Chinh phục tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission LƯỢNG GIÁC Có thể nói rằng, Lượng Giác thành phần xuất sớm lịch sử Toán Học Nó xuất nhằm đáp ứng nhu cầu đo đạc diện tích tính toán thiên văn… Làm việc với Lượng Giác, làm việc với góc tính chất góc Sự biến đổi qua lại theo tính chất góc tạo thành hệ linh hoạt thống Trong phần Lượng Giác này, trình bày theo phần: CHƯƠNG I: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG Bài 1: Góc Lượng Giác – Cung Lượng Giác Bài 2: Giá trị Lượng Giác cung Bài 3: Công thức Lượng Giác Bài 4: Hệ thức lượng Tam Giác CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1: Hàm số lượng giác Bài 2: Phương trình Lượng Giác Bài 3: Các phương pháp giải phương trình lượng giác Bài 4: Phương trình Lượng Giác có điều kiện ĐỌC THÊM: TẢN MẠN VỀ LƯỢNG GIÁC LOVEBOOK.VN | 13 Chinh phục tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission Chương I: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG Trong chương này, kiến thức trình bày chủ yếu nói tính chất biến đổi qua lại góc nói chung góc tam giác nói riêng Riêng tam giác, biến hóa góc, làm việc với yếu tố cạnh diện tích chu vi Chúng trình bày bố cục chương theo phần: Bài 1: Góc Lượng Giác – Cung Lượng Giác Bài 2: Giá trị Lượng Giác cung Bài 3: Công thức Lượng Giác Bài 4: Hệ thức lượng Tam Giác Trong bài, kiểu tập đưa theo mức độ Tính toán thông thường, chứng minh, rút gọn, kiểu tập nâng cao Nắm tốt phần này, hiểu LƯỢNG GIÁC Trước vào phần cụ thể, đọc câu chuyện suy ngẫm nhé… HAI ANH EM Có hai anh em nhà làm việc nông trại gia đình Người anh lập gia đình, người em độc thân Mỗi kết thúc ngày làm việc mệt nhọc, hai anh em lại chia làm ngày, phần lúa gạo lợi nhuận Một ngày nọ, người em nghĩ thầm bụng: “Thật không công chia đôi thứ với anh Mình có thân mình, có cần nhiều đâu chứ!” Nghĩ thế, nên từ trở đi, tối, anh lại lấy bớt phần thóc mình, băng qua cánh đồng nhỏ hai nhà đổ vào kho thóc người anh Trong ấy, người anh thầm nghĩ lòng: “Thật không công chia thứ với em Mình có vợ, có con, lo lắng điều nữa, em có mình, đâu có để lo cho tương lai” Và người anh, vào tối, lấy bớt phần thóc đổ vào kho người em Cả hai anh em ngạc nhiên lượng thóc không vơi chút so với trước Rồi tối nọ, hai anh em va phải lúc thực kế hoạch Và họ hiểu chuyện Bỏ rơi bao thóc tay, hai anh em xúc động ôm chầm lấy nhau… Chính điều cho nhận lại ! LOVEBOOK.VN | 14 Chinh phục tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission I - GÓC LƯỢNG GIÁC – CUNG LƯỢNG GIÁC Đơn vị đo góc lượng giác 1.1 Độ 10 = góc bẹt; 10 = 60′ ; 1′ = 60" 180 1.2 Radian Cung tròn có độ dài bán kính gọi cung tròn radian 180 ⇒ 1rad = độ ≈ 570 17′45" π π π π π π rad; 900 = rad; 600 = rad; 450 = rad; 300 = rad 10 = 180 1.3 Độ dài cung tròn Độ dài cung tròn α (rad) đường tròn bán kính R là: l = R.α Khái niệm Góc Lượng Giác � , tia Oz di động quay quanh O Khi Oz xuất phát từ Ox dừng Oy Oz quét góc lượng Cho xOy giác (Ox; Oy) Sđ(Ox; Oy) = α + k2π (k ∈ ℤ) sđ(Ox; Oy) = a0 + k 3600 (k ∈ ℤ) ⇒ a0 = α rad Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác � vào đường tròn tâm O; giả sử Ox, Oy, Oz cắt đường tròn (O) A, B M Gắn xOy Khi Oz quay quanh O từ Ox đến Oy để tạo nên góc gọi góc lượng giác (Ox; Oy) điểm M di chuyển  đường tròn (O) từ A đến B để tạo nên cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B, ký hiệu AB  = sđ(Ox; Oy) = � α + k2π (k ∈ ℤ) sđ AB a0 + k 3600 (k ∈ ℤ) α góc đại diện Để xác định góc, cung lượng giác đường tròn lượng giác, ta cần xác định góc α Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác Đường tròn lượng giác đường tròn có bán kính 1, có điểm đầu cho cung lượng giác chiều gọi chiều dương BT1 : Cho M điểm cuối cung định hướng AM Xác định số đo cung định hướng AM  (lớn nhỏ) B1: Tìm số đọ cung AM  để suy giá trị lượng giác để suy giá trị lượng giác α B2: Kết hợp chiều từ A đến M số đo cung AB B3 : Số đo cung định hướng AM α + k2π BT2 : Cho cung lượng giác định hướng AM có số đo α + k B1: Từ k 2π cho trước; tìm M điểm cuối n 2π : Đường tròn bị chia thành n điểm Có nghĩa có N điểm cuối M cách đường n tròn Nên n điểm tạo thành n giác B2: Để xác định, ta cần thay n giá trị k vào biểu thức để tìm n điểm cuối • Chú ý: cung có số đo α α + k2π có điểm đầu điểm cuối LOVEBOOK.VN | 15 Chinh phục tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission II - GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG Định nghĩa giá trị lượng giác cung α Định nghĩa: Cho α ∈ ℝ Khi ∃ điểm M thuộc đường tròn lượng giác cho số đo cung định hướng AM α Trên mặt phẳng Oxy, điểm M có tọa độ M(xm ; ym ) với: ym = sin α ; xm = cos α sin α M≠B Nếu xm ≠ ⇔ � gọi tan α M ≠ B′ cos α sin α π �α ≠ + k2π, k ∈ ℤ� ⇒ tan α = cos α cos α M≠A Nếu ym ≠ ⇔ � gọi cot α ′ M≠A sin α cos α (α ≠ kπ, k ∈ ℤ) ⇒ cot α = sin α Hệ quả: −1 ≤ xm ; ym ≤ ⇒ −1 ≤ sin α ; cos α ≤ sin α = sin(α + k2π) ; cos α = cos(α + k2π) Giá trị lượng giác số cung – góc đặc biệt Các em tham khảo sách giáo khoa BÀI TẬP: Bài 1: Cho sin α + cos α = m Tính: A = sin α cos α B = sin3 α + cos α Ta có: sin α + cos α = m Lời giải: m2 − B = sin3 α + cos α = (sin α + cos α)3 − sin α cos α (sin α + cos α) m2 − 3m − m3 m = = m − 2 ⇒ sin2 α + cos α + sin α cos α = m2 ⇒ A = Bài 2: Cho sin α cos α = m Tính: C = sin α + cos α D = sin4 α + cos α Lời giải: Ta có C = (sin α + cos α) = sin α + cos α + sin α cos α = + 2m ⇒ C = ±√1 + 2m �m ≥ − � 4 Có D = sin α + cos α = (sin2 α + cos α)2 − sin2 α cos α = − 2m2 2 Bài 3: Cho tan α + cot α = m Tính: E = tan2 α + cot α F = tan3 α + cot α LOVEBOOK.VN | 16 Chinh phục tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission Lời giải: π Ta có E = (tan α + cot α)2 − tan α cot α = m2 − �α ≠ k ; k ∈ ℤ� π F = (tan α + cot α)3 − tan α cot α (tan α + cot α) = m3 − 3m �α ≠ k ; k ∈ ℤ� Bài 4: Cho tan α = Tính: cos α + cos α sin2 α − sin α M= cos α − sin3 α Lời giải: sin α π Ta có tan α = ⇒ = ⇒ sin α = cos α �α ≠ + kπ; k ∈ ℤ� cos α Khi ta có: cos α + cos α sin2 α − sin α cos α + cos α cos α − cos α M= = cos α − sin3 α cos α − cos α 3 2 cos α + cos α − cos α (sin α + cos α) cos α + cos α − cos α cos α = = −7 cos α −7 cos α 5 cos α =− =− −7 cos α Bình luận: Nhận thấy với biểu thức mà có độ lệch bậc hạng tử với bội số 2, nhân thêm lượng lũy thừa (sin2 α + cos α) để thực cân bậc Ngoài cách biến đổi ẩn sin cos trên, biểu thức M cho dạng đẳng cấp, nên ta đưa ẩn tan cot sau: sin α sin2 α 1+ + tan2 α − sin α (sin2 α + cos α) α − cos α cos = =⋯= M= 3 sin α − tan α 1− cos α Bài 5: Cho cos α + sin4 α = Tính P = sin6 α − cos α Ta có: Lời giải: sin4 α π �α ≠ + kπ� +2= 4 cos α cos α ⇔ tan4 α + = (1 + tan2 α)2 ⇔ tan4 α + = tan4 α + tan2 α + 1 ⇔ tan2 α = Ta có: P = sin6 α − cos α = sin6 α (sin2 α + cos α) − cos α sin8 α sin6 α (5 tan8 α + tan6 α − 8) + − 8� = = cos α �5 (tan2 α + 1)4 cos α cos α 24 −113 113 � + − 8� = =− = 24 2 81 �1 + � 2 sin4 α + cos α = ⇔ LOVEBOOK.VN | 17 Chinh phục tập tích phân – lượng giác Bài 6: Chứng minh: a) sin2 α + tan2 α = Your dreams – Our mission − cos α cos α cos α − sin2 α = sin2 α cos α cot α − tan2 α (1 + cot α) � − 1� cos α c) =1 + tan2 α cos α sin2 α − = sin α cos α d) − + cot α + tan2 α 1 + tan α� �1 − + tan α� = tan α e) �1 + cos α cos α − cos α + cos α � �1 + �= f) �1 + + cos α − cos α sin2 α b) a) Ta có: Lời giải: VT = sin2 α + tan2 α = (sin2 α − 1) + (1 − tan2 α) = − cos α + = VP cos α Vậy đẳng thức chứng minh b) Ta có: cos α − sin2 α (cos α − sin2 α)(cos α + sin2 α) VT = = cos α sin2 α cot α − tan2 α − sin2 α cos α cos α − sin4 α = sin2 α cos α = VP = cos α − sin4 α sin2 α cos α Vậy đẳng thức chứng minh c) Ta có: (1 + cot α) � − 1� tan2 α (1 + cot α) cos α VT = = + tan2 α + tan2 α 2 2 tan α + tan α cot α tan α + = = = = VP tan2 α + tan2 α + Vậy đẳng thức chứng minh d) Ta có: sin2 α cos α sin3 α cos α VT = − − = − − cos α sin α sin α + cos α sin α + cos α 1+ sin α + cos α sin3 α + cos α =1− = − (sin2 α + sin α cos α + cos α) = sin α + cos α = VP sin α + cos α Vậy đẳng thức chứng minh e) Ta có: 1 VT = �1 + + tan α� �1 − + tan α� = (1 + tan α)2 − cos α cos α cos α 2 = tan α + tan α + − (1 + tan α) = tan α = VP Vậy đẳng thức chứng minh f) Ta có: + cos α + cos α − cos α − cos α � �1 + �=1+ VT = �1 + + +1 − cos α − cos α + cos α + cos α (cos α + 1)2 + (cos α − 1)2 cos α + = + = = VP =2+ 2 sin2 α − cos α sin α Vậy đẳng thức chứng minh LOVEBOOK.VN | 18 Chinh phục tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission Bài 7: Chứng minh biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào α: A = 3(sin8 α − cos α) + 4(cos α − sin6 α) + sin4 α B = (1 + cot α) sin3 α + (1 + tan3 α) cos α − sin α − cos α Lời giải: A = 3(sin8 α − cos α) + 4(cos α − sin6 α) + sin4 α = 3(sin4 α + cos α)(sin4 α − cos α) + cos α − sin6 α + sin4 α (sin2 α + cos α) = 3(sin4 α + cos α)(sin2 α − cos α) + cos α − sin6 α + sin4 α (sin2 α + cos α) = sin6 α − cos α − sin4 α cos α + sin2 α cos α + cos α + sin6 α + sin4 α cos α = sin6 α + cos α + sin4 α cos α + sin2 α cos α = (sin2 α + cos α)3 = Do giá trị A không phụ thuộc vào α B = (1 + cot α) sin3 α + (1 + tan3 α) cos α − sin α − cos α cos α sin α � sin3 α + �1 + � cos α − sin α − cos α = �1 + sin α cos α = sin3 α + cos α + sin2 α cos α + sin α cos α − sin α − cos α = sin α (sin2 α + cos α) + cos α (cos α + sin2 α) − sin α − cos α = sin α + cos α − sin α − cos α = Do giá trị A không phụ thuộc vào α Bài 8: Rút gọn: sin2 α + sin2 α tan2 α A= cos α + cos α cot α tan2 α B = − cos α + sin α − tan2 α + 2 cos α − cot α + C= sin2 α + tan2 α − 2 Lời giải: sin2 α (1 + tan2 α) sin2 α sin2 α sin2 α + sin2 α tan2 α = = = tan4 α cos α + cos α cot α cos α (1 + cot α) cos α cos α tan2 α B = − cos α + sin2 α − tan2 α + 2 = sin α + cos α − cos α + sin2 α − tan2 α cos α = sin2 α − sin2 α = cos α cos α − cot α + cos α − sin2 α + = C= sin2 α sin2 α + tan2 α − −1 sin2 α + cos α 2 2 sin α cos α + sin α − cos α cos α sin2 α = = = cot α sin2 α cos α + sin2 α − cos α sin2 α cos α A= LOVEBOOK.VN | 19 Chinh phục tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission Bài 9: Cho ∆ABC Chứng minh hệ thức: B+C A 1) sin = cos 2 B+C A 2) tan = cot 2 3) sin(A + B) = sin C ; cos(A + B) = − cos C A + B + 3C = cos C 4) sin A + B − 2C 5) tan = cot C 2 1) Theo đề bài, ta có: A+B+C=π⇒B+C=π−A⇒ B+C π A = − 2 Lời giải: A B+C