Chắt lọc tinh túy chuỗi đề thi thử THPT quốc gia Your dreams – Our mission Ngày số Phương pháp phân tích nhân tử giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Lời bình: Những toán sử dụng phương pháp phân tích nhân tử xuất đề thi thử năm toán không khó mà nắm rõ hình thức phương pháp dạng Trước mắt, anh xin giới thiệu số toán trích từ đề thi đại học năm trước Bài 1: Giải hệ phương trình: { 5x y − 4xy + 3y − 2(x + y) = (1) xy(x + y ) + = (x + y)2 (2) (Trích đề thi tuyển sinh đại học năm 2011 khối A) Phân tích: Rõ ràng, hiểu sâu chất phương pháp sử dụng delta để phân tích thành nhân tử đập vào mắt phương trình (1) coi phương trình bậc hai biến x Lưu ý rằng, việc em mò mẫm nhân tử hay sử dụng máy tính phương trình (1) gây rắc rối!!! Thay vào đó, ta nên tính theo delta: (1) ↔ 5𝑦 𝑥 − 2(2𝑦 + 1)𝑥 + (3𝑦 − 2𝑦) = → ∆ 𝑥 = (2𝑦 + 1)2 − (3𝑦 − 2𝑦) 5𝑦 = −11𝑦 + 14𝑦 + ′ Rõ ràng ∆′𝑥 không phương nên chắn ta khẳng định phương trình (1) phân tích thành nhân tử Rõ ràng, việc xét hàm phương trình (1) Do đó, ta có vài lựa chọn sau: +Kết hợp với phương trình (2) cộng đại số để đưa phân tích thành tích +Không sử dụng phương pháp nhân tử, không sử dụng phương pháp hàm số nên dự đoán bất đẳng thức? +Phương trình (2) xử lý Trong ba hướng trên, hướng đơn giản ta làm trước Dĩ nhiên hướng thứ ba, x;y đối xứng nên ta đưa thử tổng tích: 𝑥 + 𝑦 = 𝑎; 𝑥𝑦 = 𝑏 (Đây phản xạ tự nhiên anh  ) 𝑏(𝑎2 − 2𝑏) + = 𝑎2 Ở đây, ta rút 𝑎2 theo b: −2𝑏 + = 𝑎2 − 𝑏 𝑎2 → 𝑎2 (𝑏 − 1) = 2𝑏 − Rõ ràng, đến em thấy có nhân tử 𝑏 − nhân tử 𝑥𝑦 − Do đó, ta có lời giải sau: Lời giải chi tiết: Ta có: (2) ⇔ (xy − 1)(x + y − 2) = ⇔ xy = x + y = Với xy = từ (1) suy y − 2y + = ⇔ y = ±1 Suy (x; y) = (1; 1) (x; y) = (−1; −1) x + y = từ (1) suy 3y(x + y ) − 4xy + 2x y − 2(x + y) = ⇔ 6y − 4xy + 2x y − 2(x + y) = ⇔ (1 − xy)(2y − x) = ⇔ xy = x = 2y 2√10 √10 −2√10 −√10 Với x = 2y từ x + y = suy (x; y) = ( ; ; );( ) 5 5 Vậy hệ có nghiệm (1; 1); (−1; −1); ( 2√10 √10 2√10 −√10 ; ; ) ; (− ) 5 5 LOVEBOOK.VN | Chắt lọc tinh túy Hệ phương trình Your dreams – Our mission Lời bình: Khi viết lời phân tích cho toán trên, anh tự dưng xem lại toán chinh phục hệ phương trình Bài ví dụ 92 phải, anh không nhớ rõ Anh ấn tượng đề ngắn quá!!! Cấm mở sách, em thử làm xem (Gợi ý: phương pháp phân tích nhân tử đâu nhé) Giải hệ phương