“CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI… CỨ ĐI SẼ ĐẾN….” BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI NĂM 2016 Bài 1: Cho x, y, z l| số dương thoả mãn 1    x  y  x  z  3x  y  z  3x  z  y   x  3  y  z  16 Tìm gi{ trị lớn biểu thức: P  x2  y  z (Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – 2016 – lần 2) ĐÁP ÁN: Ta có:  x  y  x  z   x  y  x  z   2x  y  z     1 2    3x  y  z  3x  z  y    x  y  z    2x  y  z   Từ giả thiết suy ra: 3 x  y  z   t2    t    3t  8t  16    t   2x  y  z  3t  2 Mà:   x  y  z   22  12  12 x  y  z  x  y  z  2 2 x  y  z  12 x  12 x  12 x  36 x  P  1  1  1 2 2 2 2x  y  z x x y z 3x   x  1 loai 36 3x  x  f ' x   , f ' x    Xét h|m số với x >  x   f    10 3x   3 Đặt: x  y  z  t  t           Ta có BBT: x f ' x  f  x +  - 10 Suy f  x   10 nên P  10 Vậy gi{ trị lớn P l| Dấu “=’ xảy x ,y  z  3 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI “CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI… CỨ ĐI SẼ ĐẾN….” Bài 2: Cho x, y, z l| số dương thoả mãn x  y  z  Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: P  x2 yz   x3  y2 zx   y  z2 xy   z (Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – 2016 – lần 1) ĐÁP ÁN:  a  b  c  (*) với a, b, c, x, y, z  a b c    x y z x yz Ta có BĐT: 2  x  y  z Áp dụng (*) ta có: P  xy  yz  zx   x3   y   z  x   2x  x2  x  x2  2 2  y   2y  y  y  y2  y  2  y4  y  y    2 2  z   2z  z  z  z2  z    z    2z  z    2 2 2 x  y  z 2 x  y  z  P  xy  yz  zx  18   x  y  z   x  y  z  x  y  z 2   x  y  z   18 Ta có:   x    2x  x2    x3  Đặt t = x  y  z ,  t  3 Khi đó: P  2t t  t  18 2t , t 3 t  t  18 t  36t f 't   , f '  t    t  36 t  t  18 Xét h|m số: f  t       BBT: t f ' x  36 + - 144 71 f  x Từ BBT ta có GTNN f  t  Vậy GTNN P l|  t = x  y  z  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI “CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI… CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”  2 y  x thoả mãn    y  2 x  3x Bài 3: Cho x, y  Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: P  x  y   x  y (Sở GD Vĩnh Phúc – 2016 – lần 1) ĐÁP ÁN x  2 x  3x   x  x  y  x   2 x  3x   x  x  x   Từ gt ta có: y  0,  6 Xét h|m số: f  x   x  x  x   , x  0;  ta Max f  x    x  y   6  5 0;   P  x  y  2  2x y  2 Đặt t  x  y  P   x  y  x  y 2  2 x  y  2   x  y2 t2  ,0  t  2 t t2  , t   0; 2 t t3  g 't   t   , g 't    t  t t 33 16 Lập BBT ta có MinP  Khi x  y  2 Bài 4: Cho c{c số x, y, z  thoả mãn x  2, y  1, z  1  Tìm gi{ trị lớn biểu thức: P  x  y  z   x  y  3 y  x  1 z  1 Xét hs: g  t   (THPT Bố Hạ – 2016 – lần 2) ĐÁP ÁN Đặt a  x  2, b  y  1, c  z  a, b, c  1 Khi đó: P   a  b2  c   a  1 b  1 c  1 Ta có: a  b  c 2  a  b 1   c  1  Dấu “=’ xảy a  b  c  Mặt kh{c,  a  1 b  1 c  1 Khi P  2   a  b  c  1  a  b  c  3  27 27  a  b  c   a  b  c  3 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI “CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI… CỨ ĐI SẼ ĐẾN….” 