SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 _ _ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN TOÁN Ngày thi: 11/3/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) (Đề thi gồm có: 01 trang) Câu 1: (3 điểm) a) Chứng tỏ số sau số hữu tỉ: a = − (3 + ).( 10 − ) b) Chứng minh số: n = + + + + 2003 + 2004 chia hết cho 400 Câu 2: (4 điểm) x − x x + x ( x − 1) − + x + x +1 x x −1 a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nhỏ P giá trị x tương ứng 3P c) Tìm số nguyên x để nhận giá trị nguyên tính giá trị nguyên x Cho biểu thức: P = Câu 3: (5 điểm) a) Giải phương trình: x+4 + x+3 2009 2010 x−2 > 11 b) Giải bất phương trình: x−3 = x+2 2011 + x +1 2012 ( m − 1) x − my = 3m − 2 x − y = m + c) Cho hệ phương trình:  Hãy xác định tất giá trị tham số m để hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) mà S = x + y đạt giá trị nhỏ Câu 4: (4 điểm) a) Cho tam giác ABC ( góc vuông) Dựng phía tam giác hình vuông ABDE ACGH Gọi M, N, P, Q trung điểm EH, EB, BC, CH a1 Chứng minh: BH = CE BH ⊥ CE a2 Chứng minh: Tứ giác MNPQ hình vuông b) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA’, BB’, CC’ đồng quy H Tính tổng: HA ' HB ' HC ' + + AA ' BB ' CC ' Câu 5: (4 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD với bốn điều kiện sau đây: AB // CD; AB < CD; AB = BC = DA; BD ⊥ BC a) Tứ giác ABCD hình gì? Tại sao? b) Tính góc tứ giác ABCD c) So sánh diện tích tam giác ABD với diện tích tứ giác ABCD.HẾT Họ tên thí sinh: Chữ ký GT1: _ Số báo danh: _ Chữ ký GT2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 _ _ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN Ngày thi: 11/3/2012 (Hướng dẫn chấm gồm có: 04 trang) Câu : (3 điểm) NỘI DUNG a) ĐIỂM Ta có: a = − (3 + ).( 10 − ) ( ) ( ) = − (3 + )( − 1) = ( − 1) (3 + ) = (6 − )( + ) = 2(3 − )( + ) 0,25 = − + −1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 = 2.( − 5) = 2.4 = b) Ta có: n = + + + + 2003 + 2004 ( ) ( ) ( = 7(1 + + + ) + (1 + + + ) + (1 + + = ( + + + ) ( + + + ) = 400.( + + + )  400 = + + + + + + 7 + + + 2001 + 2002 + 3003 + 2004 2 5 2001 + 73 ) ) 2001 2001 Vậy n  400 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 Câu : (4 điểm) NỘI DUNG x − x x + x ( x − 1) − + Cho biểu thức: P = x + x +1 x x −1 a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P - ĐKXĐ: x > ; x ≠ ĐIỂM x - Rút gọn: P = ( ) − x(2 x −1 ) ( )( x +1 x + x +1 x P = x x −1 − x +1 + ( ) + 2( ) ( 0,5 x +1 ) ) x −1 x −1 x +1 P = x − x +1 b) Tìm giá trị nhỏ P giá trị x tương ứng  1 - Ta có: P = x − x + =  x − ÷ + 2  0,5 0,25 0,25 0,5 1  ( ∀x > ; x ≠ 1) - Mà  x − ÷ ≥ nên P ≥ 2  1 ⇔ x= Vậy Min P = x = 4 c) Tìm số nguyên x để ( ) x 0,5 3P nhận giá trị nguyên tính giá trị nguyên x x − x +1 - Ta có: 3P = =3 x 0,5 ( ) x −1 + x 0,25 3P nhận giá trị nguyên x Khi đó: x = ⇔ x = 3P =7 - Suy ra: x - Để x ∈ Ư(3) , ( ∀x ∈ Z , x > ; x ≠ 1) 0,25 0,25 0,25 Câu : (5 điểm) NỘI DUNG x + x + x + x +1 + = + 2009 2010 2011 2012 x+4 x+3 x+2 x +1 ⇔( + 1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) 2009 2010 2011 2012 ĐIỂM a) (cộng vào hai vế 0,5 phương trình với số 2) x + 2013 x + 2013 x + 2013 x + 2013 + = + 2009 2010 2011 2012 1 1 ⇔ ( x + 2013 )( + − − )=0 2009 2010 2011 2012 ⇔ x + 2013 = ⇔ x = – 2013 Vậy S = { −2013} x−2 > 11 b) x−3 x−2 −10 x + 31 ⇔ − 11 > ⇔ >0 x−3 x−3 31  −10 x + 31 > x < ⇔  10 ⇔ Trường hợp :  x − >  x > ⇔ 31  −10 x + 31 < x > ⇔  10 ⇔ Trường hợp :  x − <   x < Vậy tập nghiệm bất phương trình : < x < 0,5 0,5 0,5 0,25 < x < 31 10 0,5 không tồn x 0,5 0,25 31 10 ( m − 1) x − my = 3m − 2 x − y = m + c)  m − −m ⇔ m ≠ –1 ≠ −1 x = m + Dùng phương pháp cộng phương pháp giải tìm  y = m − Để hệ phương trình có nghiệm Khi S = x + y = (m+1) + (m – ) = 2m – 4m + 10 = 2(m – 1) Để S đạt giá trị nhỏ m = 1, minS = Vậy m = +8 0,25 0,5 0,5 0,25 Câu 4: (4,0 điểm) NỘI DUNG a) a1 Chứng minh: BH = CE BH ⊥ CE ∆ ABH ∆ AEC có : AB = AE E M D H A K · · · BAH = EAC ( = 900 + BAC ) AH = AC => ∆ ABH = ∆ AEC (c-g-c) N Q ĐIỂM L G P C B => BH = CE Gọi K giao điểm BH AC, L giao điểm BH CE Ta có : ·AHK = LCK · · ; ·AKH = LKC Mà ·AHK + ·AKH = 900 ⇒ LCK · · + LKC = 900 · => CLK = 900 Vậy : BH ⊥ CE 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 a2 Chứng minh: MNPQ hình vuông BH MQ = NP = CE , BH = CE MN = PQ = => MN = NP = PQ = QM Do BH ⊥ CE nên : MN ⊥ NP · => MNP = 900 Vậy MNPQ hình vuông b) Tính tổng: A C' 0,25 0,25 0,25 0,25 HA ' HB ' HC ' + + AA ' BB ' CC ' S1 HA ' S HB ' S3 HC ' = ; = ; = S AA ' S BB ' S CC ' HA ' HB ' HC ' S1 + S + S3 + + = =1 => AA ' BB ' CC ' S Ta có: H C A' 0,25 Đặt S = S ∆ ABC ; S1= S ∆ HBC ; S2 = S ∆ HAC ; S3 = S ∆ HAB B' B 0,25 0,75 0,25 Câu : (4 điểm) NỘI DUNG · a) vẽ AE // BC ⇒ ·AED = BCD (1) ĐIỂM 0,25 ⇒ AE = BC = AD AB = EC ⇒ Tam giác ADE cân A ⇒ ·ADC = ·AED (2) · Từ (1) (2) ⇒ ·ADC = BCD Tứ giác ABCD có AB // CD ·ADC = BCD · nên tứ giác ABCD hình thang cân b) AE cắt BD I AE // BC, BD ⊥ BC (gt) ⇒ AE ⊥ BD ∆ABD cân A ( AB = AD ) có AI đường cao nên AI trung tuyến ∆BDC có IE // BC, I trung điểm BD Do E trung điểm DC : DE = EC Suy : AD = AE = DE (= AB) ⇒ ∆ADE ⇒ ·ADC = 600 · Vậy BCD = ·ADC = 600 · · Và DAB = CBA = 1800 − 600 = 1200 c) Gọi h độ dài đường cao vẽ từ D đến AB h AB S ABCD = h ( AB + DC ) = h ( AB + AB ) = h AB 2 Vậy : S ABCD = 3S ABD S ABD = -HẾT - 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 _ _ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN Ngày thi: 11/3 /2012 (Hướng... 20 09 2010 2011 2012 x+4 x+3 x+2 x +1 ⇔( + 1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) 20 09 2010 2011 2012 ĐIỂM a) (cộng vào hai vế 0,5 phương trình với số 2) x + 2013 x + 2013 x + 2013 x + 2013 + = + 20 09 2010... trình với số 2) x + 2013 x + 2013 x + 2013 x + 2013 + = + 20 09 2010 2011 2012 1 1 ⇔ ( x + 2013 )( + − − )=0 20 09 2010 2011 2012 ⇔ x + 2013 = ⇔ x = – 2013 Vậy S = { −2013} x−2 > 11 b) x−3 x−2