5 0 ? ^ NH556Đ - ? ĩ ? ĩ ' ~/ //// ■// ĐẶNG THÀNH NAM Thủ Khoa ĐH, Thủ Khoa Toán sv Toàn Quốc 2012 - Giám đốc Trung tâm nguyên cứu, tư vãn phát triển sản phẩm giáo dục Newstudy.vn) LUYỆn tS d Ạ iĨ ọ C P I ^ T H Í lP T O I L n lL ld íU I K n lA lL ^ Dành cho học sinh luyện thỉ đại học Bòi dưỡng học sinh gỉỏỉ 10 ,11,12 >í Giáo viên giảng dạy, dạy thêm luyện thi j& o o 7& H -H 5 T)-& ĐẶNG THÀNH NAM (G V Thu Khoa ĐH, Thủ Khoa Toán sv Toàn Quốc 2012 - Giám đốc Trung tâm nguyên cứu, tư vấn phát triển sản phẩm giáo dục Newstudy.vn) Những điều cần biết LUYỆn THI ĐẠI HỌC KỸ THUẬT GIÃI I M HỈNH PHẢNG OXY Dành cho học sinh luyện thi đại học >í Bồi dường học sinh giỏi 10 ,11,12 J Giáo viên giản g dạy, dạy thêm v luyện thỉ o m ODG H N ội NHA XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI LỜI NÓI ĐẦU Với hy vọng sách trở thành tư liệu tự học rèn luyện kỳ bổ ích dành cho em chuẩn bị cho kỳ thi Tuyển sinh đại học đến gần Tác giả mạnh dạn giới thiệu với bạn đọc sách “Kỹ thuật giải nhanh Hìnlỉ phang Oxy Được đánh giá ba câu phân loại học sinh với Phương trình, bất phương trình vô tỷ - Hệ phương trình; Bất đảng thức cực trị Hình học phẳng Oxy Các nguồn tài liệu hình phẳng Oxy chi tiết nhiên để mang tính cập nhật cho sát với đề thi Tuyển sinh đại học số thi Học sinh giỏi năm gần tác giả trăn trở suy nghĩ nhiều trước bắt tay vào viết sách Hy vọng tài liệu công phu cung cấp đầy đủ dạng toán, phương pháp kỹ thuật giải đồng thời toán hay khó đòi hỏi tính tư sáng tạo học sinh Và đích sách giúp em giải trọn điểm câu Hình phăng Oxy có đề thi Tuyển sinh đại học Cuốn sách gồm chương: Chương Chương 2: Chương 3: Chương 4: Chương 5: Đièm đường thăng Tam giác tứ giác, đa giác Đường tròn Ba đường Côníc Bài toán chọn lọc rèn luyện nâng cao Trong mồi chương chia theo chủ đề, chủ đề gồm dạng toán điển hình hay gặp viết thành phần A NỘI DUNG PHƯƠNC PHÁP Trình bày toán điể.1 hình hay gặp phương pháp giải tổng quát kèm theo ví dụ minh họa đơn giản cho em dễ nắm bắt nội dung phương pháp Cũng kính nchiệm lưu ý làm B BÀI TẬP MÂU Hệ thống tập mẫu từ dễ - trung bình đến khó giúp em rèn luyện hiểu vận dụng thật phương pháp, với số tập hay khó đòi hỏi em phải tư phân tích đề để tìm nút thắt toán c BÀI TẬP RÈN LUYỆN Hệ thống tập rèn luyện xếp từ dễ đến khó, hội để em kiểm tra lại tiếp cận đọng lại trình đọc ôn luyện Hãy giải đáp hết toán trước tìm đến phần hướng dẫn giải - đáp sổ D HƯỞNC DÀN CỈIẢI - « Á P SÒ Trình bày lời giải vẩt tất, phân tich đề số toán khó đáp số Cuối xin gửi lời cảm Ơ!| an thành sâu sắc đến quý thầy cô đọc bàn thảo có góp ý hát sức quý báu cho tác giả Hy vọng lần lần tái sau hạn chế nhùng sai sót mang đến kỳ thuật, phương pháp đến bạn độc Mọi ý kiến góp ý, trao đổi sách xin gửi địa chỉ: Email: danụnamneu@»mail.eom Tác giả ĐẶNG THÀNH NAM Cty TNHH M TV D W H Khang Việt ứ íu tơ l IỂ M V À a lttN G TH ẲN G Chủ đề ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG A LÝ THỦYẾT I KIẾN THỨC C BẢN Mặt phang tọa độ Đe-các vuông góc Oxy, hệ trục gồm trục hoành nằm ngang Ox trục tung Oy vuông góc với Ox O- gọi gốc tọa độ Xét điểm M (x ;y ) O M = ( x ; y ) Các phép toán véc tơ: y Cho hai véc tơ u = (X|; y I) , V = ( x 2;y 2) ■ Nhân véc tơ với sô: số: k.u = ( k x j;k y j) cộng: uU + V = (x, y , + y 2) ■ Phép Phépcộng: (X| + xx2; 2;y, 2) Õ o ~ ĩ1 ■ Phép Phép nhân: nhân: u.v u.v == X|X2 X|X2 ++ yy\y jyi2 • ■ Độ dài véc tơ: u|u| == > / x f T ỹ f •- í ~\ ũ.v x ,x + y Iy ■ Góc hai véc tơ: cos u, V= r r r r : = —F= ===== ■1— — (góc hai + y f - V x + y2 véc tơ có thê nhọn, tù vuông) Suy u l v o X | X + y jy = ■ Hai véc tơ phương — = — x y2 Xét ba điểm A ( x 1; y Ị) , B ( x ;y )>C(x3;y ) A,B,C thẳng hàng c h lk h i ^ J l i Ì L = ^ Ì L y2 -yi y3-yi Độ dài đoạn thẳng AB = | a b | = y j ị \ - x )2 + ( y - yi )2 • II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa véc tơ phương, véc tơ pháp tuyến đường thẳng a) Véc tơ phương đường thẳng , íu ^ Véc tơ u gọi véc tơ phương đường thăng d [u / /d Nhận xét Nếu u véc tơ phương (vtcp) đường thẳng d véc tơ ku , với k * véc tơ phương cùa đường thẳng b) Véc tơ pháp tuyến đường thẳng Một véc tơ n gọi véc tơ pháp tuyển