π A = sin � − � = cos 2 2 2) Theo 1, ta có: A B+C B+C π A π A = − ⇒ tan = tan � − � = cot 2 2 2 3) Ta có: A+B+C=π⇒A+B=π−C ⇒ sin(A + B) = sin(π − C) = sin C ; cos(A + B) = cos(π − C) = − cos C 4) Ta có: A + B + 3C π + 2C π sin = sin = sin � + C� = cos(−C) = cos C 2 5) Ta có: A + B − 2C π − 3C π tan = tan = tan � − C� = cot C 2 2 ⇒ sin Trước sang phần tiếp theo, em dành chút thời gian suy ngẫm câu chuyện sau nhé… CÁT VÀ ĐÁ Có hai người bạn dạo bước sa mạc Trong chuyến dài, hai người nói chuyện với có tranh cãi gay gắt Không giữ bình tĩnh, người tát người bạn Người đau không nói Anh lặng lẽ viết lên cát rằng: "Hôm nay, bạn tốt tát vào mặt tôi." Họ tiếp tục bước nhìn thấy ốc đảo, nơi họ định dừng chân tắm mát Người bạn vừa bị tát sơ ý bị trượt chân xuống bãi lầy ngày lún sâu xuống Nhưng người bạn kịp thời cứu anh Ngay sau hồi phục, người bạn chết đuối khắc lên tảng đá dòng chữ: "Hôm nay, bạn tốt cứu sống tôi." Người bạn ngạc nhiên hỏi: "Tại tớ làm cậu đau, cậu lại viết lên cát lại tảng đá?" Và câu trả lời anh nhận là: "Khi làm đau đớn, nên viết điều lên cát nơi gió thứ tha xóa tan nỗi trách hờn.” Nhưng "Khi nhận điều tốt đẹp từ người khác, phải ghi khắc chuyện lên đá nơi không gió bay đi." Hãy học cách viết nỗi đau lên cát khắc tạc niềm vui hạnh phúc bạn tận hưởng đời lên tảng đá để không phai LOVEBOOK.VN | 20 Chinh phục tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission III - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Công thức cộng Cho a, b ∈ ℝ, ta có công thức sau: cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b tan a + tan b (5) tan(a + b) = − tan a tan b tan a − tan b tan(a − b) = (6) + tan a tan b (1) (2) (3) (4) Các công thức (5) (6) cần kèm điều kiện xác định tương ứng vần thiết cho tan cot mẫu số công thức Bài 1: Tính: cos α = − π 41 A = tan �α − � biết � π ( x > 0) Do ( x + 2) = 2k + ≥ ⇔ x + ≥ ⇔ x ≥ −2 + ( x > ), nên phương trình (2) có nghiệm nhỏ x = −2 + Ta thấy x =−2 + ≤ ; nghiệm thỏa mãn x = −2 + √6 Vậy nghiệm dương nhỏ phương trình cho : x =−2 + LOVEBOOK.VN | 64 Chinh phục tập tích phân – lượng giác Dạng 2: Phương trình cosx = m Bài 1: Giải phương trình sau: ( ) ( a cos 2x= cos x − 15° a) Ta có: Your dreams – Our mission cos x = cos α ⇔ x = ±α + k2π , k ∈    5π  π b cos  x −  + sin  3x −  =  6   ) 2x = x − 15° + k360° 2x = − x + 15° + k360° cos ( 2x= ) cos ( x − 15°) ⇔  Vậy phương trình có hai họ nghiệm b Ta có: Bài giải chi tiết:  x = −15° + k360° , k ∈  ⇔  x = 5° + k120°     5π  π 5π  π − sin  3x −  cos  x −  + sin  3x −  =0 ⇔ cos  x −  =  6  6      π   5π  π 5π  π ⇔ cos  x −  = sin  −3x+  ⇔ cos  x − =  cos  + 3x −   6  6    2 7π  5π π   x − = + 3x + k2π  x =− 12 − kπ , k ∈  ⇔ ⇔  x − 5π =− π − 3x + k2π  x= π + kπ   Vậy phương trình có hai họ nghiệm Bài 2: Giải phương trình sau: sin (5π cos2x ) =sin (3π cos2x ) Bài giải chi tiết: 5π cos 2x =3π cos 2x + k2π sin 3π cos2x ⇔  Ta có: sin 5π cos2x = 5π cos 2x = π − 3π cos 2x + k2π ( ) ( cos 2x = k ,k ∈  ⇔ cos 2x= + k  k ≤1 k ∈   ⇒ 1 k Vì:  ⇔  cos 2x ≤  8+ ≤1  )  −1 ≤ k ≤  , k ∈ −4, ±3, ±2, ±1,0 − ≤ k ≤  2 { }  −7  ± arccos   + l1 2π − ⇔ 2x = Với k = - 4, ta có cos2x =   7 8 ⇔ x = ± arccos   + l1 2π  cos 2x = − Với k = ±3 , ta có  ⇔ cos 2x =    5  x =± arccos  −  + l2 π    , l2 ∈   7  x =± arccos   + l2 π 8  LOVEBOOK.VN | 65 Chinh phục tập tích phân – lượng giác  cos2x = Với k = ±2, ta có  ⇔ cos2x = −  Your dreams – Our mission  5  x =± arccos   + l3 π    , l3 ∈    3  x =± arccos  −  + l3 π  8   x= l4 π cos2x =  Với k = , ta có  , l4 ∈  ⇔  3 cos2x = x =± arccos   + l4 π   8 π  cos2x = −1  x = + l5 π , l5 ∈  Với k = -1, ta có  ⇔  cos2x = −  x =± arccos  −1  + l π         π l6 π cos2x =  x= + , l6 ∈  ⇔ Với k = 0, ta có  cos2x = 1  1   x =± arccos   + l6 π    Vậy phương trình có mười tám họ nghiệm Dạng 3: Phương trình tanx = m = tan α ⇔ x = α + kπ ,k ∈ tanx Bài 1: Giải phương trình lượng giác sau: π tan   a tan 2x + = 6 ( ( ) a Theo đề ta có: ) b tan x − 15° = Bài giải chi tiết: π π kπ π tan ( 2x + 5) = tan   ⇔ 2x + = − + ,k ∈  + kπ ⇔ x = 12 2 6 Vậy phương trình có nghiệm x = b.Theo đề ta có: tan ( x − 15° )= π kπ − + ( k ∈ ) 12 2 = ° ) tan ( 60° ) ⇔ tan ( x − 15 ⇔ x − 15°= 60° + k180° ⇔ x= 75° + k180° Vậy phương trình có nghiệm x= 75° + k180° Dạng 4: Phương trình cotx = m cotx = cot α ⇔ x = α + kπ ,k ∈ Bài 1: Giải phương trình lượng giác sau:  7π  tan   b cot x + =  12  x π a cot  +  = − 2 3 a Ta có: LOVEBOOK.VN | 66 ( Bài giải chi tiết: ) Chinh phục tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission II TÍCH PHÂN Định nghĩa: Cho y= f(x) liên tục đoạn [a; b] F(x) ∈ � ∫ f(x)dx + c� [a; b] Hiệu F(b) – F(a) gọi tích phân y = f(x) đoạn [a; b] b Ký hiệu: � f(x)dx a Trong đó: a cận dấu tích phân b cận dấu tích phân f(x) hàm dấu tích phân b Nếu � f(x)dx = F(b) − F(a) ta có F(b) − F(a) = F(x) � a b b a Nên viết sau: � f(x)dx = F(b) − F(a) = F(x) � Ví dụ: � x dx = a x3 1 � = 3 Chú ý: Tích phân không phụ thuộc vào biến: • b Ý nghĩa hình học tích phân: b a d � f(x)dx = � f(x)dx = ⋯ a b c Nếu y=f(x) liên tục, không âm [a; b] f(x)dx = S diện tích hình giới hạn đồ thị hàm ∫ a số y = f(x) Ox [a; b] Tính chất tích phân Cho hàm số: y=f(x) y=g(x) liên tục [a; b] a ≤ c ≤ b a 1) � f(x)dx = b a b b 2) � f(x)dx = � f(x)dx b a 4) �[f(x) + g(x)]dx = � f(x)dx + � g(x)dx Ví dụ 𝐈𝐈𝟐𝟐 𝐈𝐈𝟑𝟑 𝐈𝐈𝟒𝟒 𝐈𝐈𝟓𝟓 𝐈𝐈𝟔𝟔 a a b b b b 3) � k f(x)dx = k � f(x)dx a c b a 5) � f(x)dx = � f(x)dx + � f(x)dx a 2 𝐱𝐱 𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 dx dx 2 � � 𝐝𝐝𝐝𝐝 = − = ln(x) � + � = ln2 − 𝟑𝟑 x 𝐱𝐱 𝟏𝟏 x x 𝟒𝟒 4 x 𝐱𝐱 x = � �𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝐞𝐞𝟒𝟒 � 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � xdx − � e4 dx = � x − 4e4 �� = 28 − 4e 𝟎𝟎 0 𝟐𝟐 2 = � (𝐱𝐱 − 𝟏𝟏)𝟑𝟑 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � (x − 1)3 d(x − 1) = � (x − 1)4 �� = 1/4 𝟏𝟏 𝛑𝛑 π 𝟐𝟐 = � (𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜)𝐝𝐝𝐝𝐝 = (sinx − 2cosx) �2 = −1 𝟎𝟎 𝟏𝟏 = � (𝐝𝐝𝐝𝐝)/𝐱𝐱 = ln(x) �1 = 𝟏𝟏 e 𝐞𝐞 π 𝛑𝛑 π π 𝟑𝟑 4dx d(2x) 𝐝𝐝𝐝𝐝 3= =� =� = −2 � = −2cot(2x) �π 𝛑𝛑 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐧𝐧𝟐𝟐 𝐱𝐱 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝟐𝟐 𝐱𝐱 π sin2 x π sin2 x √3 𝟔𝟔 6 𝐈𝐈𝟏𝟏 = � 𝟐𝟐 a a a c LOVEBOOK.VN | 197 Chinh phục tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission π π π π dx 4 𝐈𝐈𝟕𝟕 = � 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐧𝐧 𝐱𝐱 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � ( − 1)dx = � − � dx = tanx � − x� = − π/4 cos x 0 𝟎𝟎 cos x π 𝛑𝛑 π π 𝟑𝟑 𝟑𝟑 − 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐭𝐭 𝟐𝟐 𝐱𝐱 dx dx = 3√3 + − 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � − 2� = (3tanx − 2cotx) �π 𝐈𝐈𝟖𝟖 = � 𝛑𝛑 π cos x π sin2 x 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝟐𝟐 𝐱𝐱 √3 √2 𝟒𝟒 4 𝛑𝛑 π π 𝟒𝟒 𝐝𝐝𝐝𝐝 4 = � (tan x + 1)d(tanx) = � tan x + tanx� �4 = 𝐈𝐈𝟗𝟗 = � 𝟒𝟒 𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝐱𝐱 0 𝛑𝛑 π π 𝟐𝟐 x π 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐱𝐱 𝐝𝐝𝐝𝐝 = �2 − ln(sin x + cos x) �2 = 𝐈𝐈𝟏𝟏𝟏𝟏 = � 2 𝟎𝟎 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 + 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝛑𝛑 𝟒𝟒 𝐈𝐈𝟏𝟏𝟏𝟏 π/4 𝟐𝟐 𝛑𝛑 𝟐𝟐 π π π − cos x 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝐧𝐧𝟑𝟑 𝐱𝐱 (2cos (cosx =� 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � sinxdx = � x − 4cosx) �2 = − 1)d(cosx) = 𝟎𝟎 𝟏𝟏 + 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 + cosx 0 𝛑𝛑 𝟖𝟖 𝟐𝟐 (𝟐𝟐𝟐𝟐) 𝐈𝐈𝟏𝟏𝟏𝟏 = � 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐧𝐧 = 𝟎𝟎 π 1 tan3 2x �8 = 6 𝐈𝐈𝟏𝟏𝟏𝟏 = � 𝛑𝛑 𝟒𝟒 𝟏𝟏 𝛑𝛑 𝟔𝟔 𝐈𝐈𝟏𝟏𝟏𝟏 = � 𝐈𝐈𝟏𝟏𝟏𝟏 𝛑𝛑/𝟐𝟐 𝟎𝟎 𝛑𝛑 𝟐𝟐 (𝟏𝟏 + 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐧𝐧 𝟐𝟐 (𝟐𝟐𝟐𝟐))𝐝𝐝𝐝𝐝 π π 8 = � tan2 2x (tan2x)′d(2x) = � tan2 2x d(tan2x) 2 π π − 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐧𝐧𝟑𝟑 𝐱𝐱 = √3 + − 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � � − sinx� dx = (−cotx + cosx) �π 𝟐𝟐 π 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐧𝐧 𝐱𝐱 sin x √2 6 π π π cos x − sin2 x 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � dx = � (cosx − sinx)dx = (sinx + cosx) �2 = sinx + cosx 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 + 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 0 π π π 2 2 2 = � 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 = − � (cos9x − cos5x)dx = − � cos9x d(9x) + � cos5xd(5x) 𝛑𝛑 −π 18 −π 10 −π − 𝟐𝟐 π − 1 = �− sin9x + sin 5x� � π2 = 18 10 45 π + 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 + 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 2=1 𝐝𝐝𝐝𝐝 = 2sinx �π 𝐈𝐈𝟏𝟏𝟏𝟏 = � 𝛑𝛑 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 + 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝟔𝟔 𝟏𝟏 1 1 𝟐𝟐 𝟐𝟐𝐱𝐱 + 𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟐𝟐 2(x + 1) − (x − 1) + dx 𝐈𝐈𝟏𝟏𝟏𝟏 = � 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � dx = � (x + 1)dx − � dx + � 𝐱𝐱 + 𝟏𝟏 x+1 𝟎𝟎 0 0 x+1 x = �2 � + x� − x + ln(x + 1)� � = + ln2 𝟏𝟏 (x 1 1 d(x + 1) − x) 𝐱𝐱 𝟓𝟓 x 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � dx + � dx = � (x − x)dx + � 𝐈𝐈𝟏𝟏𝟏𝟏 = � 𝟐𝟐 x2 + 𝟎𝟎 𝐱𝐱 + 𝟏𝟏 x +1 x +1 x4 x2 1 1 = � − + ln(x + 1)� � = − + ln2 4 2 𝛑𝛑 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝐈𝐈𝟏𝟏𝟏𝟏 = � 𝟐𝟐 𝐝𝐝𝐝𝐝 =� 2 √x + − √x − dx = � √x + dx − � √x − 1dx 2 √𝐱𝐱 + 𝟏𝟏 + √𝐱𝐱 − 𝟏𝟏 2√2 1 2 − = �(x + 1)3 � − �(x − 1)3 � = √3 − 3 3 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 𝐱𝐱√𝟏𝟏 − 𝐱𝐱𝐝𝐝𝐝𝐝 𝟎𝟎 Đặt t = √1 − x ⇒ t = − x ⇒ x = − t ⇒ dx = −2tdt x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = LOVEBOOK.VN | 198 Chinh phục tập tích phân – lượng giác 0 Your dreams – Our mission ⇒ 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 = − � (1 − t ) t 2t dx = � (t − t )dt = 2( t5 t3 − )� = 15 Đặt t = ex + ⇒ dt = ex dx ⇒ dt = (t − 1)dx ⇒ dx = dt t−1 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏 1 𝐞𝐞𝐱𝐱 𝐝𝐝𝐝𝐝 =� 𝐱𝐱 𝟐𝟐 𝟎𝟎 (𝐞𝐞 + 𝟏𝟏) x = ⇒ t = 2; x = ⇒ t = e + e+1 e+1 e+1 1 t−1 dt � dt = =− � = − 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 2 t 2 e+1 t (t − 1) t 2 𝐞𝐞^𝟐𝟐 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 𝐱𝐱√𝟏𝟏 + 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝟏𝟏 dx Đặt t = √1 + lnx ⇒ t = + lnx ⇒ 2tdt = x x = ⇒ t = 1; x = e2 ⇒ t = √3 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 √3 (2t) √3 dt = � dt = 2t �√3 = 2√3 − t 1 𝛑𝛑 π 𝟒𝟒 𝐝𝐝𝐝𝐝 tan x tan x 28 � =� = � + + tanx� 4= 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝐱𝐱 15 𝛑𝛑 π 𝟑𝟑 𝐝𝐝𝐝𝐝 x π =� = − ln |tan( − ) �3 = ln(2 + √3) 2 𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 = � e+1 𝟐𝟐𝐱𝐱 𝟐𝟐 − 𝟓𝟓𝟓𝟓 − 𝟑𝟑 � dx � � − 𝐝𝐝𝐝𝐝 = + 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝐱𝐱 + 𝐱𝐱 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 2x x − 2(x + 2) 𝐞𝐞 e e−1 e e+1 e+1 � − 2ln � � + ln( = ln � = � lnx − 2ln|x − 1| + ln|x − 2|� � ) e 2 e−2 e−1 e 𝟏𝟏 1 1 1 𝐝𝐝𝐝𝐝 ex dx d(ex ) ex � d(ex ) = ln � x �� 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 𝐱𝐱 =� x x =� x x = � � x− x (e (e e e + 𝟑𝟑 + 3) + 3) + e + e e 𝐞𝐞 𝟎𝟎 0 1 e � − ln � �) = (ln � e+3 𝟏𝟏 1 d(2x ) 1 1 𝐝𝐝𝐝𝐝 2x � x x � � x− x � dx = �� 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 𝐱𝐱 = = ln � x (2 ln2 2 +5 5ln(2) + + 5) 5ln(2) 𝟎𝟎 𝟐𝟐 + 𝟓𝟓 1 = (ln � � − ln � �) ln(2) 𝟏𝟏 1 359 360x � = 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 𝟐𝟐𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟑𝟑𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟓𝟓𝐱𝐱 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � (23 32 5)x dx = � 360^xdx = ln 360 ln360 𝟎𝟎 0 𝟓𝟓 𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 = � �𝟐𝟐𝐱𝐱 𝟓𝟓 − 𝟕𝟕𝐱𝐱 𝟑𝟑 + �𝐱𝐱 𝟑𝟑 − + 𝟐𝟐 − 𝟑𝟑 + − 𝟓𝟓 � 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐱𝐱 𝐱𝐱 𝐱𝐱 √𝐱𝐱 √𝐱𝐱 𝟑𝟑 7 = x − x + x − ln|x| − + 2x −2 + 2√x − 5x + c x 13 d(x + 2) 𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟕𝟕 3(x + 2) − 13 � dx = � 3dx − 13 � 𝐈𝐈𝟑𝟑𝟑𝟑 = � 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � dx = � �3 − x+2 x+2 𝐱𝐱 + 𝟐𝟐 x+2 = 3x − 13 ln|x + 2| + c 37 (2x − 2) + 𝟗𝟗𝟗𝟗 + 𝟓𝟓 2 dx = � �9 + 37 � dx = � dx + 37 � d(2x − 3) 𝐈𝐈𝟑𝟑𝟑𝟑 = � 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � 2x − 2x − 𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟑𝟑 2 2x − 37 ln|2x − 3| + c = x+ 𝐱𝐱 𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟓𝟓 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐈𝐈𝟑𝟑𝟑𝟑 = � (𝐱𝐱 − 𝟏𝟏) (x − 1)(x − 2) + 3 d(x − 1) � dx = �(x − 2)dx + � =� dx = � �x − + x−1 x−1 x−1 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 𝐞𝐞+𝟏𝟏 LOVEBOOK.VN | 199 [...]... ⇔ x = α + kπ ,k ∈ Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:  7π  tan   b cot x + 3 =  12  x π 3 a cot  +  = − 3 2 3 a Ta có: LOVEBOOK.VN | 66 ( Bài giải chi tiết: ) Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission II TÍCH PHÂN 1 Định nghĩa: Cho y= f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và F(x) ∈ � ∫ f(x)dx + c� trên [a; b] Hiệu F(b) – F(a) gọi là tích phân của y = f(x) trên... yêu cầu bài tập của phần này là không khó! Trong chương này, chúng tôi trình bày hệ thống kiến thức theo các phần: Bài 1: Hàm số lượng giác Bài 2: Phương trình Lượng Giác cơ bản Bài 3: Các phương pháp giải phương trình lượng giác Bài 4: Phương trình Lượng Giác có điều kiện Các bài tập trong chương này được trú trọng hơn vì đây là mảng thường xuyên được dùng để đưa vào các đề thi Trong mỗi bài tập quan... b Ký hiệu: � f(x)dx a Trong đó: a là cận dưới dấu tích phân b là cận trên dấu tích phân f(x) là hàm dưới dấu tích phân b Nếu � f(x)dx = F(b) − F(a) ta có F(b) − F(a) = F(x) � a b b a Nên viết được như sau: � f(x)dx = F(b) − F(a) = F(x) � 1 Ví dụ: � x 2 dx = 0 a x3 1 1 � = 3 0 3 Chú ý: Tích phân không phụ thuộc vào biến: • b Ý