SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP Năm học : 2015 – 2016 Môn thi : Toán Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (4,0 điểm):  a 3 a a 3 a     Cho biểu thức A =    a   với a  0, a  a  a  a     a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = A + a Câu (4,0 điểm): a) Giải phương trình 2x   x 2x2   x3  y   x  y  b) Giải hệ phương trình  2   y  5x  Câu (4,0 điểm): a) Tìm nghiệm nguyên (x, y) phương trình: 54x + = y3 b) Tìm giá trị nguyên dương m để phương trình x  mxy + y2 + = có nghiệm nguyên dương (x, y ẩn) Câu (6,0 điểm): Cho đường tròn tâm O bán kính R Tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có B, C cố định Các đường cao AD, BE, CF tam giác ABC đồng quy H Đường thẳng chứa tia phân giác góc BHC cắt AB, AC điểm M N a) Chứng minh tam giác AMN cân b) Xác định vị trí điểm A để chu vi tam giác DEF lớn c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác góc BAC K ( K  A) Chứng minh đường thẳng HK qua điểm cố định A thay đổi Câu (2,0 điểm): Cho số dương a, b, c thoả mãn ab2  bc  ca  2a5  3b5 2b5  3c5 2c5  3a5 Chứng minh rằng:    15  a3  b3  c3   ab bc ca Hết SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐÁP ÁN GIỎI CẤP TỈNH LỚP Năm học : 2015 – 2016 Môn thi : Toán Nội dung Câu Rút gọn biểu thức 1a (2,0đ) ( a  3)2  ( a  3)2 a  Có A  a ( a  3)( a  3) a  a 1b (2,0đ)  a  a a  a   A   a   (a  a  9) a  a  a     (a  a  9)  (a  a  9) a   12 a a 9 a Vậy A  12 a (a  a  9) Tìm giá trị nhỏ M = A + a M  A  a  a  12 a    a   36  36 , dấu đẳng thức xảy a = 36 (tmđk) Vậy giá trị nhỏ M - 36 a = 36 Giải phương trình 2x   1 x x2  Điều kiện x  x2  2x     2 x 2x2  x x2 2x2  t   t    Đặt t    x2  t2 x2 x2  1  Khi (2) trở thành 2a (2,0đ) t  1  2t    2t  3t     t  1  2t  1    t   t2  x  Với t = ta có x  x    vô nghiệm x    x  x    Với t   ta có 2 x  x      x    2 2 x  4 x  x    Kết hợp với điều kiện suy nghiệm phương trình x   3  x  y   x  y  1 Giải hệ phương trình  2  2  y  x  Điểm 2b (2,0đ) Thay (2) vào (1) ta có x3 – y3 = (y2 – 5x2)(4x - y)  21x3 – 5x2y – 4xy2 =  x(7x – 4y)(3x + y) =  Với x = thay vào (2) y = 2  31 y  vô nghiệm 49 Với 3x + y = thay vào (2) y   y  3 Với 7x – 4y = thay vào (2)   y = x = - 1; y = - x = Vậy nghiệm hệ phương trình (x;y) = (0;2); (0;-2); (-1;3); (1;-3); Tìm nghiệm nguyên (x, y) phương trình: 54x3 + = y3 1 Nếu x = suy y = 1, y = x nguyên thỏa mãn Nếu x  0; y  (1)   54 x3 (54 x3  1)   54 x3 y  (4  27 x3  1)2  (6 xy)3  Đặt  27x3  a ; 6xy  b ta (a  1)2  (b  1)(b  b  1) (2) b  d 3a (2,0đ) Từ (2) ta thấy b + > Gọi ƯCLN (b  1; b  b  1)  d   b  b  d  b  b   b(b  1)  2(b  1)  d  d Mặt khác (a  1)2  (4.27 x3  1) nên d  d   (b  1; b  b  1)  Từ (2) ta thấy tích hai số nguyên tố số phương nên phải có b + = m2 b2 - b + = n2 (Với m , nN* ; m  ; m2  4) Ta có: n2 = (m2 - 1)2 - (m2 - 1) +1  n2 = (m2 - 1)2 - (m2 - 2) (3) n2 = (m2 - 2)2 + (m2 - 1) (4) 2 2 Từ (3) (4)  (m - 2) < n < (m - 1) vô lý  (2) vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm ( x; y)  (0;1) Tìm giá trị nguyên dương m để phương trình x  mxy  y   có nghiệm nguyên dương Giả sử phương trình cho có nghiệm nguyên dương, xét ( x0 ; y0 ) nghiệm mà x0  y0 nhỏ Do x , y phương trình bình đẳng nên không tính tổng quát ta giả sử x0  y0 Ta có: x02  mx0 y  y02    y0 nghiệm phương trình y  mx0 y  x02   (1)   y0  y1  mx0 (2)  y1 nguyên dương  y y  x  (3)   suy phương trình nghiệm y1 thỏa mãn  3b (2,0đ) x0 + y0  x0 + y1  y0  y1 +) Nếu x0  y0 thay vào phương trình đề cho m  y02  1    y0  y0 y0 (do m y0 nguyên dương) suy m  , phương trình cho nhận ( x; y)  (1;1) làm nghiệm,  m = giá trị cần tìm +) Nếu x0  y0  y1 từ (3) suy y02  x02   ( y0  x0 )( y0  x0 )  vô lý  y0  x0  nên từ (3)  ( x0  1)( x0  2)  x0   3x0   vô lý  y1  x0  +) Nếu x0  y0  y1  Vậy m = giá trị cần tìm A E N x F M H O 4a (2,0đ) B D C Ta có: AMN  MBH  MHB, ANM  NCH  NHC ( định lý góc tam giác) Mà MBH  NCH , MHB  NHC Suy AMN  ANM  AMN cân A Kẻ tiếp tuyến Ax (O) suy xAB  ACB Mà ACB  AFE ( tứ giác BFEC nội tiếp), suy xAB  AFE ,  Ax //EF  OA  EF Tương tự: OB FD ; OC  DE  SABC = SAEOF + SBDOF + SCDOE 4b (2,0đ) 1 1  OA  EF  OB  DF  OC  DE  R ( EF  DF  DE )  AD.BC 2 2 AD.BC Suy chu vi tam giác DEF R Mà R, BC cố định  Chu vi tam giác DEF lớn AD lớn  A điểm cung BC lớn Tam giác AMN cân A  phân giác AK trung trực MN  Tâm O’ (AMN) trung điểm AK  AMK  ANK  900 Gọi I giao điểm MK BH, J giao điểm NK CH Chứng minh HIKJ hình bình hành  HK qua trung điểm G IJ Dễ thấy IMH  MHF  MHI  IMH cân I  MI = IH Tương tự: JN = JH 4c (2,0đ) Chứng minh BIM đồng dạng với CJN (g-g)  MI NJ IH JH     IJ // BC BI JC BI JC Mà HK qua trung điểm G IJ nên qua trung điểm L BC (là điểm cố định) A O' F O H M N I B G J K D L C Cho số dương a, b, c thoả mãn ab2  bc2  ca2  Chứng minh rằng: 2a5  3b5 2b5  3c5 2c5  3a5    15 a3  b3  c3  ab bc ca 5 2a  3b Ta chứng minh bất đẳng thức (1)  5a3  10ab2  10b3 với a, b  ab 2a5  3b5 Thật vậy:  5a3  10ab2  10b3  2a5  3b5  ab 5a3  10ab2  10b3  ab  2a5  5a4b  10a2b3 10ab4 3b5    a  b   2a  3b   (luôn  a, b  0)    (2,0đ)  2b5  3c5 Tương tự ta có  5b3  10bc  10c3 (2) (luôn  b, c  0) bc 2c  3a5  5c3  10ca  10a3 (3) (luôn  c, a  0) ca Cộng vế với vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta 2a5  3b5 2b5  3c5 2c5  3a5    15(a3  b3  c3 )  10(ab2  bc  ca ) ab bc ca 2 Mà ab  bc  ca  nên 2a5  3b5 2b5  3c5 2c5  3a5    15(a3  b3  c3 )  30  15(a3  b3  c3  2) ab bc ca Vậy ta có điều phải chứng minh, dấu “=” xảy a  b  c   ...SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐÁP ÁN GIỎI CẤP TỈNH LỚP Năm học : 2015 – 2016 Môn thi : Toán Nội dung Câu Rút gọn biểu thức 1a (2,0đ) ( a  3)2  ( a... (2,0đ)  a  a a  a   A   a   (a  a  9) a  a  a     (a  a  9)  (a  a  9) a   12 a a 9 a Vậy A  12 a (a  a  9) Tìm giá trị nhỏ M = A + a M  A  a  a  12 a...  21x3 – 5x2y – 4xy2 =  x(7x – 4y)(3x + y) =  Với x = thay vào (2) y = 2  31 y  vô nghiệm 49 Với 3x + y = thay vào (2) y   y  3 Với 7x – 4y = thay vào (2)   y = x = - 1; y = - x = Vậy