BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGÔ QUANG HƯNG MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ LÕM TRONG KHÔNG GIAN BANACH NỬA SẮP THỨ TỰ TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy HÀ NỘI, 2014 CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Người hướng dẫn khoa học : PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm 2014 CÓ THỂ TÌM HIỂU LUẬN VĂN TẠI THƯ VIỆN TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI Mục lục Mở đầu Chương Không gian định chuẩn nửa thứ tự 1.1 Khái niệm nón không gian định chuẩn 1.2 Quan hệ thứ tự không gian định chuẩn 1.3 Các phần tử thông ước 1.4 Một số nón đặc biệt 1.5 Không gian định chuẩn thực l2 1.5.1 Định nghĩa không gian l2 số tính chất quan trọng 1.5.2 Nón quan hệ thứ tự không gian l2 1.5.3 Các phần tử thông ước Chương Toán tử lõm không gian Banach nửa thứ tự 2.1 Khái niệm toán tử lõm 2.1.1 Các định nghĩa 2.1.2 Một số tính chất đơn giản 10 2.2 Toán tử lõm không gian Banach thực nửa thứ tự l2 10 2.3 Mở rộng định lí tồn điểm bất động toán tử lõm 11 2.3.1 Định lí mở rộng 11 2.3.2 Áp dụng 11 Kết luận 12 Tài liệu tham khảo 13 Mở đầu Lý thuyết điểm bất động phần quan trọng môn giải tích hàm phi tuyến, từ đầu kỷ 19 nhà toán học giới quan tâm phát triển sâu rộng trở thành công cụ để giải nhiều toán thực tế đặt Năm 1956 nhà toán học Nga tiếng Kraxnoxelxki M.A nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến: Toán tử lõm tác dụng không gian Banach thực với nón cố định Năm 1962 ông mở rộng cho toán tử lõm tác dụng không gian Banach thực với hai nón cố định, nón tập nón lại Năm 1975 GS TSKH Bkhatin I.A mở rộng kết công trình cho lớp toán tử phi tuyến (K, u0 )-lõm tác dụng không gian Banach thực với nón cố định không gian Banach thực với hai nón cố định chung phần tử khác không Các lớp toán tử nhà toán học Kranoxelxki Bakhtin nghiên cứu có tính chất u0 -đo Năm 1987, PGS TS Nguyễn Phụ Hy mở rộng kết lớp toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới: Toán tử lõm quy, không yêu cầu toán tử có tính chất u0 -đo Với mong muốn tìm hiểu sâu lớp toán tử phi tuyến này, nhờ hướng dẫn tận tình thầy giáo, PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy chọn nghiên cứu đề tài: Một hướng mở rộng định lí tồn điểm bất động toán tử lõm không gian Banach nửa thự tự Trong báo, công trình tác giả nêu mục tài liệu tham khảo từ [1] đến [9], mở rộng định lí tác giả thường bổ sung điều kiện toán tử, đề tài mở rộng số định lí tồn điểm bất động toán tử lõm theo hướng bổ sung điều kiện cho nón Chương Không gian định chuẩn nửa thứ tự 1.1 Khái niệm nón không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.1 Giả sử E không gian định chuẩn thực K tập hợp khác rỗng E Tập hợp K gọi nón tập hợp