Đang tải... (xem toàn văn)
Một số bài toán về phương trihf trên tập số nguyên bồi dưỡng hsg quốc gia môn toán THPT. Một số bài toán về phương trihf trên tập số nguyên bồi dưỡng hsg quốc gia môn toán THPTMột số bài toán về phương trihf trên tập số nguyên bồi dưỡng hsg quốc gia môn toán THPTMột số bài toán về phương trihf trên tập số nguyên bồi dưỡng hsg quốc gia môn toán THPTMột số bài toán về phương trihf trên tập số nguyên bồi dưỡng hsg quốc gia môn toán THPTMột số bài toán về phương trihf trên tập số nguyên bồi dưỡng hsg quốc gia môn toán THPT
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN Bài Tìm tất cặp Lời giải Giả sử số nguyên thỏa mãn cặp thỏa mãn Ta thấy cặp thỏa mãn Bây ta xét Nếu ta có Nếu ta có số lẻ Viết lại phương trình cho dạng Vì có hai số chia hết phải xảy hai trường hợp sau 1/ Nếu Từ , với ta có Suy , 2/ Nếu Từ số nguyên dương lẻ , với ta có Thay vào ta thấy không thỏa mãn số nguyên dương lẻ Suy Do Thay vào ta , Thử lại thấy Vậy cặp số nguyên phải tìm Bài Tìm tất ba Lời giải Giả sử Nếu Như Do số tự nhiên thỏa mãn ba thỏa mãn số lẻ phải chia hết cho số lẻ, suy suy số lẻ, vô lý! chia hết cho số chẵn Viết ( số tự nhiên.) Từ phương trình đầu ta có Với phương pháp ta chứng minh số tự nhiên chẵn Bằng quy nạp ta tìm dãy ba số tự nhiên thỏa mãn với số tự nhiên Suy với số nguyên dương , ba số Do Vậy ba phải tìm Thử lại thấy chia hết cho Bài Với số nguyên dương , với gọi tập số nguyên biểu diễn dạng số nguyên lớn a/ Chứng minh b/ Tìm Lời giải a/ Nếu ngược lại có số nguyên dương Từ ta có lớn suy hai số Bởi vậy, tồn số nguyên dương cho hai số nguyên tố cho Ta có Phép so sánh đơn giản xảy Như b/ Trên tập số nguyên dương ta xét hai hàm số Dễ thấy hàm số tăng với số nguyên dương , ta có Suy có số nguyên dương lớn thỏa mãn Khi Như giao phải tìm Bài Cho ba số nguyên dương thỏa mãn tồn số nguyên Chứng minh thỏa mãn Lời giải Từ giả thiết ta có Ta viết Ở khác Từ số nguyên tố Gauss không cần không tính tổng quát ta giả sử Suy Từ đẳng thức cuối ta có Bài toán giải Lời giải Nếu tồn ba thỏa mãn điều kiện đề dạng mong muốn, ta chọn ba có tổng ba thành phần nhỏ Ta thấy tính tổng quát ta giả sử Từ ta có Không Nếu ta có ta viết với Trái với cách chọn ba Như Dễ chứng minh Xét ba số nguyên dương Ta có với Suy tồn số nguyên thỏa mãn Từ ta có Trái với cách chọn ba Bài toán giải Bài Chứng minh với số nguyên dương thỏa mãn có nghiệm nguyên dương Bài Tìm tất số nguyên dương cho phương trình phương trình có nghiệm nguyên dương Bài Tìm tất ba số tự nhiên thỏa mãn Bài Tìm tất số nguyên dương có nghiệm nguyên dương cho phương trình