Đang tải... (xem toàn văn)
Đề Tài: Giải gần đúng phương trình vi phân bằng phương pháp Euler và Euler cải tiến.Nội dung chính:Hướng dẫn cài công thức trong Excel theo thuật toán EulerEuler cải tiến để giải gần đúng phương trình và hệ phương trình vi phân.Hướng dẫn bầm máy VINACAL cài công thức theo thuật toán EulerEuler cải tiến để giải gần đúng phương trình và hệ phương trình vi phân.
Đề Tài: Giải gần phương trình vi phân phương pháp Euler Euler cải tiến I) PHƯƠNG PHÁP EULER BÀI TOÁN: Cho phương trình vi phân: Chia đoạn [a;b] làm n đoạn nhau, đoạn có chiều dài : xj = a + jh, j = 0,n đặt: x0 = a; ; xn = b Giả sử ta biết yj xj (điều kiện đầu) ta tìm yj+1 xj+1 sau: Áp dụng công thức khai triển Taylor hàm số y(x) xj: y(x) = y(xj) + (x - xj)y’(xj) + (x - xj)2 , cj (xj , xj+1) Thay x = xj+1; yj =y(xj); y’(xj) = f(xj,yj); h=xj+1 – xj vào đẳng thức trên, ta có: Yj+1 = yj + hf(xj,yj) + h2 , cj (xj , xj+1) bỏ số hạng h2 , ta hệ thức: yj+1 = yj + hf(xj,yj) (*) Công thức (*)được gọi công thức Euler Thuật toán: Bước 1: Chia đoạn [a;b] làm n đoạn và đặt: x0 = a; xj =a + jh, j=0,n ; xn=b; Bước 2: từ điều kiện ban đầu y0 = y(a), ta tính yj , j=1,n Yj+1 = yj + hf(xj,yj) Tính yj+1 y(b) yj+1 giá trị nghiệm cần tìm BÀI TẬP Câu 1: cho toán Côsi: y’ = f(x,y) = , y(0) = Tìm nghiệm gần phương pháp Euler đoạn [0,1] chọn bước h = 0.1 Giải Bằng máy VINACAL: Từ công thức Euler GVHD: TS Nguyễn Phú Vinh ta cài công thức: Trang Đề Tài: Giải gần phương trình vi phân phương pháp Euler Euler cải tiến X = 0; Y = 1; B = 0.1 Y = Y + B( ) : X = X + B BẦM “=” ĐẾN KHI X=1 THÌ DỪNG Ta có bảng kết i 10 Xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 yi 1 1.005 1.01505 1.030276 1.050881 1.077153 1.109468 1.148299 1.194231 1.247972 Bằng Excel Trong công thức ô: D4 = D3 + $B$2 kéo xuống ô D13 E4 = E3 + $B$2*(D3*E3)/2 kéo xuống ô E13 VỚI Ô $B$2 LÀ GIÁ TRỊ CỦA h (Cố định ô này-địa tuyệt đối) ta có kết sau GVHD: TS Nguyễn Phú Vinh Trang Đề Tài: Giải gần phương trình vi phân phương pháp Euler Euler cải tiến Câu 2: cho toán hệ Cô si: Tìm nghiệm gần phương pháp Euler đoạn [0,1], chọn bước h = 0,1 Giải: Từ công thức Euler Tính VINACAL: X=0; Y=1 ; M=1 ; B = 0,1 Ta cài công thức: C giá trị ,y giá trị Yi Dừng X=1 Kết giống bảng excel Ta sử dụng Excel công thức ô tính sau: Ô C2 = 0,1 = h với $C$2 ô chứa giá trị h (cố định ô – địa tuyệt đối) E3 = X0 = 0, F3 = Y0 = 1, G3 = Z0 = 1ĐỀ CHO: y(0)=1, z(0) = E4 = E3 + $C$2 tăng x=x + h F4 = F3+$C$2*((G3 -F3)*E3) theo công thức Yi+1 không cần biểu diển thêm cột fi(x,y,z) i=1,2 G4 =G3+$C$2*((G3+F3)*E3) // theo công thức Zi+1 Kết : GVHD: TS Nguyễn Phú Vinh Trang Đề Tài: Giải gần phương trình vi phân phương pháp Euler Euler cải tiến II) PHƯƠNG PHÁP EULER CẢI TIẾN BÀI TOÁN: Cho phương trình vi phân: THUẬT TOÁN: Bước 1: chia đoạn [a;b] làm n đoạn nhau, đoạn có chiều dài đặt: x0 = a; xj = a + jh, j=0,n; xn = b; Bước 2: từ điều kiện ban đầu y0 = y(a), ta tính yj , j=1,n Yj+1(0) = yj + h.f(xj,yj) Yj+1(k+1) = yj + [f(xj,yj) + f(xj+1,yj+1(k)) ] (**) Bước 3: Nếu : |Yj+1(k+1) – Yj+1(k)| j+1[...]... Tài: Giải gần đúng phương trình vi phân bằng phương pháp Euler và Euler cải tiến Câu 3: cho bài toán Côsi: y’ = , y(1)=1 Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler cải tiến trên [1,1.5], h=0,1 Giải: Ta có công thức: X = 1; Y = 1; B=0.1 Tính y(X + B)= Y (1,1) D=0 Ta có công thức (*) GVHD: TS Nguyễn Phú Vinh =1 Trang 11 Đề Tài: Giải gần đúng phương trình vi phân bằng phương. .. xuống E9 và F8 xuống F9 tương ứng với giá trị của y(1.1) và z(1.1) và làm tương tự với y(1.2)… Ta có kết quả sau: GVHD: TS Nguyễn Phú Vinh Trang 18 Đề Tài: Giải gần đúng phương trình vi phân bằng phương pháp Euler và Euler cải tiến Câu 5: Cho bài toán Côsi: y(0.5 Câu 5:)=1, z(0.5)=1, tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler cải tiến trên đoạn [0.5,1] Chọn h=0,1 ở mỗi bước h ta lặp đúng m=4 lần Giải: ... 