K thỏa mãn điều kiện sau: i) K tập đóng không gian E; ii) Với x, y ∈ K ta có x + y ∈ K; iii) Với x ∈ K α ∈ R+ ta có αx ∈ K; iv) Với x ∈ K x = θ ta có −x ∈ / K, θ kí hiệu phần tử không không gian E Ta có vài tính chất đơn giản nón K không gian định chuẩn thực E Định lý 1.1.1 Giả sử K nón không gian E Khi K tập hợp lồi Định lý 1.1.2 Giả sử K1 , K2 hai nón không gian E Khi đó, K = K1 ∩ K2 chứa phần tử khác không, K nón không gian E Định lý 1.1.3 Giả sử M tập khác rỗng không gian định chuẩn E thỏa mãn điều kiện: lồi, đóng, bị chặn θ ∈ / M Khi tập K(M ) = {tz : t ≥ 0, z ∈ M } nón 1.2 Quan hệ thứ tự không gian định chuẩn Định nghĩa 1.2.1 Giả sử E không gian định chuẩn thực, K nón không gian E Với x, y ∈ E ta viết x ≤ y y − x ∈ K Định lý 1.2.1 Quan hệ "≤" xác định Định nghĩa 1.2.1 quan hệ thứ tự E Định nghĩa 1.2.2 Giả sử E không gian định chuẩn thực, K nón không gian E "≤" quan hệ thứ tự E Khi ta gọi cặp (E, ≤) (ta thường viết gọn E) không gian định chuẩn thực nửa thứ tự theo nón K Ta có vài khái niệm liên quan không gian định chuẩn thực nửa thứ tự sau Định nghĩa 1.2.3 (Về dãy đơn điệu) Dãy điểm (xn )∞ n=1 ⊂ E gọi dãy không giảm, xn ≤ xn+1 , n = 1, 2, Dãy điểm (yn )∞ n=1 ⊂ E gọi dãy không tăng, yn+1 ≤ yn , n = 1, 2, Các dãy không giảm, dãy không tăng gọi chung dãy đơn điệu Định nghĩa 1.2.4 (Về tập bị chặn trên, bị chặn phần tử) Tập hợp M ⊂ E gọi bị chặn phần tử u ∈ E, (∀x ∈ M ) x ≤ u Tập hợp L ⊂ E gọi bị chặn phần tử v ∈ E, (∀x ∈ L) v ≤ x Định nghĩa 1.2.5 (Về cận trên, cận đúng) +) Phần tử x∗ gọi cận tập M, i) (∀x ∈ M ) x ≤ x∗ ; ii) Nếu z ∈ E cho (∀x ∈ M ) x ≤ z x∗ ≤ z Kí hiệu x∗ = sup M +) Phần tử y ∗ gọi cận tập L, i) (∀y ∈ L) y ∗ ≤ y; ii) Nếu w ∈ E cho (∀w ∈ L) w ≤ y w ≤ y ∗ Kí hiệu y ∗ = inf L Ta có số tính chất đơn giản suy từ định nghĩa ∞ Định lý 1.2.2 Giả sử hai dãy (xn )∞ n=1 ⊂ E, (yn )n=1 ⊂ E, thỏa mãn xn ≤ yn ∀n = 1, 2, Khi đó, limn→∞ xn = x, limn→∞ yn = y E, x ≤ y 1.3 Các phần tử thông ước Định nghĩa 1.3.1 Giả sử E không gian Banach thực nửa thứ tự theo nón K ⊂ E, x, y ∈ E Phần tử x gọi thông ước với phần tử y, ∃α = α(x) > 0, ∃β = β(x) > cho αy ≤ x ≤ βy Nhận xét 1.3.1 Nếu phần tử x thông ước với phần tử y phần tử y thông ước với phần tử x Định lý 1.3.1 Hai phần tử thông ước với phần tử thứ ba thông ước với Giả sử E không gian định chuẩn thực nửa thứ tự theo nón K ⊂ E, H nón không gian E, u0 ∈ H \ {θ}, kí hiệu H(u0 ) tập hợp tất phần tử không gian E thông ước với u0 Ta có tính chất tập H(u0 ) qua định lý Định lý 1.3.2 H(u0 ) tập lồi Nếu u0 ∈ K \ {θ} H(u0 ) ⊂ K \ {θ} 1.4 Một số nón đặc biệt Định nghĩa 1.4.1 Nón H gọi chuẩn tắc ∃δ > cho ∀e1 , e2 ∈ H : e1 = e2 = e1 + e2 ≥ δ Định lý 1.4.1 Nón H chuẩn tắc nón H thỏa mãn điều kiện ∃N > 0, ∀x, y ∈ H : y − x ∈ H để có bất