Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi khối A năm nay có 7 điểm đầu tiên rất cơ bản và không khó, tuy nhiên câu hệ phươngtrình lại là một câu rất hay. Điểm then chốt để giải bài toán này là biến đổi phương trình 1 (PT1) từ đórút được x y 12 . Với cấu trúc vế trái (VT) của PT1 ta có thể dùng đầy đủ các phương pháp giảinhư: Đại số; hình học; lượng giác và giải tích. Sau đây người viết xin đưa ra 10 cách giải quyết cho bài
10 CÁCH GIẢI QUYẾT CÂU HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC KHỐI A, A1 NĂM 2014 Người viết: Cao Văn Tùng (giáo viên Toán - Trường THPT Lạng Giang số 2) Đề thi khối A năm có điểm không khó, nhiên câu hệ phương trình lại câu hay Điểm then chốt để giải toán biến đổi phương trình (PT1) từ rút x 12 y Với cấu trúc vế trái (VT) PT1 ta dùng đầy đủ phương pháp giải như: Đại số; hình học; lượng giác giải tích Sau người viết xin đưa 10 cách giải cho toán x 12 y y 12 x 12 Câu (Đề thi đại học khối A, 2014): Giải hệ phương trình: x3 x y Cách 1: Đưa PT1 phương trình đẳng cấp 12 y 0; y Điều kiện xác định y 12 x Đặt t 12 y y 12 t phương trình (1) trở thành xt 2 12 t 12 x 12 2 12 t 12 x 12 xt 2 12 xt 2 2 144 12 x t xt 144 24 xt xt 12 xt 12 xt 2 3 x t x t xt x t x 12 y y 12 x thay vào PT(2) hệ ta được: x x 10 x x x x 3 x 3x 1 10 x 9 x 10 x x 3 x 3 x 3 x 3x 0 x x t nên x 3x 10 x 10 x Từ x = suy y = Khi x; t 3;3 nên xt 12 thỏa mãn toán Vậy nghiệm hệ x; y 3;3 Cách 2: Phương pháp nhân liên hợp Từ PT1 hệ ta biến đổi sau: x 12 y y 12 x 12 x2 y x 12 y y 12 x x 12 y y 12 x x 12 y y 12 x 12 x 12 y y 12 x x y 3 Cộng vế PT1 PT3 ta có: x 12 y x 12 y x 12 y 0 x 12 y y 12 x Đến ta giải tiếp cách Cách 3: Dùng BĐT Côsi kiểu 1: ab a b2 a 0; b Từ hệ ta rút điều kiện: y 12; x 12 với điều kiện có y 12 x2 1212 0 12 , x < suy ra: x 12 y y 12 x2 12 x 12 y 12 vô lý, x x2 Áp dụng BĐT Côsi ta có: x 12 y y 12 x 12 y 2 12 x y y 12 x 2 Cộng vế ta có: x 12 y y 12 x 12 x y 12 x y 12 , dấu “=” xảy khi: 2 y 12 x Đến ta giải tiếp cách Cách 4: Dùng BĐT Côsi kiểu 2: a b ab ab Đặt t 12 y , y 12 t , vào PT(1) ta có: x 12 y y 12 x 12 xt 12 t 12 x 12 2 144 12 x t xt 12 xt , đến bình phương đưa đẳng cấp tiếp dùng bất đẳng thức Côsi sau: 2 12 xt 144 12 x t xt 144 24 xt xt 12 xt 12 xt (do x2 t xt xt x2 t 2 xt ), dấu xảy x t , hay y 12 x Đến ta giải tiếp cách Cách 5: Dùng BĐT Bunhiacopxki Đánh giá vế trái PT(1) ta có: x 12 y y 12 x2 x2 12 x2 12 y x 12 x , đến giải sau: 12 y y y 122 , nên VT 12 , dấu “=” xảy khi: - Cách 5.1: 12 y 12 y x x 12 x 1 y y 12 y 12 x 12 12 y t hàm số f t 2 f x 12 t f , f ' t 12 y 12 12 t 12 t 2 sau xét hàm đồng biến, x 12 y y 12 x - Cách 5.2: Đặt t y 1 trở thành x 12 t 12 x xt t 12 x 12 t 2 xt 144 12 x t xt x t 12 x y 12 y 12 x Đến ta giải tiếp cách Cách 6: Dùng lượng giác Trước hết x 0; y (Theo cách 2) Từ PT(1) ta đặt sau: x 12 cos u; y 12sin v , x;y không âm nên cho u, v 0; , vào PT(1) ta có: 2 x 12 y y 12 x 12 12 cos u 12 12sin v 12sin v 12 12cos u 12 12cos u.cos v 12sin u.sin v 12 cos u v u v k 2 , chọn u, v 0; nên u v ; 2 từ y 12sin v 12 12cos v 12 x Đến ta giải tiếp cách Cách 7: Đặt ẩn phụ Đặt 12 x u u ;12 y v v ; y w w ta có: xv uw 12 2 2 2 x u 12 x u v w xv uv v w 12 x 12 y x v 2 x v u w y 12 x u w 12 x y Đến ta giải tiếp cách Cách 8: Hình học (Cách 1) Vế trái PT1 giống tích vô hướng hai vectơ ta nghĩ đến hướng giải sau: Đặt a x; 12 x ; b 12 y ; y , Khi a b x 12 y y 12 x VT PT(1) (*) a x 12 x 12 ; b 12 y y 12 , suy a b 12 VP PT(1) (**) Trong hình học ta có BĐT hình học vecto : a b a b , thực vậy: từ a b a b cos a ; b a b a b cos a ; b a b dấu “=” xảy a ; b phương Từ (*) (**) ta có : a b a b a ; b phương hay a k b , mặt khác a b 12 nên k 1 x 12 y Với k 1 ta có vô lý 12 x ; y dương 12 x y x 12 y Với k ta có y 12 x 12 x y Đến ta giải tiếp cách Cách 9: Hình học (Cách 2) Viết lại PT1 x 12 y y 12 x 12 nhận thấy x 12 x 12; y 12 y 12 nên điểm M x; 12 x ; N 12 y ; y thuộc đường tròn C : x y 12, có tâm gốc tọa độ O 0;0 , bán kính R 12 Để ý VT PT1 là: OM ON , mặt khác M ; N C nên ta có: OM ON OM ON cos OM ; ON R cos OM ; ON 12cos OM ; ON 12 Suy cos OM ; ON hay M N , x 12 y y 12 x , từ ta có 12 x y Đến ta giải tiếp cách Cách 10: Phương pháp hàm số Xét hàm số: f x x 12 y y 12 x , coi hàm số ẩn x y tham số Từ PT1 ta rút 12 x x 0;2 x f ' x 12 y xy y 12 x f ' x 12 y x y 12 x 12 y x y 12 x ; x y 12 y 12 x2 x y 12 y 12 x2 x y 144 12 y x y x y 12 x (1) Do y 2;12 x 12 y 0;10 x 12 y 0;2 x không âm x y Tiếp tục đạo hàm lần 2, f " x 12 y 12 x ' y 12 x x 0, x 0;2 y 12 x Do hàm số f x hàm lồi, từ ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có f x 12 , mặt khác từ PT1 hệ ta có f x 12 dấu “=” xảy từ đo suy x 12 y y 12 x Đến ta giải tiếp cách