a b c a b c a b c Du " " xy a b c n N , n n Ta cú Cn3 n An21 n n n n n n Ta chng minh 3a a a a 3 a2 4 a2 12 Vy cos OM , SA a 13 a 21 273 a2 vi a 2 a a 6a 9a a a (ỳng) 1 3a a a 3 Vy V SH S S ABCD ABCD 3 16 OM SA Ta cú cos OM ; SA OM SA M OM SA OA AM SH HA AO AH AM AH AO AM AH cos 30o Thớ sinh khụng c s dng ti liu Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: Cõu (1,0 im) Cõu 6a (1,0 im) Cõu 7a (1,0 im) 25 x y x y 3x y Phõn giỏc AI cú phng trỡnh 2 x y Gi D AI K ta ca D l nghim ca h 25 x y www.DeThiThuDaiHoc.com N C S ) phng (ABC) l gúc SBO = 60o 3a Tam giỏc HAO vuụng cõn ti H nờn HO = HA = AB = 4 Gi N, H ln lt l trung im ca BC v MB Suy AN l trung trc ca BC v trung trc ca MB l ng thng d i qua H v song song vi AC Suy O l giao im ca AN v d Ta cú SO ( ABC ) nờn gúc gia ng thng SB v mt ( www.MATHVN.com 3x 2x = lim x + x 2 ( x ) ( 3x 5) + 3x + ( x ) x + H O 2x = 1+1 = = lim + x 3 x + ( x 5) + x + A M B a 10 a 30 Tam giỏc BHO vuụng ti H nờn BO = BH + HO2 = Ta cú: SO = BO.tan 60o = ; 4 a 30 Do ú: VS ABC = S ABC SO = 24 Vỡ SO ( ABC ) v OH AB nờn SH AB a 39 a 39 v S SAB = AB.SH = 3VS ABC a 130 = S SAB 13 Suy SH = SO2 + OH = d ( C , ( SAB) ) = 2 Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s z l s nh nht Lỳc ú < z < (vỡ z thỡ x + y + z > ) 2 Ta cú F = ( x + y ) + z + xy ( z 1) = ( z ) + z xy (1 z ) - 52 27 + www.DeThiThuDaiHoc.com f(z) f'(z) z x+y 2z 2z Mt khỏc xy = nờn xy (1 z ) (1 z ) T ú F ( z z + ) (1) 1 Xột f ( z ) = ( z z + ) vi < z < Ta cú f ' ( z ) = ( 3z z ) = z = ( 0;1) 2 Bng bin thiờn: x + - Bng bin thiờn: th: x x y' y - - + -2 -1 -1 y - O 0 + + + x ng thng d qua A ( 2;4 ) vi h s gúc k cú phng trỡnh l: y = kx k + - Cc tr: Hm s t cc i ti x = , yCĐ = ; t cc tiu ti x = , yCT = - Gii hn: lim y = + v lim y = Hm s ng bin trờn mi khong ( ; 1) v (1; + ) ; nghch bin trờn khong ) (* ) ( 1;1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 TRNG THPT CHUYấN QUC HC www.MATHVN.com P N TH I HC LN T Toỏn Mụn: TON; B Nm hc: 2013 - 2014 ỏp ỏn im Tp xỏc nh: D = ằ S bin thiờn: 0,25 - Chiu bin thiờn: y ' = 3x ; y ' = x = x = Cõu 1a 1b ( Phng trỡnh honh giao im ca (C) v d: x 3x + = kx 2k + ( x 2) x2 + 2x k + = x = hoc x + x k + = d ct (C) ti im phõn bit v ch (*) cú hai nghim phõn bit khỏc (1 k ) > k > (**) k 9 k O, B, C khụng thng hng O d k (***) x B + x C = Theo nh lý Vi-ột: Ta cú yB yC = ( kx B 2k + ) ( kxC k + ) = k ( x B xC ) x B xC = k v yB + yC = ( kx B 2k + ) + ( kxC k + ) = k ( x B + xC ) k + = k + ( x B + xC )( x B xC ) = ( yC yB )( yC + yB ) ( x B xC ) = k ( x B xC )( k + ) Tam giỏc OBC cõn ti O OB = OC x B2 + yB2 = xC2 + yC2 www.DeThiThuDaiHoc.com 7a 8a 9a 7b 52 T bng bin thiờn suy f ( z ) www.MATHVN.com (2) 27 52 52 T (1) v (2) ta cú F Vy Fmin = t c x = y = z = 27 27 B d1 B ( b;8 b ) v D d2 D ( 2d 3; d ) Suy BD = ( b + 2d 3; d + b 8) b + 2d d b + I l trung im ca BD nờn I ; 2 2 2S AC 15 AC BD AC = = 15 IA = = BD 2 u BD = BD AC 8b 13d + 13 = b = Theo tớnh cht hỡnh thoi: AC I AC b 3d + = d = I AC Vy B ( 0;8 ) , D ( 1;1) , I ; 2 A Ta cú A AC A ( 7a + 31; a ) S ABCD = ) ( ( ) )( ) ( ) )( ( ) = 224 3x 1 x x = 56 + + 4.3x + = < 0, t ;1 , hn na f ( t ) liờn tc trờn on ;1 nờn suy t = f ( t ) vi t 2t + ) 15 63 15 7a + + a = a = hoc a = Suy A (10;3) hoc A ( 11;6 ) Do x < nờn A ( 11;6 ) , t ú C (10;3) Ta cú IA = ( Ta cú a = x + ; b = 3x + ) S hng cha a3 khai trin Niu-tn ca ( a + b ) l: ( ( C85 x + 3x + Theo gi thit, ta cú: 56 x + 3x + 3x = x = x x = = t t = x x Vỡ x nờn t ( 2t + 1) 2t 2t Bt phng trỡnh ó cho tr thnh: t + 2mt + m m Ta cú f ' ( t ) = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 