27 Đặt t  a  b  c   Khi P   , t  t t 81t   t   27 81 Xét hs: f  t    , t  1, f ' t      t  t  3 t  t  4 t t  2 f '  t    81t   t     t  5t    t  (do t >1) lim f  t   x  BBT: t f 't  +  - f t  Từ BBT ta có max f  t   f    a  b  c  1  a  b  c   x  3, y  2, z  Vậy max P   a  b  c   Bài 5: Cho c{c số thực dương a, b thoả mãn a  2b  12 4 Tìm gi{ trị lớn biểu thức: P    a b  a  b 2 (THPT ĐỒNG HẬU – VĨNH PHÚC – 2016 – lần 2) ĐÁP ÁN Từ gt v| BĐT Cô-si ta có: a  2b  12  a   2b  16  4a  2b  16  4a.2b  16   ab  a 2b  4  ab  a b2  P       a b  4  64  a b  8  a  b  16  b a  64   b a 1 a b  Đặt t    t   , Ta có: P  t  16 64 t  b a 1  , t   2;   Xét h|m số: f  t   t  16 64 t  5 f 't    , f 't    t  64  t   VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI “CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI… CỨ ĐI SẼ ĐẾN….” Ta có BBT: t 2 f 't  -  +   f t  27 64 Từ BBT suy f  t    2;  27 t  64 27 a  2, b  64 Bài 6: Cho c{c số thực dương a, b, c thoả mãn a  b  c  121 Tìm gi{ trị lớn biểu thức: A   a  b2  c 14  ab  bc  ca  Vậy MinP  (THPT BÌNH MINH – NINH BÌNH – 2016 – lần 1) ĐÁP ÁN   a  b2  c2  2 2 Ta có:   a  b  c   a  b  c   ab  bc  ca   ab  bc  ca  121 Do đó: A   a  b2  c  a  b2  c    Đặt t  a  b2  c Vì a, b, c  0, a  b  c  nên  a  1,0  b  1,0  c  Suy t  a  b2  c  a  b  c    Mặt kh{c,   a  b  c   a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c  t  Ta có hs: f  t   121 1   , t   ;1 t 1  t  3  f 't    t f 't  f t  121  , f 't    t  2 t 18 1  t  - 18  + 324 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI “CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI… CỨ ĐI SẼ ĐẾN….” 324 1  , t   ,1 3  324 1 Vậy MinA  a  , b  , c  Bài 7: Cho c{c số thực dương a, b, c thoả mãn ab  1; c(a  b  c)  b  2c a  2c   6ln  a  b  2c  Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: P  1 a 1 b (THPT ĐỨC THỌ –HÀ TĨNH – 2016 – lần 1) ĐÁP ÁN Ta có: a  b  2c  a  b  2c  P2   6ln  a  b  2c  1 a 1 b     a  b  2c  1     6ln  a  b  2c  1 a 1 b  Ta chứng minh c{c BĐT quen thuộc sau: ab  1 ) ab  )    2 1  a  b  ab Thật vậy, Từ BBT: f  t   1    a  b  1  ab   2     ab  1  a 1  b    a b   ab   Dấu “=” xảy a  b ab   Dấu “=” xảy ab  Đặt : t  a  b  2c, t  16  t  1  6ln t , t  t2 16  t   6t  16t  32  t   6t  8 f 't      t t3 t3 t3 Ta có: P   f  t   BBT: t f 't  -  + f t   6ln Từ BBT  f (t )   6ln t = (0; ) VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI “CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI… CỨ ĐI SẼ ĐẾN….” Vậy GTNN P   6ln a  b  c  Bài 8: Cho c{c số a, b, c  0;1 Chứng minh: a b c    1  a 1  b 1  c   b  c 1 a  c 1 a  b 1 (THPT HỒNG LĨNH –HÀ TĨNH –NĂM 2016 – lần 1) ĐÁP ÁN Do vai trò a, b, c nên giả sử a  b  c , đó: Đặt S  a  b  c   b  c   S  a  S  c a  c 1  S  c a  b 1  S  c Ta có 1  a 1  b 1  a  b   *  1  a  b  ab 1  a  b     a2  b2  ab  a2b  ab2   b  a  b  a  1  a  a, b  0;1 Vậy (*) 1 c  1  a 1  b 1  c   S c S c a b c a b c 1 c S  c    1  a 1  b 1  c       1 Do đó: b  c 1 a  c 1 a  b 1 S c