Đang tải... (xem toàn văn)
Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ trong hình học Bài viết này xin giới thiệu đôi chút về “hàng điểm điều hòa”- một công cụ tương đối mạnh và hấp dẫn trong giải toán hình học phẳng
Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học Kim Luân Bài viết xin giới thiệu đơi chút “hàng điểm điều hịa”- cơng cụ tương đối mạnh hấp dẫn giải tốn hình học phẳng Để bạn dễ theo dõi xin trình bày lại số lí thuyết công cụ này: I.Căn nội công : a Hàng điểm điều hoà: Định nghĩa: Trên đường thẳng ta lấy bốn điểm A, B, C , D Khi ta gọi A, B, C , D hàng điểm điều hịa thỏa mãn hệ thức sau: Kí hiệu: ( A, B, C , D) = −1 A C B DA CA =− (1) DB CB D Sau số định định lí quan trọng cần biết viết này(được suy trực tiếp từ định nghĩa): *Định lí 1:(Hệ thức Niutơn) Cho ( A, B, C , D) = −1 Gọi N trung điểm AB Khi NA2 = NB = NC.ND (2) A N C B D *Nhận xét: Thực (1) (2) tương đương nên điểm A,B,C,D thỏa mãn (2) ta có điều ngược lại ( A, B, C , D) = −1 Định lí định nghĩa hai dấu hiệu phổ biến để chứng minh điểm hàng điểm điều hòa Vấn đề để chứng tỏ hàng điểm điều hòa xem giải quyết, có hàng điểm điều hịa ta thu gì? Câu hỏi giải đáp qua hai định lí quan trọng sau: *Định lí 2: Cho ( A, B, C , D) = −1 Lấy O cho OC phân giác ∠AOB OD phân giác ∠AOB O A C B D *Nhận xét: Từ suy ∠COD = 900 định lí có ý nghĩa thực quan trọng chứng minh vuông góc Mặt khác có điều ngược lại tức ∠COD = 900 OC phân giác OD phân giác ngồi ∠AOB điều có ý nghĩa quan trọng cho chứng minh yếu tố phân giác Định lí 3: Cho ( A, B, C , D) = −1 điểm O nằm hàng điểm điều hòa Một đường thẳng d cắt ba tia OC,OB, OD E,I F Khi I trung điểm EF d song song với OA O F I E A C B D *Nhận xét: Định lí có ý nghĩa tốn chứng minh trung điểm song song Một câu hỏi nhỏ phải hàng điểm điều hòa hiếm, thật vậy, cần có hàng điểm điều hịa ta “sinh sôi nảy nở” hàng loạt hàng điểm điều hòa con, bạn hiểu rõ điều qua định lí “chùm điều hịa” sau : b.Chùm điều hòa: O A C B D Định nghĩa: Cho hàng điểm điều hòa ( A, B, C , D) = −1 O nằm hàng điểm điều hịa Khi ta gọi tia OA,OB,OC,OD chùm điều hịa kí hiệu (OA, OB, OC , OD) = −1 Định lí chùm điều hòa: Cho (OA, OB, OC , OD) = −1 Một đường thẳng d cắt cạnh OA,OB,OC,OD E,F,G,K ta có ( E , F , G, K ) = −1 O K F G A C E D B *Nhận xét: Qua định lí thấy từ hàng điểm điều hịa ban đầu “sinh sơi” vơ số chùm điều hịa xung quanh(cứ điểm ngồi hàng điểm điều hịa nói cho ta chùm điều hòa tương ứng) Và chùm điều hòa lại cho ta vơ số hàng điểm điều hịa Mà cần số chúng kết hợp khéo léo với định lí hai ba cho nhiều hình học hiểm ác với biến ảo khơn lường… Từ định lí kết hợp với định lí cho ta số hệ sau: Hệ 1: Cho chùm điều hòa (Ox, Oy, Oz, Ot ) = −1 góc zOt = 900 Oz phân giác góc xOy Ot phân giác xOy O x t z y *Nhận xét: Tất nhiên có điều ngược lại tức có Oz