trình: 𝑥 − 2𝑥 = 𝑦 − 𝑦 { (𝑥 − 𝑦 )3 = Nếu đọc xong toán mà chưa biết phương pháp anh nhắc tới thêm cho “tình cảm”: √𝑥 + + √𝑦 + = { 72𝑥𝑦 + 29√𝑥 − 𝑦 = 𝑥−𝑦 Sau năm 2011 năm 2012 ;2013 chí năm 2014 có hệ phương trình mà giải phương pháp phân tích nhân tử Anh nói vậy,để dự báo với em rằng: Đừng học tủ, chưa đề năm khác dạng đề năm ngoái! ∎ Bài 2: Giải hệ phương trình: xy + x − = { 2x − x y + x + y − 2xy − y = (Trích đề thi đại học khối D năm 2012) Lưu ý: Phương trình hai phương trình bậc hai biến y Hệ cho tương đương với: xy + x − = (1) { (2x − y + 1)(x − y) = (2) Nếu 2x − y + = ⇔ y = 2x + Thay vào (1) ta được: −1 ± √5 x2 + x − = ⇔ x = Do ta nghiệm: −1 + √5 −1 − √5 (x; y) = ( ; √5) ; (x; y) = ( ; −√5) 2 Nếu x − y = ⇔ y = x Thay vào (1) ta được: x + x − = ⇔ (x − 1)(x + x + 2) = ⇔ x = Ta nghiệm (x; y) = (1; 1) Vậy hệ cho có nghiệm là: −1 + √5 −1 − √5 (x; y) = (1; 1); (x; y) = ( ; √5) ; (x; y) = ( ; −√5) 2 Nhận xét: Bài toán năm 2012 toán dễ em, sang toán năm 2013 2014 mức độ có tăng lên chút Dĩ nhiên, em “cày” nhiều hệ phương trình nên toán dạng quen thuộc với em ∎ Bài 3: Giải hệ phương trình: 2x + y − 3xy + 3x − 2y + = (1) { 4x − y + x + = √2x + y + √x + 4y (2) (Trích đề thi đại học khối B năm 2013) Phân tích: Như thường lệ, ta phân tích từ phương trình (1) Có điểm lưu ý phương trình (1) phương trình bậc hai biến x hay biến y Do đó, em chọn biến Và dù chọn LOVEBOOK.VN | 10 Chắt lọc tinh túy chuỗi đề thi thử THPT quốc gia Your dreams – Our mission biến kết toán sau thu gọn kết Đồng thời, biến x mà có delta không phương hiển nhiên biến y vậy, em không cần nháp! Giả sử với toán ta coi biến y: (1) ↔ 𝑦 − (3𝑥 + 2)𝑦 + 2𝑥 + 3𝑥 + = ∆𝑦 = (3𝑥 + 2)2 − 4(2𝑥 + 3𝑥 + 1) = 𝑥 (3𝑥 + 2) ± 𝑥 →𝑦= Do đó, ta có hai trường hợp: 𝑦 = 𝑥 + 1; 𝑦 = 2𝑥 + Ở trường hợp, ta thay vào phương trình (2) thu phương trình có bậc hai, bậc hai Phương pháp giải có: +Đặt ẩn phụ +Bình phương hai vế +Dùng hàm số +Nhân liên hợp Bạn đọc tự nhìn nhận để chọn phương pháp cho phù hợp Lưu ý rằng, sử dụng máy tính nghiệm đẹp phương pháp nhân liên hợp phương pháp ưu tiên Lời giải chi tiết: Điều kiện: 2x + y ≥ 0; x + 4y ≥ Từ (1) ta được: y = x + 1; y = 2x + Với y = x + thay vào (2) ta được: 3x − x + = √3x + + √5x + ⇔ 3(x − x) + (x + − √3x + 1) + (x + − √5x + 4) = 1 ⇔ (x − x) (3 + + )=0 x + + √3x + x + + √5x + ⇔ x − x = ⇔ x = x = Khi ta có nghiệm (x; y) (0; 1); (1; 2) Với y = 2x + thay vào (2) ta − 3x = √4x + + √9x + ⇔ 3x + (√4x + − 1) + (√9x + − 2) = ⇔ x (3 + + )=0⇔x=0 √4x + − √9x + + Khi ta nghiệm hệ (0; 1) Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ cho (0; 1); (1; 2) Nhận xét: Nói việc giải phương trình, năm này, có câu phương trình sử dụng phương pháp tách thành tích để giải ∎ Bài 4: Giải phương trình: 42x+√x+2 + 2x = 42+√x+2 + 2x +4x−4 (Trích đề thi đại học khối D năm 2010) Gợi ý giải: Điều kiện: x ≥ −2 Phương trình cho tương đương với (24x − 24 ) (22√x+2 − 2x (24x 22√x+2 − x3 −4 −2 4) −4 )=0 =0⇔x=1 = ⇔ 2√x + = x − (1) Nhận xét: x ≥ √4 Xét hàm số f(x) = 2√x + − x + [ √4; +∞) f ′ (x) = − 3x < √x − Suy f(x) nghịch biến [ √4; +∞) Ta có: f(2) = nên phương trình (1) có nghiệm x = LOVEBOOK.VN | 11 Chắt lọc tinh túy Hệ phương trình Your dreams – Our mission Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1; x = Nhận xét: Trên cách giải đáp án Thế nhưng, việc nghĩ phương trình (1) theo phương pháp hàm số thường học sinh nghĩ tới Thay vào đó, em dùng máy tính nghiệm 𝑥 = hoàn toàn sử dụng phương pháp nhân liên hợp quen thuộc Các em thử đặt bút xem! ∎ Bài 5: Giải phương trình: log x + log (1 − √x) = log √2(x − 2√x + 2) (Trích đề thi đại học khối D năm 2013) Gợi ý giải: Điều kiện: < x < Phương trình cho tương đương: x2 ⇔ − √x x2 = x − 2√x + = x +2 − √x (1 − √x) x x ⇔( + 1) ( − 2) = − √x − √x x x ⇔ − = (do > 0) ⇔ x = − 2√3 − √x − √x Đối chiếu điều kiện ta nghiệm phương trình cho x = − 2√3 Nhân xét: Bài anh nêu mục đích ôn lại công thức logarit Em thấy tự dưng quên xem lại ∎ Bài 4: Giải hệ phương trình: (1 − y)√x − y + x = + (x − y − 1)√y (1) { 2y − 3x + 6y + = 2√x − 2y − √4x − 5y − (2) (Trích đề thi đại học khối B năm 2014) Nhận xét: Dĩ nhiên toán xuất phát sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử không dạng quen thuộc Để đánh giá nhanh ta thường phương trình (1) rõ ràng nhìn phương trình (2) phức tạp phương trình (1) bậc số lượng thức Điểm ý phương trình (1) đại lượng √𝑥 − 𝑦 xuất kèm theo đại lượng 𝑥 − 𝑦 xuất hiện! Nên có phản xạ tự nhiên anh là: √𝑥 − 𝑦 = 𝑡 → 𝑥 = 𝑡 + 𝑦 Bây phương trình (1) viết hết hai ẩn 𝑦; 𝑡 Ta có: (1 − 𝑦) 𝑡 + 𝑡 + 𝑦 = + (𝑡 − 1) √𝑦 Nhìn lướt qua phương trình bậc hai ẩn t hay √𝑦 Giả sử ta coi √𝑦, ta có: (𝑡 − 1) 𝑦 + (𝑡 − 1) √𝑦 + (−𝑡 − 𝑡 + 2) = Một tình cờ ta có nhân tử 𝑡 − nên ta có: (𝑡 − 1)[𝑦 + (𝑡 + 1)√𝑦 − (𝑡 + 2)] = Dùng delta nhẩm nghiệm ta thấy √𝑦 = 1; √𝑦 = −𝑡 − Do đó, ta đưa lời giải sau: Lời giải chi tiết: y≥0 Điều kiện { x ≥ 2y (∗) 4x ≥ 5y + Ta có: (1) ⇔ (y − x + 1)(√x − y − 1) + (x − y − 1)(1 − √y) = LOVEBOOK.VN | 12 Chắt lọc tinh túy chuỗi đề thi thử THPT quốc gia ⇔ (1 − y)(x − y − 1) ( Do ( √x − y + + 1 + √y Your dreams – Our mission √x − y + + ) = (3) + √y ) > nên: y=1 y=x−1 Với y = phương trình (2) trở thành: − 3x = ⇔ x = Với y = x − điều kiện (*) trở thành: ≤ x ≤ Phương trình (2) trở thành: (3) ⇔ [ 2x − x − = √2 − x ⇔ 2(x − x − 1) + (x − − √2 − x) = ⇔ (x − x − 1) (2 + )=0 (x − + √2 − x) ⇔ x2 − x − = ⇔ x = ± √5   1   Đối chiếu (*) kết hợp trường hợp ta có nghiệm hệ 3;1 ;  ;      Nhận xét: Lại nói phương trình 2𝑥 − 𝑥 − = √2 − 𝑥 sử dụng máy tính bất lợi trường hợp Nhưng lưu ý rằng, ta bình phương hai vế đưa phương trình bậc bốn đặt thức ẩn số đưa phương trình bậc bốn đưa dạng hàm số Như vậy, riêng phương trình có bốn cách giải, bề dày sách không cho phép nên hẹn gặp em vào buổi học dành cho em phấn đấu điểm 10 vào tháng Ta tiếp tục vấn đề với hai thi đề thi thử đại học năm ∎ Bài 5: Giải hệ phương trình: xy(x + 1) = x + y + x − y { 3y (2 + √9x + 3) + (4y + 2) (√1 + x + x + 1) = (Trích đề thi thử THPT quốc gia trường THPT Tam Đảo 2016) Dự đoán: Phương trình (1) coi phương trình bậc hai với biến y nên ta tính ∆𝑦 để thử nghiệm Phương trình (2) xuất hình thức hai biểu thức có hình thức giống nên sau thể đưa phương pháp hàm số Lời giải chi tiết: Điều kiện xác định: ∀x ∈ R Ta có: xy(x + 1) = x + y + x − y ⇔ x − x y + y − xy + x − y = x=y ⇔ (x − y)(x − y + 1) = ⇔ [ y = x2 + Với y = x + thay vào phương trình thứ hai ta có: 2(x + 1) (2 + √9x + 3) + (4x + 6) (√1 + x + x + 1) = Dễ thấy phương trình vô nghiệm vế trái dương Với y = x thay vào phương trình thứ hai ta có: 3x (2 + √9x + 3) + (4x + 2) (√1 + x + x + 1) = ⇔ 3x (2 + √9x + 3) = −(2x + 1) (√3 + (2x + 1)2 + 2) ⇔ 3x (2 + √9x + 3) = (−2x − 1) (√3 + (−2x − 1)2 + 2) LOVEBOOK.VN | 13 Chắt lọc tinh túy Hệ phương trình Your dreams – Our mission Xét hàm f(t) = t(√t + + 2) R ta có: f ′ (t) = √t + + + t2 √t + >0 Do đó, hàm số f(t) đồng biến R Từ suy ra: f(3x) = f(−2x − 1) ↔ 3x = −2x − ⇔ x = −  