Chun đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu tham khảo: 01 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Thầy Đặng Việt Hùng I TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN 1) Góc hai véc tơ  AB = u Giả sử ta có   → u; v = AB; AC = BAC , với 0o ≤ BAC ≤ 180o  AC = v 2) Tích vơ hướng hai véc tơ  AB = u Giả sử ta có   → u.v = AB AC = AB AC cos AB AC  AC = v Nhận xét: u = + Khi   → u.v = v = ( ) ( ) ( ( ) + Khi u ↑↓ v  → ( u; v ) = 180 ) → u ; v = 00 + Khi u ↑↑ v  + Khi u ⊥ v ←→ u.v = Ví dụ Cho tứ diện ABCD cạnh a ( ) a) Tính góc hai véc tơ AB; BC ( ) b) Gọi I trung điểm AB Tính góc hai véc tơ CI ; AC Hướng dẫn giải: a) Sử dụng cơng thức tính góc hai véc tơ ta AB BC AB BC AB BC cos AB; BC = = = , (1) AB.BC a2 AB BC ( ) ( ) Xét AB BC = AB BA + AC = AB.BA + AB AC ( ) AB.BA = AB.BA.cos AB.BA = a.a.cos1800 = −a Mà ( ) AB AC = AB AC.cos AB AC = a.a.cos 600 = a2 a2 a2 =− 2 a2 − → AB; BC = 1200 (1) ⇔ cos AB; BC = 22 = −  a Vậy AB; BC = 120o  → AB BC = −a + ( ( ) ) ( ( ) b) Ta có cos CI ; AC = CI AC CI AC = ) CI AC CI AC Tứ diện ABCD cạnh a, CI trung tuyến tam giác ABC nên CI = ( ) ( ) a CI AC  → cos CI ; AC = , ( 2) a Ta có CI AC = CI AI + IC = CI AI + CI IC Do ∆ABC nên CI ⊥ AI ⇔ CI AI = Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn! www.moon.vn Chun đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng ( ) a a 3a 3a 3a cos1800 = −  → CI AC = − =− 2 4 3a −  → CI ; AC = 1500 Thay vào (2) ta ( ) ⇔ cos CI ; AC = = − a Vậy CI ; AC = 150 Đồng thời, CI IC = CI IC cos CI ; IC = ( ( ) ( ) ) Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đơi vng góc SA = SB = SC = a Gọi M trung điểm AB a) Biểu diễn véc tơ SM BC theo véc tơ SA; SB; SC ( ) b) Tính góc SM ; BC Hướng dẫn giải: a) Sử dụng quy tắc trung tuyến quy tắc trừ hai véc tơ ta   SA + SB = 2SM  SM = SA + SB  ← →  BC = SC − SB  BC = BS + SC  ( ( ) b) cos SM ; BC = SM BC SM BC = ) SM BC , (1) SM BC  SA.SB =  Mà SA, SB, SC đơi vng góc nên  SA.SC =   SB.SC = Tam giác SAB SBC vuông S nên theo định lý Pitago ta  BC = a  AB = BC = a  → a  SM = AB =  2  1 a2 Theo câu a, SM BC = SA + SB SC − SB =  SA.SC − SA.SB + SB.SC − SB.SB  = − SB = − 2 2 0  a2 − SM BC Thay vào (1) ta cos SM ; BC = = = −  → SM ; BC = 1200 SM BC a 2 a 2 ( )( ( ) ) ( ) II GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1) Khái niệm véc tơ phương đường thẳng Một véc tơ u ≠ mà có phương song song trùng với d gọi véc tơ phương đường thẳng d 2) Góc hai đường thẳng Khái niệm: Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a′; b′ song song với a; b Kí hiệu ( a;b ) a// a ′ Từ định nghĩa ta có sơ đồ   → ( a;b ) = ( a ′;b′ )  b// b′ Nhận xét: ( ) + Giả sử a, b có véc tơ phương tương ứng u; v u; v = φ Khi đó, ( a; b ) = φ ; 0o ≤ φ ≤ 90o ( a; b ) = 180o − φ ; 90o < φ ≤ 180o + Nếu a // b a ≡ b ( a; b ) = 0o Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn! www.moon.vn Chun đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Các xác định góc hai đường thẳng: Phương án (sử dụng định nghĩa) a ′// a Tạo đường   → ( a, b ) = ( a ′, b′ )  b′// b Phương án - Lấy điểm O thuộc a - Qua O, dựng đường ∆ // b  → ( a, b ) = ( a, ∆ ) Chú ý: Các phương pháp tính tốn góc hai đường thẳng: Nếu góc thuộc tam giác vng dùng cơng thức tính tốn tam giác vng: sin, cosin, tan, cot Nếu góc thuộc tam giác thường sử dụng định lý hàm số cosin tam giác ABC: a = b + c − 2bc cos A  → cos A = b2 + c − a 2bc Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAB, SAD, SAC tam giác vuông A Biết SA = a 3; AB = a; AD = 3a Tính góc đường thẳng sau: a) SD BC b) SB CD c) SC BD Hướng dẫn giải: a) Tính góc SD BC Để xác định góc hai đường thẳng SD BC ta sử dụng phương án 2, tìm đường thẳng song song với hai đường thẳng SD, BC song song với đường lại Ta dễ nhận thấy AD // BC SDA Khi ( SD; BC ) = ( SD; AD ) =  o 180 − SDA Xét ∆SAD: tan SDA = SA =  → SDA = 30o AD Vậy ( SD; BC ) = 30o b) Tính góc SB CD SBA Tương tự, CD//AB  → ( SB;CD ) = ( SB;AB ) =  180o − SBA SA Xét ∆SAB: tanSBA = =  → SDA = 60o AB Vậy ( SB;CD ) = 60o c) Tính góc SC BD Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD, I trung điểm SA  IOB Trong ∆SAC có OI // SC  → ( SC; BD ) = ( OI; BD ) =  o 180 − IOB a 3 a Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI: IB = IA + AB =   + a =   2 ABCD hình chữ nhật nên BD = AB2 + AD = a + 9a = a 10  → OB = a 10 = OA 2  a   a 10  a 13 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO: IO = IA + AO =   +   =     Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn! www.moon.vn Chun đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng 13a 10a 7a + − OI + OB − IB 4 = Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được: cos IOB = = 2.OI.OB a 13 a 10 130 2    → IOB = arccos   = ( SC;BD )  130  2   Vậy ( SC;BD ) = arccos    130  Ví dụ Cho tứ diện ABCD, gọi M, N trung điểm BC, AD Biết AB = CD = 2a , MN = a Tính góc hai đường thẳng AB CD Hướng dẫn giải: Do AB CD cạnh tứ diện nên chúng chéo nhau, để xác định góc hai đường thẳng AB CD ta tạo đường thẳng tương ứng song song với AB, CD chúng cắt Gọi P trung điểm AC, MP // AB, NP // CD  MPN  → ( AB,CD ) = ( MP, NP ) =  180o − MPN Do MP, NP đường trung bình nên ta có MP = NP = a Áp dụng định lý hàm số cosin ∆MPN ta MP + NP − MN 2a − 3a cos MPN = = =− 2MP.NP 2.a.a  → MPN = 120o ⇔ ( MP, NP ) = 60o Vậy ( AB,CD ) = 60o Nhận xét: Ngoài việc khởi tạo P ta lấy điểm P trung điểm BD, cách giải tương tự Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A D, AD = DC = a, AB = 2a SA vng góc với 3a AB AD, SA = Tính góc đường thẳng a) DC SB b) SD BC Hướng dẫn giải: Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn! www.moon.vn Chun đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng a) Do DC // AB  → ( DC,SB ) = ( AB,SB ) = α 2a SA = =  → α = 30o Tam giác SAB vuông A nên α góc nhọn, tan α = AB 2a Vậy góc hai đường thẳng DC SB 30o b) Gọi I trung điểm AB, AI = a Tứ giác ADCI hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên hình thoi Lại có góc A, D vng nên ADCI hình vng cạnh a  → DI = a mặt khác, tứ giác BIDC hình bình hành (do cặp cạnh DC BI song song nhau) nên BC // DI Khi đó, ( SD, BC ) = ( SD, DI ) = β  2a  7a 2 Tam giác SAI vuông A nên SI = SA + AI =   + a =   2 2  2a  7a 2 Tam giác SAD vuông A nên SD = SA + AD =   + a =   2 Áp dụng định lý hàm số cosin tam giác SDI ta cosSDI = SD + DI − SI2 = 2SD.DI 2a = a 21 42 .a   Do cosSDI > nên góc SDI góc nhọn  → β = SDI = arccos    42  BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Cho tứ diện ABCD cạnh a, gọi I trung điểm cạnh AD Tính góc hai đường thẳng AB CI  3 Đ/s: ( AB; CI ) = arccos     Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P trung điểm BC, AD AC Biết AB = 2a, CD = 2a 2, MN = a Tính góc hai đường thẳng AB CD ( ) Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a BC = a Tính góc SC , AB , từ suy góc SC AB III HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC Hai đường thẳng a, b gọi vng góc với ( a; b ) = 90o ← → a ⊥ b Chú ý: Các phương pháp chứng minh a ⊥ b: Chứng minh ( a; b ) = 90o Chứng minh hai véc tơ phương hai đường thẳng vng góc với nhau, u.v = Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, Ví dụ Cho tứ diện ABCD AB = AC = AD = a, BAC = 60o , BAD = 60o , CAD = 90o Gọi I J trung điểm AB CD a) Chứng minh IJ vuông góc với hai đường AB CD b) Tính độ dài IJ Hướng dẫn giải: Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Toán! www.moon.vn LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun đề Hình học không gian a) Từ giả thiết ta dễ dàng suy tam giác ABC, ABD đều, ∆ACD vuông cân A Từ BC = BD = a,CD = a →∆BCD vuông cân B Chứng minh IJ vuông góc với AB Do ∆ACD, ∆BCD vng cân A, B nên  AJ = CD  → AJ = BJ ⇔ IJ ⊥ AB  BJ = CD  Chứng minh IJ vng góc với CD Do ∆ACD, ∆BCD nên CI = DI → IJ ⊥CD b) Áp dụng định lý Pitago cho ∆AIJ vuông I ta  a  a2 a IJ = AJ − AI =  =  −   Vậy IJ = a/2 2 Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC ASB = BSC = CSA Chứng minh SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB Hướng dẫn giải: Chứng minh: SA ⊥ BC Xét SA.BC = SA SC − SB = SA.SC − SA.SB ( ) ( ) SA.SB = SA.SB.cos( SA;SB )  → SA.SC = SA.SB ⇔ SA.SC − SA.SB = ← → SA.BC = ⇔ SA ⊥ BC SA.SC = SA.SC.cos SA;SC Mà SA = SB = SC ASB = BSC = CSA Chứng minh tương tự ta SB ⊥ AC, SC ⊥ AB Ví dụ Cho tứ diện ABCD, cạnh a Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp ∆BCD a) Chứng minh AO vng góc với CD b) Gọi M trung điểm CD Tính góc BC AM AC BM Hướng dẫn giải: a) Sử dụng phương pháp dùng tích vơ hướng Gọi M trung điểm CD Ta có ( ) AO.CD = AM + MO CD = AM.CD + MO.CD Do ABCD tứ diện nên AM ⊥ CD O tâm đáy (hay O giao điểm ba đường cao) Khi AM ⊥ CD AM.CD = ⇔  → AO.CD = ⇔ AO ⊥ CD  MO ⊥ CD MO.CD = b) Xác định góc BC AM; AC BM Xác định góc BC AM: Gọi I trung điểm BD → MI // BC  AMI Từ ( BC;AM ) = ( MI; AM ) =  180 − AMI Áp dụng định lý hàm số cosin ∆AMI ta AM + MI − AI2 cos AMI = , (1) 2.AM.MI a Các ∆ABD, ∆ACD đều, có cạnh a nên AI = AM = Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn! www.moon.vn LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun đề Hình học khơng gian MI đường trung bình nên MI = a/2 2 a 3a 3a + −     4 =  Từ (1) ⇔ cos AMI = → AMI = arccos   ⇔ ( BC; AM ) = arccos   a a 3 2 3 2 3 2 Xác định góc BC AM: Gọi J trung điểm AD → MJ // AC  BMJ Khi ( AC;BM ) = ( MJ; BM ) =  180 − BMJ a Các tam giác ABD, BCD tam giác cạnh a, nên trung tuyến tương ứng BJ = BM =   Do đó, ∆AIM = ∆BJM  → AMI = BMJ = arccos   2 3   Vậy ( AC;BM ) = arccos   2 3 Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a Đặt AB = a, AD = b, AA′ = c a) Tính góc đường thẳng: ( AB,B′C′ ); ( AC,B′C′ ); ( A′C′,B′C ) b) Gọi O tâm hình vng ABCD I điểm cho OI = OA + OA′ + OB + OB′ + + OC + OC′ + OD + OD′ Tính khoảng cách từ O đến I theo a c) Phân tích hai véc tơ AC′, BD theo ba véc tơ a, b, c Từ đó, chứng tỏ AC′′ BD vng góc với d) Trên cạnh DC BB′′ lấy hai điểm tương ứng M, N cho DM = BN = x (với < x < a) Chứng minh AC′′ vng góc với MN Hướng dẫn giải: Nhận xét: Để làm tốt tốn liên quan đến hình lập phương ta cần nhớ số tính chất hình lập phương: Tất đường chéo mặt hình lập phương a (nếu hình lập phương cạnh a) Các đoạn thẳng tạo kích thước hình lập phương ln vng góc với (dài, rộng, cao) a) Tính góc giữa: ( AB,B′C′ ); ( AC,B′C′ ); ( A′C′,B′C ) Tính ( AB, B′C′ ) : Do B′C′//BC  → ( AB, B′C′ ) = ( AB, BC ) = 90o Tính ( AC, B′C′ ) :  ACB Do B′C′//BC  → ( AC, B′C′ ) = ( AC,BC ) =  o 180 − ACB ABCD hình vng nên ∆ABC tam giác vuông cân B  → ACB = 45o ⇔ ( AC, B′C′ ) = 45o Tính ( A′C′, B′C ) :  ACB′ Do A′C′//AC  → ( A′C′, B′C ) = ( AC, B′C ) =  o 180 − ACB′ Xét tam giác ACB′ có AC = B′C = AB′ (do đường chéo mặt hình vng hình lập phương) → ACB′ = 60o ⇔ ( A′C′, B′C ) = 60o Do ∆ACB′  b) Tính độ dài OI theo a Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn! www.moon.vn Chun đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng OA + OC = Với O tâm hình vng ABCD   → OA + OC + OB + OD = OB + OD = Khi OI = OA′ + OB′ + OC′ + OD′ OA′ + OC′ = 2OO′ Gọi O′ tâm đáy A′B′C′D′, theo quy tắc trung tuyến ta có   → OI = 4OO′ OB′ + OD′ = 2OO′ Khoảng cách từ O đến I độ dài véc tơ OI, từ ta OI = 4OO′ = 4a c) Phân tích hai véc tơ AC′, BD theo ba véc tơ a, b, c a.b =  Theo tính chất hình lập phương ta dễ dàng có a.c =  b.c = AC′ = AB + BC + CC′ = a + b + c Phân tích: BD = BA + AD = b − a Chứng minh AC′ vng góc với BD ( )( ) 2 2 Xét AC′.BD = a + b + c b − a = a.b + b + c.b − a − a.b − c.a = b − a = AD2 − AB2 = ⇔ AC′.BD ⇔ AC′ ⊥ BD 0 0 d) Chứng minh AC′ vng góc với MN MN = MC + CB + BN Ta có phân tích: AC′ = AB + BC + CC′      → MN.AC′ = MC + CB + BN AB + BC + CC′ =  MC.AB + MC.BC + MC.CC′  +  CB.AB + CB.BC + CB.CC′  + 0       +  BN.AB + BN.BC + BN.CC′  = MC.AB + CB.BC + BN.CC′   ( )( ) MC.AB = MC.AB.cos0o = ( a − x ) a Mà CB.BC = CB.BC.cos180o = −a  → MN.AC′ = ( a − x ) a − a + ax = ⇔ MN ⊥ AC′ BN.CC′ = BN.CC′.cos0o = ax BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật với AB = a; AD = a , SA = 2a vng góc với đáy Tính góc đường thẳng sau: a) SB CD b) SD BC c) SB AC d) SC BD Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, hình chiếu vng góc S xuống mặt đáy trung điểm H AB, biết SH = a Gọi I trung điểm SD Tính góc đường thẳng: a) SC AB b) SD BC c) CI AB d) BD CI Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A, B với AB = 3a, AD = 2a, DC = a Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng (ABCD) H thuộc AB với AH = 2HB, biết SH = 2a Tính góc a) SB CD b) SB AC Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn! www.moon.vn Chun đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P1 Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đường cao SA = 2a đáy ABCD hình vng tâm O cạnh 2a a) Chứng minh rằng: (SCD)⊥(SAD) b) Tính khoảng cách từ O từ A tới mặt phẳng (SCD) c) Tính tan góc SB (SAC) d) Xác định tâm, bán kính, tính diện diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC, có đường cao SA, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a; AC = a Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a Tính thể tích khối chóp S.ABCD thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đường cao SA, đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2a; AD = 2a Gọi O tâm đáy, biết khoảng cách hai đường thẳng AC SD a a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD Ví dụ 4: Hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy ABC tam giác cạnh a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Ví dụ 5: Cho hình chóp từ giác S.ABCD có cạnh đáy a góc hợp mặt bên đáy 600 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có cạnh a a) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 a) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Ví dụ 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Xác định tâm bán kính mặt cầu qua năm điểm S, A, B, C, D Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD ) SA = a Gọi O tâm hình vng ABCD K