hm s f ( t ) nghch bin trờn on ;1 1 Do ú m f ( t ) , t ;1 m f ( t ) m f (1) m ;1 Gi AD l phõn giỏc v AM l trung tuyn Ta ca A l nghim ca h: x + 2y = x = x + 13y 10 = y = Vy A ( 9; ) T ú phng trỡnh AC l: x + y = www.DeThiThuDaiHoc.com (vỡ x B xCwww.MATHVN.com ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Gi C' l im i xng ca C qua ng phõn giỏc AD thỡ C' thuc AB ng thng CC' qua C ( 4;3) v vuụng gúc vi AD nờn cú phng trỡnh: x y = = k ( k + ) 3k k + = k = hoc k = (tha (**) v (***)) cos x k x iu kin: (k ằ) sin x cos x cos x = Phng trỡnh ó cho tng ng vi: sin x sin x cos x cos x cos x = sin x cos x sin x cos x = sin x sin x ( cos x sin x ) = (khụng tha iu kin) ( k ằ ) (tha iu kin) (k ằ) cos x sin x = (vỡ sin x ) sin x = sin x + sin x = sin x = sin x = x = + k 2 x = + k x = + k sin x = 0,25 0,25 (1) x y = x + y 2 13 x 41xy + 21 y = (2) Nhõn v trỏi (1) vi v phi (2) v v phi (1) vi v trỏi (2), ta c phng trỡnh: ( x y3 ) = ( x + y ) (13 x 41xy + 21y ) 22 x + 11x y 143 xy + 66 y = 0,25 0,25 0,25 0,25 ( x y )( x y )( x + y ) = y = x hoc x = y hoc x = y Thay y = x vo (1), ta c: (1) 15 x + x = x = , lỳc ú y = Th li x = y = khụng phi nghim ca h ó cho Thay x = y vo (1), ta c: (1) 29 y + y = y = , lỳc ú x = Th li x = y = khụng phi nghim ca h ó cho Thay x = y vo (1), ta c: (1) y y = y = hoc y = y = thỡ x = , th li khụng phi nghim ca h ó cho y = thỡ x = , th li tha h ó cho y = thỡ x = , th li tha h ó cho Vy h cú hai nghim l ( x; y ) = ( 2;1) v ( x; y ) = ( 2; 1) x 3 x 3x x = lim x + x x x x 3 sin ( x + ) sin x x lim a/ lim ( x + ) sin = lim = + x + x + x x + x x x x sin x = Suy lim ( x + ) sin = Vỡ lim + = v lim = nờn lim x + x + x x + x + x x x x b/ lim www.DeThiThuDaiHoc.com S bin thiờn: ( x + 1) Tp xỏc nh: D = ằ \ {1} - Chiu bin thiờn: y ' = > 0, x x + - x ( 1) + + O y -1 - + x + lim y = + v lim + y = ; tim cn ng: x = x x ( 1) x y' y -1 2x +1 = x+m x +1 (do x = khụng l nghim ca phng trỡnh) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2012 2012 2013 2013 = C2013 + C2013 x + C2013 x + + C2013 x + C2013 x 2013 2012 2011 2013 2012 + 2 C2013 x + + 2012 C2013 x + 20132 C2013 x ( 2013x + 1) = C2013 - -6 -3 x 2x2 + + =m - + 1 hoc m 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2011 ) 2x2 + cú xỏc nh D = ằ )( ( 36 x ) 2x2 + x Ta cú phng trỡnh ó cho tng ng vi: 2012 2013 Cho x = , ta c 12 C2013 + 2 C2013 + + 2012 C2013 + 20132 C2013 = 2013 ì 2014 ì 2011 (pcm) 2013 (1 + x ) Nhõn v ca vi x, ta c: 2012 2012 2012 2013 2013 2013 x (1 + x ) = C2013 x + 2C2013 x + + 2012C2013 x + 2013C2013 x Ly o hm v, ta c: Ly o hm v, ta c: 2012 2012 2011 2013 2012 = C2013 + 2C2013 x + + 2012C2013 x + 2013C2013 x (1) 2013 (1 + x ) Ta cú (1 + x ) Suy phng trỡnh AB l x + y + = ng thng MH qua H(3;1) v song song vi AB nờn cú phng trỡnh x + y 10 = Vỡ M l giao im ca MH v AM nờn M ( 4;2 ) Suy phng trỡnh BC l x y + 20 = Th li ta thy cỏc im B, C nm v hai phớa ca ng thng AD nờn AD l ng phõn giỏc ca tam giỏc ABC Vy AC : x + y = 0; AB : x + y + = v BC : x y + 20 = Gi H l giao im ca CC' v AD thỡ H(3;1) T ú C ' ( 2; 1) www.MATHVN.com 3m = m = (tha (*) v (**)) Vy vi m = thỡ ng thng y = x + m ct th (C) ti hai im phõn bit A, B cho tam giỏc OAB vuụng ti O www.DeThiThuDaiHoc.com ( m 1) + m (1 m ) + m = Tam giỏc OAB vuụng ti O OA.OB = x1 x2 + m ( x1 + x2 ) + m = ng thng y = x + m ct th (C) ti hai im phõn bit A, B v ch (1) cú hai nghim phõn bit m 6m + > m > hoc m < (*) Ba im O, A, B khụng thng hng m (**) Gi A ( x1 ; y1 ) v B ( x2 ; y2 ) , ú x1 ; x2 l hai nghim ca (1) v y1 = x1 + m; y2 = x2 + m x + ( m 1) x + m = (1) x + = ( x + 1)( x + m ) Phng trỡnh honh giao im: th: - Bng bin thiờn: - Gii hn v tim cn: lim y = lim y = ; tim cn ngang: y = Hm s ng bin trờn mi khong ( ; 1) v ( 1; + ) TRNG THPT CHUYấN QUC HC www.MATHVN.com P N TH I HC LN T Toỏn Mụn: TON; D Nm hc: 2013 - 2014 ỏp ỏn im Cõu 1a 1b 8b 9b Xột hm s f ( x ) = f '( x) = ( 2x2 + 9 + 2x2 + x -1 - 3 1 f ' ( x ) = x = 6; f ( ) = ; f ( ) = v lim f ( x ) = ; lim f ( x ) = x + 4 x Bng bin thiờn: f'(x) f(x) Da vo bng bin thiờn, ta cú: Phng trỡnh ó cho cú ỳng mt nghim v ch m = HT www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25 0,25 iu kin: cos x www.MATHVN.com sin x Phng trỡnh ó cho tng ng vi: + sin x + ( cos x sin x ) = cos x ( cos x + sin x ) sin x + ( cos x sin x )( cos x + sin x ) cos x = ( cos x + sin x ) ( sin x + cos x sin x cos x ) = 0,25 0,25 0,25 0,25 ( cos x + sin x )( sin x ) = (1) Vỡ phng trỡnh sin x = vụ nghim nờn: (1) cos x + sin x = tan x = x = + k ( k ằ ) (tha iu kin) Chỳ ý: Nu thớ sinh khụng ghi k ằ thỡ khụng tr im hoc x + x y = (1) x y + + y = 2x 2 x + x + y = ( x + x ) y (2) iu kin: x y + (Nu thớ sinh khụng t iu kin thỡ khụng tr im) ( ) ( x y ) ( x2 + x y ) = x = y Vi x = , ta c y = (tha iu kin) Vy h phng trỡnh cú mt nghim ( x; y ) = (1;1) 0,25 0,25 0,25 iu kin: < x Phng trỡnh ó cho tng ng vi: log x + log ( x + ) = log3 x 0,25 x2 = T (1) suy x y nờn x + x y = x = y = (khụng tha (1)) x y = x Thay y = x vo (1), ta c: (1) x x + = x x =1 x 2x + = x log x ( x + ) = log x x ( x + ) = x (1) C' Gi D l hỡnh chiu vuụng gúc ca H lờn cnh AB AB DH Ta cú: AB ( A ' HD ) AB A ' H Suy gúc gia hai mt phng (ABC) v (ABB'A') l gúc A ' DH 0,25 0,25 0,25 A' B' C + 33 l nghim ca phng trỡnh ó cho x = x2 + x x + 3x + = 33 Vỡ x ( x + ) > nờn (1) x = x = x = 2 x = x 4x x + 5x = K H B i chiu vi iu kin, ta c x = A D www.DeThiThuDaiHoc.com TRNG THPT CHUYấN QUC HC HU THI TH I HC LN T Toỏn Mụn: TON; D Nm hc: 2013 - 2014 Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) I PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im) 2x +1 Cõu (2,0 im) Cho hm s y = x +1 a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho b) Tỡm m ằ ng thng y = x + m ct th (C) ti hai im phõn bit A, B cho tam giỏc OAB vuụng ti O (vi O l gc ta ) Cõu (1,0 im) Gii phng trỡnh: ( tan x + 1) sin x + cos x = ( x ằ) x y + + y = 2x Cõu (1,0 im) Gii h phng trỡnh: ( x; y ằ ) 2 x + x = ( x + x y ) y Cõu (1,0 im) Gii phng trỡnh: log 27 x3 + log ( x + ) = log ( x ) ( x ằ) Cõu (1,0 im) Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B; AB = a Hỡnh chiu vuụng gúc ca im A' lờn mt phng (ABC) l im H thuc cnh AC cho HC = 2HA Mt bờn (ABB'A') hp vi mt ỏy (ABC) mt gúc bng 60o Tớnh theo a th tớch ca lng tr ABC.A'B'C' v khong cỏch gia hai ng thng AB v CC' Cõu (1,0 im) Cho x v y l hai s thc dng thay i cho x + y = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: x y P= + y2 + x2 + II PHN RIấNG (3,0 im): Thớ sinh ch c lm mt hai phn ( phn A hoc phn B) A Theo chng trỡnh Chun Cõu 7a (1,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy, vit phng trỡnh ng trũn i qua ba im A ( 3; 1) , ) n B ( 1;3) v C ( 2; ) Cõu 8a (1,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD Gi M, N ln lt l trung im ca cỏc cnh AB v CD Bit rng M ; v ng thng BN cú phng trỡnh x + y 34 = Tỡm ta cỏc im A v B bit rng im B cú honh õm ( Cõu 9a (1,0 im) Tỡm s hng khụng cha x khai trin nh thc Niu-tn ca x3 vi x , bit rng x n l s nguyờn dng v Pn ( 4n + ) Pn = Ann A Theo chng trỡnh Nõng cao Cõu 7b (1,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy, vit phng trỡnh chớnh tc ca elip (E) bit rng elip (E) cú