Đang tải... (xem toàn văn)
TÀI LIỆU TOÁN A3 Bài 1: Tìm ma trận P làm chéo hóa A và xác định P1AP a. Đa thức đặc trưng có dạng: Xét Với , xét vecto riêng được sinh ra bởi vecto Với , xét vecto riêng được sinh ra bởi vecto b. Đa thức đặc trưng có dạng: Xét Với , xét vecto riêng được sinh ra bởi vecto Với , xét vecto riêng được sinh ra bởi vecto
TÀI LIỆU TOÁN A3 Bài 1: Tìm ma trận P làm chéo hóa A xác định P-1AP − 14 12 a A = − 20 17 Đa thức đặc trưng có dạng: − 14 − λ 12 A − λI = det 17 − λ − 20 = ( − 14 − λ ) ⋅ (17 − λ ) − ( − 20) ⋅ 12 = λ2 − 3λ + λ1 = Xét λ2 − 3λ + = ⇔ λ = Với λ1 = , xét − 14 − 12 x 0 − 20 17 − 1 × y = 0 − 15 x + 12 y = x = y ⇔ ⇔ − 20 x + 16 y = y = a 4 5 4 5 ⇒ vecto riêng p1 = a, a sinh vecto v1 = , 1 Với λ = , xét 12 x 0 − 14 − − 20 17 − 2 × y = 0 − 16 x + 12 y = x= y ⇔ ⇔ − 20 x + 15 y = y = b 3 4 3 4 ⇒ vecto riêng p = b, b sinh vecto v2 = , 1 4 5 ⇒P= 1 1 3 4 1 1 0 ⇒ P −1 AP = 0 0 b A = 6 − 1 Đa thức đặc trưng có dạng: 1 − λ A − λI = det − − λ = (1 − λ ) ⋅ ( − − λ ) − ⋅ = λ2 − λ1 = λ = −1 Xét λ2 − = ⇔ Với λ1 = , xét x 0 1 − − − 1 × y = 0 0 x + y = 3 x = y ⇔ ⇔ 6 x − y = x=a ⇒ vecto riêng p1 = ( a, 3a ) sinh vecto v1 = (1, 3) Với λ = −1 , xét 1 − ( − 1) x 0 × y = 0 ( ) − − − 2 x + y = x = ⇔ ⇔ 6 x + y = y = b ⇒ vecto riêng p = ( 0, b ) sinh vecto v2 = ( 0, 1) 1 0 ⇒P= 3 1 1 ⇒ P −1 AP = 0 − 1 1 0 c A = 0 1 0 1 Đa thức đặc trưng có dạng: 1 − λ 0 A − λI = det 1− λ 1 − λ = ( − λ ) + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ (1 − λ ) − ⋅ ⋅ ( − λ ) − ⋅ ⋅ (1 − λ ) = −λ3 + 3λ2 − 2λ λ1 = Xét − λ3 + 3λ2 − 2λ = ⇔ λ = λ3 = Với λ1 = , xét 0 x 0 1 − 1− × y = 0 1 − 0 z 0 x + y + 0z = x=0 ⇔ 0x + y + z = ⇔ y = a 0x + y + z = z = − y ⇒ vecto riêng p1 = ( 0, a, − a ) sinh vecto v1 = ( 0, 1, − 1) Với λ = , xét x 0 1 − − 1 × y = 0 1 − 1 z 0 0 x + y + z = x = b ⇔ 0x + y + z = ⇔ y = 0x + y + 0z = z = ⇒ vecto riêng p = ( b, 0, ) sinh vecto v = (1, 0, ) Với λ3 = , xét 0 x 0 1 − 1− × y = 0 1 − 2 z 0 − x + y + z = x = ⇔ 0x − y + z = ⇔ y = c 0x + y − z = z = y ⇒ vecto riêng p3 = ( 0, c, c ) sinh vecto v3 = ( 0, 1, 1) 0 ⇒ P = 1 − 1 0 0 ⇒ P AP = 0 0 0 2 −1 Bài 2: Tìm dạng tắc dạng toàn phương sau ma trận chuyển từ sở ban đầu sở tắc 2 a w( x ) = x1 + x + x3 − x1 x2 + x1 x3 − x2 x3 w( x ) = x12 + x 22 + x32 − x1 x + x1 x3 − 3x x3 ⇔ ( x1 ) − x1 ( x − x3 ) + ( x − x3 ) − x x3 2 ⇔ ( x1 − x + x3 ) − x x3 Đặt x1 − x2 + x3 = y1 ; x = y ; x3 = y + y3 ⇒ w( x ) = y12 − y ( y + y ) ⇔ y12 − y 22 − y y 1 ⇔ y12 − y 22 + ⋅ y y + y 32 + y 32 ⇔ y − y + y + y 32 Đặt y1 = z1 ; y + y3 = z ; y3 = z ⇒ dạng tắc dạng toàn phương là: w( x ) = z12 − z22 + biến đổi: z3 , với công thức z1 − z x1 = 0 12 2z2 − z3 ⇒T = 1 x2 = − − 2 z x = + z3 2 2 b w( x ) = x1 + x2 + x3 − x1 x2 + x1 x3 − 3x x3 w( x ) = x12 + x 22 + x32 − x1 x + x1 x3 − 3x x3 ⇔ x12 − x1 ( x − x3 ) + ( x − x3 ) + x x3 ⇔ ( x1 − x + x3 ) + x x3 Đặt x1 − x + x3 = y1 ; x = y ; x3 = y + y3 ⇒ w( x ) = y12 + y ( y + y ) ⇔ y12 + y 22 + y y ⇔ y12 + y 22 + ⋅ 1 y y + y 32 − y 32 4 ⇔ y12 + y + y − y 32 Đặt y1 = z1 ; y + y3 = z ; y3 = z ⇒ dạng tắc dạng toàn phương là: w( x ) = z12 + z 22 − biến đổi: z1 − z − z x1 = 0 z − z3 ⇒ T = −1 1 x2 = − − 2 x = 2z2 + z3 z , với công thức 2 c w( x ) = x1 + x + x3 + x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 w( x ) = x12 + x 22 + x32 + x1 x + x1 x3 + x x3 ⇔ x12 + ⋅ 1 x1 ( x + x3 ) + ( x + x3 ) + x x3 + x32 4 3 1 ⇔ x1 + x + x3 + x32 + ⋅ ⋅ x x3 + x 22 − x 22 3 ⇔ x1 + x + x3 − x + x2 + x3 Đặt x1 + x + x3 = y1 ; x = y ; x2 + x3 = y ⇒ dạng tắc dạng toàn phương là: w( x ) = y12 − y + yz 32 , với công thức biến đổi: ( ) 3 y1 − 3 − y − y x1 = 0 3 x2 = y ⇒ T = 1 3 − 1 − 3 − y2 + y3 3 x3 = 3 Bài 3: Nhận dạng vẽ đường bậc a Q( x, y ) = x + xy + y − = Trong Q( x, y ) có dạng toàn phương: x + xy + y Ma trận dạng toàn phương là: 5 2 2 5 Đa thức đặc trưng có dạng: 5 − λ A − λI = det − λ = (5 − λ) − ⋅ 2 = λ2 − 10λ + 21 λ1 = λ = Xét λ2 − 10λ + 21 = ⇔ Với λ1 = , xét x 0 5 − × = − 3 y 0 2 x + y = x = − y ⇔ ⇔ 2 x + y = x=a ⇒ vecto riêng p1 = ( a, − a ) sinh vecto v1 = (1, − 1) Trực chuẩn hóa v1 phương pháp Gramt – Smidth, ta được: u1 = v1 (1, − 1) = , − = 2 v1 2 + ( − 1) Với λ = , xét x 0 5 − × = − y 0 − x + y = x = y ⇔ ⇔ 2x − y = x = b ⇒ vecto riêng p = ( b, b ) sinh vecto v2 = (1, 1) Trực chuẩn hóa v phương pháp Gramt – Smidth, ta được: u2 = v2 (1, 1) = , = v2 2 ⇒ dạng tắc dạng toàn phương là: x ′ + y ′ , với công thức biến đổi: x 2 x′ × y = − 2 y ′ x = x′ + y ′ ⇔ y = − x′ + y ′ Thay x, y vào Q(x,y), ta được: 3x′ + y ′ − = ⇔ x′ + y′2 ( ) (3 ) 2 =1 ⇒ Q(x,y) elip hệ trục Ox ′y ′ có bán trục lớn trục nhỏ cos θ = nằm Ox ′ bán nằm Oy ′ , với công thức quay trục góc cho: , sin θ = y y′ x′ θ x O b Q( x, y ) = x − xy − y + = Trong Q( x, y ) có dạng toàn phương: x − xy − y Ma trận dạng toàn phương là: − 2 − − Đa thức đặc trưng có dạng: 2 − λ − A − λI = det − − − λ = ( − λ ) × ( − − λ ) − ( − 2) ⋅ ( − 2) = λ2 − λ − λ1 = Xét λ2 − λ − = ⇔ λ = −2 Với λ1 = , xét − − x 0 − − − 3 × y = 0 − x − 2y = x = −2 y ⇔ ⇔ − x − y = y=a ⇒ vecto riêng p1 = ( − 2a, a ) sinh vecto v1 = ( − 2, 1) Trực chuẩn hóa v1 phương pháp Gramt – Smidth, ta được: u1 = v1 ( − 2, 1) = − , = v1 5 Với λ = −2 , xét − x 0 2 − ( − ) × = −2 − − ( − ) y 0 4x − y = 2 x = y ⇔ ⇔ − x + y = x=b ⇒ vecto riêng p = ( b, 2b ) sinh vecto v2 = (1, ) Trực chuẩn hóa v phương pháp Gramt – Smidth, ta được: u2 = v2 (1, 2) = , = v2 5 ⇒ dạng tắc dạng toàn phương là: x ′ − y ′ , với công thức biến đổi: x − 5 