phân giác Ot phân giác góc zOt=90 độ Mặt khác tia Ox,Oy,Oz,Ot mà có góc zOt=90 độ Oz,Ot phân giác phân giác xOy (Ox, Oy, Oz, Ot ) = −1 Đây dấu hiệu quan trọng để chứng minh tia xuất phát từ đỉnh chùm điều hòa Hệ 2: Cho chùm điều hòa (Ox, Oy, Oz, Ot ) = −1 đường thẳng d cắt Oz,Ot,Oy A,B,I d song song Ox I trung điểm AB O d B I A x t y z *Nhận xét: Cũng có điều ngược lại tức d song song Ox I trung điểm AB (Ox, Oy, Oz, Ot ) = −1 Đây dấu hiệu quan trọng để chứng minh tia xuất phát từ đỉnh chùm điều hịa Nhân tơi xin trình bày thêm cũng…điều hòa c.Tứ giác điều hòa: Định nghĩa: Tứ giác ABCD gọi “tứ giác điều hịa” thỏa mãn hệ thức sau: AB CB = AD CD Định lí tứ giác điều hòa: Cho đường tròn (O) điểm A nằm (O) Từ A ta kẻ hai tiếp tuyến AB,AC kẻ cát tuyến AMN Chứng minh BMCN tứ giác điều hịa(hình vẽ) B N M A C (gợi ý: sử dụng tam giác đồng dạng để suy điều phải chứng minh từ đ/n) *Nhận xét: +Cũng có điều ngược lại tức MBNC tứ giác điều hịa tiếp tuyến B,tiếp tuyến C MN đồng quy điểm +Tứ giác điều hịa có mối quan hệ tuyệt vời với chùm điều hòa mà bạn hiểu rõ sau đọc hết phần cuối viết Việc chứng minh định lí đơn giản nên xin dành lại cho bạn đọc(nếu có thắc mắc trao đổi thêm) Sau khảo sát vài toán để thấy phần vẻ đẹp sức mạnh công cụ vừa dẫn II.Một số toán minh họa: Chúng ta bắt đầu toán quan trọng sau: Bài toán 1: Cho tam giác ABC Lấy E BC, F AC K AB cho AE,BF,CK đồng quy điểm Khi T giao điểm FK với BC (T , E , B, C ) = −1 Lời giải: A F K T B E C Trong tam giác ABC: +Áp dụng định lí Xêva với ba đường đồng quy AE,BF,CK ta có: EB FC KA = −1 (1) EC FA KB +Mặt khác áp định lí Mênêlẳyt với ba điểm thẳng hàng T,K,F lại cho ta: TC KB FA = (2) TB KA FC Nhân (1) (2) vế theo vế suy ra: TB EB =− TC EC Theo định nghĩa (T , E , B, C ) = −1 ,đây đpcm Bài toán 1.1: Cho tam giác ABC H chân đường cao kẻ từ A Trên đoạn thẳng AH ta lấy điểm I kẻ BI cắt AC E CI cắt AB F.Chứng minh AH phân giác ∠EHF A E F B I C H Lời giải: Một toán đơn giản nhưng…khó đến kinh ngạc, bạn phải làm đối mặt với vậy? …??? Khi nhắc đến tốn tơi nhớ đến lời giải độc đáo anh Hatucdao, lời giải thực ấn tượng mạnh với tôi, nên xin trích dẫn sau để bạn chiêm ngưỡng: “Kết hiển nhiên tam giác ABC cân Giả sử ABC khơng cân ta giả sử AC>AB Dựng tam giác ABP cân A AP cắt HE Q Gọi F’ điểm đối xứng QA F ' A = Q qua AH Khi AH phân giác ∠EHF ' QB F ' B Áp dụng định lí Mênêlẳyt cho tam giác ACP với ba điểm thẳng hàng H,Q,E ta có: HP EC QA HB EC F ' A =1⇒ = −1 HC EA QB HC EA F ' B Theo định lí ceva đảo ta có AH , BE , CF ' đồng quy từ suy đpcm” A E F' B Q H P C Một viên ngọc không dấu vết phải cơng nhận khó nghĩ Dẫu việc cảm nhận vẻ đẹp tinh túy lời giải giúp thấm thía quý trọng cách làm đây, điều quan trọng lời giải, cho ta thấy gốc rễ vấn đề: A E L F I K B H C C2: Kẻ EF cắt BC K theo tốn ta có ( K , H , B, C ) = −1 (1) Gọi L giao điểm EF với AH Từ (1) suy ( AK , AH , AB, AC ) = −1 suy ( K , L, F , E ) = −1 (định lí chùm điều hịa) Vì LHK = 900 nên theo nhận xét định lí ta có đpcm *Nhận xét: Q ngắn gọn phải khơng, tơi nghĩ tốn đặt Các bạn thấy vài biến đổi nhỏ kĩ xảo để che dấu điểm K khiến cho tốn 1.1 trở nên cực khó Tất nhiên từ lời giải phát biểu tốn tổng quát sau: Bài toán 1.2:(đề thi Iran) Cho tam giác ABC, lấy T,E,F thuộc đoạn BC,CA,AB cho đường thẳng AT,BE,CF đồng quy điểm.Gọi L giao điểm AT EF.Gọi H hình chiếu L xuống BC Chứng minh LH phân giác ∠EHF A F K (chứng minh tương tự 1.1) B E L H T C *Nhận xét: Nói chung từ hàng điểm điều hịa ban đầu ta “sinh sơi nảy nở” nhiều hàng điểm điều hịa khác mà chúng kết hợp với định lí cho ta nhiều tính chất thú vị Thí dụ 1.1 1.2 “sản phẩm” định lí Nếu bạn thích sử dụng định lí để “xuất khẩu” sản phẩm mới, chẳng hạn toán sau đây: Bài toán 1.3: Cho tam giác ABC, lấy T,E,F thuộc đoạn BC,CA,AB cho đường thẳng AT,BE,CF đồng quy điểm I Kẻ đường thẳng qua I song song với TE cắt TF,TB M L Chứng minh M trung điểm LI A E F I M L B T C (chứng minh: sử dụng tính chất chùm điều hịa 1.1 áp dụng định lí 3) Qua thí dụ bạn thấy từ vấn đề người ta phát biểu cách khác nhau, cách mà đọc đề khơng thấy liên hệ từ chúng, thực tất chúng xuất phát từ gốc rễ Nắm gốc rễ tức ta nắm toán Tất nhiên từ toán sản sinh lớp tốn rộng lớn, tơi khơng có thời gian nêu thêm mà hi vọng bạn gặp số nhanh chóng cho nó… “lộ rõ ngun hình” Bây xin vào không gian khác chút với cách khai thác nêu nhằm giúp bạn có nhìn sâu sắc cho toán Nhưng trước hết tơi trang bị cho bạn số tính chất cần thiết, sau tìm cách liên hệ với tốn sau Tính chất 1: Cho tam giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O) M,N,P,Q tiếp điểm AB,BC,CD,DA với đường trịn; ta có MP,NQ,AC,BD đồng quy điểm Lời giải: Hạ CE // AB Chú ý ∠OMP = ∠OPM ⇒ ∠BMP = ∠CPM ⇒ CE = CP IA AM AM = = (1) IC EC PC I ' A AQ = (2) Tương tự gọi I ' giao điểm AC với NQ ta có: I ' C NC Do gọi I giao điểm AC với MP ta có: A M B Q I N O E D P C Chú ý AM=AQ PC=NC nên từ (1) (2) suy I ≡ I ' suy MP,NQ,AC đồng quy (3) Lập luận tương tự ta có MP,NQ,BD đồng quy (4) Kết hợp (3) (4) ta đpcm Tính Chất 2: Cho đường trịn (O) Lấy điểm A ngồi đường trịn (O), từ A ta kẻ hai tiếp tuyến AK,AN cát tuyến ACD đường trịn Hai tiếp tuyến qua C D cắt M Khi ta có K,M,N thẳng hàng Lời giải: M K D C O N A Áp dụng “định lí tứ giác điều hòa” cho điểm A với hai tiếp tuyến AK,AN cát tuyến ACD suy KCND tứ giác điều hòa Lại theo nhận xét ”định lí tứ giác điều hịa” suy NK,MD,MC đồng quy điểm suy đpcm Tính chất 3: Cho tam giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O) M,N,P,Q tiếp điểm AB,BC,CD,DA với đường tròn Chứng minh MQ,NP DB đồng quy điểm K A M B Q O D N P C Lời giải: Gọi K giao điểm QM với DB Áp dụng