®¹i häc CƠ SỞ CƠ HỌC MƠI TRƢỜNG LIÊN TỤC VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 1(31) Chƣơng Bài toán phẳng hệ toạ độ độc cực July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 2(31) NỘI DUNG 9.1 Các phƣơng trình 9.2 Hàm ứng suất 9.3 Giải theo ứng suất - Bài toán chêm chịu lực tập trung 9.4 Bài toán đối xứng trục 9.5 Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung biên ( Bài toán Flamant) 9.6 Bài toán Boussinesq July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 3(31) 9.1 Các phƣơng trình 9.1 Các phƣơng trình • Trong nhiều trường hợp giải toán phẳng, sử dụng toạ độ độc cực thuận lợi hệ toạ độ vng góc Chẳng hạn nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng ống dày, đĩa quay, … Động máy bay hệ thống rôtor July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 4(31) 9.1 Các phƣơng trình 9.1.1 Liên hệ hệ toạ độ vng góc hệ toạ độ cực x  r cos  y  r sin  r x y   arctg 2 Y y x  r     sin      cos   x x r x  r r  r  X  r     cos      sin   y y r y  r r  July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 5(31) 9.1 Các phƣơng trình Y r X  2     2      2   sin  cos     cos   sin     2  x r  r r r    r  r r    2  2 2 2  2 1    sin  cos     sin   cos     2  y r  r r r    r  r r   2  2 2  2   sin  cos      cos   sin   xy r r r    r  July 2009   2      r  r r   Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 6(31) 9.1 Các phƣơng trình  9.1.2 Phân tố hệ toạ độ cực Phân tố vật chất vô bé lấy K(r, ) hình phẳng giới hạn tia  +d bán kính r r+dr - r : trục theo hướng bán kính -  : trục qua K vng góc với r - u : chuyển vị theo phương r r d K r r  r  r - v : chuyển vị theo phương  r  dr r – thành phần ứng suất pháp theo phương bán kính r – thành phần ứng suất tiếp mặt có pháp tuyến theo phương bán kính r – thành phần ứng suất tiếp mặt có pháp tuyến theo phương tiếp tuyến (phương vịng) er – độ dãn dài tỉ đối theo phương bán kính, … July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 7(31) 9.1 Các phƣơng trình 9.1.3 Các phương trình cân  r   r  r     fr    r r r     r 2 r    f  r  r r f r , f (9.1) - thành phần lực thể tích theo hai phương r,  9.1.4 Các phương trình hình học Cauchy u u v er  e   r r r  u v v  r    r  r r July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com (9.2) 8(31) 9.1 Các phƣơng trình 9.1.4 Các phương trình vật lý e r  ( r  v  ) E e  (   v r ) E 2(1  v)  r   r   r G E Ứng suất phẳng E v July 2009  v2 v er  ( r   ) E 1 v  v2 v e  (   r ) E 1 v 2(1  v)  r   r   r G E Biến dạng phẳng E E1   v 1 v Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 9(31) 9.1 Các phƣơng trình 9.1.6 Quan hệ thành phần ứng suất viết hai hệ trục • Để có quan hệ thành phần ứng suất viết hai hệ trục ta dùng ma trận biến đổi hệ trục toạ độ xét cân phân tố tam giác chứa điểm K, với hai mặt có pháp tuyến trùng với trục r, trục  mặt có pháp tuyến trùng với phương trục x (nếu tính  xx ) , trùng với trục y (nếu tính  yy ) r   y    xy  r rr r xx rr r K r yx x yy  xx   rr cos2     sin    r sin 2  yy   rr sin    cos2    r sin 2  xy   r cos 2  ( rr   )sin  cos  July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 10(31) 9.3 Giải theo ứng suất - Bài tốn nêm chịu lực tập trung • Nêm chịu uốn     rr  P sin r 2 -sin2 P L y   Ứng suất mặt cắt ngang vng góc với trục x theo công thức (9.4): P sin2 cos   xx  L 2  sin2 x  xx P sin 2  xy  L 2  sin2 biểu đồ phân bố thành phần ứng suất sxx July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 18(31) 9.4 Bài toán đối xứng trục 9.4 Bài toán đối xứng trục Bài toán đối xứng trục: X July 2009 Các đại lượng số biến số góc  √ Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 19(31) ĐẶC ĐIỂM BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC 9.4 Bài toán đối xứng trục Đối xứng trục July 2009  0     (r ) -Chuyển vị u = u(r); v =   2  rr   2 r r r  Đối xứng trục   d r  r dr  2  r   r         r  r   d 2  dr 2      4   2 2    r  r r  r   Đối xứng trục  r      0   d2 d       r dr   dr Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 20(31) ĐẶC ĐIỂM BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC 9.4 Bài toán đối xứng trục  rr    d rr  0 dr r Phƣơng trình cân Phƣơng trình hình học Phƣơng trình vật lý July 2009 e rr du  dr e  u  r e r  E du u  rr  ( v )  dr r E u du   (  ) r dr   r  Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 21(31) 9.4 Bài toán đối xứng trục Phương trình nghiệm tốn theo chuyển vị Khi thay giá trị ứng suất phương trình vật lý vào phương trình cân ta nhận phương trình: d u du u   0 r dr r dr Giải phương trình trên, nghiệm tổng quát có dạng: C2 u  