hai tiờu im F1 v F2 vi F1 3;0 v cú mt im M thuc elip (E) cho tam giỏc F1MF2 cú din tớch bng -HT - v vuụng ti M Cõu 8b (1,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh thoi ABCD cú AC = 2BD Bit ng thng AC cú phng trỡnh x y = ; nh A ( 3;5) v im B thuc ng thng d : x + y = Tỡm ta cỏc nh B, C, D ca hỡnh thoi ABCD Cõu 9b (1,0 im) Cn chn ngu nhiờn hc sinh mt lp hc cú 15 nam v 10 n tham gia ng din Tớnh xỏc sut cho hc sinh c chn cú c nam ln n v s hc sinh n ớt hn s hc sinh nam Thớ sinh khụng c s dng ti liu Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: 8b 9b 7a x2 y2 Gii h (1) v (2), ta c: a = 4; bwww.MATHVN.com = Vy ( E ) : + =1 0,25 0,25 0,25 0,25 (1) 175t 210t + 35 = t = hoc t = Vi t = , ta c t ' = v I (1;1) Khi ú B ( 1;2 ) , D ( 3;0 ) , C ( 1; 3) 0,25 0,25 Gi I ( t;2t 1) l giao im ca hai ng chộo AC v BD v B ( t ';1 t ' ) Ta cú AI = ( t;6 2t ) , BI = ( t t ';2t + t ' ) 2 2 AI = BI ( t ) + ( 2t ) = ( t t ' ) + ( 2t + t ' ) (1) AB BI t t '+ ( 2t + t ' ) = (2) ( ) t ' = 5t , thay vo (1), ta c: 1 13 13 31 Vi t = , ta c t ' = v I ; Khi ú B ( 3; ) , D ; , C ; 5 5 5 5 S cỏch chn hc sinh t 25 hc sinh l: C25 0,25 0,25 S cỏch chn hc sinh gm n v nam t 25 hc sinh l: C101 C154 S cỏch chn hc sinh gm n v nam t 25 hc sinh l: C102 C153 P= www.DeThiThuDaiHoc.com HT 0,25 +1 + x (1 x ) (x +1 2 + ) +1 +1 x (1 x ) (1 x ) (1 x ) x2 +1 + > v = f ( x ) vi < x < x2 + 1 x2 + 1 x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vy xỏc sut hc sinh c chn cú c nam ln n v s hc sinh n ớt hn s hc sinh nam l: C101 C154 + C102 C153 325 = C25 506 d ( H , ( ABB ' A ') ) = HK a www.MATHVN.com a2 Ta cú: A ' H = DH tan 60o = ; SABC = BA.BC = 2 a3 Do ú: VABC A ' B 'C ' = S ABC A ' H = d ( CC ', AB ) = d ( CC ', ( ABB ' A ') ) = d ( C , ( ABB ' A ') ) = 3d ( H , ( ABB ' A ') ) Gi K l hỡnh chiu vuụng gúc ca H lờn cnh A'D Ta cú: AB ( A ' HD ) AB KH Mt khỏc HK A ' D nờn HK ( A ' AD ) , ú: x a a d (CC ', AB) = Chỳ ý: Thớ sinh cú th dựng phng phỏp ta khụng gian gii bi ny Ta cú: HK = HD.sin 60o = (1 x ) x + y = y = x , thay vo P ta c: P = f '( x) = x )2 + ( Ta cú f ' = 2 < x < , ta cú < (1 x ) + < x + nờn Vi - x (1 x ) x (1 x ) > , ú f ' ( x ) > 3 x )2 + ( x + 1) ( Tng t, vi < x < , ta cú f ' ( x ) < Vy x = l nghim nht ca f ' ( x ) = trờn khong ( 0;1) Bng bin thiờn: x f'(x) f(x) Vy P = x = y = Phng trỡnh ng trũn (C) i qua ba im A, B, C cú dng: ( C ) : x + y + 2ax + 2by + c = vi a + b c > 6a + 2b c = 10 Vỡ A, B, C thuc (C) nờn ta cú h phng trỡnh: 2a 6b c = 10 4a 4b c = Gii h trờn, ta c: a = 2; b www.DeThiThuDaiHoc.com = 1; c = 20 8a 9a 7b Vy ( C ) : x + y x + y 20 = 0www.MATHVN.com Ta cú vect phỏp tuyn ca ng thng BN l n = ( 2;9 ) = BM = BN n.n1 = a = 4b 13a 36 ab 64 b = a = 16 b 13 a + b 85 a + b 85 a + 9b n n1 a + 9b Gi n1 = ( a; b ) vi a2 + b2 > l vect phỏp tuyn ca ng thng AB Ta cú cos ( AB, BN ) = Mt khỏc cos ( AB, BN ) = T ú ta cú phng trỡnh: Vi a = b chn a = 4; b = , ta c AB : x + y = x + y = x = Ta ca B l nghim ca h phng trỡnh (tha x B < ) x + y 34 = y = B ( 1;4 ) A ( 0;0 ) n! 2! 16 Vi a = b chn a = 16; b = 13 , ta c AB :16 x 13 y + 34 = 13 16 x 13 y + 34 = 18 Ta ca B l nghim ca h phng trỡnh x = v y = (loi) 5 x + y 34 = iu kin: n 3; n ằ 10 k 3n(n 1) n2 9n 10 = 2 Pn (4n + 5) Pn = Ann 2.n ! (4n + 5).(n 2)! = n n(n 1) (4 n + 5) = n = 10 n = ( loại ) Khi ú x3 = x x x 10 k x 303 k S hng tng quỏt: Tk +1 = C10k ( x3 ) = C10k 310 k (1)k k x x Tk +1 khụng cha x 30 3k 2k = 5k = 30 k = Vy s hng khụng cha x ca khai trin l: C106 34.