định lí Mênêlẳyt cho tam giác ABD với ba điểm thẳng hàng Q,M,K ta có: MA KB QD = (1) MB KD QA MA NC QD PD = = MB NB QA PC Do từ (1) suy NC KB PD =1 NB KD PC Theo định lí Mênêlẳyt đảo suy K,N,P thẳng hàng suy đpcm Chú ý K A M B N I O Q C P L D *Nhận xét: Kết 1.6 giúp ta có mối liên hệ tuyệt vời với 1.2 để toán sau: Bài toán 1.7: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Đặt K = DA ∩ CB , L = AB ∩ DC , I = AC ∩ BD OI cắt KL H Chứng minh OH phân giác ∠AHC Lời giải: K H A B I O D C L Theo 1.6 I trực tâm tam giác KOL suy OI ⊥ KL hay IH ⊥ KL Đến toán trở thành toán 1.2 vấn đề giải Còn nhiều hướng khai thác xung quanh vấn đề việc trình bày tốn thời gian nên để bạn tự tìm tịi thêm Cuối xin nêu lên vấn đề có tính gợi mở để bạn xem chơi: Bài tốn 1.8: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Đặt K = DA ∩ CB , L = AB ∩ DC , Gọi M,N,P,Q tiếp điểm AB,BC,CD,DA với (O) Đặt F = PQ ∩ MN , E = QM ∩ PN Chứng minh ( F , E , K , L) = −1 Lời giải: F K E A M B N Q L O C P D +Theo tốn 1.5 F,K,E,L thẳng hàng +Theo tính chất CA,MN,PQ đồng quy suy F ∈ AC Do theo toán 1(cho tam giác KDL với ba đường đồng quy DE,AL,KC) ta có ( F , E , K , L) = −1 *Hẳn qua thí dụ bạn thấy thích thú nhìn tốn hình học mắt “hàng điểm điều hịa” Nhờ mà ta thơng suốt nhiều vấn đề để cuối ngộ ra…tất rõ ràng hiển nhiên Tất nhiên nhiều toán sản sinh từ điều nêu trên, cần “chùm điều hịa” soi vào “lộ rõ ngun hình” nên không cần nêu thêm cho tốn giấy mực làm Xin mời bạn nhìn lại hình vẽ để tưởng nhớ lại tồn điều học trên, trước bước vào lớp toán khác: F K E A M B N Q L O C P D Tiếp theo chương trình khảo sát dạng tốn khác: Bài tốn 2: Cho A nằm ngồi đường tròn (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC B,C hai tiếp điểm AO cắt cắt đường tròn hai điểm E,F cắt đường thẳng BC K Chứng minh ( A, K , E , F ) = −1 Lời giải: Ta có OB = OK OA (hệ thức lượng tam giác vuông) (1) Mặt khác: OB = OE = OF (2) Từ (1) (2) suy OE = OF = OK OA Theo nhận xét định lí suy đpcm B F O K A E C *Một hệ thấy từ toán là: Bài toán 2.1: Cho A nằm ngồi đường trịn (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC cát tuyến AMN N nằm A M AO cắt đoạn BC cung nhỏ BC K E Chứng minh ME phân giác ∠KMA B M N F O K E A C Lời giải : Gọi F giao điểm thứ hai AE với (O) theo tốn ta có ( A, K , E , F ) = −1 Vì ∠FME = 900 nên theo nhận xét định lí ta có đpcm *Tinh tế chút ta thu tốn khó sau: Bài tốn 2.2: (kimluan) Cho tam giác ABC Lấy điểm I ta giác cho ∠IAB = ∠IBC ∠IAC = ∠ICB Lấy V điểm AI cho ∠BVC = 900 Chứng minh BV phân giác ∠ABI CV phân giác ∠ACI Lời giải: Gọi E giao điểm AI với BC Vì tam giác IBE đồng dạng tam giác EAB(g.g) Suy EB = EI EA (1) Tương tự: EC = EI EA (2) Từ (1) (2) suy E trung điểm BC Vẽ đường trịn đường kính BC đường trịn qua V nhận E làm tâm EV = ET = EB (3) B T E I V A C Từ (1) (3) suy EV = ET = EI EA Theo nhận xét định lí ta có ( A, E , I , T ) = −1 Mà ∠VBT = 900 Nên theo định lí suy BV phân giác ∠ABI Lập luận tương tự suy CV phân giác ∠ACI Vậy toán giải trọn vẹn *Nhận xét: +Điểm I xác định có nhiều tính chất kì lạ sa vào vấn đề e khơng đến mục tiêu viết nên ta tạm gác lại vấn đề hẹn bàn lại vào dịp khác,một chương đề khác Bài toán 2.3: Cho (O) điểm K nằm ngồi (O) Từ K ta kẻ hai tiếp tuyến OE,OF hai cát tuyến KMQ KNP Chứng minh EF,MN,PQ đồng quy điểm Lời giải: K A M B E Q N O F D P C Ta kẻ tiếp tuyến qua M,N,P,Q Các tiếp tuyến cắt điểm A,B,C,D (hình vẽ) Theo tính chất A,E,F,C thẳng hàng theo tính chất AC,MN,PQ đồng quy điểm từ suy EF,MN,PQ đồng quy điểm (đpcm) *Từ toán ta suy toán tổng quát toán sau: Bài toán 2.4: Cho A nằm ngồi đường trịn (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC cát tuyến AMN N nằm A M Gọi L giao đểm MN với BC Chứng minh (A,L,M,N) = −1 T B N L M F O K A E C Lời giải: Gọi E,F giao điểm AO với (O) E nằm F A Gọi K giao điểm EF với BC theo tốn ( A, K , E , F ) = −1 (1) Mặt khác theo tốn 2.3 NF,BK,ME đồng quy gọi điểm đồng quy T (2) Từ (1) (2) suy (TA,TK,TE,TF)= −1 Theo định lí chùm điều hịa suy (A,L,M,N) = −1 (đpcm) *Nhận xét: Từ toán ta suy toán hay sau đây: “Cho hai đường trịn (O_1) (O_2) có cắt hai điểm E F Lấy điểm A tia EF kéo dài Kẻ hai tiếp tuyến AM,AN với (O_1) hai tiếp tuyến AP,AQ với (O_2) Chứng minh ba đường thẳng MN,PQ,EF đồng quy điểm.” M P O1 I E F O2 N Q A (chứng minh: Gọi I giao điểm EF với MN, tam giác O_1 ta có (A,I,F,E)= −1 tương tự gọi I’ giao điểm EF với PQ có (A,I’,F,E)= −1 suy I trùng I’ suy đpcm) *Chú ý sử dụng tính chất tính chất cho ta toán sau đây: Bài toán 2.5: Cho (O) điểm A nắm ngồi (O) Kẻ hai tiếp tuyến AB,AC hai cát tuyến AMQ ANP.Chứng minh BC, QN PM đồng quy điểm B Q M A O N P C Từ tốn ta có cách phát biểu khác cho toán 2.4: Bài toán 2.6: Cho (O) điểm A nằm ngồi (O) Kẻ hai cát tuyến AMQ ANP Gọi I giao điểm PM với QM E,F giao điểm AI với (O) (E nằm A F) Chứng minh (A,I,E,F) = −1 Q M O E I A N F P Đây mảnh đất tươi tốt nên để dành cho bạn tự cày xới, chúc bạn tìm viên ngọc “lấp lánh” mảnh đất Xét theo khía cạnh khác!!! Các vấn đề thực theo tư tưởng phát triển tìm kiếm nên tài tử Nếu ta gặp tốn hồn tồn xa lạ ta phải tiếp cận ? Và “hàng điểm điều hịa” liệu trường hợp có cịn cơng cụ hiệu lực ? Đây câu hỏi lớn thể công cụ mạnh hay yếu! Để thể “sức mạnh” công cụ vừa dẫn sau tơi trình bày ba thí dụ điển hình cách cơng vơ dũng mãnh bạn Hophu cung cấp Thí dụ 1: (đề Iran) Cho đường tròn nội tiếp (O) tam giác ABC.Gọi M trung điểm BC, AM cắt (O) hai điểm K L(K nằm A L).Qua K kẻ đường thẳng song song với BC cắt (O) điểm thứ hai X, Qua L kẻ đường thẳng song song với BC cắt (O) điểm thứ hai Y, AX AY cắt BC Q P Chứng minh M trung điểm PQ A K X E T F O L Y