đường thẳng d o i n ld Kỹ thuật giãi nhanh hình phẳng Oxy - Đặng Thành Nam Nhận xét Nếu n véc tơ pháp tuyến(vtpt) đường thẳng d véc tơ kn , với k * véc tơ pháp tuyến đường thẳng - Neu đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n = (a;b) có véc tơ phương u = ( - b ; a ) - Ngược lại đường thẳng d có véc tơ phương u = (a;b )th ì có véctơ pháp tuyên n = ( - b ; a ) Phương trình tổng quát đưòng thẳng Đường thẳng mặt phang có dạng tổng quát: d : a x + by + c = 0,Ịa2 + b2 > oỊ Trong a,b,c hệ số thực ■ Đường thẳng d qua điểm M ( x 0;y 0) ax0 + by0 + c = ■ Véc tơ pháp tuyến vuông góc với d n = (a;b) ■ Véc tơ phương song song với d u = ( - b ; a ) í X = x - bt ■ Phương trình tham sô đường thăng: d : < ,(t e R ) Ịy = y + at ■ Phương trình tắc đường thẳng: d : —— — = —— — a b Các dạng phưo'ng trình đường thẳng đặc biệt ■ Trục hoành: x : y = ■ Trục tưng: y : x = ■ Phương trình đường thẳng qua hai điểm A (a ;0 ) B (0;b) (phương trình đoạn chắn) có phương trình là: d : * + f = l a b (áp dụng đường thẳng cắt hai trục tọa độ) B Phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt M ( x 1; y ị ) , N ( x 2; y ) là: = x2 “ xl y ỉ- y i (áp dụng đường thẳng qua hai điểm xác định cho trước) ■ Phương trình đường thẳng qua qua điểm M ( x 0;y 0) có hệ số góc k là: d : y = k ( x - x 0) + y0 (áp dụng biết đường thẳng qua điểm thỏa mãn điều kiện khác) Cty TNHH MTVDVVH Khang Việt ■ Phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm M ( x 0;y 0)và có véc tơ pháp tuyến iì = (a;b) !à: d : a ( x - x 0) + b ( y - y0) = ,Ịa + b2 > (có thể sử dụng thay cho dạng đường thẳng qua điểm có hệ sổ góc) Vị trí tương đối điểm so với đường thẳng Xét đường thẳng d : a X + by + c = ,Ịa + b2 > o) hai điểm A ( xA;yA).B ( x B;yB ) Xét tích T = (a x A + byB + c )( a x B + byB + c ) ■ Neu T > A,B nằm hai phía so với d ■ Neu T < thỉ A, B nằm phía so với d ■ Neu T = thi A B nằm d Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Xét đường thẳng d : a x + by + c = ,Ịa + b > o j điểm M ( x 0;y 0) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d ký hiệu d (M ;d ) |ax0 + by0 + c| xác định theo công thức: d (M ;d ) = J— = - - — Va2 + b2 > Ưng dụng Viết phương trình đường phân giác góc tạo bời hai đường thẳng Xét hai đường thẳng dị : a| X + bjy + C| = 0,(af + > o j ; d2 :a2 X + b2y + c2 = 0,Ịa2 + b ị > o Ị Nếu điểm M(x; y) nằm đường phân giác cùa góc tạo dj d2 d ( M ; d |) = d ( M ; d 2) Suy phương trình đường phân giác góc tạo d ị,d có phương trình là: |ajX + b,y + Cị| |a2x + b2y + c2| — Lo A : A : J— , —L= J — Va l Góc hai đường thẳng aịX + bịy + Cị a 2x + b2y + c2 = L = ±-+— ểá ^2 Xét hai đường thẳng dị :a, X + bjy + Cj = 0,(a? + ĩ i | = ( a l; b 1) ; k? V^2 ^2 > o jc ó véctơ pháp tuyến đường thẳng d2 : a x + b2y + c2 = , Ị a + t>2 > o ) có véctơ pháp tuyên n2 = ( a 2;b'>) Khi đỏ góc a Ị o < a |b21 Va I ^ k? -yj&2 ■*" ^2 A 'f thuật giúi nhanh hình phẳng Oxy - Đặng Thành Nam Vị trí tưoìig đối hai đường thẳng Xét hai đường thẳng d| laịX + bịy + Cị = ,(a f + bị > ) c ó véc tơ pháp tuyến nJ = ( a j ; b j ) ; đường thẳng d2 : a X + b2y + c2 = 0,Ịa2 + bị > oj có véc tơ pháp tuyến n = ( ^ ^ ) J , b| ■ d| căt d — * — 3-2 ^2 Đặc biệt: dị _L d o âịã2 + b|b2 = Các toán áp dụng xét vị trí tương đối giừa hai đường thẳng phụ thuộc tham số B CÁC DẠNG TO Á N - PHƯƠNG PHÁP Vận dụng công thức phương trình đường thẳng qua điểm có hệ số góc k Vận dụng công thức phương trình đoạn chắn Vận dụng công thức phương trình đường thẳng qua điểm có véctơ pháp tuyến n = ( a ; b ) - Vận dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Vận dụng công thức tính góc giừa hai đường thẳng Vận dụng công thức phương trình đường phân giác cùa góc tạo hai đường thăng Dang 1: Viết phương trình đường thẳng A qua hai điểm M |( x j ; y |) M t (x->;y->) - Neu X| = x => A : X = X | - Nếu y, = y => A : y = y, - Nếu X| * x 2,yj * y => A = X2 " X1 — y2 y I Ví dụ l.V iể t phương trình đường thẳng dđi qua hai điểm M ( - l ; ) v N ( ; - ) Đirờiii» thẳng qua hai điểm M,N xác định bởi: o d : x + y = Cty TNHH MTV D W H Khang Việt Dang 2: Viết phương trình đường thẳng dđi qua điểm M ( x 0;y 0) có véctơ pháp