VÀNH EUCLIDE Kiến thức: I Định nghĩa Ta gọi vành Euclide miền nguyên X với ánh xạ Từ tập phần tử khác X đến tập số tự nhiên thỏa mãn: ∀ a, b ∈ X* ,a b (i) ∀ a, b ∈ X, b ≠ (ii) kéo theo δ ( a ) ≤ δ (b) tồn cho với nếuthì Ánh xạđược gọi ánh xạ Euclide *Ví dụ: Vành số nguyênlà vành Euclide với ánh xạ Cho K trường Khi K với ánh xạ Với c số tự nhiên cho trước, vành Euclide Vành đa thức ẩn trường K vành Euclide với ánh xạ Bây ta cho vài kết đơn giản vành Euclide Bổ đề 4.1: Đối với hai phần tử khác không x,u vành Euclide E, u khả nghịch trường hợp ngược lại Chứng minh: Nếu u khả nghịch Và Tính khả nghịch u tương đương với Bởi u không khả nghịch xu xu không ước x Khi Ngoài ra, nên Từ bổ đề dễ dàng suy hệ sau Hệ 4.2 Trong vành Euclide E phần tử u khả nghịch , hai phần tử a,b liên kết Định lý sau cho ta mối quan hệ lớp vành Euclide lớp vành Định lý 4.3 Mọi vành Euclide vành Chứng minh Giả sử R vành Euclide với ánh xạ Trước hết, R vành Euclide nên miền nguyên Giả sử J ideal R Nếu Nếu tồn phần tử Đặt phần tử thuộc J* cho với Ta chứng tỏ Thật vậy, Bây giả sử Do R vành Euclide nên tồn cho Trong Do⟹ Nếu theo định nghĩa ta có trái với giả thiết Vậy , Điều chứng tỏ R vành Do vành Euclide vành nên ước chung lớn hai phần tử khác không tồn Hơn nữa, ước chung lớn tìm nhờ thuật toán tương tự thuật toán trình bày cho vành số nguyên Z Trước hết ta có bổ đề sau Nhận xét: Vì vành Euclide vành chính, kết hợp thêm định lý 8.3.2 (trang 45, giảng LÝ THUYẾT VÀNH, TRƯỜNG, thầy Nguyễn Thanh Bình thầy Nguyễn Hoàng Xinh): Mọi vành vành nhân tử hóa (vành Gauss) Nên ta định lý: Mọi vành Euclide vành Gauss Bổ đề 4.4: Trong vành Euclide E Chứng minh: Thật vậy, gọi I,J ideal sinh tập hợp Hiển nhiên a thuộc J nên I ⊂ J Mặt khác, từ suy c thuộc I, J ⊂ I Vậy I = J Theo chứng minh mệnh đề I, J theo thứ tự sinh phần tử (a,b), (b,c) nên hai phần tử liên kết ta chọn ước chung lớn (a,b) a b (b,c) Bây trình bày thuật toán để tìm ước chung lớn hai phần tử khác không a, b vành Euclide E sau Nếu hiển nhiên Nếu với theo bổ đề vừa chứng minh ta có Tiếp tục trình sau hữu hạn bước ta ……………………………………… Quá trình dừng sau hữu hạn bước dãy giảm thực số tự nhiên Bởi theo bổ đề ta được: nghĩa ước chung lớn a, b số dư cuối rn thuật toán nói Thuật toán dãy gọi thuật toán Euclide để tìm ước chung lớn hai phần tử vành Euclide Bài tập: II Chứng minh vành sau vành Euclide: a) b) Z; c) Chứng minh trường vành Euclide Giả sử A vành Euclide Chứng minh A trường với Giải: Giả sử A vành Euclide với ánh xạ Euclide: Nếu A trường với ta có Vậy ; mặt khác nên với Bây giả sử ánh xạ Đối với hai phần tử ta có thuộc A cho Và Do ánh xạ hằng, nên , nghĩa có nghịch đảo Giả sử vành A với ánh xạ vành Euclide Chứng minh tồn ánh xạ Euclide Sao cho Giải: Giả sử vành A với ánh xạ vành Euclide Khi