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm   ;   ∎  5 Bài 6: Giải hệ phương trình: 2x + y + x = 3(xy + 1) + 2y 2 { + = + √2x − y + √4 − 5x 2x − y + (Trích đề thi thử THPT quốc gia trường THPT Số Bỏa Tháng – 2016) Phân tích: Phương trình (1) phương trình bậc hai biến x y Do đó, ta tính thử ∆𝑥 phương ok! Vấn đề sau nháp ta thu 𝑦 = 𝑥 − thay vào phương trình hai ta được: + √𝑥 + + √4 − 5𝑥 𝑥 + 10 Nhận xét: 𝑥 = 0; 𝑥 = −1 hai nghiệm thỏa mãn nên đưa (𝑥 + 𝑥)𝐴 = cách nhân liên hợp + = Phương pháp xuất chinh phục hệ phương trình rồi! Vấn đề đây, dạng phân số nên ta thử đặt ẩn phụ để đưa hệ xem sao: √𝑥 + = 𝑎 ≥ 𝑥 = 𝑎2 − 𝑏 + 5𝑎2 = √4 − 5𝑥 = 𝑏 ≥ →{ 2 2 + = + = {3 + 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 10 3+𝑎 3+𝑏 𝑎 +9 Như hệ toán quy việc giải hệ: 𝑏 + 5𝑎2 = (1) { + = (2) 3+𝑎 3+𝑏 𝑎 +9 Ta có: 2(𝑎 + 𝑏 + 6) = (𝑎 + 3)(𝑏 + 3) 𝑎 + ⇔ 2(𝑎 + 𝑏 + 6)(𝑎2 + 9) = 9(𝑎 + 3)(𝑏 + 3) (2) ⇔ Suy nghĩ tự nhiên ta thử đưa đối xứng: 𝑎2 + = 𝑎2 + 𝑥 (𝑏 + 5𝑎2 ) + − 9𝑥 = (1 + 5𝑥)𝑎2 + 𝑥 𝑏 + (9 − 9𝑥) Chọn + 5𝑥 = 𝑥 suy ra: 𝑥 = −1/4 Nên : 45 𝑎2 + = − (𝑎2 + 𝑏 ) + 4 Do đó: (2) ⇔ (𝑎 + 𝑏 + 6)(45 − (𝑎2 + 𝑏 )) = 18(𝑎 + 3)(𝑏 + 3) Đặt 𝑎 + 𝑏 = 𝑆; 𝑎𝑏 = 𝑃 ta có: (𝑆 + 6) (45 − 𝑆 + 2𝑃) = 18(𝑃 + 3𝑆 + 9) Rõ ràng P bậc nên ta viết P theo S: 2(𝑆 − 3)𝑃 = 𝑆 + 6𝑆 + 9𝑆 − 108 Rất may lại có 𝑆 − làm nhân tử 2(𝑆 − 3)𝑃 = (𝑆 − 3)(𝑆 + 9𝑆 + 36) Vì 𝑎; 𝑏 ≥ nên: LOVEBOOK.VN | 14 Chắt lọc tinh túy chuỗi đề thi thử THPT quốc gia 2𝑃 ≤ Your dreams – Our mission 𝑆2 < 𝑆 + 9𝑆 + 36 Nên ta có: 𝑃 = hay 𝑎 + 𝑏 = Như theo phân tích ta giải toán theo phân tích này, đưa thành nhân tử: √𝑥 + + √4 − 5𝑥 − Do đó, ta có lời giải sau: Lời giải chi tiết: 2x − y ≥ Điều kiện: { Biến đổi phương trình thứ hệ: 2x + y + x = 3(xy + 1) + 2y ⇔ (x − y − 1)(2x − y + 3) = ⇔ y = x − Với y = x − thay vào phương trình thứ hai ta phương trình sau: 2 + = + √x + + √4 − 5x x + 10 x 2(x + 10)(6 + √x + + √4 − 5x) = 9(9 + 3√x + + 3√4 − 5x + √x + 1√4 − 5x) (√x + + √4 − 5x − 3)(9√x + + 9√4 − 5x − 4x + 41) = (∗) Do x ∈ [−1; ] nên: 9√x + + 9√4 − 5x − 4x + 41 > (∗) ⇔ √x + + √4 − 5x − = ⇔ √x + + √4 − 5x = ⇔ 2√x + √4 − 5x = + 4x ⇔ √x + (−2√x + + √4 − 5x) = ⇔[ x = −1 √x + = ⇔[ x=0 2√x + = √4 − 5x Với x = ta có: y = −1 Với x = −1 ta có: y = −2 Đối chiếu với điều kiện thay hệ phương trình ban đầu thử lại ta thấy thỏa mãn Vậy hệ cho có nghiệm (0; −1); (−1; −2) ∎ Bài 7: Giải hệ phương trình: y y+1 = − (x + 1) x+1 y { √8y + = (x + 1)√y + x− Nhận xét: Chắc chắn xuất phát từ phương trình (1) việc quy đồng mẫu thu gọn phương trình bậc hai biến y Khi đó, bạn đọc tính ∆𝑦 để khảo sát!!!  