tuyến ( a ;b ) Đường thẳng qua điểm M ( x 0;y 0) có véctơ pháp tuyến (a; b) xác định bởi: d : a ( x - x 0) + b ( y - y 0) = 0d:ax + b y - a x - b y = Ví dụ Viết phương trình đường thẳng dđi qua điểm M ( - l ; ) v có véctơ pháp tuyến n = ( ; - ) Đường thẳng d qua điểm M ( - l ; ) có véc tơ pháp tuyến n = ( ; - ) xác định bởi: d : ( x + l ) - ( y - ) = < = > d :2 x - y + = Dang 3: Viết phương trình đường thẳng dđi qua điểm M ( x 0;y 0)v có véctơ phương ũ = ( a ; b ) Đường thẳng d qua điểm M ( x 0;y 0)và có véctơ phương u = (a;b)xác định bởi: Cách 1: Phương trình tắc d : —— — = —— — a b Cách 2: Phương trình tham số d * Ị y = y0 + b t’v } Ví dụ Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M (3;4) có véc tơ chi phương u = ( ; ) Đường thẳng dđi qua điểm M (3;4) có véc tơ phương u = (2;3)xác định bởi: X- y -4 íx = + 2t , : ù ^ - = Ị L J l d:^ Ịy = + 3t ,(tE R ) ; Dang 4: Viết phương trình đường thẳng d (phương trình đoạn chắn) qua hai điểm nằm trục tọa độ A ( a ; ) , B ( ; b ) , ( a b ^ ) Đường thăng d xác định bời: d : * + f = l a b Ví dụ Viết phương trình đường thẳng dđi qua hai điểm A ( ; ) ,B ( ; ) Đường thẳng dđi qua hai điểm A ( ;0 ),B (0 ;6 )x c định bởi: d: —+ —= l o d : x + y - = K9 thuật giải nhanh hình phẳng Oxy - Đặng Thành Nam Dang 5: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M ( x 0;y 0) v có hệ số góc k Đường thẳng d qua điểm M ( x 0;y 0) có hệ số góc k xác định bởi: d : y = k ( x - x 0) + y Trong k = t a n a , góc tạo đường thẳng d chiều dương trục hoành Ví dụ Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau đây: a) Đi qua điểm M (l;2 ) có hệ số góc k = b) Đi qua điểm A ( - ;2 ) tạo với chiều dương trục hoành góc 45° c) Đi qua điểm B(3;2) tạo với trục hoành góc 60° Giải a) Đường thẳng qua điểm M ( l ; 2) có hệ số góc k = xác định bởi: d : y = ( x - l ) + o d : x - y - l = b) Đường thẳng qua điểm A ( - ;2 ) tạo với chiều dương trục hoành góc 45° nên có hệ số góc k = ta n 45° =1 :=>d:y = l(x + 3) + < = > d : x - y + = c) Đường thẳng qua điểm B(3;2) tạo với trục hoành góc 60° nên có hệ tan 60° = V ĩ số góc k Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn d j : V ỉx - y + - 3>/3 = 0; d2 : V ỉx + y - - 3^3 = Dang 6; Viết phương trình đường thẳng dđi qua điểm M ( x 0;y 0)v song song với đường thẳng A:Ax+ By+ c = Đường thẳng d qua điểm M ( x 0;y 0) song song với đường thẳng A : Ax+ By+ c = nhận n = (A ;B) véc tơ pháp tuyến cùa A làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là: d: A ( x - x 0) + B ( y - y 0) = 0d:Ax + B y - A x - B y = Ví dụ Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M (3;2) song song với đường thẳng A : 3x + 4y - = Đường thẳng d qua điểm M (3;2) song song với đường thẳng A :3x + y - = nên nhận n = ( ; ) v é c tơ pháp tuyển À làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là: d :3 (x -3 ) + ( y - ) = o d : x + y-17 = Cty TNHH MTV D W H Khang Việt Áp dụng Trong toán đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước, đường trung bình tam giác, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông Dang 7: Viết phương trình đường thẳng đđi qua điểm M ( x 0; y 0)v vuông góc với đường thẳng A : Ax + By + c =0 Đường thẳngd qua điểm M ( x 0;y 0)v vuông góc với đường thẳng A : Ax+ By+ c = nhận u = ( B ; - A ) véc tơ phương A làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là: d : B ( x - x 0) - A ( y - y 0) = 0d: B x - Ay+ Ay0 - Bx0 = Ví dụ Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M (l;2 )v vuông góc với đường thẳng A : 4x - 5y + = Vì d vuông góc với A nên nhận véc tơ phương u = (5 ;4 ) c ủ a A làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trinh là: d : ( x - l ) + ( y - ) = < = > d :5 x + y -1 = Áp dụng Trong toán đường thẳng qua điểm vuông góc với đường thẳng, đường cao, đường trung trực tam giác, hình thoi, hỉnh chữ nhật, hình vuông, hình thang vuông Dang 8: Hình chiếu vuông góc H điểm M đuờng thẳng d cho trước; điểm Mj đối xứng với M qua đường thẳng d Tọa độ H giao đường thăng qua M vuông góc với d = 2X u - X M - Tọa độ điểm Mj xác định bời: i M| [yMị = 2yH “ Ym Ví dụ Tìm tọa độ H hình chiếu vuông góc M (7 ;4 ) đường thẳng