(1)6 = 17010 ( ) x2 y Phng trỡnh chớnh tc ca ( E ) : + = vi a > b > a b F1 3; c = a b = (1) 2 M M M www.DeThiThuDaiHoc.com (2) 1 1 Gi M ( xM ; yM ) Ta cú: S F1MF2 = yM F1 F2 = yM = yM = yM2 = 2 3 F MF = 90o MF MF = x + y = , suy x = M (E) + = 3a 3b 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 www.MATHVN.com Toỏn Hc Vit Nam S GD V T BèNH PHC TRNG THPT HNG VNG THI TH I HC LN NM HC 2013 2014 Mụn thi: Toỏn 12; Khi: A, A1, B Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian giao I PHN CHUNG (7 im) Cõu (2 im) Cho hm s y = x 2mx + 2m + m a) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s m = b) Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ hm s cú ba im cc tr, ng thi ba im cc tr ú lp thnh mt tam giỏc cú din tớch bng Cõu (2 im) a) Gii phng trỡnh: 2cos x + cos x cos x = sin x + ( x + y ) xy = y + x b) Gii h phng trỡnh sau: vi x, y R 2 x + y = x y + ( ln x + 1) x 3ln x dx Cõu (1 im) Tớnh tớch phõn sau: I = x3 x Cõu (1 im) Cho hỡnh chúp S ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh bng a , tam giỏc SAC cõn ti S v nm mt phng vuụng gúc vi ỏy, SB hp vi ỏy mt gúc 30o , M l trung im ca BC Tớnh th tớch chúp S ABM v khong cỏch gia hai ng thng SB v AM theo a Cõu5 (1 im) Cho ba s thc dng x, y , z tha iu kin x z Hóy tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = x + y + z z+x x +y y +z II PHN RIấNG (3 im) Thớ sinh ch c lm mt hai phn A hoc B sau: A Theo chng trỡnh chun Cõu 6a (1 im) Trong mt phng ta Oxy cho ng thng d : y = Gi ( C ) l ng trũn 2 2 ct d ti hai im B, C cho tip tuyn ca ( C ) ti B v C ct ti gc ta O Vit phng trỡnh ng trũn ( C ) , bit tam giỏc OBC u x2 y2 + = Gi s F1 , F2 l hai tiờu im ca elip ú F1 cú honh õm Tỡm im M trờn elip cho MF1 MF2 = Cõu 7a (1 im) Trong mt phng ta Oxy cho elip ( E ) cú phng trỡnh P N V HNG DN CHM THI TH I HC LN NM HC 20132014 Mụn thi: Toỏn; Khi: A, A1, B Trng THPT Hựng Vng IM NI DUNG 4 Cõu I.1 Cho hm s y = x 2mx + 2m + m Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s m = Vi m = ta cú: y = x x + Tp xỏc nh D = R + Gii hn: lim y = +; lim y = + x 0,25 x + x = + y ' = 4x 4x ; y ' = 4x 4x = x = x = + Bng bin thiờn x y' 0 + + y 3 1,0 0,25 + + + 0,25 Hm s nghch bin trờn cỏc khong (; 1) v (0;1) Hm s ng bin trờn cỏc khong (1;0) v (1; +) Hm s t cc i ti im x = 0, y = Hm s t cc tiu ti hai im im x = , y = v x = , y = th hm s i qua cỏc im c bit: (2;11), (2;11) th hm s nhn trc Oy l trc i xng 0,25 Cõu 8a (1 im) Cho n l s nguyờn dng tha 5Cnn = Cn3 Tỡm s hng cha x5 khai n nx trin nh thc Niu-tn , x 14 x B Theo chng trỡnh nõng cao Cõu 6b (1 im) Trong mt phng vi h ta Oxy , cho hỡnh vuụng ABCD , A(1; 2) Gi M , N ln lt l trung im ca AD v DC , E l giao im ca BN vi CM Vit phng trỡnh ng trũn ngoi tip tam giỏc BME bit BN : x + y = v B cú honh ln hn x2 y2 Cõu 7b (1 im) Trong mt phng ta Oxy cho elip ( E ) cú phng trỡnh + = v im 25 M (1;1) Vit phng trỡnh ng thng i qua M v ct elip ti hai im phõn bit A, B cho M l trung im ca AB Cõu 8b (1 im) Mt hp cha bi xanh, bi v bi vng Ly ngu nhiờn viờn bi t hp Tớnh xỏc sut viờn bi c ly cú c mu Cõu I.2 Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ hm s cú ba im cc tr, ng thi ba im cc tr ú lp thnh mt tam giỏc cú din tớch bng 1,0 x = Ta cú y ' = x 4mx; y ' = x = m Hm s cú cc tr y ' = cú nghim phõn bit m > (*) Vi iu kin (*), phng trỡnh y = cú nghim x1 = m ; x2 = 0; x3 = m Hm s t cc tr ti x1 ; x2 ; x3 www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25 www.MATHVN.com Toỏn Hc Vit Nam Gi A(0; 2m + m4 ); B ( m ; m4 m2 + 2m ) ; C ( m ; m4 m2 + 2m ) l im cc tr ca th hm s Ta cú: AB = AC = m4 + m; BC = 4m ABC cõn nh A 2 www.MATHVN.com Toỏn Hc Vit Nam 0,25 (2) x + + x = x + iu kin: x (2) Gi