B P D M Q C Lời giải: (Hophu) *Tư tưởng: Ta thấy yếu tố lượm thượm, nên hấp tấp lao vào “búa” gặp nhiều khó khăn lượm thượm Do trước hết cần xem thử đâu yếu tố đâu yếu tố để làm rối, gạn hết thằng “giấy dá” làm rối , đưa toán đơn giản động thủ Gọi D,E,F tiếp điểm BC,CA,AB với (O) LY AL MQ AM LY MQ AL Ta có: = = Suy = MP AM MP KX AK KX AK LY AL Do để chứng minh M trung điểm PQ ta cần chứng minh = (1) KX AK LY TL Gọi T giao điểm KL với YX ta có = (2) KX TK TL AL Từ (2) suy để chứng minh (1) ta cần chứng minh = TK AK Hay cần chứng minh (A,T,K,L) = −1 Chú ý KXLY hình thang cân nên dễ thấy T nằm OD đến vấn đề lộ rõ: *Bình luận: điểm P,Q,X,Y điểm để làm rối, thực chất lõi toán toán sau: “ Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC Gọi D,E,F tiếp điểm BC,CA,AB với (O) Gọi M trung điểm BC, AM cắt (O) K L (K nằm A L) OD cắt AM T Chứng minh (A,T,K,L) = −1 ” (*) A K E T F O B D C M Vấn đề đến lại mở tương lai theo tốn 2.4 ta gọi T’ giao điểm EF với AM (A,T’,K,M) = −1 Vậy để chứng minh tốn (*) ta cần chứng minh T ≡ T ' hay cần chứng minh T nằm EF hay cần chứng minh đường thẳng AM,EF,OD đồng quy (3) Gọi L giao điểm OD với EF M’ giao điểm AL với BC Để chứng minh (3) ta cần chứng minh L ≡ T hay cần chứng minh M ' ≡ M Vậy ta quy chứng minh tốn sau: “ Cho đường trịn (O) nội tiếp tam giác ABC Gọi D,E,F tiếp điểm BC,CA,AB với (O) OD cắt EF L.AL cắt BC M’ Chứng minh M’ trung điểm BC” (**) A E T F O B D M' C *Bình luận: Bước quy từ toán (*) thành toán (**) gọi bước “đảo giả thiết” nghĩa thay ta phải chứng minh yếu tố mà ta cảm thấy khó chịu chứng minh thẳng hàng chẳng hạn ta cho thẳng hàng ln, bù lại ta phải hi sinh giả thiết có từ trước nhiệm vụ phải chứng minh giả thiết hi sinh suy từ điều có (các bạn so sánh tốn (*) với toán(**) để thấy rõ điều này) Việc đảo giả thiết đơn giản lại đem đến hiệu bất ngờ có mà tốn gốc khó chứng minh cần đảo lại phát vấn đề lại rõ ban ngày!!! Bây ta chứng minh toán (**) Kẻ tia Ax song song với BC (về phía C), FE cắt Ax L Theo hệ (phần lí thuyết chùm điều hịa) suy để chứng minh M’ trung điểm BC ta cần chứng minh (AB,AC,AM’,AL) = −1 hay cần chứng minh (AF,AE,AT,AL) = −1 Hay cần chứng minh (F,E,T,L) = −1 (4) A L K T x E F O B D M' C Kẻ DT vng góc AL cắt AL K dễ chứng tỏ điểm A,K,E,O,F nằm đường tròn mà OF=OE nên suy ∠OKF = ∠OKE (5) Theo cách vẽ điểm K ta có ∠TKL = 900 (6) Kết hợp (5),(6) theo hệ (phần lí thuyết chùm điều hịa) suy ( KF , KE , KT , KL) = −1 Suy (4) suy đpcm Thí dụ 2: Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC Gọi A1 , B1 , C1 tiếp điểm BC,CA,AB với (O), A2 giao điểm thứ hai AA1 với (O) B2 giao điểm thứ hai BB1 với (O) Phân giác ∠B1 A1C1 cắt B1C1 A3 , phân giác ∠A1 B1C1 cắt C1 A1 B3 Chứng minh P _{O ( A1 A2 A3 ) } = P _{O ( B1 B2 B3 ) } Lời gải: (Hophu) A A2 C1 A3 B1 O O1 B A1 C Kẻ B1C1 