S c S c S c S c Bài 9: Cho c{c số thực dương x, y , z thoả mãn x  y  z; x  y  z  x z Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: P    y z y (THPT KẺ SẶT –HẢI DƯƠNG – NĂM 2016 – lần 1) ĐÁP ÁN Ta có: x z  xz  x,  yz  z z y x z  P    y  x  xz  z  yz  y   x  z   y  x  y  z   xz  yz   x  z   y  x  y  z  z y Do x  0, y  z nên x  y  z   (*)  1  a 1  b  S  c    1  a 1  b   x z   y   x  z   y    y   y   y  1   z y Vậy GTNN P x  y  z  Bài 10: Cho c{c số thực dương a, b, c a  3c 4b 8c   Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: P  a  2b  c a  b  2c a  b  3c (THPT HẬU LỘC 2–THANH HOÁ – NĂM 2016 – lần 1) ĐÁP ÁN Kết hợp với ta được: P  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI “CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI… CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”  x  a  2b  c a   x  y  3z   Đặt  y  a  b  2c  b  x  y  z  z  a  b  3c c   y  z   Do ta cần tìm GTNN  x  y x  y  z 8 y  z  x y   y z  P           17 x y z x   z y   y 4x y y 4z P2 2  17  12  17 nên GTNN P l| 12  17 y x z y     Dấu “=” xảy b   a, c   a Bài11: Cho c{c số thực dương a, b, c thoả mãn 21ab  2bc  8ca  12 Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: S    a b c (THPT MARIE CURIE – NĂM 2016 – lần 1) ĐÁP ÁN 1 Đặt: x  , y  , z   x, y, z  0, x  y  21z  12 xyz S  x  y  3z a b c 2x  y  z  2x  y   12 xy  21 z   Từ x  y  21z  12 xyz  z 12 xy  21  x  y   12 xy  21   12 xy  21  x    4y Ta có: S  x  y  2x  y xy  Xét h|m số: f  x   x  y  f ' x      2x  y , x   ;   xy   4y  14  32 y  xy   , f '( x)   x  32 y  14      ;   4y 4y  4y   32 y  14  32 y  14   2y    Lập BBT h|m số y  f ( x) ta có : S  f ( x)  f   4y  y y 4y   Xét h|m số: g  y   y  8 y g '( y )  32 y  14  , y   0;   4y 4y   32 y  14  28 y 32 y  14 , g '( y )   y    0;     15 Lập BBT hs z  g  y  ta có: S  g  y   g    4 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI “CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI… CỨ ĐI SẼ ĐẾN….” 15 a  , b  , c  2 Bài 12: Cho x, y , z l| c{c số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz  48 biểu thức : P   x  y  y  z  z  x   x y z 3 (THPT SỐ BẢO THẮNG – NĂM 2016 – LẦN 1) ĐÁP ÁN  x  y  y  z  z  x    x  y  z  xy  yz  zx   Vậy S  Ta có: a  b   b  c    c  a    a  b  c  ab  bc  ca   a  b  c    ab  bc  ca  (*) 2 Thay a  xy, b  yz , c  zx vào (*) ta có:  xy  yz  zx   3xyz  x  y  z    xy  yz  zx    x  y  z  Do P  2( x  y  z )  x  y  z   48 8 x y z 3 Đặt t  x  y  z  3 xyz  48  P  2t 6t  8 t 3 6t  t  3  24 48  , t   f 't    f '  t   0, t  Xét h|m số: f  t   2t 6t  t 3  t  3  f  t  đồng biến 6;  Vậy Min f  t   f    80 6; Vậy MinP  80 x  y  z  Bài 13: Cho x, y , z l| ba số thực dương thỏa mãn: x  y  z  biểu thức: P  xyz  Tìm gi{ trị nhỏ 1   xy yz zx (THPT NGÔ SĨ LIÊN – BẮC GIANG – LẦN 1) ĐÁP ÁN 1 1    3 2 , đặt t  xyz  xy yz zx x y z x2  y  z 1  0t  3  1  P  8t  Xét h|m số f  t   8t  , t   0;  t t  2 Mà x2 y z  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI “CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI… CỨ ĐI SẼ ĐẾN….” f '  t   24t  , f 't    t  t BBT: t f '  t  || - f t  13  1 Từ BBT : f  t   13, t   0;   2 Vậy MinP  13 x  y  z  Bài 14: Cho a, b, c l| ba số thực dương thỏa mãn: a  b  c  Tìm gi{ trị nhỏ biểu c3   a  25a 25b thức: P    a 2a  7b  16ab 2b  7c  16ab (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO – ĐĂC NÔNG – LẦN 2) ĐÁP ÁN Ta có:  a  b    2ab  a  b 2a  7b  16ab  2a  7b  2ab  14av  3a  8b  14ab  (a  4b)  3a  2b   4a  6b  2a  3b 25a 25a Vậy:  (1) 2a  7b2  16ab 2a  3b 25b2 25a Tương tự,  (2) 2 a  b 2b  7c  16cb 3c 2 25c 23  2c  c     (3) Mặt kh{c, theo BĐT Côsi : a  a c  3a  2c Từ (1), (2), a  b  c  a2  b2 c2     c  2c   a  b  c   c  2c (3) P  25    c  2c  25 5a  b  c  2a  3b 2b  3c 2c  3a  Mà: a  b  c   P  c  2c  15   c  1  14  14 Vậy GTNN 14 a = b = c =1 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 10 “CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI… CỨ ĐI SẼ ĐẾN….” (THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU- NĂM 2016 - LẦN 1) ĐÁP ÁN  x y Ta có:  xy    1   Đặt t  xy,  t  Pt t t  2  f  t  , t   0;1; f '  t   t 1  t  1 Khi x = 1, y = Bài 30: Cho a, b, c l| c{c số thực dương v| thoả mãn: a  b2  c  Tìm GTNN biểu thức a  b3 b3  c c  a S   a  2b b  2c c  2a (THPT VIỆT TRÌ- NĂM 2016 - LẦN 1) ĐÁP ÁN Lập BBT ta được, GTLN P x3   x  Trước tiên ta chứng minh BĐT:  x   (*) x  18 18 *  18  x3  1   x    x  5   x  1 11x    với x > Dấu "=" xảy x = a b c ; ; b c a a  b3 a 5b b3  c3 7b 5c c3  a3 7c 5a   ;   ;   a  2b 18 18 b  2c 18 18 c  2a 18 18 12  a  b  c  2 Từ c{c đẳng thức suy S  18 Vậy Min S = a = b = c = Áp dụng (*) cho Tìm GTNN biểu thức 2 2 P  2a  2   2b  2   2c  2  ab b bc c ca a (THPT THĂNG LONG - HÀ NỘI - NĂM 2016 - LẦN 1) ĐÁP ÁN Bài 31: Cho a, b, c l| c{c số thực dương v| thoả mãn: a  b  c  Ta có BĐT sau đúng: x12  y12  x22  y22   x1  x2    y1  y2  2 (1) Thật vậy, 1  x12  y12  x22  y22  x12 x22  x12 y22  x22 y12  y12 y22  x12  x22  x1 x2  y12  y22  y1 y2 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 19 “CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI… CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”  x12 x22  x12 y22  x22 y12  y12 y22  x1 x2  y1 y2   x1 y2  x2 y1   Áp dụng (1) hai lần ta có x12  y12  x22  y22  x32  y32   x1  x2  x3    y1  y2  y3  2 (2) t3  3 Đặt a  b  c  t , t   0;   abc  27  2 Áp dụng (2) ta được: 2       P  a   a    b2   b    c2   c    ab  bc  ca      27   t2  t   t   abc  a  b  c    a  b  c   abc   2 X 54 27  27   3 ét h|m số: f  t   t   t    2t   , t   0;  t  t t   2 54 4.27 4t  54 4.27  3 f '  t   4t      0, t   0;  t t t t  2  3 H|m số f(t) liên tục v| nghịch biến  0;  , đó:  2 82   369 f t   f    P 2 2 82 Vậy: MinP  a  b  c  2 Bài 32: Cho a, b   0;1 l| c{c số thực v| thoả mãn:  a3  b3   a  b   ab 1  a 1  b  Tìm GTLN biểu thức : P  a GT   b3   a  b  ab 3  a  b   a  b   3ab  a  b 1 a 1 b (THPT HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - NĂM 