đẳng thức x E ≤N y E (1.4.1) Định nghĩa 1.4.2 (Về nón h-cực trị) Giả sử E không gian định chuẩn thực nửa thứ tự theo nón K ⊂ E, H nón không gian E Nón H gọi h-cực trị, nếu: i) Mỗi dãy (xn )∞ n=1 ⊂ H không giảm bị chặn u ∈ H có sup(xn ) thuộc H ii) Mỗi dãy (yn )∞ n=1 ⊂ H không tăng bị chặn v ∈ H có inf(yn ) thuộc H Định lý 1.4.2 Nếu H nón h-cực trị H nón chuẩn tắc 1.5 Không gian định chuẩn thực l2 1.5.1 Định nghĩa không gian l2 số tính chất quan trọng Xét tập hợp ∞ l2 = {x = (xn )∞ n=1 |xn |2 < +∞} : xn ∈ R, n=1 Trên l2 trang bị hai phép toán cộng nhân với vô hướng thông thường xác định bởi: Phép cộng: + : l2 × l2 −→ l2 (x, y) −→ x + y xác định x + y = (xn + yn )∞ n=1 Phép nhân với vô hướng: · : R × l2 −→ l2 −→ λx (λ, x) xác định λx = (λxn )∞ n=1 Dễ dàng thấy tập hợp l2 với hai phép toán cộng nhân với vô hướng lập thành không gian tuyến tính thực Định lý 1.5.1 Không gian vector thực l2 với ánh xạ · : l2 −→ R ∞ x= (xn )∞ n=1 −→ · x2n = n=1 không gian định chuẩn thực Định lý 1.5.2 Không gian định chuẩn thực l2 không gian Banach thực 1.5.2 Nón quan hệ thứ tự không gian l2 Định lý 1.5.3 Các tập hợp K = {x = (xn )∞ n=1 ∈ l2 : xn ≥ (n = 1, 2, )} ⊂ l2 , H = {x = (xn )∞ n=1 ∈ l2 : x1 ≥ |x2 |, xn ≥ 0, n = 3, 4, } nón không gian l2 ∞ Nhận xét 1.5.1 Với x = (xn )∞ n=1 ∈ l2 , y = (yn )n=1 ∈ l2 ta có x ≤ y ⇔ xn ≤ yn (n = 1, 2, ) Nhận xét 1.5.2 Quan hệ "≤" l2 theo nón K xây dựng quan hệ thứ tự phận Định lý 1.5.4 Mỗi dãy x(m) ∞ m=1 ⊂ l2 không giảm bị chặn phần tử u ∈ l2 có cận sup x(m) = x ∈ l2 x ≤ u Mỗi dãy y (m) ∞ m=1 ⊂ l2 không tăng bị chặn phần tử v ∈ l2 có cận inf y (m) = y ∈ l2 y ≥ v Định lý 1.5.5 Các nón K H chuẩn tắc h-cực trị 1.5.3 Các phần tử thông ước Định lý 1.5.6 (Về việc chọn u0 xác định tập H(u0 ) không gian l2 ) Trong không gian l2 Chọn u0 = (u1 , u2 , ) ∈ l2 \ {θ} cho u1 ≥ |u2 |, I1 = {n ∈ N∗ : un > 0}, I1 = ∅ hữu hạn, I1 \ {2} I2 = {n ∈ N∗ : un = 0} Khi đó, u0 ∈ K ∩ H \ {θ}, H(u0 ) = {x = (xn )∞ n=1 : xn > 0, n ∈ I1 ; xn = 0, n ∈ I2 , x1 ≥ x2 } Chương Toán tử lõm không gian Banach nửa thứ tự 2.1 Khái niệm toán tử lõm Giả sử E không gian định chuẩn thực nửa thứ tự theo nón K ⊂ E, H nón không gian E, u0 ∈ K ∩ H \ {θ}, A : E → E toán tử 2.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 2.1.1 Toán tử A gọi toán tử dương nón H, AH ⊂ H Định nghĩa 2.1.2 Toán tử A gọi toán tử đơn điệu nón H, x, y ∈ H x ≤ y Ax ≤ Ay Định nghĩa 2.1.3 Toán tử A gọi u0 -đo nón H, ∀x ∈ H\{θ}, ∃α = α(x) > 0, ∃β = β(x) > cho αu0 ≤ Ax ≤ βu0 Định nghĩa 2.1.4 Toán tử A gọi toán tử lõm, A thỏa mãn điều kiện: 1) A toán tử dương đơn điệu nón H; 2) A toán tử u0 -đo nón H; 3) (∀x ∈ H\{θ}) (∀t ∈ (0; 1)) , (∃c = c(x, t) > 0) cho Atx ≥ (1 + c)tAx Định nghĩa 2.1.5 Phần tử x∗ ∈ E gọi điểm bất động toán tử A