hình chiếu B SC a) Chúng minh ba điểm O, A, K nhìn đoạn SB góc vng Suy năm điểm S, D, A, K B nằm mặt cầu đường kính SB b) Xác định tâm bán kính mặt cầu nói Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn – www.moon.vn Facebook: LyHung95 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun đề Hình học khơng gian Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B SA ⊥ (ABC ) a) Gọi O trung điểm SC Chứng minh: OA = OB = OC = SO Suy bốn điểm A, B, C, S nằm mặt cầu tâm O bán kính R = SC b) Cho SA = BC = a AB = a Tính bán kính mặt cầu nói Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) tam giác ABC vuông B Gọi AH, AK đường cao tam giác SAB SAC a) Chứng minh năm điểm A, B, C, H, K mặt cầu b) Cho AB = 10, BC = 24 Xác định tâm tính bán kính mặt cầu Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA ⊥ (ABCD) Một mặt phẳng (P) qua A vng góc với SC, cắt SB, SC, SD H, M, K a) Chứng minh bảy điểm A, B, C, D, H, M, K mặt cầu b) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn Facebook: LyHung95 Chuyên đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Bài 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC a) Chứng minh SA vng góc với BC b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a Bài 6: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a a3 Đ/s: V = Bài 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Đ/s: V = 4a 3 Bài 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh đáy a, mặt bên tạo với mặt đáy góc 600 Mặt phẳng (P) chứa AB qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD M, N Tính thể tích khối chóp S.ABMN theo a Hướng dẫn giải: Gọi I, J trung điểm cúa AB CD; G trọng tâm ∆SAC ∆SIJ cạnh a nên G trọng tâm ∆SIJ IG cắt SJ K trung điểm cúa SJ; M, N trung điểm cúa SC, SD IK = 3a 3a ; S ABMN = ( AB + MN ) IK = 2 Ta có SK ⊥ ( ABMN ); SK = a 3a ⇒ VSABMN = S ABMN SK = 16 Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95 Chun đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 07 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP – P7 Thầy Đặng Việt Hùng DANG PHƯƠNG PHÁP TỈ SỐ THỂ TÍCH Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A, AB = a; BC = a Cạnh SA vng góc với đáy Gọi H hình chiếu vng góc A lên SB, K trung điểm SC Tính thể tích khối chóp AHKBC biết a) ( SB; ABC ) = 600 b) d ( A; SBC ) = a Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a; AD = a Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt đáy trọng tâm tam giác ABC Gọi M điểm thuộc cạnh SD cho SM = a MD; O tâm đáy Biết khoảng cách từ O tới mặt phẳng (SBC) Tính a) thể tích khối chóp S.ABCD b) thể tích khối chóp AMCD c) thể tích khối chóp SABM BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạch AB = a, cạch bên SA, SB, SC tạo với đáy góc 600 Gọi D giao điểm SA với mp (α) qua BC vng góc với SA a) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.DBC S.ABC b) Tính thể tích khối chóp S.DBC V Đ/s: a) = ; V2 5a 3 b) V = 96 Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạch a, SA = 2a SA vng góc (ABC) Gọi M N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC Tính VA.BCNM Đ/s: V = 3a 3 50 Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD B '; C '; D ' Biết AB = a; SB ' = SB a) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S A ' B ' C ' D ' S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp S A ' B ' C ' D ' Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95 Chun đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng V Đ/s: a) = ; V2 a3 b) V = 18 Bài 4: Cho tứ diện ABCD tích V Gọi B’ D’ trung điểm AB AD (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Đ/s: V1 = V2 Bài 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy hình vng tâm O cạch a, có mặt bên tạo với đáy góc 600 a) Tính thể tích tứ giác S.ABCD tính khoảng cách từ từ O đến (SCD) b) M trung điểm cạnh SB, mặt phẳng (α) qua CD trung điểm M SB chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Đ/s: V = a3 a V1 , d= , = V2 Bài 6: Cho tam giác ABC vuông cân A AB = a Trên đường thẳng qua C vng góc với (ABC) lấy điểm D cho CD = a Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD F cắt AD E Tính thể tích khối tứ diện CDEF tỉ số thể tích CDEF DABC Đ/s: VCDEF = a VCDEF , = 36 VD ABC Bài 7: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Lấy điểm B '; C ' AB AC cho AB = a 2a ; AC ' = Tính thể tích tứ diên AB ' C ' D a3 Đ/s: V = 36 Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95 Chun đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 07 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP – P8 Thầy Đặng Việt Hùng DẠNG PP TỈ SỐ THỂ TÍCH (tiếp