cắt BC O1 Vẽ hình xác ta thấy O1 tâm A1 A2 A3 Ta chưa biết điều hay sai cho xem Khi OA1 tiếp tuyến ( A1 A2 A3 ) (vì OA1 ⊥ O1 A1 ) nên P _{O ( A1 A2 A3 )} = OA12 Lập luận tương tự ta có P _{O ( B1 B2 B3 )} = OB12 ý OA1 = OB1 nên ta có đpcm Vậy dự đốn phía ta ta cần chứng minh O1 tâm A1 A2 A3 xong Vậy ta quy chứng minh toán đơn giản sau: “Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC Gọi A1 , B1 , C1 tiếp điểm BC,CA,AB với (O), A2 giao điểm thứ hai AA1 với (O) Phân giác ∠B1 A1C1 cắt B1C1 A3 gọi O1 giao điểm B1C1 với BC Chứng minh O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A1 A2 A3 ” A A2 C1 A3 B1 O O1 B A1 C A1 B1 A2 B1 = (1) A1C1 A2C1 AB AB Mà A1 A3 phân giác ∠B1 A1C1 suy 1 = (2) A1C1 A3C1 AB AB Từ (1) (2) suy = suy A2 A3 phân giác ∠B1 A2C1 A2C1 A3C1 Tất nhiên để chứng minh O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A1 A2 A3 ta cần chứng minh OA2 = OA3 tức cần chứng minh ∠O1 A2 A3 = ∠O1 A3 A2 Thật vậy: ∠O1 A2 A3 = ∠O1 A2C1 + ∠C1 A2 A3 = ∠A2 B1C1 + ∠B1 A2 A3 = ∠A2 A3C1 (đpcm) Theo “định lí tứ giác điều hịa” ta có Thí dụ 3: (chọn đội tuyển Việt Nam) Cho hai đường tròn (O_1) (O_2) cắt hai điểm A B Hai tiếp tuyến A B đường trịn (O_1) cắt K Lấy M (O_1) MK cắt (O_1) điểm thứ hai C Gọi P Q MA,MB với (O_2) a)Chứng minh MC chia đôi đoạn thẳng PQ b)Chứng minh PQ qua điểm cố định Lời giải: (Hophu) a) Gọi N giao điểm MK với PQ ta cần chứng minh NP=NQ (1) Gọi C L giao điểm MK với (O_1) MK với đoạn thẳng AB CA MA = (2) Ta có ACBM tứ giác điều hịa (định lí tứ giác điều hịa) đó: CB MB Mặt khác ∠BPQ = ∠BAQ = ∠BAC = ∠BMC suy MPNB tứ giác nội tiếp suy tam giác ACB tam giác PNB đồng dạng (g.g) suy Từ (2) (3) suy NP CA = (3) NB CB NP MA = NB MB M A P L O1 K C O2 N B Q T I NQ MA = NB MB Điều hai tam giác MAB tam giác NQB đồng dạng (g.g) Vậy câu a) giải Do để chứng minh (1) ta cần chứng minh b) Gọi T giao điểm AK với (O_2),hai tiếp tuyến T B (O_2) cắt I rõ ràng I điểm cố định Sau nhiều lần vẽ hình xác ta thấy PQ ln qua điểm I nên dự đốn I điểm cố định mà PQ qua ta chứng minh điều Để chứng minh PQ qua I ta cần chứng minh PBQT tứ giác điều hịa xong (theo nhận xét định lí tứ giác điều hòa) (*) *Để chứng minh (*) bạn Hophu cho biết ban đầu suy nghĩ sau: Theo tốn 2.4 ta có (K,L,C,M) = −1 suy ( AK , AL, AC , AM ) = −1 hay ( AK , AL, AC , AP) = −1 hay ( AB, AT , AQ, AP) = −1 Ta thấy điểm B,Q,T,P gần có ý nghĩa để ( AB, AT , AQ, AP) = −1 nhiệm vụ ta cần chứng minh BQTB tứ giác điều hịa Vậy phải có tốn sau: Bài tốn lạ: “Cho đường trịn (O_2) điểm A nằm đường tròn Chùm điều hòa (Ax,Ay,Az,At) = −1 cắt (O_2) điểm B,T,Q,P Cmr: ( B, T , Q, P) = −1 ” Một toán cực hay (là cầu nối tuyệt vời chùm điều hòa tứ giác điều hịa) xem thí dụ giải Theo kiến thức chúng tơi tốn lạ (nhưng lạ thật (đối với bạn) hay khơng chưa biết) thâm tâm chúng tơi nảy