nghĩa hình học của tích phân: b a d � f(x)dx = � f(x)dx = ⋯ a b c Nếu y=f(x)... biến đổi giữa tổng và tích 3.1 Công thức biến đổi tích thành tổng Từ các công thức (1), (2), (3), (4), ta có: LOVEBOOK.VN | 23 Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission 1 [cos(a + b) + cos(a − b)] (12) 2 1 sin a sin b = − [cos(a + b) − cos(a − b)] (13) 2 1 sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] (14) 2 cos a cos b = 3.2 Công thức biến đổi tổng thành tích m+n a= a+b=m 2 Từ... tương ứng của tham số có trong bài giải Bài giải chi tiết: Phương trình đã cho tương đương với:    π  π  π  sin  π sin  4x +   = 1 ⇔ sin  π sin  4x +   = sin   3  3    2   • π 1  π π  + 2k ( k ∈ Z ) (*) ⇔ π sin  4x + = + k2π sin  4x +  = 3 2 3 2   Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi LOVEBOOK.VN | 63 Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your dreams... LOVEBOOK.VN | 64 Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Dạng 2: Phương trình cosx = m Bài 1: Giải các phương trình sau: ( ) ( a cos 2x= cos x − 15° a) Ta có: Your dreams – Our mission cos x = cos α ⇔ x = ±α + k2π , k ∈    5π  π 0 b cos  x −  + sin  3x −  = 6  6   ) 2x = x − 15° + k360° 2x = − x + 15° + k360° cos ( 2x= ) cos ( x − 15°) ⇔  Vậy phương trình có hai họ nghiệm b Ta có: Bài giải... ⇒P= =a b 2 � 1+� c−a LOVEBOOK.VN | 26 Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission Bài 5: Tìm một phương trình bậc ba có đúng 3 nghiệm sau: π 3π 5π x1 = cos ; x2 = cos ; x3 = cos 7 7 7 Từ đó tính tổng: 1 1 1 S= + π+ 3π 5π cos cos 7 cos 7 7 Lời giải: Một phương trình bậc 3 có dạng x 3 + ax 2 + bx + c = 0 có đúng 3 nghiệm x1 , x2 , x3 như đề bài cho thì chúng phải thỏa mãn định... mình ra cho con Hãy nhớ lời cha LOVEBOOK.VN | 62 Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1 Phương trình lượng giác cơ bản (Cơ bản 1) Dạng 1 Phương trình sinx = m Bài 1: Giải các phương trình sau:  x = α + k2π , k ∈  sinx = sin α ⇔   x = π − α + k2π π sin   a sin x + 3 = 4 ( a Ta có: ) Bài giải chi tiết:  3 π b sin  3x −  = 3... thức được chứng minh = Bài 7 : Chứng minh: a) 5 + 3 cos 4x = 8(sin6 x + cos 6 x) b) sin 2x tan x = 1 − cos 2x Từ đó suy ra giá trị: A = tan2 π 3π 5π + tan2 + tan2 12 12 12 Lời giải: a) Ta có: VP = 8(sin6 x + cos 6 x) = 8(sin2 x + cos 2 x)(sin4 x − sin2 x cos 2 x + cos 4 x) 3 = 8[(sin2 x + cos 2 x)2 − 3 sin2 x cos 2 x] = 8 �1 − sin2 2x� 4 LOVEBOOK.VN | 29 Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your... 3π 5π π 7π π 3π 5π 7π cos + cos = cos + cos = cos + cos = cos + cos =0 8 8 8 8 4 4 4 4 3 ⇒S= 2 Bài 9: Chứng minh các đẳng thức: a) cot x − tan x = 2 cot 2x b) sin(x + y) + sin(x − y) = 2 sin x cos y c) cos(x − y) − cos(x + y) = 2 sin x sin y a) Ta có: LOVEBOOK.VN | 30 Lời giải: Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Như các bạn cũng ... chứng minh Công thức biến đổi tổng tích 3.1 Công thức biến đổi tích thành tổng Từ công thức (1), (2), (3), (4), ta có: LOVEBOOK.VN | 23 Chinh phục tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our... kπ ,k ∈ Bài 1: Giải phương trình lượng giác sau:  7π  tan   b cot x + =  12  x π a cot  +  = − 2 3 a Ta có: LOVEBOOK.VN | 66 ( Bài giải chi tiết: ) Chinh phục tập tích phân – lượng... −113 113 � + − 8� = =− = 24 2 81 �1 + � 2 sin4 α + cos α = ⇔ LOVEBOOK.VN | 17 Chinh phục tập tích phân – lượng giác Bài 6: Chứng minh: a) sin2 α + tan2 α = Your dreams – Our mission − cos α cos