Đây hướng đề mà anh nghĩ xảy ra, che dấu hình thức quen thuộc mà ta biết Lời giải chi tiết: Điều kiện xác định: x ≠ −1; y > y 1+y = − (x + 1) x+1 y 1+y y ⇔ x+ = + y x + (x + 1)2 xy + y + y(x + 1) + ⇔ = (x + 1)2 y xy + y + yx + y + xy + y + = ⇔ − =0⇔[ y = (x + 1)2 (x + 1) y Với y = (x + 1)2 thay vào (2) ta có: x− LOVEBOOK.VN | 15 Chắt lọc tinh túy Hệ phương trình Your dreams – Our mission √8(x + 1)2 + = (x + 1)|x + 1| + Xét x > −1 Đặt t = x + (t > 0), ta có phương trình: √8t + = t + ⇔ 8t + = t + 4t + ⇔ t − 4t − = ⇔ [t 2= −1 ⇔ t = t =5 ⇔ t = ±√5 ⇒ t = √5 ⇒ x = −1 + √5 ⇒ y = Xét x < −1 Đặt t = x + (t < 0), ta có phương trình: √8t + = −t + ⇔ {8t + 2= t − 4t + −t + ≥ t = − √41 [2 t − 12t − = ⇔{ ⇔ { t = + √41 ≥ t2 ≥ t2 Trường hợp hệ vô nghiệm Với (x + 1)y = −1 thay vào (2) có: √8y + + √y − = (3) y Vì y > ⇒ 8y + > ⇒ √8y + > nên phương trình (3) vô nghiệm Do trường hợp vô nghiệm x = −1 + √5 Vậy phương trình cho có nghiệm { ∎ y=5 Mộ t số luyện tập: Bài toán: Giải hệ phương trình sau: 4  x  y y  4x   2y  y  6x   4 y  x   9y x      (Trích đề thi thử THPT quốc gia THPT chuyên Amsterdam 2016)  x  x   y  y   2  x  y  xy  (Trích đề thi HSG tỉnh Ninh Bình 2015) Gợi ý phương trình (1) chuyển vế bình phương vế   ; Kết  x , y    0;1  ;    3 1  y  x2  2y  x  2y  3xy    y   x  2y  2y  x   4x    2y  11  17  y   y   y  y  3x  3  53x  2  x2  xy  y  x2  y  185   2 2   x  xy  y  x  y  65  x y  x  xy  1  2  x  x y  x y  LOVEBOOK.VN | 16 (Trích đề thi thử THPT quốc gia THPT Nguyễn Huệ - tỉnh Ninh Bình) ... bề dày sách không cho phép nên hẹn gặp em vào buổi học dành cho em phấn đấu điểm 10 vào tháng Ta tiếp tục vấn đề với hai thi đề thi thử đại học năm ∎ Bài 5: Giải hệ phương trình: xy(x + 1) =... vậy,để dự báo với em rằng: Đừng học tủ, chưa đề năm khác dạng đề năm ngoái! ∎ Bài 2: Giải hệ phương trình: xy + x − = { 2x − x y + x + y − 2xy − y = (Trích đề thi đại học khối D năm 2012) Lưu ý:... 5x 2x − y + (Trích đề thi thử THPT quốc gia trường THPT Số Bỏa Tháng – 2016) Phân tích: Phương trình (1) phương trình bậc hai biến x y Do đó, ta tính thử ∆