d :3x + 4y - = Tìm điểm Mị đối xứng với M q u a d Đường thẳng A qua M vuông góc với đ nhận véc tơ phương u = ( ;-3 ) d làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là: A : ( x - ) - ( y - ) = o A : x - y - = Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình Í4 x -3 y -1 = ị [3x + y - = íx = Ịy = => H ( ; ) v í x M = x H - X M =1 Vì H trung điêm MM| => < ' = > M (l;-4 ) ỊyMị = 2yH - y u =-4 Áp dụng Bài toán điểm đối xứng qua đường thẳng, đường phân giác tam giác, toán cực trị Cty T N H H M T V D W H Khang Việt Do F trực tâm tam giác A D K , _ Đường thẳng D F _L A K => C F : 2x + y - — = Vì F e DF 7-4/ F Suy DI = ^ ; - A suy tọa độ trung điểm cùa E F ^ j, l, Ẽ FF = ị t - - ; - t \ l J Ta có Z ) /± £ F < ^ > Z ) /.£ F = _ ~ 2 _ IH H N ế u F (|;-|]= > /( 11 2; - 2) Đường thẳng A D qua hai điểm/ ) , / = > j4Z) : X + y —0 Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: ịx + y = ị ịx = \ \x - y - =0 ị 1^ = -1 x = > i4 (l;-l) v Đường thẳng A C qua hai điểm A , F nên có phương trình là: A C :x + 3y + = Đường thẳng B C qua D vuông góc với A C nên có phương trình là: BC :3| Jt — - + Tọa độ điểm = < » £ C :3 jc -.y -1 = c ng hiệm cùa hệ phương trình: fx + 3v + = f;t = ị => C( ;-2 ) [3x-y-]4 =0 \ y = -2 v J Đường thẳng A B qua hai điểm A , E nên có phương trình là: AB :'ìx + y - = Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trinh: '3x + y - = x -y -\4 =0 TH2: Nếu /r 11 o X = - y =- thực tương tự 651 Kỹ th u ậ ig ià ì nhanh hình phăng Oxy - Động Thành Nam Bài 139 Trong mặt phẳng tọa độ O x y , cho hai đường tròn ( C , ) : ( j c - ) + ( y - l ) = (C 2) : ( x + l ) + ( > > - ) = tiếp xúc A Tìm điểm B thuộc (C|), điểm c thuộc (C 2) cho tam giác ABC vuông A có diện tích lớn Giải Đường tròn (C ]) có tâm /, ( ; l ) , bán kính / ? J = Đường tròn ( C 2) c ó tâ m / ( - ; ) , bán kính R2 = Tọa độ điểm A nghiệm cùa hệ phương trình: ( * - ) 2+ (.y -l)2 =9 X = — 17 (* + ! ) ' + - ) ‘ = A ị & ■ ' Gọi / / , K trung điểm cùa A B , A C => ỉ ị H _L A B , Ỉ 2K JL A C Do tam giác A B C vuông A nên IịAB + Ỉ 2A C = 90° Ta có AB = 2AH = 2/,/ícos IịAB = c o s ĩ ìAByAC = AK = ỉ 2A c o s I 2AC = 4sin/,y4£ Suy S AlỊC = — A B A C = ó c o s ỉ ị A B A s ỉ n ỉ ị A B = s i n IịAB < Dấu xảy IịA B = 45° => l xH - / ị ^ s i n 45° = - i v2 Đưòmg thẳng A B : a \ X - - +b 17 y -j = 0,(o! +Ếí > ) _3_ yla2 + b : ( a - b ) = ( a + b 2) a = -Ib b = 7a T H I: Nếu ữ = - , chọn a = 7,b = - \ => A B : x - y + = Đường thẳng A C _L A B => A C : x + y - = Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình: t x - 2y + ( y - \ f 652 X - - , y I x - y +2 =0 = 17 - — x = — , y = —5 l 55 Cty T N H H M T V D W H Khang Việt Tọa độ điểm c nghiệm hệ phương trình: 17 x„ = -1, y = — 5 13 19 (* + !)’ + (> A B :x + y - = Vì / Í C _L A B => / í : jc- + = Tọa độ điểm nghiệm hệ phương trình: -I x + 7>>-24 = 0 _ 22 ,(* -2 )I + - l ) 2=9 * Tọa độ điểm c -1Z ^ f2 ;]£ Ì ^ 5 = Ị4 5 nghiệm hệ phương trình: J x - y + = Ị ( a: + I)2 + ( ^ - ) ỉ = \ 17 x = ,>; = i r 3 „ 5’ 31 X = - ,.y = — 5 Vậy tọa độ hai điểm cần tìm ,c B 31 5’ Bài 140 Trong mặt phẳng tọa độ O x y , cho đường thẳng d : x - y + = hai đường tròn ( C ị ) : ( ; c - l ) + ( > > - l) =1 ( C 2) : ( x + )2 + ( y - ) = Tỉm điểm M d cho tồn hai điểm A,B thuộc (Ci) (C2) cho d phân giác góc A M B Giải Đường tròn ( c , ) có tâm /ị ( l ; l ) , bán kính Rị = Đường tròn ( C )có tâm / ( - ; ) , bán kính R, = Giả sử đường thẳng MA : ax + by + c - 0, ( ữ + b > ) Khi đường thẳng M B đường thẳng đối xứng với MA qua d Với mồi điểm ( x ; y ) thuộc MA tồn điểm ( X ị ì y ị ) thuộc M B cho chúng đổi xứng với qua d 'ì( xị - x ) + \ ( y ị - y ) = Ta có hệ phương trình: « *1+* +2 = yt+ y \x = y i - [y - x ì + 653 Kỹ thuật g iả i nhanh hình phăng Oxy - Đặng Thành Nam Mặt khác ax + by + c = ứ (^ ị - ) + 6(jCị + 2) + c = bxx + ayx - 2a + 2b + c = Suy đường thẳng M B có phương trình: M B : bx + ay —2a + 2b + c = Vì MA tiếp xúc với ( C ị ) M B tiếp xúc với d nên: \a + b + cị \a + b + cị \a + b + c\ T T Ĩ= |2a - b + c { d ( l 2\ M B ) = R Va2+ = c = —3b =1 S ỈĨT Ĩ1 =2 \2a - b + c\ = \a + b + c\ s ỊĨT iĩ T H h N ể u c = - A = > ( ) e > - ^ = Ì