Ax∗ = x∗ 2.1.2 Một số tính chất đơn giản Định lý 2.1.1 Nếu A toán tử lõm (∀α ∈ R+ ∗ ) toán tử αA toán tử lõm Định lý 2.1.2 Nếu A, B hai toán tử lõm toán tử tổng A + B toán tử lõm Định lý 2.1.3 Nếu A toán tử lõm An toán tử lõm với n ∈ N∗ 2.2 Toán tử lõm không gian Banach thực nửa thứ tự l2 Giả sử không gian l2 nửa thứ tự theo nón K ⊂ l2 , nón K H xác định trang 25, tức hai nón K, H Định lý 1.5.3, K = {x = (xn )∞ n=1 ∈ l2 : xn ≥ (n = 1, 2, )} ⊂ l2 , H = {x = (xn )∞ n=1 ∈ l2 : x1 ≥ |x2 |, xn ≥ 0, n = 3, 4, } Còn u0 = (un ) chọn sau I1 = {n ∈ N∗ \ {2} : un > 0}, I1 = ∅ I1 hữu hạn, I2 = {n ∈ N∗ : un = 0} Xét toán tử A cho sau: ∞ Với x = (xn )∞ n=1 ∈ l2 , ta đặt Ax = (zn )n=1 = z,  √ xn + với n ∈ I1 , zn =  với n ∈ I Khi A toán tử lõm không gian l2 10 2.3 Mở rộng định lí tồn điểm bất động toán tử lõm 2.3.1 Định lí mở rộng Định lý 2.3.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: 1) A toán tử lõm; 2) Tồn x0 ∈ H(u0 ) cho x0 ≤ Ax0 dãy xn = Axn−1 , n = 1, 2, bị chặn phần tử u ∈ H(u0 ), u0 phần tử cố định thuộc K ∩ H \ {θ}; 3) H nón h-cực trị Khi đó, toán tử A có điểm bất động khác không Định lý 2.3.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: 1) A toán tử lõm; 2) Tồn y0 ∈ H(u0 ) cho Ay0 ≤ y0 dãy yn = Ayn−1 , n = 1, 2, bị chặn phần tử v ∈ H(u0 ), u0 phần tử cố định thuộc K ∩ H \ {θ}; 3) H nón h-cực trị Khi đó, toán tử A có điểm bất động khác không 2.3.2 Áp dụng Xét toán tử A mục 2.2 đây, tức  √ xn + với n ∈ I1 , Ax = zn =  với n ∈ I Ta chứng tỏ tất điều kiện Định lý 2.3.1 thỏa mãn Vậy toán tử A có điểm bất động khác không không gian l2 11 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau đây: Trình bày hệ thống kiến thức không gian Banach nửa thứ tự, giới thiệu số nón chứng minh tính chất chúng; Giới thiệu toán tử lõm không gian Banach tổng quát không gian l2 , chứng minh số tính chất toán tử lõm; Mở rộng số định lý tồn điểm bất động toán tử lõm không gian Banach thực với hai nón theo hướng bổ sung điều kiện phù hợp cho nón Do lực nghiên cứu trình độ thân hạn chế nên luận văn dừng lại việc tìm hiểu, xếp trình bày kết theo mục đích luận văn đề Luận văn chắn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong góp ý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện 12 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (1987), Các điểm bất động toán tử lõm quy, Tạp chí toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, Tập 15, số 1, trang 27-32 [2] Nguyễn Phụ Hy (1987), Các vectơ riêng toán tử lõm quy, Tạp chí toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, Tập 15, số 1, trang 17-23 [3] Nguyễn Phụ Hy (2002), Sự phụ thuộc liên tục vectơ riêng giá trị riêng lớp toán tử phi tuyến, Thông báo khoa học trường đại học, tập Toán-Tin, 2002, tr 