®¹i häc CƠ CƠ SỞ SỞ CƠ CƠ HỌC HỌC MÔI MÔI TRƯỜNG TRƯỜNG LIÊN LIÊN TỤC TỤC VÀ VÀ LÝ LÝ THUYÊT THUYÊT ĐÀN ĐÀN HỒI HỒI Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 1(35) Chương Lý thuyết ứng suất July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 2(35) NỘI DUNG 3.1 3.1.Định Địnhnghĩa nghĩavề vềứng ứngsuất suất 3.2 3.2.Điều Điềukiện kiệncân cânbằng 3.3 3.3.Ứng Ứngsuất suấttrên trênmặt mặtcắt cắtnghiêng nghiêng 3.4 3.4.Trạng Trạngthái tháiứng ứngsuất suất––Tenxơ Tenxơứng ứngsuất suất 3.5 3.5.Mặt Mặtchính chính––Phương Phươngchính chính––ứng ứngsuất suấtchính 3.6 3.6.Ứng Ứngsuất suấttiếp tiếpcực cựctrị trị 3.7 3.7.Cường Cườngđộ độứng ứngsuất suất 3.8 3.8.Bài Bàitập tậptự tựgiải giải July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 3(35) 3.1 Định nghĩa ứng suất 3.1 Định nghĩa ứng suất Vật thể chịu tác dụng ngoại lực Nội lực: Lượng thay đổi lực tương tác phần tử vật chất vật thể có ngoại lực tác dụng Nội lực: Ứng suất: mặt cắt – pháp tuyến ν mặt cắt – pháp tuyến ν điểm P(x1, x2, x3) JG JG ΔP pν = lim ΔA → Δ A ΔP ν pν - ứng suất toàn phần July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 4(35) 3.1 Định nghĩa ứng suất Phân tích vec tơ ứng suất pν2 JG G G G pν = pν e1 + pν e + pν e pν = ν pν1 pν21 + pν22 + pν23 pν1, pν2, pν3 – thành phần ứng suất theo phương 1, 2, pν3 JG JG JG pν = σ νν + σ νη σνη σνν – ứng suất pháp pν σνν ν pν = σνν2 + σνη2 σi j σνη – ứng suất tiếp pháp tuyến July 2009 pν phương ư.s Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 5(35) 3.1 Định nghĩa ứng suất Tenxơ ứng suất σ 33 ⎡σ 11 σ 12 σ 13 ⎤ Tσ = ⎢⎢σ 21 σ 22 σ 23 ⎥⎥ ⎢⎣σ 31 σ 32 σ 33 ⎥⎦ σ 31 Qui ước chiều dương ứng suất σ 12 σ 21 x3 x2 σ 32 x1 σ 22 σ 11 σ σ xy σ 13 23 - Pháp tuyến mặt cắt hướng theo chiều dương trục chiều ứng suất hướng theo chiều dương trục tương ứng - Pháp tuyến mặt cắt hướng theo chiều âm trục chiều ứng suất hướng theo chiều âm trục tương ứng July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 6(35) 3.2 Điều kiện cân 3.2 Điều kiện cân 3.2.1 Đặt vấn đề: Cho vật thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng ngoại lực gồm: • Lực bề mặt có cường độ f * ( f1* , f 2* , f 3* ) ( • Lực thể tích có cường độ f f1 , f , f ) Chia nhỏ vật thể thành phân tố mặt song song mặt phẳng toạ độ f* S V - Phân tố loại 1- phân tố hình hộp chữ nhật - Phân tố loại 2- phân tố hình tứ diện f Vật thể trạng thái cân ⇒ Các phân tố thoả mãn điều kiện cân July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 7(35) 3.2 Điều kiện cân 3.2.2 Phương trình vi phân cân Navier-Cauchy (Điều kiện cân phân tố loại 1) x2 - Lực tác động lên phân tố gồm: P - Ngoại lực: lực thể tích cường độ f i - Nội lực: thành phần ứng suất σij - Các thành phần ứng suất mặt lân cận xi, (xi+dxi): ∑ X1 = ⇒ ⎛ ∂u ⎞ ∂σ 11 ∂σ 21 ∂σ 31 + + + f1 = ⎜ ρ 21 ⎟ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ⎝ dt ⎠ ⎛ ∂ u2 ⎞ ∂σ 12 ∂σ 22 ∂σ 32 ∑ X = ⇒ ∂x + ∂x + ∂x + f2 = ⎜ ρ dt ⎟ (3.7) ⎝ ⎠ ⎛ ∂ u3 ⎞ ∂σ 13 ∂σ 23 ∂σ 33 ∑ X = ⇒ ∂x + ∂x + ∂x + f3 = ⎜ ρ dt ⎟ ⎝ ⎠ ρ July 2009 khối lượng riêng σ13 σ11 σ12 σ12 + σ12 d x1 x1 σ11 + σ11 d x1 x1 M x1 K σ13 + σ13 d x1 x3 x1 ••Hệ Hệphương phươngtrình trìnhcân cânbằng Navier-Cauchy Navier-Cauchy ∂σ ji ⎛ ∂ ui ⎞ + fi = ⎜ ρ ⎟ ∂x j ⎝ dt ⎠ Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 8(35) 3.2 Điều kiện cân 3.2.3.