l = l o / : -4 o Ề = < » b = 3Ỏ = 4ứ sla '-+ b - 4a + b Với b = => M A : X= Tọa độ điểm M thỏa mãn hệ phương trình: í* = fjc = x ị o ị = > M ( 0;2) l* -.y + = 1^ = v ' - Với 3/> = tf,c h ọ n í/ = 3,/> = ,c = - => M A : -h 4_v —12 = Tọa độ điểm M thỏa mãn hệ phương trinh: 3x + y - \ = x - y + =0 TH2: XI* Néu c = — —+— X = — o 18 y= - M í-li 7’ „ \2 (1) b -a \1 =1 ì Ị ĩ T ĩ o Sa2 +4ab + 5b2 = Cí> s ị a + —ì + —ố2 = o j ứ V 4J ^ (loại) Ịố= Vậy có hai điểm cần tìm thỏa mãn yêu cầu toán M (0 ;2 ) Bài 141 Trong mặt phẳng tọa độ O x y , cho đường tròn (C ):(x -4 ) ■> ( ọ V 25 ĩ 4- y - — \ = — hai điểm A(2; 3), B (6; 6) Hai dây cung V 2) A M , B N đường tròn ( C ) c ắ t H Đường thẳng A N B M cắt 654 c Tìm tọa độ điểm c biết H (1) Cty T N H H M T V D W H Khang Việt Giải Đường tròn (c) có tâm ^ 4- bán kính R = — Nhận thấy / l , i ? e ( c ) v đối xứng qua tâm / nên A B đường kính đường tròn (C) Khi \AM I B M ỈX _ => H ỉà trực tâm tam giác ABC A N _L B N HC = ị x - - , y - ^ , A B = (A-,ĩ) Gí>' C(x-,y) ; - i ì , B C = (.v -6 ;> -6 ) _ I HA ± BC Ta có B D : x —y —1 = Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình: ị x - y - \ = Íjc = \ x - y - = ũ c^ \ y = ^ ' , ^ Vì / trung điểm B D => D { —l ; - ) Theo giả thiết ta có E trung điểm A D => £ ( - l ; ) Đường thẳng C E : = — C E : X + y +1 = Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình: 655 Kỹ thuật g iả i nhanh hình phẳng Oxy - Đặng Thành Nam Đường thẳng D M : x + ^ = y + ^ o 12/ 4/5 D M : JC- 3>>- = Đưòmg thẳng A N : x + ^ = y ~ ^ o A N : X + y - = 16/ -8 /5 Vì p = A N n D M nên tọa độ điểm p nghiệm hệ phương trình: í 19 x-3y-5=0 x+2y-3=0 Vây điêm cân tìm có toa đô p (19 ^5 ’ Nhận xét Bài toán không khó yêu cầu học sinh vận dụng tính chất đường thăng qua điểm vuông góc với đường thẳng Bài 143 Trong mặt phang tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A ngoại tiếp hình chừ nhật MNPQ có điểm jV(2;-1) thuộc cạnh BC, p thuộc cạnh AC Q thuộc cạnh AB Ph n g trình đường thẳng AB là: X - y + = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Giải Phân tích lòi giải Bài toán đơn giản từ M,N thuộc BC ta viết phương trình đường thẳng BC Từ tìm tọa độ đỉnh B Viết phương trình đường thẳng MỌ suy tọa độ điểm Q Theo tính chất hình chữ nhật QM = PN ta tìm tọa độ điểm p Lấy điểm A thuộc A B sử dụng điều kiện AB _L A C => AP A B = từ suy tọa độ điểm A Tọa độ điểm c nghiệm hệ tạo A C Lời giải Phương trình đường thẳng B C : y +1 = Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình: Vì M Q ± B C = > M Q : x + = 656 BC Cty TN H H M T V D W H Khang Việt Tọa độ điểm Q nghiệm hệ phương trình: [* + = x = -3 [*->> + = Q ( - 3;2) v=2 Vì Q M = Ĩ N => p ( ; ) X y- = Đường thẳng A C AB => A C : + Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: y+ = Y+ y- = V - x y= Tọa độ điểm c nghiệm hệ phương trình: f.Y + > > - = Vậy tọa độ ba điêm cân tìm A |\v = ( 9^ x ,£ (-6 ;-l),C (5 ;-l) V 2; Bài 144 Trong mặt phẳng tọa độ O x y , cho đường tròn ( c ) : ( x - ) +(>> + 1)2 = 16 đường thẳng d : x —3 ^ + = Gọi A , B hai điểm d c điểm (C) cho đường thẳng A C cắt đường ( 22 n tròn (C) điêm H — Gọi K trung điêm AB, diện tích tứ giác V5 J ( 7\ AKI H bàng 24 Giả sử k \ trung điểm AB Tỉm tọa độ V 5 y điểm A , B , C Giải Đường tròn (C) có tâm 1(2;-1), bán kính R = Ta có cỉ(l\íi ) = = =>d tiếp xúc với (c) Ta có Ỉ K ± d => d tiếp xúc với đường tròn ( c ) t i điểm K Ta có H K = J( — ] + Í - T = 4>/2 = y / m + I K => AIH K vuông I n ) {5) Do tử giác A K I H hình thang vuông I , K Ta có S 4KIH = - ( / / / + A K ) I K = - ( + A K ) A = 24AK = % 657 Kỹ thuật g iả i nhanh hình phẳng Oxy - Đặng Thành Sam Vì A e d = > A\ /; /+ Í4t +9 o l ' V AK = + Ả (-6; 5) t = -6 = 64 18 '1 ; T H I: Nếu A ( -6 ;5 ) K trung điểm A B = > B 18 Đường thẳng A C : x + y —88 = Tọa độ điểm c nghiệm hệ phương trình: ĩ -22 *- (7x + y - S S -■ | ( x - ) + (>' + l ) = ^ _ r ì TH2ĩ Nếu A — V 5 222 Ị 222.431"! = ^ => V 145 ’ J 5 K trung điểm cùa ;5 ) ) _ ^ 99 Đường thăng A C : x - y ~ — = Tọa độ điểm c nghiệm hệ phương trình: 22 99 x - y ~ =0 cx> ( x - ) + ( y + \)2 = \ 5, ,6 194 5 194 317 x = — ,y = — — 65 65 Vậy tọa độ ba điểm cần