theo) Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình chữ nhật với SA vng góc với đáy, G trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC M, cắt SD N Tính thể tích khối đa diện MNABCD biết SA = AB = a góc hợp đường thẳng AN mặt phẳng (ABCD) 300 5 3a Đ/s: VMNABCD = VS ABCD − VS ABMN = V − V = V = 8 24 Ví dụ 2: Cho khối tứ diện ABCD Trên cạnh BC, BD, AC lấy điểm M, N, P cho BC = 4BM, BD = 2BN AC = 3AP Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD làm hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần 13 Đ/s: Tỉ số thể tích cần tìm 13 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi với BAD = 1200 , BD = a > Cạnh bên SA vng góc với đáy Góc mặt phẳng (SBC) đáy 600 Một mặt phẳng (α) qua BD vuông góc với cạnh SC Tính tỉ số thể tích hai phần hình chóp mặt phẳng (α) tạo cắt hình chóp Hướng dẫn giải: Gọi V, V1 V2 thể tích hình chóp S.ABCD, K.BCD phần cịn lại hình chóp S.ABCD V S ABCD SA SA Ta có = = = 13 V1 S BCD HK HK V V1 + V2 V V Suy = = + = 13 ⇔ = 12 V1 V1 V1 V1 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 Gọi M điểm đối xứng với C qua D, N trung điểm SC Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Hướng dẫn giải: Gọi P = MN ∩ SD, Q = BM ∩ AD ⇒ P trọng tâm ∆SCM, Q trung điểm MB VMDPQ MD MP MQ 1 • = = = ⇒ VDPQCNB = VMCNB VMCNB MC MN MB 6 • Vì D trung điểm MC nên d ( M ,(CNB)) = 2d ( D,(CNB)) ⇒ VMCNB = 2VDCNB = VDCSB = VS ABCD ⇒ VDPQCNB = V 7 VS ABCD ⇒ VSABNPQ = VS ABCD ⇒ SABNPQ = ⇒ ⇒ 12 12 VDPQCNB Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, cạnh a, ABC = 600 , chiều cao SO hình chóp a , O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi M trung điểm AD, mặt phẳng (P) chứa BM song song với SA, cắt SC K Tính thể tích khối chóp K.BCDM Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95 Chun đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Hướng dẫn giải: Gọi N = BM ∩ AC ⇒ N trọng tâm ∆ABD Kẻ NK // SA (K ∈ SC) Kẻ KI // SO (I ∈ AC) ⇒ KI ⊥ (ABCD) Vậy VK BCDM = KI S BCDM KI CK CK CN Ta có: ∆SOC ~ ∆KIC ⇒ = (1), ∆KNC ~ ∆SAC ⇒ = (2) SO CS CS CA CO + CO KI CN CO + ON 2 a 3 = = = = ⇒ KI = SO = Từ (1) (2) ⇒ SO CA 2CO 2CO 3 a 3 ⇒ S BCDM = ( DM + BC ).CM = a Ta có: ∆ADC ⇒ CM ⊥ AD CM = 2 a3 ⇒ VK BCDM = KI S BCDM = BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với đáy hình chóp Cho AB = a; SA = a Gọi H, K hình chiếu A SB, SD Chứng minh SC ⊥ ( AHK ) tính thể tích hình chóp OAHK Đ/s: a3 27 Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Đ/s: 3a 50 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM = a Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối chóp S.BCNM Đ/s: a 310 27 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a , SA = 2a SA ⊥ ABCD Một mặt phẳng qua A vng góc với SC, cắt SB, SC, SD H, I, K Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; SA ⊥ (ABCD), SA = 2a Gọi B’, D’ hình chiếu A SB, SD.Mặt phẳng AB’D’ cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp S AB’C’D’ Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi M, N, P trung điểm AB, AD, SC Tính tỉ số thể tích hai phần hình chóp phân chia mặt phẳng (MNP) Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Toán! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95 Chuyên đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông B; SA = a vng góc với (ABC) Biết AB = BC = a Kẻ AH ⊥ SB AK ⊥ SC a) Chứng minh mặt bên hình chóp S.ABC tam giác vng b) Tính thể tích khối chóp S.ABC c) Chứng minh SC ⊥ (AHK) d) Tính VS.AHK Bài 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60o ; gọi M trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AM song song với BD, cắt SB E SD F a) Chứng minh AM ⊥ EF b) Tính thể tích khối chóp S.AEMF c) Tính chiều cao hình chóp S.AEMF Bài 9: Cho hình chóp SABCD tích 27a3 Lấy A ' SA cho SA = 3SA ' Mặt phẳng qua A ' song song với đáy hình chóp cắt SB, SC, SD B ', C ', D ' Tính thể tích hình chóp SAB ' C ' D ' Đ/s: V = a3 Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, chiều cao SA = h Gọi N trung điểm SC Mặt phẳng chứa AN song song với BD cắt SB, (SDF) M P Tính thể tích khối chóp SAMNP Đ/s: V = a2h Bài 11: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành lấy M SA cho SM = x Tìm x để SA mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành phần tích Đ/s: x = −1 Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95 Chun đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 08 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ – P1 Thầy Đặng Việt Hùng DẠNG KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG Ví dụ 1: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy tam giác cạnh a Tính thể tích lăng trụ biết a) ( AB '; A ' B ' C ') = 600 c) d ( C ; ABC ' ) = a b) ( A ' BC '; A ' B ' C ') = 300 d) d ( AC ; BM ) = a , với M trung điểm CC ' Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân A, với AB = a Gọi M trung điểm CC ' Tính khoảng cách hai đường thẳng B ' M A ' C biết thể tích lăng trụ 2a Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi tâm O, với AC = 2a; BD = 2a Tính thể tích khối lăng trụ cho biết a) ( B ' D; ABCD ) = 450 b) ( A ' CD; ABCD ) = 600 d) d ( B ' C '; DE ) = a , với E điểm CC ' cho CE = EC ' BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) a AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) góc 300 Tính thể tích lăng trụ 32a Đ/S: V = Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đường chéo A'C = a biết A'C hợp với (ABCD) góc 300 hợp với (ABB'A') góc 450 Tính thể tích khối hộp chữ nhật a3 Bài Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng BD' = a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: a) BD' hợp với đáy ABCD góc 60o b) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) góc 30o Đ/s: V = a3 a3 b) V = 16 Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vng B, biết BB' = AB = a B'C hợp với đáy ABC góc 300 Tính thể tích lăng trụ Đ/s: a) V = Đ/s: V = a3 Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun đề Hình học khơng gian Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a, biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') góc 300 Tính độ dài AB' thể tích lăng trụ a3 Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vng A, AC = a góc ACB 600 Biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) góc 300 Tính thể tích lăng trụ diện tích tam giác ABC' Đ/s: AB ' = a 3, V = 3a Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC biết cạnh bên AA' = a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: a) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC góc 600 b) A'B hợp với đáy ABC góc 450 c) Chiều cao kẻ từ A' tam giác A'BC độ dài cạnh đáy lăng trụ Đ/s: V = a 6, S ∆ABC = a3 c) V = a 3 Bài Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: a) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD góc 450 b) BD' hợp với đáy ABCD góc 600 c) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') a Đ/s: a) V = a 3 b) V = Đ/s: a) V = 16a3 b) V = 12a3 c) V = 16a 3 Bài Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: a) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 600 b) Tam giác BDC' tam giác c) AC' hợp với đáy ABCD góc 450 a3 b) V = a3 c) V = a3 2 Bài 10 Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn A 600 Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: a) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 600 b) Khoảng cách từ C đến (BDC') a/2 c) AC' hợp với đáy ABCD góc 450 Đ/s: a) V = 3a 3 3a 3a b) V = c) V = Bài 11 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có BD' = 5a, BD = 3a Tính thể tích khối hộp trường hợp sau đây: a) AB = a b) BD' hợp với AA'D'D góc 300 c) (ABD') hợp với đáy ABCD góc 300 Đ/s: a) V = Đ/s: a) V = 8a3 b) V = 5a3 11 c) V = 16a3 Bài 12: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông cân A, BC = 2a , Mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 600 a) Chứng minh AB ⊥ ( ACC ' A ') b) Tính thể tích khối lăng trụ theo a Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun đề Hình học khơng gian b) Tính khoảng cách từ A đến đến (A’BC) d) Tính khoảng cách từ AA’ đến (BCC’B’) Bài 13: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, góc mặt phẳng (C’AB) với (ABC) 300, khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABB’A’) a Tính khoảng cách từ C đến mp(C’AB) thể tích khối lăng trụ Bài 14: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A1 B1C1 D1 có khoảng cách AB A1 D Độ dài đường chéo mặt bên a) Hạ AK ⊥ A1 D Chứng minh AK = b) Tính thể tích khối lăng trụ cho Bài 15: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng đường chéo 2a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: a) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 600 b) Tam giác BDC' tam giác c) AC' hợp với đáy ABCD góc 450 d) Khoảng cách AC với BD’ a Bài 16: Cho lăng trụ đứng ABCDA'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn BAC = 600 Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: a) Mặt (BDC') hợp với đáy ABCD góc 600 b) Khoảng cách từ C đến (BDC’) a a2 Bài 17: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có cạnh bên AA' = a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau: a) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 600 b) A'B hợp với đáy (ABC) góc 450 c) AC' hợp với đáy ABCD góc 450 d) Diện tích tam