Định luật đối ứng ứng suất tiếp σ ij = σ ji (3.8) 3.2.4 Điều kiện biên theo ứng suất (điều kiện cân phân tố loại 2) x2 Xét điều kiện cân phân tố tứ diện ∑ X = ⇒ σ l +σ l +σ l = f ∑ X = ⇒ σ l + σ l + σ l = f (3.9) * X = ⇒ σ l + σ l + σ l = f ∑ 13 23 33 3 ••Điều Điềukiện kiệnbiên: biên: 11 12 21 22 31 * 32 * σ ji l j = f i * C σ13 σ11 σ12 A x3 ν f2* * f σ21 σ22 f1* B x1 σ23 G JJG li = cos ν , xi ( ) - (3.7) (3.9): điều kiện cân toàn thể môi trường - (3.9) điều kiện biên để xác định số tích phân July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 9(35) 3.3 Ứng suất mặt cắt nghiêng x2 3.3 Ứng suất mặt cắt nghiêng Cosin phương mặt nghiêng: G JJG li = cos ν , xi ( ) Các thành phần ứng suất mặt nghiêng: pν , pν , pν σ13 p ν2 σ11 p ν1 B σ12 pν3 σ23 A σ21 σ22 x3 pν ≈ f1* pν ≈ f 2* C pν ν x1 ν Từ (3.9): pν ≈ f3* July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 10(35) 3.3 Ứng suất mặt cắt nghiêng x2 Các thành phần ứng suất mặt nghiêng: σ 11l1 + σ 21l2 + σ 31l3 = pν σ 12 l1 + σ 22 l2 + σ 32 l3 = pν (3.10) σ 13l1 + σ 23l2 + σ 33l3 = pν C σ13 p ν2 σ11 p ν1 B σ12 pν3 σ23 A σ21 σ22 ν x3 •• Ứng Ứngsuất suấttrên trênmặt mặtnghiêng: nghiêng: σ ji l j = pν i •• Ứng Ứngsuất suấttồn tồnphần: phần: July 2009 pν = pν21 + pν22 + pν23 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com (3.12) 11(35) x1 3.3 Ứng suất mặt cắt nghiêng •• Ứng Ứngsuất suấtpháp: pháp: Ứng suất pháp tổng hình chiếu thành phần ứng suất lên pháp tuyến σνν = pν 1l1 + pν l2 + pν 3l3 σ νν = σ 11l12 + σ 22 l22 + σ 33 l32 + (σ 12 l1l2 + σ 13 l1l3 + σ 23 l2 l3 ) ν •• Ứng Ứngsuất suấttiếp: tiếp: σνν σ νη = pν2 − σ νν2 July 2009 (3.13) (3.14) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com σνη 12(35) 3.4 Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất 3.4.1 Trạng thái ứng suất σ 33 Trạng thái ứng suất điểm tập hợp tất thành phần ứng suất tất mặt cắt qua điểm Ứng suất: mặt cắt – pháp tuyến ν điểm P(x1, x2, x3) Trạng thái ứng suất: - điểm P(x1, x2, x3) σ 31 σ 12 σ 21 x3 x2 σ 32 x1 σ 22 σ 11 σ σ xy σ 13 23 Qui ước chiều dương ứng suất - Pháp tuyến mặt cắt hướng theo chiều dương trục chiều ứng suất hướng theo chiều dương trục tương ứng - Pháp tuyến mặt cắt hướng theo chiều âm trục chiều ứng suất hướng theo chiều âm trục tương ứng July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 13(35) 3.4 Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất 3.4.2 Ứng suất biến đổi hệ trục toạ độ σ ij' = cik c jlσ kl - hệ trục ban đầu xi ' x - hệ trục i - cosin phương góc hệ trục cũ: cij σ 33 3.4.3 Tenxơ ứng suất •• Ten Tenxơ xơứng ứngsuất: suất: σ 31 ⎡σ 11 σ 12 σ 13 ⎤ ⎢ ⎥ Tσ = ⎢σ 21 σ 22 σ 23 ⎥ ⎢⎣σ 31 σ 32 σ 33 ⎥⎦ σ 12 σ 21 x3 x2 σ 32 x1 σ 22 σ 11 σ σ xy σ 13 23 Tenxơ hạng 2, đối xứng July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 14(35) 3.4 Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất Tσ = Dσ + Tσ •• Ten Tenxơ xơ lệch lệchứng ứngsuất: suất: σ 12 σ 13 ⎤ ⎡σ 11 − σ tb ⎢ ⎥ Dσ = ⎢ σ 21 σ 22 − σ tb σ 23 ⎥ ⎢⎣ σ 31 σ 32 σ 33 − σ tb ⎥⎦ •• Ten Tenxơ xơ cầu cầuứng ứngsuất: suất: July 2009 ⎤ ⎡σ tb Tσ = ⎢⎢ σ tb ⎥⎥ ⎢⎣ 0 σ tb ⎥⎦ Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com Biến đổi hình dáng Biến đổi thể tích 15(35) 3.5 Mặt – Phương – ứng suất σtb σ 22 σ11 σ33 σ22 - σtb σtb = σtb σ11 - σtb σ33 - σtb Biến đổi thể tích July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com Biến đổi hình dáng 16(35) 3.5 Mặt – Phương – ứng suất 3.5 Mặt – Phương – ứng suất - Mặt mặt có ứng suất tiếp - Ứng suất chính: ứng suất pháp mặt - Phương chính: phương pháp tuyến mặt Giả sử phương có cosin phương hệ toạ độ xi li, ứng suất σ Vì mặt có ứng suất tiếp 0, nên ứng suất tồn phần pν có pν i = σ li phương trùng với pháp tuyến có giá trị σ: Thay vào hệ phương trình ứng suất mặt cắt nghiêng (σ 11 − σ ) l1 + σ 21l2 + σ 31l3 = σ 12 l1 + (σ 22 − σ ) l2 + σ 32 l3 = σ 13l1 + σ 23l2 + (σ 33 − σ ) l3 = July 2009 l12 + l22 + l32 = Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 17(35) 3.5 Mặt – Phương – ứng suất Điều kiện để hệ phương trình khơng có nghiệm tầm thường cho ta phương trình đặc trưng Các ứng suất σ xác định từ phương trình đặc trưng: σ − I1σ + I2σ − I3 = I1 = σ 11 + σ 22 + σ 33 σ 11 σ 12 σ 22 σ 23 σ 11 σ 13 I2 = + + σ 12 σ 22 σ 23 σ 33 σ 13 σ 33 July 2009 (3.23) σ 11 σ 12 σ 13 I3 = σ 12 σ 22 σ 23 σ 13 σ 23 σ 33 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 18(35) 3.5 Mặt – Phương – ứng suất - Phương ν ứng suất σi có cosin phương hệ xi li xác định từ hệ phương trình: (σ 11 − σ i ) l1 + σ 21l2 + σ 31l3 = σ 12 l1 + (σ 22 − σ i ) l2 + σ 32 l3 = σ 13l1 + σ 23l2 + (σ 33 − σ i ) l3 = (3.24) l12 + l22 + l32 = July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 19(35) 3.6 Ứng suất tiếp cực trị x2 τ max τ 3.6 3.6.Ứng Ứngsuất suấttiếp tiếpcực cựctrị trị σ2 σ σ1 σ3 σ2 σ3 σ1 x1 x3 Mặt có ứng suất tiếp cực trị mặt có pháp tyến nghiêng góc 450 so với trục ứng suất July 2009 τ max τ max = = σ1 −σ2 σ2 −σ3 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com τ max = σ1 −σ3 20(35) 3.7 Cường độ ứng suất 3.7 Cường độ ứng suất Cường độ ứng suất trị số tỉ lệ với bậc hai bất biến thứ hai tenxơ lệch ứng suất ••Cường Cườngđộ độứng ứngsuất suấttiếp tiếp τi = τ i = I2 ( Dσ ) (σ − σ ) + (σ − σ ) + (σ − σ ) ••Cường Cườngđộ độứng ứngsuất suấtpháp pháp σi = July 2009 2 2 σ i = 3I2 ( Dσ ) (σ − σ ) + (σ − σ ) + (σ − σ ) 2 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 21(35) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 22(35) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 23(35) ... Điềukiện kiệncân cânbằng 3. 3 3. 3 .Ứng Ứngsuất suấttrên trênmặt mặtcắt cắtnghiêng nghiêng 3. 4 3. 4.Trạng Trạngthái tháiứng ứngsuất suất? ??–Tenxơ Tenx? ?ứng ứngsuất suất 3. 5 3. 5.Mặt Mặtchính chính––Phương... Mặtchính chính––Phương Phươngchính chính–? ?ứng ứngsuất suấtchính 3. 6 3. 6 .Ứng Ứngsuất suấttiếp tiếpcực cựctrị trị 3. 7 3. 7.Cường Cườngđộ đ? ?ứng ứngsuất suất 3. 8 3. 8 .Bài Bàitập tậptự tựgiải giải July 2009... phần ứng suất mặt nghiêng: σ 11l1 + σ 21l2 + σ 31 l3 = pν σ 12 l1 + σ 22 l2 + σ 32 l3 = pν (3. 10) σ 13l1 + σ 23l2 + σ 33 l3 = pν C σ 13 p ν2 σ11 p ν1 B σ12 p? ?3 σ 23 A σ21 σ22 ν x3 •• Ứng Ứngsuất suấttrên