tìm A (-6 ; 5), B 11 x =— , y =— 317" 65 ’ _Ị8 _ ^ ( 2 #431 * / 1 ’ 145 65 J 65 Bài 145 Trong mặt phẳng tọa độ O x y , cho điểm ^4(l;0) hai đường tròn ( c , ): X2 + y = ; đường tròn ( C 2) : ( c , ) điểm c X2 + y = Tìm điểm B trên ( C )để tam giác A B C có diện tích lớn Giải Nhận xét Điểm A nằm hai đường tròn hai đường tròn có tâm gốc tọa độ Để tam giác A B C có diện tích lớn thỉ tam giác A B C Chứng m inh o phải trực tâm Cty T N H H M T V D V V H Khang Việt Nếu o c không vuông góc với A B Với điểm B e ( C 2) ta tìm điểm Cj cho d{C.x\ A B ' ) > d ( C \ A B ) - = > S AHi > S AHC Vậy o c _L A B Tương tự ta có O B _L A c Vậy o trực tâm tam giác A B C Suy OA J_ B C => B C : X = m Gọi Z ?(w ;/> ),C (w ;c) ta có hệ phương trình: Mặt khác x \m2+ b = ịb2 = - m n r * =5s [m » +c > =r —m’ • m * [c • = o m ị m - 1) + bc = => b2c = m ị m - 1)2 Ò C A B Suy m = -l (2 —w 2) (5 — /7/2 ) = m 2( m - \ ) ( w + l ) ( / w - 10/H + 10) = - V5 m - — —— 5+ V5 m = - -— Đối chiếu với điều kiện suy m = - m = 5- V Ta có s ,, ,, = - / l f l í / ( / l ; Z Ĩ C ) = - | m - l | | é - c | Suy = ('" - 1)2 ( /} - c )2 = = - ( / ? / - 1)2 ( m - 1)2 [ /?2 + c - 2bc] [l-2m2+ ImỤìt- l ) J = - ( / 7 - 1)2 ( - / ; / ) T H I; Nếu m = -1 => s],i( =9=> S m = X H li N ả , m = = < => S AHl < Vậy với A77 = —1 diện tích tam giác A B C lớn Khi ta có hệ phương trình: b = 1,C' = -2 *> II bc = - II b=-lc=2 £ (-l;l),C (-l;-2 ) => 659 Kỹ thuật g iả i nhanh hình phẳng Oxy - Đặng Thành Nam V ậ v tọ a đ ộ hai điểm cần tìm Z ? ( - l ; l ) , C ( - l ; - ) ( - l ; - l ) , C ( - l ; ) Tồng quát; Cho hai đ ườn lĩ tròn đồng tâm / A điểm nằm hai đường tròn; B ,c hai điểm nằm hai đường tròn diện tích tam giác A B C lớn / trực tâm tam giác A B C Bài 146 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có góc B A D = 60° Trên cạnh AB lấy điểm M, cạnh BC lấy điểm N cho MB + N B =AB Biết điểm P^yfĩ', 1Ị thuộc đường thẳng D N đường phân giác góc M D N có phương trình là: d : X — V y / Ĩ + = Tìm tọa độ đỉnh D Giải Theo giả thiết B A D = 60° => A^ỔD, AC B D tam giác Vì B M + B N = A B = BC -=> A M = BN => AA D M = AB D N => Ẩ D M = B D N Tương tự A M D B = A N D C => M D B — N D C Suy M D N = M D B + N D B = Ĩ B D = 60° Gọi Pị điểm đối xứng p qua đường thẳng d => e D M tam giác DPP) cân có góc đỉnh 60° nên tam giác V - V + Suy DP = r r D /; / +6 DP = 73 ÍI +6 \2 = 36 « ( ( -V )2+ [ 73 ' / ~l = - + J Ĩ 1=3 + S D Í - + V ;l) D Í + n/3;1 + n /3 ) Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu toán D ( - + V3;l) d ( + n/3;1 + V3 ) Bài 147 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B thuộc đường thẳng dị : x - y + = 0, đỉnh c thuộc đường thẳng d : x —y —5 = Gọi H hình chiếu vuông góc B A C Gọi M , N trung điểm A H C D Giả SỪ M ’5 chữ nhật A B C D 660 , N { ; ) Tìm tọa độ đỉnh hình Cty T N H IỈ M T V D W H Khang Việt Giải Đường thẳng A N cắt đường thẳng c E ta có c trung điểm BE Vì A/, N trung điểm A H , C D nên M N đường trung bình cùa tam giác A H E Vì B e í / | , c => fíị b :2 b + ) , C ( c ’,c —5) vi c trung điểm BE => E ( c - h \ c - b - \ ) 72 76 Ta có H E = M N => / / c - b - — ; c - b 5 Suy C N = ( - c ; - c ) , B C = ( c - b ; c - b - ) ; 72 _ 86^1 —— BH = \ c - b - — ; c - b 5 Ta có í C7V BC \ mc l b h r V ;M C = c - —\ c - 27 ỈCN.ẼC = ** \ m c b h =0 ( - c ) ( c - b ) +( - c ) ( c - b - ) = +1 2c - 4A - — 27 C‘ — =0 (9 -c*)(c-A) + (7 + c ) ( c - A - ) = 72 2c-2b~ — ,- ị 86 + 2C-4A— c- 27 =0 / V - c + 3Acr + 23c - 23/> - 49 = = l,c = , ,, 126, 594 ố = l,c = 4c - 6bc + ——/>- 46C‘ H— — = 5 z ? (l;4 ),c (4 ;-l) 5(l;4),c(9;4) T H I ; Nếu Z?(l;4),C’( ; - l ) t h ì jV trung điểm C D => D ( l ; ) Vì ~ÃD = ~BC=> A ( \ \ \ \ ữ ) TH2: Nếu Z ?