giác BDC’ a a2 c) Khoảng cách từ A đến (A’BC) d) Diện tích tam giác A’BC Bài 18: Cho lăng trụ tứ giác ABCDA'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: a) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD góc 450 b) BD' hợp với (ABCD) góc 600 c) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') a Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn! a2 d) Diện tích tam giác ACD’ Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95 Chuyên đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 08 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ – P2 Thầy Đặng Việt Hùng DẠNG KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A ' B ' C ' D có đáy hình chữ nhật với AB = a; AD = a Hình chiếu vng góc điểm A ' lên (ABCD) trùng với trọng tâm G tam giác ABD Biết góc hai mặt phẳng ( A ' BC ) (ABCD) 600 a) Tính thể tích lăng trụ cho b) Tính cosin góc hai đường thẳng A ' B AC c) Tính khoảng cách hai đường thẳng A ' C BD Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm H OB Biết ( A ' BC ; ABC ) = 600 a) Tính thể tích lăng trụ cho (Đ/s: V = a3 ) 16 b) Tính góc hai đường thẳng AA ' BC c) Tính khoảng cách hai đường thẳng AA ' BC d) Tính khoảng cách từ G tới mặt phẳng ( AA ' B ) , với G trọng tâm tam giác B ' C ' C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a, biết cạnh bên AA ' = a hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích lăng trụ 3a 3 Bài Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu A' xuống (ABC) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Biết AA' hợp với đáy ABC góc 600 a) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật b) Tính thể tích lăng trụ Đ/s: V = a3 Đ/s: V = Bài 3* Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB = a 3, AD = a Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 600 Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên a Đ/s: V = 3a3 Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a, đỉnh A' cách điểm A, B, C AA ' = Đ/s: V = 2a Tính thể tích lăng trụ a3 Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95 Chun đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Bài Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc đỉnh A' lên (ABC) nằm đường cao AH tam giác ABC mặt bên (BB'C'C) hợp với đáy (ABC) góc 600 a) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật b) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C' 3a 3 Bài Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Cạnh bên CC' = a hợp với đáy ABC góc 600, C' có hình chiếu ABC trùng với O a) Chứng minh AA'B'B hình chữ nhật Tính diện tích AA'B'B b) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C' Đ/s: V = a2 3a 3 b) V = Bài Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a, biết chân đường vng góc hạ từ A' ABC trùng với trung điểm BC AA' = a a) Tìm góc hợp cạnh bên với đáy lăng trụ b) Tính thể tích lăng trụ Đ/s: a) S AA ' B ' B = a3 Đ/s: a) 30 b) V = Bài Cho lăng trụ xiên ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Hình chiếu C' (ABC) O Tính thể tích lăng trụ biết khoảng cách từ O đến CC' a hai mặt bên (AA'C'C) (BB'C'C) hợp với góc 900 27 a Bài Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có mặt hình thoi cạnh a, hình chiếu vng góc A' (ABCD) nằm hình thoi, cạnh xuất phát từ A hộp đơi tạo với góc 600 a) Chứng minh H nằm đường chéo AC ABCD b) Tính diện tích mặt chéo ACC'A' BDD'B' c) Tính thể tích hộp Đ/s: V = a3 Đ/s: a) S ACC ' A ' = a b) S BDD ' B ' = a c) V = Bài 10 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc A 600, chân đường vng góc hạ từ B' xuông (ABCD) trùng với giao điểm đường chéo đáy, cho biết BB' = a a) Tìm góc hợp cạnh bên đáy b) Tính thể tích tổng diện tích mặt bên hình hộp Đ/s: a) 600 b) V = 3a ; ΣS = a 15 Bài 11 (Đề thi Đại học khối B – 2011) Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a; AD = a Hình chiếu vng góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a Bài 12 (Đề thi Đại học khối A – 2008) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A' (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA' , B'C' Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Toán! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun đề Hình học không gian a3 , cos ( AA ', B ' C ' ) = Bài 13 (Đề thi Đại học khối B – 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a, góc đường thẳng BB' (ABC) 600; tam giác Đ/s: VA ' ABC = ABC vuông C BAC = 600 Hình chiếu vng góc điểm B' lên (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a Đ/s: VA ' ABC = 9a 208 Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95 Chun đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG KHƠNG GIAN – P1 Thầy Đặng Việt Hùng DẠNG CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, SA= SB = SC = AB = a; SA, SB, SC tạo với đáy góc φ Tính giá trị cosφ để thể tích khối chop S.ABC max Đ/s: cos ϕ = a3 ;Vmax = 8 Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) b Góc mặt bên mặt đáy α Xác định α để thể tích khối chóp S.ABCD nhỏ 3 3b3 Đ/s: cos ϕ = ;Vmin = Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a SA = SB = SC = a Tính SD theo a để thể tích khối chóp S.ABCD max Đ/s: SD = a Ví dụ 4: Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), ∆ABC vng cân đỉnh C SC = a Tính góc φ mặt phẳng (SCB) (ABC) để thể tích khối chóp lớn Lời giải: a3  π Ta có φ = SCA ∈  0;  ⇒ VSABC = (sin φ − sin φ)  2  π Cách 1: Xét hàm số y = sin x − sin x khoảng  0;   2 Lập bảng biến thiên ta dễ dàng suy (VSABC )max = Cách 2: Ta có VSABC a3 a3  π ymax = sin φ = ;φ ∈  0;   2 a3 a3 = (sin φ − sin φ) = sin φ.cos φ 6 Dùng Cosi thầy làm nhé! BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Trên cạnh AD hình vng ABCD có độ dài a, lấy điểm M cho AM = x (với ≤ m ≤ a) Trên nửa đường thẳng Ax vng góc với mặt phẳng (ABCD) điểm A, lấy điểm S cho SA = y (y > 0) Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y x Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S.ABCM, biết x2 + y2 = a Đ/s: V = 1 a3 a ya (a + x) ⇒ V = a (a − x)(a + x)3 Vmax = x = 36 Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun đề Hình học khơng gian Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông cân đỉnh B, BA = BC = 2a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng đáy (ABC) trung điểm AB SE = 2a Gọi I, J trung điểm EC, SC; M điểm di động đối tia BA cho góc ECM = α (với α < 900) H hình chiếu vng góc S MC Tính thể tích khối tứ diện EHIJ theo a, α tìm để thể tích lớn Đ/s: V = α sin2α; α = 450 24 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = h vng góc mặt phẳng (ABCD), M điểm thay đổi CD Kẻ SH vng góc BM Xác định vị trí M để thể tích tứ diện S.ABH đạt giá trị lớn Tính giá trị lớn nhát Bài 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 2a Góc mặt bên mặt đáy α a) Tính thể tích khối chóp theo a α b) Xác định α để thể tích khối chóp S.ABCD nhỏ Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun đề Hình học khơng gian Tài liệu giảng: BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN – P2 Thầy Đặng Việt Hùng DẠNG CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Ví dụ 1: Cho LT đứng ABC A ' B ' C ' có ∆ABC vng A, d ( AA ';( ABC ) ) = a; d ( C ; ABC ') = b; ( ABC '; ABC ) = φ a) Tính thể tích lăng tru cho theo a, b φ b) Khi a = b, tìm φ để thể tích khối lăng trụ nhỏ Đ/s: a) V = ab3 sin 2φ b − a sin φ b) Vmin = 3a ⇔ cos φ = Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có ( AC '; ABC ) = 300 ; AC ' = a; AC ' B = φ Tính thể tích khối hộp cho tìm φ để thể tích khối hộp lớn Đ/s: Vmax = 9a3 10 ⇔ cos φ = 32 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AC ' = a; ( AC '; ABCd ) = α; ( AC '; BCC ' B ') = β Tìm hệ thức liên hệ α, β để A ' D ' CB hình vng tìm thể tích khối hộp max Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có AB ' = AC ' = a 2; A ' B ' = A ' C ' = a, khoảng cách từ A ' đến mặt phẳng ( AB ' C ') a Tính góc hai mặt phẳng ( AB ' C ') ( A ' B ' C ') , biết thể tích khối lăng a 15 trụ ABC A ' B ' C ' Bài 3: Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' , biết A ' ABC hình chóp có cạnh đáy a Góc hai mặt phẳng ( A ' BC ) ( BCC ' B ') 900 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AA ' B ' C theo a Bài 4: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a, điểm A ' cách ba điểm A, B, C Góc AA ' mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AB , CC’ theo a Bài 5: Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh AB = AD = a, AA ' = a , BAD = 600 Gọi M N trung điểm cạnh A ' D ' A ' B ' Chứng minh AC ' vng góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN theo a TẠM BIỆT HÌNH KHƠNG GIAN Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 ... Chun đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P1 Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đường cao SA = 2a đáy ABCD hình. .. IJBC, IABC Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn – www.moon.vn ( R = 2a 3) Facebook: LyHung95 Chuyên đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN Tài liệu giảng: MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P3 Thầy... Hungdv95 Chun đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng BÀI TẬP T LUYN Bài 1: Cho hình trụ có bán kính đáy R, thi? ??t diện qua trục hình trụ hình vuông a) Tính diện tích thi? ??t diện