2016 - LẦN 1) ĐÁP ÁN  1  a 1  b  (*)  a b2       a  b   ab ab  4ab ab  b a 1  a 1  b     a  b   ab   ab  ab Khi từ (*) suy ra: 4ab   ab  ab  0  t  Đặt t  ab, t  ta 4t   t  t  t   3t   0t  4t  1  3t 2  Ta có : 1   1         0 2 2  a  b  ab   a  ab    b  ab  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 20 “CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI… CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”  a  b   ab  1   1  ab  1  a 1  b  với a, b   0;1 Dấu "=" xảy a  b 1  2    2    Vì:  2  ab  ab 1 a 1 b   a2  b2 2 3ab  a  b  ab   a  b   ab nên P   ab  t  ab 1 t  1  1  t , t   0;  , f '(t )   , t   0;  Xét h|m số: f  t   1 t  9  9 1  t   t 1  f (t )  f     10 9 1 Vậy GTLN P l|  a  b  10 Bài 33: Cho c{c số thực dương x, y , z Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P  x  y  z  x  y  xy  18 xyz (THPT LƯƠNG TÀI – BẮC NINH - NĂM 2016 - LẦN 3) ĐÁP ÁN Ta có: xy  x.4 y  x  y ; 18 xyz  3 x.4 y.9z  x  y  9z Dấu “=” xảy x = 4y = 9z Suy P  1   x  y  z  x yz 1 t Lập bảng biến thiên tìm f  t    t  36 Vậy P   x  ; y  ; z  49 49 49 Đặt t  x  y  z,  t   , xét h|m số f  t   t   (t > 0) Bài 34: Cho hai số dương x, y ph}n biệt thỏa mãn: x  2y  12 Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P  4  4 x y  x  y 2 (THPT CHUYÊN LONG AN - NĂM 2016 - LẦN 1) ĐÁP ÁN VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 21 “CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI… CỨ ĐI SẼ ĐẾN….” Từ điều kiện, dùng bất đẳng thức côsi suy ra:  xy  Đ{nh gi{ P  Đặt t   x y2      16  y x  64 x y  2 y x x y   t   Khi P  t   y x 16 64 t   Xét h|m số f (t)   1 t   (với t > 2) 16 64 t  Tính đạo h|m, vẽ bảng biến thiên, tìm được:   27 f (t)  f    64 Tìm giá trị nhỏ P    2;  Tìm gi{ trị nhỏ P l| 27 x = y = 64 27 x = y = 64 Bài 35: Cho c{c số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z   yz  y  z  Tìm gi{ trị nhỏ yz 1  x   y z  biểu thức P     1  x    y  z  1  x 1  y 1  z  (HSG TỈNH HÀ NAM - NĂM 2016) ĐÁP ÁN P     1  x  1  x   y z  yz      1      y  z  1  y 1  z    x  1  x   y z  yz  1 x          y  z  1  y 1  z    x  1  x    1  x   y z  yz yz        y  z  1  y 1  z 1  x  1  y 1  z  y2 1  y   z2 1  z    yz 1  y 1  z 1  x      1  x  1   1   y  z    1  1 1  y  1  z      1 1    Đặt u  , v   u, v  Khi P  2 y z 1  x  1  u  1  v  1  x 1  u 1  v  Theo bđt Côsi: P  1  x   1  u 1  v   1  x 1  u 1  v  Mặt kh{c, giả thiết trở th|nh VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 22 “CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI… CỨ ĐI SẼ ĐẾN….”  