tập hữu hạn, vô hạn Vì tập thứ tự tốt tập khác rỗng nên có phần tử bé thừa hưởng thứ tự Nếu hữu hạn gồm phần tử với ; Ta lập ánh xạ sau: Bây xét trường hợp vô hạn Do phận khác rỗng có phần tử bé nên dãy tăng số tự nhiên sau đây: Với Khi ta lập ánh xạ cách đặt Ta chứng minh ánh xạ Euclide Giả sử, với Thế , chẳng hạn với Suy Giả sử Khi : Giả sử có , với nên hay Giả sử A vành Euclide với ánh xạ Euclide Chứng minh phần tử bé khả nghịch A Giải: Vì ước phần tử nên với phần tử bé Bây , suy , phần tử bé Đảo lại, giả sử cho với Vì vành Euclide nên cho ta có thuộc cho ; Nhưng điều không xảy được, ước Giả sử A miền nguyên không trường Chứng minh điều kiện cần để A vành Euclide tồn phần tử không khả nghịch cho lớp có đại diện khả nghịch Giải: Giả sử vành Euclide Ta lấy ánh xạ Euclide cho dãy hữu hạn hay vô hạn Theo giả thiết toán, trường, nên dãy có hai phần tử Lấy cho , suy không khả nghịch Giả sử phần tử tùy ý Lấy chia cho ta Nghĩa , hay khả nghịch Vậy phần tử có dạng , với khả nghịch Nói cách khác lớp có đại diện hoặc khả nghịch Chứng minh vành Không phải vành Euclide (Người ta chứng minh A vành chính) Giải: Trước hết ta có hai nhận xét sau: a) Nếu với thuộc phần tử tùy ý thuộc chuẩn , số tự nhiên Thật Mặt khác, có phần ảo khác theo đẳng thức b) Các phần tử khả nghịch Thật vậy, giả sử cho có để Thế Theo nhận xét a) Từ Suy hay Bây ta chứng minh toán phản chứng Để cho gọn ta đặt , đặt Giả sử vành Euclide Ta phải có cho vành có dạng hay (theo nhận xét b)) Trước hết phần tử ảo, phần ảo, có dạng , vành có dạng Như không chạy khắp (vì không khả nghịch nên ) Vậy phải có phần ảo, theo nhận xét a) Bây ta lấy hay - Nếu , mâu thuẩn với - Nếu ( không xảy không khả nghịch) Như vậy, Nhưng nên Theo nhận xét a) , , mâu thuẩn với có phần ảo (Bài tập đề nghị) Giả sử Tìm ước chung lớn Cho A ideal vành Euclide X Chứng minh vành thương vành Euclide A ideal nguyên tố X 10 a) Chứng minh trường vành Euclide b)Giả sử A vành Euclide Chứng minh A trường ánh xạ ánh xạ (tức với 11 Giả sử miền nguyên A với ánh xạ vành Euclide Chứng minh tồn ánh xạ Euclide cho g với n số tự nhiên g 12 Cho X vành Euclide với ánh xạ Euclide f Chứng minh rằng: a) với b) a khả nghịch X  ... dãy gọi thuật toán Euclide để tìm ước chung lớn hai phần tử vành Euclide Bài tập: II Chứng minh vành sau vành Euclide: a) b) Z; c) Chứng minh trường vành Euclide Giả sử A vành Euclide Chứng minh... ảo (Bài tập đề nghị) Giả sử Tìm ước chung lớn Cho A ideal vành Euclide X Chứng minh vành thương vành Euclide A ideal nguyên tố X 10 a) Chứng minh trường vành Euclide b)Giả sử A vành Euclide Chứng... bổ đề dễ dàng suy hệ sau Hệ 4.2 Trong vành Euclide E phần tử u khả nghịch , hai phần tử a,b liên kết Định lý sau cho ta mối quan hệ lớp vành Euclide lớp vành Định lý 4.3 Mọi vành Euclide vành