mối nghi ngờ toán sai ? A P O2 B Q T (hình vẽ toán lạ) Tuy nhiên việc chứng minh trực tiếp cho “bài tốn lạ” tương đối rợn (sợ cịn khó thí dụ 3) để kiểm tra “bài tốn lạ “ hay sai tạm thời ta chấp nhận ví dụ giải cách (vì đề tốn có lời giải nên khơng thể sai được!) Việc cho ví dụ công cụ đắc lực để chứng tỏ toán lạ sai Giả sử ví dụ chứng minh, ta chứng minh tốn lạ (sử dụng “hình vẽ toán lạ” trên) Gọi K giao điểm đường trung trực AB với AT Đường thẳng vuông góc với AK(tại A) đường thẳng vng góc với BK(tại B) cắt O_1 Vẽ đường tròn tâm O_1 đường kính O_1A ta kí hiệu đường trịn (O_1) Dễ thấy (O_1) qua B KA,KB hai tiếp tuyến K tới (O_1) Giả sử AP cắt (O_1) tai M MK cắt AB L cắt (O_1) C (khác M) Như ta hình vẽ sau phát họa lại từ “bài toán lạ” là: M A P L O1 K C O2 B Q T Vì (K,L,C,M) = −1 suy (AK,AL,AC,AM) = −1 hay (AK,AL,AC,AP) = −1 Hay (AB,AT,AC,AP) = −1 mà theo giả thiết ta có (AB,AT,AQ,AP) = −1 Suy A,C,Q thẳng hàng Đến ta yếu tố y chang ví dụ thí dụ BQTP tứ giác điều hịa tốn chứng minh *Nhận xét: Qua cách xây dựng bạn dễ dàng nhận kết thí dụ 3(câu b) với toán lạ tương đương với Do ta chứng minh thẳng cho” tốn lạ” câu b) thí dụ xem giải ngược lại cách ta chứng minh thí dụ tốn lạ ln Rất may mắn ta có cách rẩt đơn giản để giải thí dụ (câu b) sau: M A P L O1 K C O2 N B Q T Để chứng minh BQTP tứ giác điều hòa tức ta cần chứng minh QB PB = (4) QT PT Từ kết có câu a) ban dễ dàng chứng minh: PB MB = (5) Tam giác BPT đồng dạng tam giác BMA (g.g) suy PT MA QB CB Tam giác BQT đồng dạng tam giác BCA (g.g) suy = (6) QT CA CB MB = (7) Mặt khác CAMB tứ giác điều hòa nên CA MA Từ (5),(6) (7) suy (4) Vậy câu b chứng minh dẫn đến toán lạ giải *Nhận xét: Thực mà nói thí dụ có chứng minh hay khơng khơng có q quan trọng thể tính chất hình học tầm thường Tuy nhiên kết từ việc giải cho ta viên ngọc vơ giá là” tốn lạ” Nếu bạn tìm cách chứng minh khác cho “bài toán lạ” xin post lời giải đầy đủ forum để người tham khảo *Chú thích: gọi “bài tốn lạ” khơng cịn vấn đề ta đâu cịn lạ!!! Chương đề xin khép lại …… Các bạn thân mến hẳn qua thí dụ bạn phần thấy vẻ đẹp điều hịa hình học Trong sống cần tạo cho điều hịa cần thiết giúp ta khỏe mạnh yêu đời hơn… Chúc tất người sống điều hòa ... thấy từ hàng điểm điều hịa ban đầu “sinh sơi” vơ số chùm điều hịa xung quanh(cứ điểm ngồi hàng điểm điều hịa nói cho ta chùm điều hòa tương ứng) Và chùm điều hòa lại cho ta vơ số hàng điểm điều. .. hàng điểm điều hịa ta “sinh sơi nảy nở” hàng loạt hàng điểm điều hòa con, bạn hiểu rõ điều qua định lí “chùm điều hịa” sau : b.Chùm điều hòa: O A C B D Định nghĩa: Cho hàng điểm điều hòa ( A,... trung điểm EF d song song với OA O F I E A C B D *Nhận xét: Định lí có ý nghĩa toán chứng minh trung điểm song song Một câu hỏi nhỏ phải hàng điểm điều hòa hiếm, thật khơng phải vậy, cần có hàng điểm