C1r  r Thay chuyển vị vào phương trình định luật Hooke:  rr  July 2009 E   [C1 (1  )  C2 ]  r Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com Các số xác định theo điều kiện biên tuỳ toán cụ thể 22(31) 9.4 Bài tốn đối xứng trục Ví dụ1: Ống dày có bán kính a, bán kính ngồi b, chịu áp lực pa, áp lực pb Điều kiện biên:  r r r a r a   r   pa   pa a  pbb   u  r  2 E  b a E  r r b r b 0   pb 2  pa  pb  a b  b2  a  r   pa a  pbb2 ( pa  pb )a 2b  rr   2 b a b2  a r2   July 2009 pa a  pbb2 ( pa  pb )a 2b   2 b a b2  a r2 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 23(31) 9.4 Bài toán đối xứng trục Chú ý: Trong công thức cần phân biệt rõ toán ứng suất phẳng hay biến dạng phẳng Chẳng hạn ống dày chịu áp lực vng góc thành ống, hai đầu chiều dài ống để tự tốn ứng suất phẳng; hai đầu chiều dài ống bị ngàm chặt ống có chiều dài lớn tóan biến dạng phẳng July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 24(31) 9.5 Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung biên ( Bài toán Flamant) Nửa mặt phẳng giới hạn đường thẳng, gọi biên, chịu lực tập trung P vng góc với đường biên Đây trường hợp riêng toán nêm với 2 =   = /2 Ứng suất điểm K(r, ) P cos  2P  rr     r d r  d cos d    r  0 P y  r x d - đường kính đường trịn qua điểm đặt lực điểm tính ứng suất => điểm nằm đường trịn, có giá trị ứng suất K r r srr => Những đường tròn đồng ứng suất, d bé ứng suất lớn Tuy nhiên cho nghiệm xác d đủ lớn (xa miền đặt lực – nguyên lý Saint-Venant) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 25(31) Thí nghiệm quang đàn hồi - đường vân đẳng ứng suất July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 26(31) 9.5 Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung biên ( Bài tốn Flamant) • Trong nhiều trường hợp ta cần phải xác định thành phần ứng suất hệ toạ độ vng góc (áp lực theo phương thẳng đứng nằm ngang tính tốn móng) • Dùng cơng thức chuyển hệ trục toạ độ Ứng suất hệ toạ độ vuông góc xy  xx   2P  x3 x  y  2  yy   2P  x xy 2 y  2  xy   2P  x x2 y y  2 • Trị số thành phần ứng suất theo phương thẳng đứng sxx ứng suất trượt sxy khoảng cách x = H kể từ biên bán phẳng:  xx   2P  July 2009 x x3 y  2  yy   2P  xy x  y  2  xy   2P  x2 y  x2  y  Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 27(31) 9.5 Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung biên ( Bài toán Flamant) Biểu đồ áp lực theo phương thẳng đứng, phương nằm ngang áp lực trượt P c y  yy v 3P/8c v3  xy h b v3  xx v 3P/8b x July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 28(31) 9.5 Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung biên ( Bài toán Flamant) Chuyển vị điểm bán phẳng P - u - chuyển vị theo phương bán kính r - v - chuyển vị theo phương vòng q y  r d u  B sin   C cos   1   P  cos  2P ln r sin   E E x K r r   P  2 P v  B cos   C sin   sin    sin    cos   Dr E E Các số B, C, D xác định từ điều kiện biên - Chuyển vị u đối xứng qua trục x, chuyển vị v trục đối xứng x phải - Giả thiết trục x (q = 00) khoảng cách x=H khơng có chuyển vị theo phương thẳng đứng (thích hợp với tốn móng) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 29(31) 9.5 Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung biên ( Bài toán Flamant)   P  2P H u ln cos    sin  E r E   P  2P H 2 P v ln sin   lsin    sin    cos  E r E E Chuyển vị điểm biên Các chuyển vị điểm biên suy từ công thức với q=p/2 q =-p/2 u0 Độ lún July 2009   P   E  P H 1   P  v0     ln   E   E r Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 30(31) 9.6 Bài toán Boussinesq Vật thể đàn hồi chiếm phần k hông gian z>=0 chịu lực tập tr ung P vng góc với mặt giới h ạn z=0 Là toán đối xứng trục nên:  r   z  v  P r  1  2v  R z  u    4 R  R  z R P  1  2v  R 3r z   rr      2 R  R  z R   2v  P        3 R R2  x2  y  z July 2009 R z   R z R z  z2  w 1  v     4 R  R  P 3P z  zz   2 R R3 3P rz  rz   2 R R3 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 31(31) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 32(31) ... theo ứng suất - Bài toán chêm chịu lực tập trung 9. 4 Bài toán đối xứng trục 9. 5 Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung biên ( Bài toán Flamant) 9. 6 Bài toán Boussinesq July 20 09 Tran Minh Tu –... noi Email: tpnt2002@yahoo.com 3(31) 9. 1 Các phƣơng trình 9. 1 Các phƣơng trình • Trong nhiều trường hợp giải toán phẳng, sử dụng toạ độ độc cực thuận lợi hệ toạ độ vng góc Chẳng hạn nghiên cứu trạng... … Động máy bay hệ thống rôtor July 20 09 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 4(31) 9. 1 Các phƣơng trình 9. 1.1 Liên hệ hệ toạ độ vng góc hệ toạ độ cực