Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi HSG toán 8 huyện Tam Nông năm 2015-2016 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về t...
Phòng GD-ĐT Lập Thạch Đề thi chọn lọc học sinh giỏi lớp 8 Môn: Toán Năm học: 2008- 2009 ( Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) Câu 1( 2 điểm) Giải hệ ph ơng trình: a. (2x-5) 3 + 27(x-1) 3 + (8-5x) 3 = 0 b. 0 2 1 2 1 = + ++ + mx x mx x ( m là tham số) Câu 2(2,5 điểm); a. Tìm các số x, y, z biết x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx. Và x 2008 + y 2008 + z 2008 = 3 2009 . b. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: (x 2 +y 2 +1) 2 5x 2 4y 2 5 = 0. Câu 3 (1,5đ): Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng: 2 3 111 222 + + + + + = a c c b b a P Câu4(3đ): Cho hình bình hành ABCD. AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M và N lần lợt là trung điểm của BO và AO. Trên cạnh AB lấy F sao cho FM cắt cạnh BC tại E và FN cắt cạnh AD tại K. Chứng minh rằng: a) 4 =+ BE BC BF BA b) BCAKBE + . Câu5(1đ): Tìm mọi số tự nhiên n sao cho 90 20 + + n n là phơng trình của một phân số. -----Hết---- PHÒNG GD&ĐT TAM NÔNG KÌ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP Môn: Toán học Năm học : 2015-2016 Thời gian: 120 phút( không kể thời gian giao đề) Bài a) Chứng minh rằng: tổng số tự nhiên liên tiếp chia dư Áp dụng chứng minh tổng A= 12 + 22 + 32 + + 592 không số phương b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 3xy+2x-3y=17 Bài x3 10 − x A = + + : x − + a) Cho biết ÷ ÷ x+2 x − x + 3x x + Tìm giá trị x để A>1 1 b) Cho xyz # x + y + z = yz zx xy Tính B = x + y + z Bài x3 10 − x + + x − + a) Cho biết A= ÷ ÷ x+2 x − x + 3x x + b) Tìm m để phương trình : 1 1 − − + x + 4x + x − 4x + x + x − Tương đương với phương trình: x = mx Bài Cho VABC vuông A, có đường cao AH Gọi P Q trung điểm AH BH Gọi O giao điểm AQ CP a) CM: VABH : VCAH b) CM: AQ vuông góc với CP c) CM: AH = 4.PC.PO d) Lấy điểm M đoạn thẳng PC điểm N nửa mặt phẳng bờ HC không chứa điểm A đề tứ giác MCNH có tổng đường chéo MN+CH= Không đổi Xác định dạng tứ giác MCNH để diện tích tứ giác lớn -Hết -(Cán coi thi không giải thích thêm) Họ tên:………………………………………… SBD:……………… UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán - Lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: ( 2,5 điểm) a. Cho: 2 2 1 2 2 4 2 7 10 5 x x x A x x x x − − − = + − − − + − - Thực hiện rút gọn A. - Tìm x nguyên để A nguyên. b. Chứng minh: a + b = c thì a 4 + b 4 + c 4 = 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2a 2 c 2 Bài 2: ( 1,5 điểm) a. Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + ac + bc với mọi số a, b, c. b. Chứng minh cba c ab b ac a bc ++≥++ với mọi số dương a, b, c. Bài 3: (1,5 điểm) Giải phương trình: 6 4212 4 208 8 7216 2 64 2222 + ++ + + ++ = + ++ + + ++ x xx x xx x xx x xx Bài 4: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD. M là điểm trên đường chéo BD. Hạ ME góc với AB và MF vuông góc với AD. a. Chứng minh DE ⊥ CF; EF = CM b. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui. c. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác. Đường thẳng qua trung điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F. Chứng minh BF = CE. UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán - Lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: ( 2,5 điểm) 5 42 )2)(5( 2 2 1 2 − − − −− −− + − = x x xx xx x A Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2 0,25 )2)(5( 158 )2)(5( 2)(42(25 22 −− −+− = −− −−−−−+− = xx xx xx xxxxx A 0,25 2 3 2)(5( )3)(5( − +− = −− −−− = x x xx xx A 0,25 ( 2) 1 1 1 2 2 x A x x − − + = = − + − − 0,25 A nguyên khi và chỉ khi 1 2x − nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1 ⇒ x=3, hoặc x=1. 0,25 Đặt P = a 4 + b 4 + c 4 - 2a 2 b 2 -2 b 2 c 2 - 2a 2 c 2 = (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 - 4a 2 b 2 - 4b 2 c 2 - 4a 2 c 2 0,25 Thay c 2 = (a+b) 2 vào ta được: = (2a 2 + 2b 2 + 2ab ) 2 - 4(a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ) 0,25 = 4[(a 2 + b 2 + ab) 2 - a 2 b 2 - c 2 (a 2 +b 2 )] 0,25 Thay c 2 = (a+b) 2 vào ta được: = 4[ (a 2 +b 2 ) 2 +2(a 2 +b 2 )ab + a 2 b 2 - a 2 b 2 -(a+b) 2 (a 2 +b 2 )] = 4[ (a 2 +b 2 ) 2 +2(a 2 +b 2 )ab -(a+b) 2 (a 2 +b 2 )] 0,25 = 4(a 2 +b 2 )[ (a 2 +b 2 ) +2ab -(a+b) 2 ] = 0 ⇒ a 4 + b 4 + c 4 = 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2a 2 c 2 0,25 Bài 2: ( 1,5 điểm) ⇔ 2(a 2 + b 2 + c 2 )≥ 2(ab + ac + bc) 0,25 ⇔ 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 -2ab -2ac - 2bc ≥ 0 0,25 ⇔ (a-b) 2 + (a-c) 2 + (b-c) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối luôn đúng (Do (a-b) 2 ≥ 0 …) nên có đpcm 0,25 Câu b ⇔ cba abc ab abc ac abc bc ++≥++ 222 )()()( 0,25 Nhân hai vế với số dương abc được: ⇔ abcacbbcaabacbc 222222 )()()( ++≥++ 0,25 Áp dụng a) cho ba số ab, bc, ca ta có: ≥++ 222 )()()( abacbc abcacbbca 222 ++ ⇒ đpcm 0,25 Bài 3: (1,5 điểm) ⇔ 6 6)6( 4 4)4( 8 8)8( 2 2)2( 2222 + ++ + + ++ = + ++ + + ++ x x x x x x x x 0,25 ⇔ 6 6 6 4 4 4 8 8 8 2 2 2 + +++ + ++= + +++ + ++ x x x x x x x x 0,25 ⇔ 6 6 4 4 8 8 2 2 + + + = + + + xxxx ⇔ 6 3 4 2 8 4 2 1 + + + = + + + xxxx ⇔ )6)(4( 245 )8)(2( 165 ++ + = ++ + xx x xx x 0,25 ⇔ (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8) ⇔ (5x+16)(x 2 +10x + 24) = (5x+24)( x 2 +10x + 16) 0,25 ⇔ 5x 3 + 50x 2 + 120x + 16x 2 + 160x + 16.24 = 5x 3 + 50x 2 + 80x + 24x 2 + 240x + 24.16 ⇔ 8x 2 + 40x = 0 0,25 ⇔ 8x(x + 5) = 0 x = 0; x = -5 Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm 0,25 Bài 4: (3,0 điểm) Câu a: 1,25 điểm DF = AE ⇒ ∆DFC = ∆AED 0,25 ⇒ ADE = DCF ⇒ EDC + DCF = EDC + ADE 0,25 EDC + ADE = 90 0 nên DE ⊥ CF 0,25 MC = MA (BD là trung trực của AC) 0,25 MA = FE nên EF = CM 0,25 Câu b: 1,0 điểm ⇒ ∆MCF =∆FED ⇒ MCF = FED 0,25 Từ MCF = FED chứng minh được CM ⊥ EF 0,25 Tương tự a) được CE ⊥ BF 0,25 ED, FB và CM trùng với ba đường cao của ∆FEC nên chúng đồng qui. 0,25 Câu c: 0,75 điểm ME + MF = FA + FD là số không đổi. 0,25 ⇒ ME.MF lớn nhất khi ME = MF 0,25 Lúc đó M là trung điểm của BD 0,25 A B C D M E F Bài 5: (1,5 điểm) Trong ∆BMF có AD//MF nên: BD BM BA BF = 0,25 Trong ∆CAD có AD//ME nên: CD CM CA CE = 0,25 Chia vế theo vế được: CM CD BD BM CE CA BA BF đề thi khảo sát HSG huyện Lộc Hà năm học 2007 - 2008 Câu 1: Cho 2 2 x 7x 6 A x 1 + = a) Rút gọn A b) Tìm x để A = 0 c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên Câu 2: Giải phơng trình: (x + 1) 2 = 4(x 2 + 2x + 1) Câu 3: Cho a, b, c thoã mãn: 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + Tính giá trị của biểu thức: A = (a 3 + b 3 )(b 3 + c 3 )(c 3 + a 3 ) Câu 4: Cho ABC có à à à A 2B 4C 4= = = Chứng minh: 1 1 1 AB BC CA = + Câu 5: Cho ABC có BC = 2a, M là trung điểm của BC. Lấy D, E theo thứ tự thuộc AB, AC sao cho: ã à DME B= a) Chứng minh rằng: tích BD. CE không đổi b) Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc BDE c) Tính chu vi của ADE nếu ABC là tam giác đều Hớng dẫn Câu 3: Từ 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + 1 1 1 1 0 a b c a b c + + - = + + a b a b 0 ab c(a b c) + + + = + + ⇔ a b 0 a b c(a b c) ab (a b). 