(l;4),C ’( ;4 ) AMà trung điểm CD=> Z)(9;0) Vì Ã D = BC=>A( 1;0) Vậy tọa độ bổn điểm cần tim v ( l; ) ,Z ? ( l; ) ,C ( ;4 ) ,D ( ;0 ) 661 Kỹ thuật g iả i nhanh Ịtình p liẳ n g Oxy —Đặng Thành Num Bài 148 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (Ci) (C 2) có bán kính cẳt hai điểm A(4;2) B Đường thẳng qua A N(7; 3) cắt đường tròn (Ci), (C2) D Phương trình đường thẳng c nôi tâm hai đường tròn X —y —3 = diện tích tam giác B C D băng — Tìm tọa độ đỉnh tam giác BCD Giải Giả sử hai đường tròn có tâm I|l2 Phương trình đường thẳng AN: X - 3y + = Vì [,I2 l A B = > A B : x + y - = Tọa độ giao điểm H AB đưòng thẳng 11 12 nghiệm hệ phương trình: Vì H trung điểm AB => B(5; 1) Vì hai đường tròn có bán kính nên BDC = BCA => ABDC cân B Gọi M trung điểm CD => M hình chiếu vuông góc B AN Đường thẳng BM: 3x + y - 16 = Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình: T a ccó ó -V/ = -C \ c dD.d m ((B B ::AAN) N ) == MC M C I' f = ' + Ta ‘V/> = VI + (-3 )2 lV ) = - U mMCc = — V10 T H I: Nếu c ( l ; l ) M trung điểm cùa CD=> dỊ^— •— jTH2: Nếu ( ^ í l l i l ì d o M trung điểm CD => Z ) ( l ; l) Vậy tọa độ ba điểm cần tìm 662 MC = óVĨÕ MỤC LỤC Chương Đ IỂM VÀ ĐƯỜNG THANG Chủ đề ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG Chủ đề CÁC BÀI TOÁN VÊ TÍNH CHAT Đ ố i X Ứ N G 30 Chủ đề BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM s ó 42 Chủ đề TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐlỀU KIỆN CHO TRƯỚC 61 Chủ đề BÀI TOÁN c ự c TRỊ HÌNH GIẢI TÍCH P H A N G 76 Chương T A M G IÁ C , TỨ G IÁ C VÀ ĐA G IÁ C Chủ đề NHẬN BIẾT TAM GIÁC, TỨ GIÁC VÀ ĐA GIÁC .98 Chủ đề ĐƯỜNG TRƯNG TUYẾN 105 Chủ đề ĐƯỜNG CAO 119 Chủ đề ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC 131 Chủ đề CÁC ĐIỂM VÀ CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM G IÁ C 150 Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ đề đề đề đề đề HÌNH BÌNH HÀNH 195 HÌNH THANG 203 HÌNH T H O I 223 HÌNH CHỮ NHẬT VÀ HÌNH V U Ô N G 239 10 VẬN DỤNG PHÉP BlẾN h ì n h t r o n g HÌNH GIẢI TÍCH PH Ẳ N G 296 Chương ĐƯỜNG TRÒN Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 311 Chủ đề ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TlẾP, ĐƯỜNG TRÒN NỘI TlẾP TAM GIÁC, TAM GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG T R Ò N 340 Chủ đề TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG TRÒN 364 Chủ đề TIẾP TUYẾN CHƯNG CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN .392 Chủ đề VỊ TRÍ TƯƠNG Đ ố i CỦA ĐIEM, ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG TRÒN 402 Chủ đề BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG T R Ò N 448 Chương BA ĐƯỜNG CONIC Chủ đề XÁC ĐỊNH CÁC THUỘC TÍNH CỦA BA ĐƯỜNG C O N I C 466 Chủ đề VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TAC ba đư ờng CONIC 474 Chủ đề VỊ TRÍ CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THANG v i b a đ n g CONIC 488 Chủ đề ĐIỂM THUỘC BA ĐƯỜNG C O N IC 509 Chương B À I TOÁN CHỌN LỌC VÀ RÈN LU Y Ệ N NÂNG CAO PHẦN I BÀI TOÁN ĐÃ THI (NHỮNG NĂM GAN ĐÂY) 538 PHẦN II BÀI TOÁN CHỌN LỌC RÈN LUYỆN NÂNG C A O 548 NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUốC GIA HÀ NỘI 16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội Diên th o a i: Biên tô p - Chế bân: (04) 39714896 Hãnh chính: (04) 39714899; Tổna biên tập: (04) 39714897 Fax: (04)39714899 Chịu trá c h nhiệm x u ất b ản G iám đốc - T biên tậ p : TS PHẠM THỊ TRÂM Biên tập : Chê bản: Trình bàỵ bìa : NGỌC THANG Công ty KHANG VIỆT Công ty KHANG VIỆT Tổng p h t h àn h đ ố i tá c liê n k ế t x u ấ t bản: SÁCH LIỀN KẾT _ NHỮNG ĐIỂU CẦN BIẾT LUYỆN THI ĐẠI HỌC KỸ THUẬT GIẢI NHANH HÌNH PHANG OXY M ã s ố : L - Đ H ~ M ã số ISBN: - - 9 - - SỐ lượng in 0 b ả n , k h ổ x c m In C t y T N H H M T V in ấ n M AI T H ỊN H ĐỨC Địa chỉ: Kha V n C â n , P H iệ p Bình C h n h , Q T h ủ Đức, T p H C M S ố xuất bả n : - / C X B / - / Đ H Q G H N , n g y / / Q u y ế t đ ị n h x u ấ t b ả n s ố: L K - T N / Q Đ - N X B Đ H Q G H N c ấ p n g y / / In x o n g v n ộ p lưu c h i ể u q u í II n ă m r p CÔNG TY TNHH MỘT THÀNH VIÊN DVVH KHANG VIỆT Nhầ Sách KHANG VIỆT ■ -Ị j ■■ % Địa chỉ: 71 Đinh Tiên Hoàng - p Đakao-Quận -Tp Hồ Chí Minh Điện thoại: (08) 39115694 - 39105797 - 391 i 1969 - 39111968 Fax: (08) 39110880 Email: khangvietbookstore@yahoo.com.vn Website: www.nhasachkhangviet.vn •i "»I '■>1 i b i ' 1' , 1' [...]