x ′ × y = 5 y ′ x = −2 x ′ + y ′ ⇔ y = x′ + y ′ Thay x, y vào Q(x,y), ta được: 3x′ − y ′ + = ⇔ y′2 − 22 ( x′ 83 ) =1 ⇒ Q(x,y) hypebol hệ trục Ox ′y ′ có bán trục thực nằm Oy ′ bán trục ảo cos θ = nằm Ox ′ , với công thức quay trục góc cho: , sin θ = y y′ O 10 x′ θ x c Q( x, y ) = x + xy + y + x + y = Trong Q( x, y ) có dạng toàn phương: x + xy + y Ma trận dạng toàn phương là: 1 1 1 1 Đa thức đặc trưng có dạng: 1 − λ A − λI = det − λ = (1 − λ ) − ⋅ = λ2 − 2λ λ1 = λ = Xét λ2 − 2λ = ⇔ Với λ1 = , xét x 0 1 − 1 − × y = 0 x + y = x = − y ⇔ ⇔ x + y = y=a ⇒ vecto riêng p1 = ( − a, a ) sinh vecto v1 = ( − 1, 1) Trực chuẩn hóa v1 phương pháp Gramt – Smidth, ta được: u1 = v1 ( − 1, 1) = − , = v1 2 Với λ = , xét x 0 1 − 1 − × y = 0 − x + y = x = y ⇔ ⇔ x− y =0 x = b ⇒ vecto riêng p = ( b, b ) sinh vecto v2 = (1, 1) 11 Trực chuẩn hóa v phương pháp Gramt – Smidth, ta được: u2 = v2 (1, 1) = , = v2 2 ⇒ dạng tắc dạng toàn phương là: y ′ , với công thức biến đổi: x − 2 x ′ × y = 2 y ′ x = − x′ + y ′ ⇔ y = x′ + y′ Thay x, y vào Q(x,y), ta được: ( y ′ + − x′ ⇔ y′ − x′ ( ⇔( ⇔ Đặt ) ) + y′ + x′ + y′ + y′ =0 ( =0 y′ + ⋅ y′ ⋅ + = ⋅ x′ 2 − y′ + y′ + ) ( = ⋅ x′ 2 − ) ) = Y ; x′ 2 − = X ⇒ Y = X , với phép biến đổi: x = − X + Y − 15 y = 2X + Y − ⇒ Q(x,y) parabol hệ trục OXY , với công thức quay trục từ Oxy sang Ox ′y ′ góc cho: cos θ = OXY là: X = x ′ 2 − , : Y = y ′ + y′ y , công thức tịnh tiến từ Ox ′y ′ sang , sin θ = Y x′ θ X x O 12 [...]... 9 4 = X ⇒ Y 2 = 2 X , với phép biến đổi: x = − 2 X 7 + Y 2 − 15 7 y = 2X 7 + Y 2 − 6 7 ⇒ Q(x,y) là parabol trong hệ trục OXY , với công thức quay trục từ Oxy sang Ox ′y ′ một góc sao cho: cos θ = 1 OXY là: X = 7 x ′ 2 2 − 9 4 , : Y = 2 y ′ + 3 y′ y 2 , và công thức tịnh tiến từ Ox ′y ′ sang 2 , sin θ = 1 Y 2 x′ θ X x O 12 ... sinh ra bởi vecto v2 = (1, 1) 11 Trực chuẩn hóa v 2 bằng phương pháp Gramt – Smidth, ta được: u2 = v2 (1, 1) = 1 , 1 = v2 2 2 2 ⇒ dạng chính tắc của dạng toàn phương là: 2 y ′ 2 , với các công thức biến đổi: x − 1 2 1 2 x ′ × y = 1 2 1 2 y ′ x = − x′ 2 + y ′ 2 ⇔ y = x′ 2 + y′ 2 Thay x, y vào Q(x,y), ta được: ( 2 y ′ 2 + 8 − x′ ⇔ 2 y′ 2 − 7 x′ ( ⇔( ⇔ Đặt ... = 2X + Y − ⇒ Q(x,y) parabol hệ trục OXY , với công thức quay trục từ Oxy sang Ox ′y ′ góc cho: cos θ = OXY là: X = x ′ 2 − , : Y = y ′ + y′ y , công thức tịnh tiến từ Ox ′y ′ sang , sin θ = Y... − z − z x1 = 0 z − z3 ⇒ T = −1 1 x2 = − − 2 x = 2z2 + z3 z , với công thức 2 c w( x ) = x1 + x + x3 + x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 w( x ) = x12 + x 22 + x32 + x1 x + x1... + x3 = y1 ; x = y ; x2 + x3 = y ⇒ dạng tắc dạng toàn phương là: w( x ) = y12 − y + yz 32 , với công thức biến đổi: ( ) 3 y1 − 3 − y − y x1 = 0 3 x2 = y ⇒ T = 1 3 − 1 − 3 −