M l trung im ca BC M (0; m m + 2m ) AM = m = m Vỡ ABC cõn ti A nờn AM cng l ng cao, ú: SABC = AM BC Ta cú: 1 SABC = AM BC = m 4m = m5 = 32 m = 2 Kt lun.: m = Cõu II.1 Gii phng trỡnh lng giỏc: 2cos x + cos x cos x = sin x + 0,25 0,25 1,0 2(cos x + cos x ) = sin x + (1 + cos x ) cos x cos x = sin x cos x + cos x ( 0.25 ) cos x = x = (1) + k , x = 24 +k ) + x = x2 1 x x + = ( x 1)( x + 1) x +1 3+ x + x = y = + x + = (*) x + 3+ x + , x= +k + x +1 x +1 3+ x + 2 + + > 0; x ( 3; ) 2 x +1 3+ x 3+ x + Ta cú: f ' ( x) = x ( ) Vi x + y = x x Ta cú : x + 2y y y x = Khi ú: x + y = khụng tha h y = www.DeThiThuDaiHoc.com ( ) 0.25 Cõu III Tớnh tớch phõn I = ( ln x + 1) x 3ln x dx x3 x 2 ( ln x + 1) x 3ln x dx = ln x dx + dx Ta cú I = x x 3x x3 x 0.25 1,0 0.25 I1 2 ln x 1 1 1 dx xd x d x dx = ln2 + = ln = ln + ln = ln2 + ( ) 2 2 x x x 1 x x 2 1,0 I2 = 0.25 0,25 1 1 x3 dx = dx = ln = ln x 3x x3 x x 1 ln ln 2 Cõu IV Cho hỡnh chúp S ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh bng a , tam giỏc SAC cõn ti S v nm mt phng vuụng gúc vi ỏy, SB hp vi ỏy mt gúc 30o , M l trung im ca BC Tớnh th tớch chúp S ABM v khong cỏch gia hai ng thng SB v AM theo a I= 0,25 0,25 I2 I1 = ,(k Z ) 36 ( x + y ) 3xy = y + x Cõu II.2 Gii h phng trỡnh : 2 x + y = x y + x x + y = iu kin: , phng trỡnh (1) ( x + y )( x + y ) = y x + 2y = 0,25 Xột phng trỡnh (*), t f ( x) = + k , ( k Z ) , 5x = x + + k x= +k 24 cos5x = cos x + ,(k Z ) ,(k Z ) x= +k 5x = x + k 36 ) ( x + 0,25 (2) Kt lun: x = ( Mt khỏc f ( x) liờn tc trờn [ 3;2] , suy f ( x) ng bin trờn [ 3;2] Ta cú: f (2) = , suy (*) cú nghim nht x = y = Kt hp iu kin, h cú hai nghim (1; 1) , ( 2;2 ) cos x cos x sin x cos x = cos x = cos x sin x cos x = Vi x + y = y = x thay vo phng trỡnh (2) www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25 0,25 1.0 www.MATHVN.com Toỏn Hc Vit Nam www.MATHVN.com Toỏn Hc Vit Nam t t +2 Xột hm s f (t ) = ; < t , f ' (t ) = , f ' (t ) = t = t +1 t ( t + 1) Gi H l trung im AC; ta cú: SH AC SH ( ABC ) , SBH = 30o a , AM = BH = t 0.25 1 a a a2 MB.MA = = 2 2 a SH = BH tan 30o = a3 Th tớch VSABM = S ABM SH = 48 K Bt / / AM AM / / ( SBt ) S ABM = P= y 1+ x + x2 + y 1+ z y + y + y2 + z2 f (t ) + - f (t ) 0.25 Gi I l hỡnh chiu ca H trờn Bt, J = HI AM , L l hỡnh chiu ca J trờn SI JL SI Ta cú JL ( SBt ) d ( AM , ( SBt ) ) = JL Bt ( SHI ) Bt JL Gi L' l hỡnh chiu ca L trờn SI ; ta cú: JL = JL' 3 3a 1 16 52 3a HI = BC = , = + = + = HL' = 4 HL'2 SH HI a 9a 9a 52 ' a Vy d ( AM , SB ) = JL = HL = 13 Cõu V Cho ba s thc dng x, y , z tha iu kin x z Hóy tỡm giỏ tr ln nht x ' d ( AM , SB ) = d ( AM , ( SBt ) ) ca biu thc P = 0.25 + 0.25 0.25 y z x = y Vy max P = x = y = 4z t = = z x Cõu Vi.a.1 Trong mt phng ta Oxy cho ng thng d : y = Gi ( C ) l ng trũn ct d ti hai im B, C cho tip tuyn ca ( C ) ti B v C ct ti gc ta O Vit phng trỡnh ng trũn ( C ) , bit tam giỏc OBC u Gi (C) cú tõm I bỏn kớnh R OI ct BC ti H thỡ H l trung im BC v OH vuụng gúc BC suy H(0; ) suy OH = Do tam giỏc OBC u nờn BC OH = = BC = 0.25 1,0 0,25 B 1.0 z z+x O H I 1+ Trc ht ta chng minh BT x z C 1 + a2 + 1 + b2 (*) ; vi a, b > 0, ab 1 + ab 1 + + 2 1+ a 1+ b + a2 + b2 1 2 Mt khỏc + ( a b ) ( ab 1) luụn ỳng vi a, b > 0, ab 1 + a + b + ab Suy BT (*) ỳng ng thc xy a = b p dng BT (*) ta cú: P + z z 1+ 1+ x x Trong tam giỏc vuụng IB cú HB = HI HO = IH = 0.25 Ta cú z + t t = , < t , P x 1+ t t +2 = t +1 1+ t www.DeThiThuDaiHoc.com 3 HI = OH = (0; ) I (0; ) 3 Trong tam giỏc vuụng IBH cú R = IB = IH + HB = 0,25 0,25 0.25 4 Vy phng trỡnh ng trũn (C): x + y = Cõu Via.2 Trong mt phng ta Oxy cho