SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC PHÒNG GD&ĐT BÙ ĐĂNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP HUYỆN BÙ ĐĂNG NĂM HỌC 2015-2016 Đề thi môn : Toán Ngày thi: /1/2016 Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài 1(5,0 điểm): Cho biểu thức: A= x +1 x −2 + x x +2 + 2+5 x 4− x a) Tìm điều kiện xác định rút gọn A; b) Tính giá trị A, biết x = 16 − Tìm nghiệm nguyên không âm phương trình: x = y + y + Bài 2(5,0 điểm):  y − y + x = xy − x 2 2 x + x − y + y − = Giải hệ phương trình:  Cho phương trình x + 2mx + m − = (1) a) Chứng minh phương trình (1) có nghiệm với m b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm không âm Bài 3(5,0 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Ba đường cao AK; BE; CD cắt H ( K ∈ BC , E ∈ AC , D ∈ AB) Chứng minh tứ giác BDEC ; BDHK nội tiếp Chứng minh AD AB = AE AC Chứng minh KA phân giác góc ·DKE Gọi M, N trung điểm BC DE Chứng minh: OA//MN Bài 4(2,0 điểm): Cho tứ giác lồi ABCD có AB CD không song song với Gọi M, N trung điểm cạnh BC AD Chứng minh rằng: AB + CD > MN Bài 5(3,0 điểm): Cho a, b, c số nguyên dương Chứng minh (a3 + b3 + c3 ) − (a + b + c) chia hết cho Cho x , y > x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ P = x +y + + xy xy - - - Hết - - Giám thị coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………………… Số báo danh: …………………… Chữ ký giám thị 1: …………………………………………………………….…… Chữ ký giám thị 2: …………………………………………………….…………… Trang 1/4 HƯỚNG DẪN GIẢI-THANG ĐIỂM ĐỀ THI HSG TOÁN HUYỆN BÙ ĐĂNG NĂM HỌC 2015-2016 Nội dung Bài (5đ) a) Rút gọn A = x +1 x −2 + x x +2 x ≥  x ≥ +) ĐK:  x − ≠ ⇔  x ≠ 4 − x ≠  +) A = = x +1 x −2 + x x +2 3x − x ( x + 2)( x − 2) = + + Điểm 2+5 x 4− x (*) 0,50 −2 − x ( x + 2)( x − 2) x ( x − 2) ( x + 2)( x − 2) = = ( x + 1)( x + 2) + x ( x − 2) − − x ( x + 2)( x − 2) x 0,50 0,75 x +2 b) Tính giá trị A x = 16 − 0,50 Ta có x = 16 − = (2 − 2)2 ⇒ x = − ⇒A= 3(2 − 2) −2+2 = 3 −3 = 3− 0,75 Tìm nghiệm nguyên không âm phương trình: x = y + y + Vì y ≥ y nguyên ⇒ y < y + y + ≤ ( y + y + 1) + y = ( y + 1)2 0,50 ⇒ y + y + = ( y + 1)2 ⇒ y = ⇒ x = Vậy pt cho có nghiệm ( x; y) = (1;0) 1,00 0,50  y − y + x = xy − x 1.Giải hệ phương trình:  (5đ) 2 x + x − y + y − = (1) (2) (1) Pt (1) ⇔ ( y − xy + x ) − ( y − x ) = ⇔ ( y − x )2 − ( y − x ) = 0,50 y = x ⇔ ( y − x )( y − x − 1) = ⇔  y = x +1 x = 1⇒ y = +) y = x vào (2) ta x + x − = ⇔  x = −3 ⇒ y = −3 0,25  0,50 x = ⇒ y = 1+ +) y = x + vào (2) ta x = ⇔  0,50 Vậy hpt cho có nghiệm ( x; y ) : (1;1) , (3;3) , ( 3;1 + 3), ( 3;1 − 3) 0,25 x = − ⇒ y = 1− Cho phương trình x + 2mx + m − = (1) a) Chứng minh phương trình (1) có nghiệm với m Ta có ∆ = 4m2 − 4(m − 1) = > 0, ∀m nên pt (1) có nghiệm với m b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm không âm S   1,00 0,50 Trang 2/4  −2 m < x + x < ⇔ ⇔  x1 x2 > m − > m >  ⇔   m < −1 ⇔ m >   m > Suy m ≤ pt (1) có