y2  z2  y  z  1 1 x 2    x       x u  v  u  v yz z  y z y  y z    Theo bđt Bunhiacốpxki: x  u  v   x  u  v    u  v   u  v  x 1   x 1  Lại theo bđt Côsi: 1  u 1  v     u  v         4 x  x  x2 x2 x3  x  x  Từ suy P     2 3 1  x  1  x  1  x  1  x  Xét h|m số f  x   x3  x  x  1  x  , x  Ta có f '  x   10 x   x  1  f ' x   x  Lập bảng biến thiên f(x)  0;  suy   91 P  f  x  f      108 91 đạt 108 1 x  , u  v, u  v   10  x  , u  v   x  y  z  x 5 Kết luận: GTNN P l| Bài 36: Cho a, b, c l| c{c số thực không }m thỏa mãn 8(a2 + b2 + c2) = 3(a + b + c)2.Tìm gi{ trị lớn biểu thức P = a(1 – a3) + b(1 – b3) + c (THPT ĐA PHÚC- HÀ NỘI - NĂM 2016- LẦN 1) ĐÁP ÁN +) Từ giả thiết ta có: 5c2 – (a+b)c + (a+b)2   ( a  b)  c  a  b +) Ta có a  b4  (a  b)4 a, b => P  2(a  b)  (a  b)4 t4 +) Xét f (t )  2t  +) BBT:< t t3 (t  0), f '(t )   ; f '(t )   t  + f’(t) + f(t) - 33 34  a  b  33   +) MaxP =  c  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 23 “CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI… CỨ ĐI SẼ ĐẾN….” Bài 37: Cho a, b  thỏa mãn  a  b2   a 2b2 Tìm Min P, với P  a b   b 1 a 1 a  b2  (THPT HÙNG VƯƠNG – BÌNH PHƯỚC - NĂM 2016- LẦN 1) ĐÁP ÁN Ta có a 2b   a  b    a  b   ab  a  b a  b    a  b   2ab    a  b    a  b     a  b  1 2  a  b2   a  b  1  a   b  P  1    1    b 1   a 1  a  b2  1     a  b  1   2   a 1 b 1 a  b2    a  b  1  2 a  b  a  b 1 Đặt t  a  b , ta có  a  b    a  b    ab  2 2  a  b  16  a b  4  t  1   2; t  ta MinP  M inf  x   x  y  t2 t 1 a  b  c  ; a  b  c  Tìm gi{ trị lớn Bài 38: Cho c{c số thực a, b, c thỏa mãn: Xét f  t   biểu thức F  a 2b 2c (THPT KIM LIÊN – HÀ NỘI - NĂM 2016- LẦN 1) ĐÁP ÁN b  c  a Từ gt ta có:  bc  a  Hệ có nghiệm a  4a  3  a   a  0;4   F  a 2b c  a a   t  6t  9t , t  a  0;4 t  1 0;4 Ft '  3t  12t  9; Ft '    t   0;4 F 0  F 3  0; F 1  F 4  Suy max F  a; b; c   2;1;1 c{c ho{n vị a; b; c    2;1;1 c{c ho{n vị Bài 39: Cho x, y, z ba số thực dương có tổng Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P  3( x  y  z )  xyz (THPT LỆ THỦY – THÁI BÌNH - NĂM 2016- LẦN 1) ĐÁP ÁN Ta có: VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 24 “CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI… CỨ ĐI SẼ ĐẾN….” P  ( x  y  z )  2( xy  yz  zx)   xyz  39  2( xy  yz  zx)  xyz  27  x( y  z )  yz ( x  3) ( y  z )2  27  x(3  x)  ( x  3)  ( x3  15 x  27 x  27) Xét h|m số f ( x)   x  15 x  27 x  27 x  f , ( x)  3x  30 x  27    x   x y’ - , với 0[...]... xảy ra khi v| chỉ khi a  2;b  3;c  1 Vậy bất đẳng thức (2) đúng Do đó bất đẳng thức (1) được chứng minh Bài 46: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x > y và  x  z  y  z   1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  1  x  y 2  4 x  z 2  4  y  z 2 (THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN – THÁI NGUYÊN - NĂM 2016- LẦN 1) ĐÁP ÁN 1 a Đặt x  z  a Từ giả thi t  x  z  y  z   1  y  z  Vì x ... - NĂM 2016- LẦN 1) ĐÁP ÁN Bất đẳng thức tương đương với   a  2 2a   b  3 3b   c  1 c  a b c  6 6 a b c         a  2  4 b  3  4 c  1 4 a b c  6  4 a  2  b  3  c  1  a  b  c  6  4 a  2  4 b  3  4 c  1 4 a  b  c  6  a  2  b  3  c  1  a  b  c  6  2 2 2 a 2 2 2 2 2 b3 2 c 1 2  a b c  6 Áp dụng bất đẳng thức. ..     