elip ( E ) cú phng trỡnh chớnh tc: x2 y2 + = Gi s F1 , F2 l hai tiờu im ca elip ú F1 cú honh õm Tỡm im M trờn elip cho MF1 MF2 = www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25 1,0 www.MATHVN.com Toỏn Hc Vit Nam www.MATHVN.com Toỏn Hc Vit Nam Do B BN B ( t;8 2t ) x2 y2 Vỡ elip ( E ) : + = nờn a = 8, b = c = a b = = c = F1 (2;0), F2 (2;0) Gi s M ( x0 ; y0 ) ( E ) ta cú: cx 2x cx 2x MF1 = a + = 2 + , MF2 = a = 2 a a 2 2 Do ú MF1 MF2 = x0 0,25 0,25 Ta cú: MF1 MF2 = x0 = x0 = y = x2 Vi x0 = y02 = = = y0 = Kt lun cú hai im M tha bi toỏn l: M ( ) 2; v M ( 2; ) n nx khai trin nh thc Niu-tn , x 14 x n(n 1)(n 2) 5Cnn = Cn3 5.n = 30 = (n 1) (n 2), (do n > 0) n = 7 i Cõu Vib.2 Trong mt phng ta Oxy cho elip ( E ) cú phng trỡnh chớnh tc: 1.0 0.25 0.25 i 7 i 35 14 3i = i = v C = a a = 16 35 Vy s hng cha x5 l 16 Cõu Vib.1 Trong mt phng vi h ta Oxy , cho hỡnh vuụng ABCD , A(1; 2) Gi M , N ln lt l trung im ca AD v DC , E l giao im ca BN vi CM Vit phng trỡnh ng trũn ngoi tip tam giỏc BME bit BN : x + y = v B cú honh ln hn Gi H l hỡnh chiu ca A trờn BN, AH = d ( A, BN ) = t AB = a , a > 0.25 i 0.25 1.0 0.25 a a = , AI = a + AB = AH AI a = a a = = AB 2 0.25 0,25 Ta cú d ct (E) ti hai im phõn bit phng trỡnh (*) cú hai nghim phõn bit ' = 25k (1 k ) 25(1 k ) 225 (25k + 9) > 0,(**) 0,25 Gi A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) ú x1 ; x2 l cỏc nghim ca phng trỡnh (*) M l trung im ca AB ta cú: x1 + x2 = p dng nh lý Viet ta cú: 50k (1 k ) =2k = x1 + x2 = 25k + 25 i chiu vi iu kin (**) ta thy k = tha T ú ta cú phng trỡnh 25 ca ng thng d l: x + 25 y 34 = Cõu VII.b Mt hp cha bi xanh, bi v bi vng Ly ngu nhiờn viờn bi t hp Tớnh xỏc sut viờn bi c ly cú c mu Ly ngu nhiờn bi t hp , khụng gian mu cú : = C 820 = 125970 S cỏch chn bi khụng cú c mu : a/ Chn bi ch cú mu : ( ch chn c mu vng) : C 88 = 316 Xỏc sut P(A) = A = 8216 = C 20 4845 Gi B l bin c bi c chn cú c mu B = A www.DeThiThuDaiHoc.com 0.25 x2 y2 + = v im M (1;1) Vit phng trỡnh ng thng i qua M v ct elip 25 ti hai im phõn bit A, B cho M l trung im ca AB Xột trng hp ng thng qua M khụng cú h s gúc vi phng trỡnh l: x = (khụng tha bi toỏn) Xột trng hp ng thng cn tỡm qua M vi h s gúc k ú phng trỡnh cú dng d : y = k ( x 1) Ta cú phng trỡnh honh giao im ca d v (E) l: x (kx + k )2 + = (25k + 9) x + 50(1 k ) x + 25(1 k )2 225 = , (*) 25 b/ Chn bi cú 2mu : C 128 + C 138 + C 158 2C 88 = 8215 Gi A l bin c chn bi khụng c mu A = 8215 + = 8216 Ta cú AH i qua trung im I ca BC 0.25 D trung im AJ D ( 1;6 ) M ( 1;4 ) Ta cú BME vuụng ti E, nờn tõm ng trũn goi tip K l trung im BM K (1;3) , bỏn kớnh R = KB = 0,25 i (1) C x143i = ax i Vy ng trũn cn vit l ( x 1) + ( y 3) = i Gi a l h s ca x5 ta cú C77 i = ax x 0,25 Cõu VIIa Cho n l s nguyờn dng tha 5Cnn = Cn3 Tỡm s hng cha x5 x2 t = (loai) AB = ( t + 1) + ( 2t ) = 5t 22t + 21 = B (3;2) t = AD qua A v vuụng gúc vi AB AD : x = Gi J = AD BN J ( 1;10 ) www.DeThiThuDaiHoc.com 1,0 0,25 0,25 1.0 0.25 0.25 0.25 www.MATHVN.com Toỏn Hc Vit Nam Xỏc sut P(B) = P(A) = 4529 0.25 4845 - - - HT- - - www.DeThiThuDaiHoc.com [...]... ) , π π π   5x = x + + k 2π x= +k    6 24 2 cos5x = cos  x +  ⇔  ,(k ∈ Z ) ⇔  ,(k ∈ Z ) π π π 6    x= +k 5x = − x − + k 2π   36 3 6 π ) ( 2 − x −1 + 0,25 (2) π Kết luận: x = ( Mặt khác f ( x) liên tục trên [ −3;2] , suy ra f ( x) đồng biến trên [ −3;2] Ta có: f (−2) = 0 , suy ra (*) có nghiệm duy nhất x = −2 ⇒ y = 2 Kết hợp điều kiện, hệ có hai nghiệm (1; −1) , ( −2;2 ) ⇔ cos x... (C): x 2 +  y −  = 3  3  Câu Via.