62-64 [4] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học kĩ thuật, Hà Nội [5] Nguyễn Phụ Hy (2013), Các điểm bất động toán tử (K, u0 )-lõm quy, Tạp chí khoa học, Trường ĐHSP Hà Nội 2, số 22/2012 trang 157-167 [6] Nguyễn Phụ Hy (2013), Các véc tơ riêng dương toán tử (K, u0 )-lõm quy, Tạp chí khoa học, Trường ĐHSP Hà Nội 2, số 24/2013 trang 118-127 [B] Tài liệu Tiếng Nga [7] Bakhtin I.A (1959), Về phương trình tuyến tính với toán tử lõm lõm đều, DAN Liên Xô (cũ), T.126, số 1, trang 9-12 [8] Kraxnoxelxki M.A(1962), Các nghiệm dương phương trình toán tử, NXB Toán-Lý, Maxkva 13 [9] Bakhtin I.A (1984), Các nghiệm dương phương trình không tuyến tính với toán tử lõm, Voronegiơ 14 [...]... ∈ R+ ∗ ) thì toán tử αA là toán tử lõm Định lý 2.1.2 Nếu A, B là hai toán tử lõm thì toán tử tổng A + B là toán tử lõm Định lý 2.1.3 Nếu A là toán tử lõm thì An là toán tử lõm với mọi n ∈ N∗ 2.2 Toán tử lõm trên không gian Banach thực nửa sắp thứ tự l2 Giả sử không gian l2 nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ l2 , các nón K và H xác định ở trang 25, tức là hai nón K, H trong Định lý 1.5.3, K = {x = (xn )∞ n=1... một số nón và chứng minh tính chất của chúng; 2 Giới thiệu về toán tử lõm trong không gian Banach tổng quát và trong không gian l2 , chứng minh một số tính chất của toán tử lõm; 3 Mở rộng một số định lý về sự tồn tại của điểm bất động của toán tử lõm trong không gian Banach thực với hai nón theo hướng bổ sung điều kiện phù hợp cho nón Do năng lực nghiên cứu và trình độ của bản thân còn hạn chế nên luận... = {n ∈ N∗ : un = 0} Xét toán tử A cho như sau: ∞ Với x = (xn )∞ n=1 ∈ l2 , ta đặt Ax = (zn )n=1 = z, trong đó  √ 5 xn + 1 với n ∈ I1 , zn =  0 với n ∈ I 2 Khi đó A là toán tử lõm trong không gian l2 10 2.3 Mở rộng định lí về sự tồn tại của điểm bất động của toán tử lõm 2.3.1 Định lí mở rộng Định lý 2.3.1 Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: 1) A là toán tử lõm; 2) Tồn tại x0 ∈ H(u0 ) sao cho... bất động khác không 2.3.2 Áp dụng Xét toán tử A ở mục 2.2 trên đây, tức là  √ 5 xn + 1 với n ∈ I1 , Ax = zn =  0 với n ∈ I 2 Ta chứng tỏ được tất cả các điều kiện của Định lý 2.3.1 đều được thỏa mãn Vậy toán tử A có điểm bất động khác không trong không gian l2 11 Kết luận Luận văn trình bày được các vấn đề sau đây: 1 Trình bày hệ thống kiến thức về không gian Banach nửa sắp thứ tự, giới thiệu một. .. 