0 (a + b)(b + c)(c + a) = 0 b c 0 b c abc(a b c) c a 0 c a é é + = =- ê ê + + + ê ê + = Û Û + = Û =- ê ê + + ê ê + = =- ë ë Tõ ®ã suy ra : A = (a 3 + b 3 )(b 3 + c 3 )(c 3 + a 3 ) = ( a + b)(b + c)(c + a). B = 0 C©u 4 : VÏ tia CM (M ∈ AB) sao cho · ACM = α CAM∆ vµ CBM∆ lµ c¸c tam gi¸c c©n ⇒ AB AB AM AB AM AB BM 1 BC AC CM CM CM CM + + = + = = = (v× BM = CM) ⇒ AB AB 1 1 1 1 BC AC AB BC CA + = ⇒ = + C©u 5 : a) Ta có · · · µ · DMC = DME + CME = B + BDM , mà · µ DME = B (gt) nên · · CME = BDM , kết hợp với µ µ B = C ( ∆ ABC cân tại A) suy ra ∆ BDM ∆ CME (g.g) ⇒ 2 BD BM = BD. CE = BM. CM = a CM CE ⇒ không đổi b) ∆ BDM ∆ CME ⇒ DM BD DM BD = = ME CM ME BM ⇒ (do BM = CM) ⇒ ∆ DME ∆ DBM (c.g.c) ⇒ · · MDE = BMD hay DM là tia phân giác của · BDE c) chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của · DEC kẻ MH ⊥ CE ,MI ⊥ DE, MK ⊥ DB thì MH = MI = MK ⇒ ∆ DKM = ∆ DIM ⇒ DK =DI ⇒ ∆ EIM = ∆ EHM ⇒ EI = EH Chu vi ∆ AED là P AED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK) ∆ ABC là tam giác đều nên suy ra ∆ CME củng là tam giác đều CH = MC 2 2 a = ⇒ AH = 1,5a ⇒ P AED = 2 AH = 2. 1,5 a = 3a 3 α 4 α α 3 α 2 α α M C B A K H I M E D C B A Phòng GD - ĐT lộc hà đề thi hsg huyện - năm học 2010 - 2011 môn toán 8 thời gian :150 phút Câu 1: Cho x + 1 x = a. Tính giá trị của các biểu thức sau theo a a) 2 2 1 x x + b) 3 3 1 x x + c) 4 4 1 x x + Câu 2: Giải phơng trình: a) 6 x 2 18 1 x 5 x 8 (x 5)(8 x) + + = + b) 2 x - x - 1 = 2 Câu 3: Chứng minh rằng: a) (n 2 + n - 1) 2 - 1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên n b) n 3 + 6n 2 + 8n chia hết cho 48 với mọi số chẵn n Câu 4: Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh a, vẽ một đờng thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đờng thẳng CD tại I. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 AM AI a + = Câu 5: Điểm M chuyển động trên đáy nhỏ AB của hình thang ABCD. Gọi O là giao điểm của các đờng thẳng chứa cạnh bên của hình thang. G là giao điểm của OA và CM, H là giao điểm của OB và DM. Chứng minh rằng: Khi M chuyển động trên AB thì tổng OG OH GD HC + không đổi phòng gd - đt đức thọ đề thi olympic huyện năm học 2010 2011 Môn toán lớp 8. Thời gian: 120 phút Bài 1: 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3 3 3 a b c 3abc + + 2) Cho 3 2 a 3ab 5 = và 3 2 b 3a b 10 = . Tính S = 2 2 a b+ Bài 2: 1) Giải phơng trình: 8 4 2 x 2x x 2x 2 0 + + = 2) Có tồn tại hay không số nguyên dơng n sao cho 6 n 2011 n 26 21+ = Bài 3: Rút gọn biểu thức A = 3 3 3 3 3 3 2 1 3 1 2011 1 2 1 3 1 2011 1 ì ì ì + + + Bài 4: Cho ABC vuông tại A, có AB < AC. Kẻ phân giác AD. Gọi M và N lần lợt là hình chiếu của D trên AB và AC. BN cắt CM tại K, AK cắt DM tại I, BN cắt DM tại E, CM cắt DN tại F. 1) Chứng minh rằng EF // BC 2) Chứng minh rằng K là trực tâm của AEF 3) Tính số đo của ả BID Bài 5: Cho a, b, c, d, e > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c + d + e = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) a b c d a b c a b P abcde + + + + + + = L u ý: Học sinh không đợc sử dụng bất kì loại máy tính bỏ túi nào Hết phòng gd - đt đức thọ đề thi olympic huyện năm học 2010 2011 Môn toán lớp 8. Thời gian: 120 phút Bài 1: 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3 3 3 a b c 3abc + + 2) Cho 3 2 a 3ab 5 = và 3 2 b 3a b 10 = . Tính S = 2 2 a b+ Bài 2: 1) Giải phơng trình: 8 4 2 x 2x x 2x 2 0 + + = 2) Có tồn tại hay không số nguyên dơng n sao cho 6 n 2011 n 26 21+ = Bài 3: Rút gọn biểu thức A = 3 3 3 3 3 3 2 1 3 1 2011 1 2 1 3 1 2011 1 ì ì ì + + + Bài 4: Cho ABC vuông tại A, có AB < AC. Kẻ phân giác AD. Gọi M và N lần lợt là hình chiếu của D trên AB và AC. BN cắt CM tại K, AK cắt DM tại I, BN cắt DM tại E, CM cắt DN tại F. 1) Chứng minh rằng EF // BC 2) Chứng minh rằng K là trực tâm của AEF 3) Tính số đo của ả BID Bài 5: Cho a, b, c, d, e > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c + d + e = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) a b c d a b c a b P abcde + + + + + + = L u ý: Học sinh không đợc sử dụng bất kì loại máy tính bỏ túi nào Hết H ớng dẫn chấm Bài 1: (5 điểm) 1) (3 điểm) 3 3 3 a b c 3abc + + = ( ) ( ) 3 3 a b 3ab a b c 3abc + + + (1 đ) = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a b c a b c a b c 3ab a b c + + + + (1 đ) = ( ) ( ) 2 2 2 a b c a b c ab bc ac + + + + + (1 đ) 2) (2 điểm) Ta có 3 2 a 3ab 5 = ( ) 2 3 2 a 3ab 25 = 6 4 2 2 4 a 6a b 9a b 25 + = (0,5 đ) và 3 2 b 3a b 10 = ( ) 2 3 2 b 3a b 100 = 6 2 4 4 2 b 6a b 9a b 100 + = (0,5 đ) Suy ra 125 = ( ) 3 6 6 2 4 4 2 2 2 a b 3a b 3a b a b+ + + = + . Do đó S = 2 2 a b+ = 5 (1 đ) Bài 2: (5 điểm) 1) (3 điểm) 8 4 2 x 2x x 2x 2 0 + + = 8 4 2 x 2x 1 x 2x 1 0 + + + = ( ) ( ) 2 2 4 x 1 x 1 0 + = (1,5 đ) Vì ( ) 2 4 x 1 0 ; ( ) 2 x 1 0 (0,5 đ) Nên phơng trình tơng đơng 4 x 1 0 x 1 0 = = x = 1 (0,5 đ) Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1 (0,5 đ) 2) (2 điểm). Giả sử tồn tại n N * sao cho 6 n 2011 n 26 21+ = . Ta có 26 n có tận cùng là 6 và 21 2011 có tận cùng là 1. Vậy n 6 có tận cùng phải là 5, do đó n có tận cùng là 5. (0,5 đ) Khi đó 6 n 2011 n 26 21+ = có dạng ( ) ( ) 6 402 5 5 5 26 21 .21+ = (0,5 đ) ( ) 25 76 01 .21+ = 01 21= , vô lí (0,5 đ) Vậy không tồn tại số nguyên dơng n thỏa mãn bài toán (0,5 đ) Bài 3: (2 điểm). Nhận xét rằng mỗi số hạng của tổng có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 k 1 k 1 k 1 1 k 1 k k 1 k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 k k 1 + + + + + = = + + + + + với k = 2, 3, , 2011 (1 đ) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1. 3 3 1 2. 4 4 1 2010. 2012 2012 1 S . 3 2 2 1 4 3 3 1 2012 2011 2011 1 + + + = + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1.2 2010. 3 3 1 4 4 1 2012 2012 1 S 3.4 2012 2 2 1 3 3 1 2011 2011 1 + + + = + + + = ( ) 2 2012 2011 3.1006.2011 (1 đ) Bài 4: (6 điểm). Vẽ hình không chính xác không cho điểm cả bài 1) (2 đ). Chứng minh đợc tứ giác AMDN là hình vuông (0,5 đ) MF BD BM BM ME FC DC MA DN ED = = = = (1đ) hay MF ME FC ED = EF // DC hay EF // BC (0,5 đ) 2) (2 đ). Theo ... bờ HC không chứa điểm A đề tứ giác MCNH có tổng đường chéo MN+CH= Không đổi Xác định dạng tứ giác MCNH để diện tích tứ giác lớn -Hết -(Cán coi thi không giải thích thêm)