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip ( E ) có phương trình chính tắc: x2 y2 + = 1 Giả sử F1 , F2 là hai tiêu điểm của elip trong đó F1 có hoành độ âm 8 4 Tìm điểm M trên elip sao cho MF1 − MF2 = 2 www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25 1,0 www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam Do B ∈ BN ⇒ B ( t;8 − 2t ) x2 y2 Vì elip ( E ) : + = 1 nên 8 4 a =... 8 viên bi được lấy ra có đủ cà 3 màu Lấy ngẫu nhiên 8 bi từ hộp , không gian mẫu có : Ω = C 820 = 125970 Số cách chọn 8 bi không có đủ cả 3 màu : a/ Chọn 8 bi chỉ có 1 màu : ( chỉ chọn được màu vàng) : C 88 = 1 3 16 Xác suất P(A) = Ω A = 82 16 = 8 Ω C 20 4845 Gọi B là biến cố 8 bi được chọn có đủ cả 3 màu ⇒ B = A www.DeThiThuDaiHoc.com 0.25 x2 y2 + = 1 và điểm M (1;1) Viết phương trình đường thẳng đi... cos 5 x − sin x − 3 cos x = 0 •Với x + y = 0 ⇔ y = − x thay vào phương trình (2) www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25 0,25 1.0 www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 1− 2 t t +2 1 Xét hàm số f (t ) = ; 0 < t ≤ 1 , f ' (t ) = , f ' (t ) = 0 ⇔ t = 3 4 t +1 2 t ( t + 1) • Gọi H là trung điểm AC; ta có: SH ⊥ AC ⇒ SH ⊥ ( ABC ) , SBH = 30o a 3 , 2 AM = BH = t 0.25 1 1 a a 3 a2 3 MB.MA... không đủ cả 3 màu ⇒ Ω A = 8215 + 1 = 82 16 Ta có AH đi qua trung điểm I của BC 0.25 D trung điểm AJ ⇒ D ( −1 ;6 ) ⇒ M ( −1;4 ) • Ta có ∆BME vuông tại E, nên tâm đường tròn goại tiếp K là trung điểm BM ⇒ K (1;3) , bán kính R = KB = 5 0,25 7 −i 1 ⇔ (−1) C   x14−3i = ax 5 2 i 2 Vậy đường tròn cần viết là ( x − 1) + ( y − 3) = 5 i Gọi a là hệ số của x5 ta có C77 −i    −  = ax 5  2   x 2...www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam Gọi A(0; 2m + m4 ); B ( m ; m4 − m2 + 2m ) ; C ( − m ; m4 − m2 + 2m ) là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số Ta có: AB 2 = AC 2 = m4 + m; BC 2 = 4m ⇒ ∆ABC cân đỉnh A 4 2 2 www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 0,25 (2) ⇔ 4 2 − x + 3 + x = x 2 + 5 Điều kiện: −3 ≤ x ≤ 2 (2) ⇔ 4 2 Gọi M là trung... > 0; ∀x ∈ ( −3; 2 ) 2 2 2 − x +1 2 3+ x 3+ x + 2 Ta có: f ' ( x) = 2− x ( ) • Với x + 2 y = 8 x ≤ 2 x ≤ 2 Ta có :  ⇔ ⇒ x + 2y ≤ 8 y ≤ 3  2 y ≤ 6 x = 2 Khi đó: x + 2 y = 8 ⇔  không thỏa hệ y = 3 www.DeThiThuDaiHoc.com ( ) 0.25 Câu III Tính tích phân I = ∫ ( ln x + 1) x − 3ln x dx x3 − 3 x 2 2 ( ln x + 1) x − 3ln x dx = 2 ln x dx + 2 1 dx Ta có I = ∫ ∫1 x 2 ∫1 x 2 − 3x x3 − 3 x 2 1 0.25 1,0 1... trường hợp đường thẳng qua M không có hệ số góc với phương trình là: x = 1 (không thỏa mãn bài toán) Xét trường hợp đường thẳng cần tìm qua M với hệ số góc k khi đó phương trình có dạng d : y − 1 = k ( x − 1) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của d và (E) là: x 2 (kx + 1 − k )2 + = 1 ⇔ (25k 2 + 9) x 2 + 50(1 − k ) x + 25(1 − k )2 − 225 = 0 , (*) 25 9 b/ Chọn 8 bi có 2màu : C 128 + C 138 + C 158 −... b 2 1 + ab Suy ra BĐT (*) đúng Đẳng thức xảy ra khi a = b 2 1 Áp dụng BĐT (*) ta có: P ≤ + z z 1+ 1+ x x Trong tam giác vuông IB có HB 2 = HI HO = 1 ⇒ IH = 0.25 Ta có 2 z + Đạt t = , 0 < t ≤ 1 , P ≤ x 1+ t t +2 = 1 t +1 1+ t 1 www.DeThiThuDaiHoc.com 1 3 1 3 4 3 HI = OH = (0; ) ⇒ I (0; ) 3 3 3 Trong tam giác vuông IBH có R 2 = IB 2 = IH 2 + HB 2 = 4 3 0,25 0,25 2 0.25  4 3 4 Vậy phương trình đường... hạng chứa x5  x2   7 t = (loai) AB = 4 ⇔ ( t + 1) + ( 6 − 2t ) = 4 ⇔ 5t − 22t + 21 = 0 ⇔  5 ⇒ B (3;2)  t = 3 • AD qua A và vuông góc với AB ⇒ AD : x = −1 Gọi J = AD ∩ BN ⇒ J ( −1;10 ) 2 www.DeThiThuDaiHoc.com 1,0 0,25 0,25 1.0 0.25 0.25 0.25 www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam Xác suất P(B) = 1 – P(A) = 4529 0.25 4845 - - - HẾT- - - www.DeThiThuDaiHoc.com