0,598204 Giải bằng Excel: Trong đó cột D nhập thủ công giá trị của x D3 = 1 ; E3=1 vì y(1) =1; F3 = E3^2-D3^2 là giá trị của hàm y’=y2-x2 E4=E3+$C$2*(F3) GVHD: TS Nguyễn Phú Vinh Trang 12 Đề Tài: Giải gần đúng phương trình vi phân bằng phương pháp Euler và Euler cải tiến E5=$E$3+$C$2*(F3+E4^2-$D$4^2)/2 Câu 4: cho bài toán Cô si: Y(1)=0.77, y’(1)= -0.44 Tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler cải tiến.. . nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler cải tiến trên đoạn[1,1.5], chọn h =0.1 ở mỗi bước h ta lặp m = 5 lần Giải: Đặt Khi đó GVHD: TS Nguyễn Phú Vinh Trang 13 Đề Tài: Giải gần đúng phương trình vi phân bằng phương pháp Euler và Euler cải tiến Từ công thức (1) (i=0,1,…,n-1) (i=0,1,…,n-1) Cách 1:Tính bằng VINACAL: X = 1; Y = 0.77; M = -0.44 Vì không đủ bộ nhớ nên ta thay trực tiếp B=0.1 trong công thưc dưới... GVHD: TS Nguyễn Phú Vinh với G3 = kéo xuống E7 với H3 = kéo xuống ô F7 Trang 19 Đề Tài: Giải gần đúng phương trình vi phân bằng phương pháp Euler và Euler cải tiến COPY giá tri E7 xuống E8 và F7 xuống F8 tương ứng với giá trị của y(0.6) và z(0.6) và làm tương tự với y(0.7)… Ta có kết quả sau: GVHD: TS Nguyễn Phú Vinh Trang 20 ... Tiếp tục quay trở lại các bước trên bắt đầu cho D =0 và gọi (*) và (**) làm tương tự các bước trên ta có bảng phía dưới Ta cũng có thể sử dụng công thức sau để tính thủ công: Từ với y(1)=0.77 z(1) =-0.44 Áp dụng công thưc (1) ta tính: a) Y(1.1) GVHD: TS Nguyễn Phú Vinh Trang 15 Đề Tài: Giải gần đúng phương trình vi phân bằng phương pháp Euler và Euler cải tiến Làm tương tự với y(1.2), y(1.3),y(1.4),y(1.5)... -0.559810865 Cách 3: Làm bằng Excel Với công thức của các ô như sau: Cột D (giá trị của x) nhập thủ công D3=X=1; E3 = Y(1)=0.77; F3=Z(1)=-0.44 ; C2=h=0.1 Làm cho chu kì đầu tiên tức là tính y(1.1) G3 =F3 H3 =-F3/D3-E3 E4=E3+$C$2*(G3) E5 =$E$3+$C$2*($G$3+F4)/2 kéo xuống E8 F4 =F3+$C$2*(H3) GVHD: TS Nguyễn Phú Vinh Trang 17 Đề Tài: Giải gần đúng phương trình vi phân bằng phương pháp Euler và Euler cải tiến F5 =$F$3+$C$2*($H$3+(-F4/$D$4-E4))/2... -0.471294773 -0.47129926 -0.471299069 1 1 0.724435037 1.2 0.67730513 0.675825223 0.67591545 -0.471299069 -0.500897203 -0.499092676 -0.499093869 GVHD: TS Nguyễn Phú Vinh Trang 16 Đề Tài: Giải gần đúng phương trình vi phân bằng phương pháp Euler và Euler cải tiến 0.67591539 0.675915167 1 2 0.675915167 1.3 0.626005353 0.624705353 0.624800143 0.624799748 0.624799526 1 3 0.624799526 1.4 0.572478077 0.571366443... của ,y là giá trị của Yi E là giá trị của ,M là giá trị của Zi Dừng khi X=1 D=0 THAY B =0.1 (*) = 0.726 = -0.473 -GVHD: TS Nguyễn Phú Vinh Trang 14 Đề Tài: Giải gần đúng phương trình vi phân bằng phương pháp Euler và Euler cải tiến D =1 LẶP LẦN 2 GỌI (*) (tức là gọi C) GỌI (**)(tức là gọi E) = 0.72435 = -0.4712175 -GỌI (*) (tức là gọi C)... thức: X = 1; Y = 1; B=0.1 Tính y(X + B)= Y (1,1) D=0 Ta có công thức (*) GVHD: TS Nguyễn Phú Vinh =1 Trang 11 Đề Tài: Giải gần đúng phương trình vi phân bằng phương pháp Euler và Euler cải tiến D = 1 GỌI (*) = 0.9895 = 0,988456 = 0.988352 = 0,988342 ANS Y; X = X + B Tính y(X + B)= Y (1,2) D=0 GỌI (*) D = 1 GỌI (*) = 0,965024 = 0,951247 = 0,949927