1 S S 2 Tích vô hướng của hai véc tơ Sở giáo dục và đào tạo hải phòng Trường THPT trần hưng đạo Thực hiện: Nguyễn Thị Vân 2 • O • ϕ O’ F A =  F  .OO’cosϕ Trong ®ã  F  lµ c­êng ®é lùc F tÝnh b»ng Niut¬n (N) OO’ ®é dµi OO’ tÝnh b»ng mÐt (m) ϕ Lµ gãc gi÷a OO’ vµ F 3 1.Định nghĩa: Cho hai véc tơ a và b khác véc tơ 0.Tích vô hướng của a và b Là một sô ký hiệu là a.b,được xác định bởi công thức sau: a.b = a . b cos(a,b). Trường hơp ít nhất một trong hai véc tơ a hoặc b bằng véc tơ 0 Ta quy ước: a.b = 0 Chú ý a)Với a và b khác véc tơ 0 ta có a.b = 0 a b b) Khi a = b => a.a = a 2 Gọi là bình phương vô hướng của véc tơ a a 2 = a . a cos 0 0 = a 2 4 Ghi nhí a.b =  a . b cos(a,b). VÝ dô:Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã c¹nh b»ng a vµ cã chiÒu cao AH. A B C H Khi ®ã: AB.AC = a . a. cos 60 0 = 1 2 a 2 AC.CB = a . a. cos 120 0 = -1 2 a 2 AH.BC = a. cos 90 0 = 0 a√ 3 2 5 Ghi nhí a.b =  a . b cos(a,b). (*) 2.TÝnh chÊt cña tÝch v« h­íng b  lµ mét sè a  lµ mét sè cos ( a,b ) lµ mét sè a. b = b. a ( tÝnh chÊt giao ho¸n ) a. ( b + c ) = a. b + a . c (t/c ph©n phèi) ( k a ). b = k ( a.b ) = a.(k b); a 2 ≥ 0, a 2 = 0  a = 0 NhËn xÐt: (a + b ) 2 = a 2 + 2a.b + b 2 ( a - b ) 2 = a 2 - 2a.b + b 2 ( a + b ). (a – b ) = a 2 – b 2 6 Ghi nhí a.b =  a . b cos(a,b). (*) Cho hai vÐc t¬ a vµ b ®Òu kh¸c vÐc t¬ 0 Khi nµo th× tÝch v« h­íng cña hai vÐc t¬ lµ sè d­¬ng? Lµ sè ©m? B»ng 0? *) a . b > 0  0 0 < ( a , b ) < 90 0 *) a . b < 0  90 0 < ( a , b ) < 180 0 *) a . b = 0  [ a = 0 b = 0 ( a , b ) = 0 0 tøc lµ a ⊥ b 1 7 A • B • F F 2 F 1 ( F , AB ) = α F 1 ⊥ AB F 2 lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña F lªn AB F = F 1 +F 2 C«ng A = F . AB = ( F 1 + F 2 ).AB = F 1 . AB + F 2 .AB A = F 2 .AB 8 3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Trên mặt phẳng tọa độ (O, i, j ),cho hai véc tơ a = (a 1 ;a 2 ), b = (b 1 ;b 2 ) Khi đó tích vô hướng a.b = a 1 .b 1 +a 2 .b 2 Học sinh tự chứng minh Nhận xét:hai véc tơ a = (a 1 ;b 1 ) và b= (a 2 ;b 2 ) khác véc tơ 0 Vuông góc với nhau khi và chỉ khi a 1 .b 1 + a 2 b 2 = 0 9 2 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A( 2;4),B(1;2) C(6;2).Chứng minh rằng AB AC Học sinh cùng nhau chứng minh. AB = (-1 ; -2 ) AC = (4 ; -2 ) AB . AC = (-1).4 + (-2).(-2) = -4 +4 =0 => AB AC Ghi nhớ a.b = a . b cos(a,b). (*) Trên mặt phẳng tọa độ (O, i, j ), cho hai véc tơ a = (a 1 ;a 2 ), b = (b 1 ;b 2 ) a.b = a 1 .b 1 +a 2 .b 2 a b a 1 .b 1 +a 2 .b 2 = 0 Ghi nhớ a.b = a . b cos(a,b). (*) 3.Trên mặt phẳng tọa độ (O, i, j ), cho hai véc tơ a = (a 1 ;a 2 ), b = (b 1 ;b 2 ) a.b = a 1 .b 1 +a 2 .b 2 a b a 1 .b 1 +a 2 .b 2 = 0 4.