2 ab bc ca  2 3 3 2 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  Vậy GTLN của S bằng khi a  b  c  2 2 3 2 2 2 2 Bài 26: Cho a, b, c l| c{c số thực không }m thoả mãn: a b  b c  1  3b Tìm GTNN của 1 4b 2 8 biểu thức P    2 2 2  a  1 1  2b   c  3 Đẳng thức xảy ra khi Ta có: P  1  a  1 2  4b 2 1  2b  2 (THPT TRIỆU SƠN I - THANH HOÁ - NĂM 2016 - LẦN 2) ĐÁP ÁN 8 1 1 8   ... Cho hai số dương x, y ph}n biệt thỏa mãn: x 2  2y  12 Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức P  4 4 5  4 4 x y 8  x  y 2 (THPT CHUYÊN LONG AN - NĂM 2016 - LẦN 1) ĐÁP ÁN VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI 0977.413.341 – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI 21 “CÓ MỤC ĐÍCH SẼ CÓ ĐƯỜNG ĐI… CỨ ĐI SẼ ĐẾN….” Từ điều kiện, dùng bất đẳng thức côsi suy ra: 0  xy  8 Đ{nh gi{ P  Đặt t  1  x 2 y2  5 1  2  2   16 ... 22: Cho x, y , z l| c{c số thực dương thoả mãn: x  4 y  3z  0 Tìm GTLN của biểu thức x 2y x  4y P   20 y  3z x  2 y  3z 2 x  6 y (ĐỀ MOON-THẦY ĐẶNG VIỆT HÙNG - NĂM 2016) ĐÁP ÁN  x  2 y  3z  2 x  6 y 1 1   Từ giả thi t ta có: 3 z  x  4 y   x  2 y  3z 2 x  6 y 20 y  3 z  x  24 y Khi đó biểu thức trở th|nh: P  Đặt: t  x 2y x  4y x x  6y     20 y  3z 2 x  6 y 2 x... trên h|m số f  x   x3  2 x2  3x  4 đồng biến v| liên tục trên Đẳng thức (3)  f  a   f  2  b   a  2  b  a  b  2 Vậy tổng hai nghiệm của hai pt đó bằng 2 Bài 24: Cho a, b, c l| c{c số thực thoả mãn: a  b  c  3 Tìm GTLN , GTNN của biểu thức a 2  b2  c2 P   ab  bc  ca  ab  bc  ca (THPT NGUYỄN TRUNG THI N - NĂM 2016 - LẦN 2) ĐÁP ÁN 1 2 Đặt t  ab  bc  ac   a  b  c  ... 2   ;   ;   a  2b 18 18 b  2c 18 18 c  2a 18 18 12  a 2  b 2  c 2  2 Từ c{c đẳng thức trên suy ra S  18 Vậy Min S = 2 khi a = b = c = 1 Áp dụng (*) cho lần lượt 3 Tìm GTNN của biểu thức 2 1 2 1 2 1 2 P  2a 2  2 2   2b 2  2 2   2c 2  2 2  ab b bc c ca a (THPT THĂNG LONG - HÀ NỘI - NĂM 2016 - LẦN 1) ĐÁP ÁN Bài 31: Cho a, b, c l| c{c số thực dương v| thoả mãn: a  b  c  Ta có... Bảng biến thi n t f ' t  1 - 2 0  + f t  12 Từ bảng biến thi n ta nhận thấy f  t   12, t  1 hay min f  t   12  t  2 1;  Vậy ta có Pmin x  z  2   12   1 y  z  2  Bài 47: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện ( x  y ) 3  4 xy  2 Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biếu thức P  3( x 2  y 2 ) 2  2( x  y ) 2  xy(3xy  4)  2015 (THPT ĐOÀN THƯỢNG – HẢI DƯƠNG - NĂM 2016- LẦN... (do t > 2 nên 4t 3  7t 2  4t  16  4(t 3  4)  t(7t  4)  0 L}̣p bảng biến thi n của hàm số f(t) Dựa vào bảng biến thi n ta có 5 MaxP  khi x  y  z  2 8 Bài 50: Cho c{c số thực dương a, b, c Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức M 3a 4  3b 4  25c3  2 a  b  c 3 (THPT KHOÁI CHÂU – HƯNG YÊN - NĂM 2016- LẦN 1) ĐÁP ÁN   Áp dụng BĐT Cô - Si ta có: 2a4  a4  1  2a4  2a2  4a3 hay... 8   8  x  2 Do đó f  x   2  3x 2  12 x  16  0  h  x   2x  0;8 5 x 2  8 x  32  3x 2  24 x Đẳng thức xảy khi v| chỉ khi x  2  min f ( x)  2 khi x  2 Ta có f ( x)  5 x 2  8 x  32  3x 2  24 x  3x 2  12 x  16  g ( x)  h( x)  12 2  4 7 x  0;8 Đẳng thức xảy khi v| chỉ khi x  8  max f ( x)  12 2  4 7 khi x  8 Vậy min f ( x)  2 khi x  2 và max f ( x)  12