2.1.4 Toán tử A gọi là toán tử lõm, nếu A thỏa mãn các điều kiện: 1) A là toán tử dương và đơn điệu trên nón H; 2) A là toán tử u0 -đo được trên nón H; 3) (∀x ∈ H\{θ}) (∀t ∈ (0; 1)) , (∃c = c(x, t) > 0) sao cho Atx ≥ (1 + c)tAx 9 Định nghĩa 2.1.5 Phần tử x∗ ∈ E gọi là điểm bất động của toán tử A nếu Ax∗ = x∗ 2.1.2 Một số tính chất đơn giản Định lý 2.1.1 Nếu A là toán tử lõm thì (∀α ∈ R+ ∗ ) thì toán tử. .. gian l2 ) Trong không gian l2 Chọn u0 = (u1 , u2 , ) ∈ l2 \ {θ} sao cho u1 ≥ |u2 |, I1 = {n ∈ N∗ : un > 0}, I1 = ∅ và hữu hạn, I1 \ {2} I2 = {n ∈ N∗ : un = 0} Khi đó, u0 ∈ K ∩ H \ {θ}, H(u0 ) = {x = (xn )∞ n=1 : xn > 0, n ∈ I1 ; xn = 0, n ∈ I2 , x1 ≥ x2 } 8 Chương 2 Toán tử lõm trong không gian Banach nửa sắp thứ tự 2.1 Khái niệm toán tử lõm Giả sử E là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo... phần tử u ∈ H(u0 ), u0 là phần tử cố định thuộc K ∩ H \ {θ}; 3) H là nón h-cực trị Khi đó, toán tử A có điểm bất động khác không Định lý 2.3.2 Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: 1) A là toán tử lõm; 2) Tồn tại y0 ∈ H(u0 ) sao cho Ay0 ≤ y0 và dãy yn = Ayn−1 , n = 1, 2, bị chặn dưới bởi phần tử v ∈ H(u0 ), u0 là phần tử cố định thuộc K ∩ H \ {θ}; 3) H là nón h-cực trị Khi đó, toán tử A có điểm bất. .. là một nón trong không gian E, u0 ∈ K ∩ H \ {θ}, A : E → E là một toán tử nào đó 2.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 2.1.1 Toán tử A gọi là toán tử dương trên nón H, nếu AH ⊂ H Định nghĩa 2.1.2 Toán tử A gọi là toán tử đơn điệu trên nón H, nếu x, y ∈ H và x ≤ y thì Ax ≤ Ay Định nghĩa 2.1.3 Toán tử A gọi là u0 -đo được trên nón H, nếu ∀x ∈ H\{θ}, ∃α = α(x) > 0, ∃β = β(x) > 0 sao cho αu0 ≤ Ax ≤ βu0 Định. .. hệ sắp thứ tự trong không gian l2 Định lý 1.5.3 Các tập hợp K = {x = (xn )∞ n=1 ∈ l2 : xn ≥ 0 (n = 1, 2, )} ⊂ l2 , và H = {x = (xn )∞ n=1 ∈ l2 : x1 ≥ |x2 |, xn ≥ 0, n = 3, 4, } là các nón trong không gian l2 ∞ Nhận xét 1.5.1 Với bất kì x = (xn )∞ n=1 ∈ l2 , y = (yn )n=1 ∈ l2 ta có x ≤ y ⇔ xn ≤ yn (n = 1, 2, ) Nhận xét 1.5.2 Quan hệ "≤" trên l2 theo nón K được xây dựng ở trên là quan hệ sắp thứ tự. .. phận Định lý 1.5.4 Mỗi dãy x(m) ∞ m=1 ⊂ l2 không giảm và bị chặn trên bởi phần tử u ∈ l2 có cận trên đúng sup x(m) = x ∈ l2 và x ≤ u Mỗi dãy y (m) ∞ m=1 ⊂ l2 không tăng và bị chặn dưới bởi phần tử v ∈ l2 có cận dưới đúng inf y (m) = y ∈ l2 và y ≥ v Định lý 1.5.5 Các nón K và H là chuẩn tắc và h-cực trị 1.5.3 Các phần tử thông ước Định lý 1.5.6 (Về việc chọn u0 và xác định tập H(u0 ) trong không gian ... hai toán tử lõm toán tử tổng A + B toán tử lõm Định lý 2.1.3 Nếu A toán tử lõm An toán tử lõm với n ∈ N∗ 2.2 Toán tử lõm không gian Banach thực nửa thứ tự l2 Giả sử không gian l2 nửa thứ tự theo... thiệu toán tử lõm không gian Banach tổng quát không gian l2 , chứng minh số tính chất toán tử lõm; Mở rộng số định lý tồn điểm bất động toán tử lõm không gian Banach thực với hai nón theo hướng. .. kiện toán tử, đề tài mở rộng số định lí tồn điểm bất động toán tử lõm theo hướng bổ sung điều kiện cho nón Chương Không gian định chuẩn nửa thứ tự 1.1 Khái niệm nón không gian định chuẩn Định