áp dụng: a.Độ dài của véc tơ ba 2 1 2 1 += a b) Góc giữa hai véc tơ: cos ( a , b ) = a .b a . b = a 1 b 1 + a 2 b 2 baba 2 2 2 2 2 1 2 1 . ++ [...]... a2 B –a2 C 2a2 232 2 3 A a− B C a a 0D333 2 2 D a2 2 Cho ∆MNP uuuu r uuu rvng tại M MN=a, NP=2a Tích vơ hướng có giá trị b ằng: MN.NP (A) - a2 (B) 2a2 (C) −2a2 (D) a2 Ví dụ 2: Cho 2 vectơ OA, OB.Gọi B’ là hình chiếu của B trên đường thẳng OA CMR: OA OB = OA OB’ “Với vectơ OB’ gọi là hình chiếu của vectơ OB trên đường thẳng OA Ta có cơng thức: OA OB = OA OB’ Đây được gọi là B cơng thức hình chiếu.”... giác đều ABC có cạnh a và trọng tâm G Tính các tích vô hướng uuursau uuâ r yuuur uuur uuur uuur AB AC ; AC.CB; AG AB uuur uuur uuur uuur uuur uuur GB.GC ; BG.GA; GA.BC A G B C uuur uuur 1 AB.BA uuur uuur 2 AB AC uuur uuur 3 BA.BC uuur uuur 4 AC.BC uuur uuur 5 AB.BC uuur uuur 6 CB.BA Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng tại A BC=a , B =300 Tính các tích vơ B hướng A A C Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a... ( ) ) ) Đáp án 1 1800; 4 600 2 900 5 1500 A 3 300 6 1500 C Bài 2 : Tích vơ hướng của hai véc tơ uuu r uuu r 1 AB; BA uuu r uuur 3 BA; BC uuu r uuur 5 AB; BC ( ( ( ) ) ) uuu ruuuur 2 AB; AC uuur uuur 4 AC ; BC uuu r uuu r 6 CB; BA ( ( ( ) ) ) Đáp án 1 1800; 4 600 2 900 5 1500 B A 3 300 6 1500 C Ghi nhí a.b =  a . b cos(a,b) Cho hai vÐc t¬ a vµ b ®Ịu kh¸c r vÐc r t¬ 0 Khi nµo thi tÝch v« híng a.b... F.00’ A = F2.00’ Là cơng thức tính cơng A của lực F làm vật di chuyển từ A đến B trong Vật Lý Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a và chiều cao AH Tính: uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB AC , AB.CB, AH BC A 600 B H Ghi nhí a.b =  a . b cos(a,b) C c)Ví dụ Cho tam giác đều ABC có cạnh bằnguuu ar và uuurcóuuur uuur uuur uuur chiều cao AH Tính các tích vơ hướng sau: AB AC , AB.CB, AH BC A Giải uuur... v« híng a.b • lµ sè d¬ng? • lµ sè ©m ? • b»ng 0 ? 0 0 0 < ( a , b ) < 90 *) a b > 0  900< ( a , b ) < 1800 *) a b < 0  *) a b = 0  a=0 b=0 ( a , b ) = 900 tøc lµ a ⊥ b [ IV.Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng ... b) AB.BC = AB BC cos( AB, BC ) 1200 1 = a.a.cos(1200 ) = − a 2 2 A’ Ghi nhí a.b =  a . b cos(a,b) H C Cho tam giác đều ABC có cạnh bằnguuu ar và uuurcóuuur uuur uuur uuur chiều cao AH Tính các tích vơ hướng sau: AB AC , AB.CB, AH BC c)Ví dụ A Giải uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) AB AC = AB AC cos( AB, AC ) 1 = a.a.cos600 = a 2 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) AB.BC = AB BC cos( AB, BC ) 1... tích vơ B hướng A A C Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a và chiều cao AH Tính: uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB AC , AB.CB, AH BC B C Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng tại A BC=a , B =300 Tính các tích vơ hướng uuur uuur B 1 AB.BA uuur uuur 2 AB AC 300 uuur uuur 3 BA.BC a uuur uuur 4 AC.BC uuur uuur 5 AB.BC uuur uuur 6 CB.BA A C ĐÁP ÁN uuu r uuu r 1 AB.BA uuu r uuur 2 AB AC uuu r uuu r 3 BA.BC uuur... A của lực F làm vật di chuyển từ A đến B trong Vật Lý uuu r uuur 1 2 AB AC = a 2 uuur uuu r 1 2 AC.CB = − a 2 uuur uuu r 1 2 AG AB = a 2 uuu r uuur 1 2 GB.GC = − a 6 uuur uuu r 1 2 BG.GA = a 6 uuu r uuur GA.BC = 0 ĐÁP ÁN A G B C Bài 2 : uuur uuu r uuur Cho hình vng ABCD cạnh a thì AC.( AB + AD ) là A a2 B –a2 C 2a2 232 2 3 A a− B C a a 0D333 2 2 D a2 2 Cho ∆MNP uuuu r uuu rvng tại M MN=a, NP=2a Tích. .. BA.BC = − BA BC cos( BA, BC ) 600 H 1 = −a.a.cos(600 ) = − a 2 2 Ghi nhí a.b =  a . b cos(a,b) C c)Ví dụ Cho tam giác đều ABC có cạnh bằnguuu ar và uuurcóuuur uuur uuur uuur chiều cao AH Tính các tích vơ hướng sau: AB AC , AB.CB, AH BC A Giải uuu r uuur a) AB AC uuu r uuur b) AB.BC uuu r uuur uuu r uuur 1 = AB AC cos( AB, AC ) = a.a.cos600 = a 2 2 uuu r uuur uuu r uuur = AB BC cos( AB, BC ) 1 =... uuur uuur a 3 c) AH BC = AH BC cos( AH , BC ) = a.cos900 = 0 2 Ghi nhí a.b =  a . b cos(a,b) C c)Ví dụ Cho tam giác đều ABC có cạnh bằnguuu ar và uuurcóuuur uuur uuur uuur chiều cao AH Tính các tích vơ hướng sau: AB AC , AB.CB, AH BC A GIẢI uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 2 0 a) AB AC = AB AC cos( AB, AC ) = a.a.cos60 = a uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur b) AB.BC = AB BC cos( AB, BC ) uuur uuur ... [ IV.Biểu thức tọa độ tích vơ hướng Các hệ thức quan trọng Cho hai vectơ a = (x;y) b = (x’;y’) : 1) a b = xx’ +yy’ (Biểu thức tọa độ hai vectơ) 2) a = 2 x+y (Độ dài c vectơ a ) 3) cos(a, b)... NP=2a Tích vơ hướng có giá trị b ằng: MN.NP (A) - a2 (B) 2a2 (C) −2a2 (D) a2 Ví dụ 2: Cho vectơ OA, OB.Gọi B’ hình chiếu B đường thẳng OA CMR: OA OB = OA OB’ “Với vectơ OB’ gọi hình chiếu vectơ. .. Tính tích vơ B hướng A A C Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cạnh a chiều cao AH Tính: uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB AC , AB.CB, AH BC B C Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng A BC=a , B =300 Tính tích vơ hướng