nghiệm không âm 0,50 0,50 0,50 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Ba đường cao AK; (5đ) BE; CD cắt H ( K ∈ BC , E ∈ AC , D ∈ AB ) Vẽ hình cho 0,5 điểm x A N E D H B K 0,50 O C M 1.Chứng minh tứ giác BDEC; BDHK nội tiếp +) ·BDC = ·BEC = 900 suy tứ giác BDEC nội tiếp +) ·BDH +·CKH = 180 suy tứ giác BDHK nội tiếp Chứng minh AD AB = AE AC Ta có: µA chung ·ADE = ·BCA (cùng bù ·BDE ) ⇒ ∆ ADE : ∆ ACB (g.g) ⇒ AD AE = ⇒ AD.AB = AE AC AC AB (đpcm) 0,50 0,50 0,50 0,50 Chứng minh KA phân giác góc ·DKE +) tứ giác BDHK nội tiếp ⇒ ·DKH = ·DBH (1) +) tứ giác BDEC nội tiếp ⇒ ·DBH = ·ECH (2) +) tứ giác KHEC nội tiếp ⇒ ·EKH = ·ECH (3) Từ (1), (2) (3) suy ·DKA = ·EKA ( H ∈ KA ) Suy KA phân giác góc ·DKE Gọi M, N trung điểm BC DE Chứng minh: OA//MN +) Kẻ tiếp tuyến Ax (O) ⇒ ·CAx = ·CBA (= sd»AC ) · · Lại có CBA = DEA ( bù góc ·DEC ) ⇒ ·CAx = ·DEA ⇒ Ax//DE mà Ax ⊥ OA ⇒ DE ⊥ OA (4) + Mặt khác: Trung điểm M tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDEC mà N trung điểm dây DE ( DE không qua tâm M) ⇒ MN ⊥ DE (5) 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang 3/4 (2đ) Từ (4) (5) suy MN //OA (đpcm) 0,25 Bài 4(2,0 điểm): Cho tứ giác lồi ABCD có AB CD không song song với Gọi M, N trung điểm cạnh BC AD Chứng minh rằng: AB + CD > MN D N A 0,25 I B C M Gọi I trung điểm AC, MI NI đường trung bình tam 0,50 giác ABC ACD nên MI = AB NI = CD ⇒ MI + NI = ( AB + CD ) ⇒ AB + CD = 2( MI + NI ) Mặt khác: Tam giác MNI có MN < MI + NI ⇒ MN < 2( MI + NI ) = AB + CD Vậy AB + CD > MN 0,25 0,50 Bài 5(3,0 điểm): (3đ) Cho a, b, c số nguyên dương Chứng minh (a3 + b3 + c3 ) − (a + b + c) chia hết cho 0,25 Đặt M = (a3 + b3 + c3 ) − (a + b + c) = (a3 − a) + (b3 − b) + (c3 − c) Ta có : a3 − a = a(a − 1)(a + 1) tích ba số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho số chia hết cho 3, mà (2;3) = nên a(a − 1)(a + 1) chia hết cho Tương tự : (b3 − b) (c3 − c) chia hết cho Vậy M chia hết cho Cho x , y > x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ P =  1    x + y2 + ( x + y )2 +2 0,50 0,50 xy + ≥ + + = 11 xy ( x + y )2 Dấu " = " xảy ⇔ x = y = 0,25 + xy xy + xy ÷+ ÷+  Ta có P =  2 + xy ÷  xy x +y   xy ≥ 0,50 0,50 0,25 Vậy: Giá trị nhỏ P 11 x = y = 0,25 Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà giám khảo cho điểm theo thang tương ứng - - - Hết - - - Trang 4/4 ...HƯỚNG DẪN GIẢI-THANG ĐIỂM ĐỀ THI HSG TOÁN HUYỆN BÙ ĐĂNG NĂM HỌC 2015- 2016 Nội dung Bài (5đ) a) Rút gọn A = x +1 x −2 + x x +2 x ≥  x ≥ +)... BDHK nội tiếp +) ·BDC = ·BEC = 90 0 suy tứ giác BDEC nội tiếp +) ·BDH +·CKH = 180 suy tứ giác BDHK nội tiếp Chứng minh AD AB = AE AC Ta có: µA chung ·ADE = ·BCA (cùng bù ·BDE ) ⇒ ∆ ADE : ∆ ACB (g.g)... P =  2 + xy ÷  xy x +y   xy ≥ 0,50 0,50 0,25 Vậy: Giá trị nhỏ P 11 x = y = 0,25 Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà giám khảo cho điểm theo thang tương ứng - - - Hết - - - Trang 4/4