... ỹ _ 87 ly _ 8 Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (2;5) và cách đều hai điểm P ( -1 ;2 ),Q (5 ;4 ) Giải Đường thẳng cần tìm có dạng: d : a ( x - 2 ) + b ( y - 5 ) = 0 ,Ịa 2 + b 2 > o j Theo giả thi t ta có: d (P ;d ) = d(Q ;d ) |-3a - 3 b | _ |3 a - b | fb = -3a Lb = ° 21 Kỹ thuật giải nhanh hình phăng Oxy - Đặng Thành Nam T H I; Nếu b = 0 = > d : x... - 2 ) 5 10 (17 Suy ra A — V 5 10 5J ( \3 ,B — VlO 2^ 5 và đường thăng được xác định bởi 13 Kỹ thuật giải nhanh hình p/iẳng Oxy- Đặng Thành Nam _\J_ n d-:ả 1 ừ = í i ĩ ^ d:30x+35y' 2 5 = 0 ' 10 5 5+ 5 Vậy có hai đường thẳng cần tỉm là d : 5x + 45y + 26 = 0 và d : 30x + 35y - 25 = 0 1.3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d | : X - 7y +17 = 0 và d2 :x + y - 5 = 0 a) Viết phương trình đường... Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d / , 2t-l0 ^ J , 2t—+ -0 => MU = Vì H e d => H í t;— t +1; -J đường thăng d có véc tơ chỉ l 3 J V Kỹ thuật giải nhanh hình phăng Oxy - Đặng Thành Nam phương u = ( 3 ; 2 ) Vì M H ± d < ^ M H u = 0 o 3 ( t + l) + 2 Í ^ — —ì = O o t = l = > H ( l ; l ) V 3 ) Vì H là trung điểm của MMj => Mị ( 3 ; - 2 ) Cách 3: Gọi M| ( x ;y ) là điểm cần tìm... -2 25 A'p thuật giãi nhanh Itìnli phăng Oxy - Đặng Thành Sam Vậy phương trình đường thẳng ( d ) : — - = 3 7 x - 3 y +14 = 0 3 7 Bài 12 Trong mặt phang tọa độ Oxy cho hai đường thẳng dị : 2 x - y + 5 = 0 và d2 : 3x + 6y - 7 = 0 Viết phương trình đường thẳng A cắt đồng thời cả d| ,d 2 tạo thành một tam giác cân tại giao điểm cùa dị và d 2 , biết điểm M (2;-l) nằm trên A Giải Đường thẳng cần tìm đi... đường thẳng d | : x + 2 y - 3 = 0 và đường thẳng d2 : 2x - y -1 = 0 cắt nhau tại I Viết phương trinh đường thẳng d đi qua o và cắt d |, d2 lần lượt tại A,B sao cho 2IA = 1B 27 Kỹ thuật giải nhanh hình phăng Oxy - Đặng Thành Nam Giải Ta có dị _L d 2 Tam giác IAB vuông tại I và có 21A = IB nên cos IAB = hay d tạo với dj một góc a với c o s a = - J = Đường thẳng dị có véc tơ pháp tuyến r»|(1;2), gọi n... thẳng cần tìm đi qua hai điểm B, I nên có phương trình là: d : 7x - y + 1= 0 Bài 7 (ĐH Kinh Te) Viết phương trình các cạnh tam giác ABC biết B(-4;-5) và hai đường cao có phương trình d| : 5x + 3y - 4 = 0 và d 2 : 3x + 8y +13 = 0 Hưóng dẫn giải - đáp sổ Dề thấy B Ể d | , B g d 2 nên giả sử hai đường cao đó lần lượt là AH : 5x+ 3 y - 4 = 0;CH :3x+ 8 y + 13 = 0 23 Kỹ thuật giải nhanh hình phăng Oxy - Đặng. .. 1 2 + 2b = 0 < ^ 2 b 2 = 24 b = ±2>/3 - Với b = - 2 V3 => c = 4 - 2\Ỉ3 => d : —^-Ị= + — ^-FT = 1 - 2 V3 4 - 2 V 3 ■ Với b = 2 V3 => c = 4 + 2yJ5 => d : =1 2V3 4 + 2V3 19 Kỹ thuật giải nhanh hình phẳitg Oxy - Đặng Thành Nam b) Tam giác ABC cân khi và chi khi AB2 = AC2 «=> (b + 2)2 + ( - 2 ) 2 = 22 + í • b=2 «í b4 - 2b3 - 1 2b2 + 24b = 0 (d ): —+ —= 8 2 1 b) Ta có OA + OB = a + b = a + —— = a - 4 + —^— + 5 > 2 j ( a - 4 ) ^ + 5 = 9 a -4 a-4 V ’ a-4 15 Kỹ thuật giải nhanh hình phăng Oxy - Đặng Thành Nam Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a - 4 = —— a = 6;b = 3 = > (d): — + — = 1, 5 J a-4 v ; 6 3 , T x c) Ta có 9 OA 9 4 9 + 4(a-4 ) 7 3 - 3 2 a + 4a 2 = — + - — - = 1-... Đường thẳng A đi qua M ( - l ; 2 ) và có hệ số góc k có phương trình là: A :y = k (x + l) + 2 Đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến riị = ( l ; - 2 ) ; đường thẳng A có véc tơ pháp 11 Kỹ thuật giài nhanh hình phăng Oxy - Đặng Thành Nam tuyến n2 = ( k ; - l ) Vì vậy A l d o n i l n 2 o k l + ( - l ) ( - 2 ) = 0 k = - 2 Suy ra A : y = - 2 ( x + l) + 2 A :y = - 2 x A tạo với d một góc 60° Góc giữa... Ta có d ( l ; d ) = 4 < = > L = H = 4 o ( 6 a + 4 b ) 2 = 1 6 ^ a 2 + b 2 Ị a=0 5a = - 1 2 b Từ đó suy ra hai đường thẳng cần thỏa mãn yêu cầu bài toán là dx\ y - 3 = 0 d2: 1 2 j c - 5 ^ - 6 9 = 0 Dạng toán này xem chương 3 Kỹ thuật giãi nhanh hình phăng Oxy - Đậng Thành Nam Chủ đề 2 CÁC BÀI TOÁN VÊ TÍNH CHÂT ĐÔI XỨNG A NỘI DUN G P H Ư Ơ N G PHÁP DANG u Đ IÉ M ĐỐ I XỨNG CỦA Đ IẾ M QUA M Ộ T Đ IỂ ... k ( - a - ) a - b = -2 Kh i AB = yj(a - b )2 + [3 (a - b) + 4]2 = V2 a-b =- ía - b = -2 [a = - ■ Với a - b = - < = > d :x + y + l = a = 3b-2 b=0 Với a - b = - — a - b= a = 3b-2... Я Г - ' Ả L _ 17 KỸ thuật ỊỊÌáì nhanh hình phăng Oxy - Đặng Thành Nam d : y = k ( x - 1 )- Khi tọa độ B = d| n d nghiệm hệ phương trình X= X - y - 1= k -1 < y = k (x -l)-l Tọa B y = k -1 ... -2 a -3 = -2 (b -2 ) Trường hợp 2: MA = -2 MB<