SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN LẦN NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN: TOÁN - CẤP THCS Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức P = x+2 x +1 x +1 + − x x −1 x + x x +1 x −1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất giá trị P cho P = Câu (1,0 điểm) a) Tìm tất giá trị m để hàm số y = ( − 2m ) x + đồng biến ¡ b) Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số y = mx qua điểm A ( −2;8 ) Câu (1,0 điểm) Một tổ sản xuất theo kế hoạch sản xuất 130 sản phẩm thời gian dự kiến Nhờ tăng suất làm vượt định mức ngày sản phẩm nên hoàn thành sớm ngày làm thêm sản phẩm Tính thời gian dự kiến hoàn thành công việc tổ sản xuất Câu (1,0 điểm) Cho phương trình x − 2mx + m − = ( x ẩn, m tham số) a) Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Tìm tất giá trị m cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 2 thỏa mãn x1 + x2 = 12 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường cao BE, CF tam giác ABC (E thuộc cạnh AC, F thuộc cạnh AB) gọi H giao BE, CF Kẻ đường kính AD đường tròn (O) a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp b) Chứng minh tứ giác BDCH hình bình hành c) Chứng minh OA vuông góc EF AH = 2.OM , M trung điểm BC Câu (1,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương n cho ( n − 2n ) M( n + 3) Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương a + b + c = ab bc ca + + Tìm giá trị lớn biểu thức: P = 2c + a + b 2a + b + c 2b + c + a −−−−− HẾT −−−−− Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm! Họ tên thí sinh Số báo danh SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN  NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN – CẤP THCS  Câu (2,0 điểm) Nội dung trình bày Điểm 1,00 a) x ≥ , ta có: x ≠ Điều kiện xác định P:  P= = ( x+2 )( ) ( x −1 x + x + x + + x −1 − x − x −1 ( ( + )( ) x −1 x + x + = )( x +1 )( ) x −1 − ) ( x −1 x + x +1 ( x− x )( ) x −1 x + x + = 0,50 x + x +1 )( ) x −1 x + x +1 x x P= Vậy x + x +1 x + x +1 b) 0,25 1,00 Ta có: P = ( ⇔2 x ( ( ) x ⇔ = ⇔ x = x + x +1 x + x +1 ⇔ 2x − x + = ⇔ 2x − x − x + = ⇔ 0,25 ) ( x −2 − ) x −2 =0   x= x=   2⇔ x − 2 x −1 = ⇔ So sánh với điều kiện thỏa mãn    x = x = )( 0,5 0,5 ) Câu (1,0 điểm) Nội dung trình bày a) Hàm số y = ( − 2m ) x + đồng biến ¡ − 2m > ⇔ > 2m ⇔ m < Vậy m < b) Đồ thị hàm số y = mx qua điểm A ( −2;8 ) ⇔ = m ( −2 ) ⇔ = 4m ⇔ m = Vậy m = Câu (1,0 điểm) Nội dung trình bày Gọi thời gian dự kiến hoàn thành xong công việc x (ngày), x > Gọi số sản phẩm ngày làm theo dự kiến y (sản phẩm), y > Do dự kiến làm 130 sản phẩm nên xy = 130 (1) Nhờ tăng suất làm vượt định mức ngày sản phẩm nên hoàn thành sớm ngày làm thêm sản phẩm nên ta có phương trình ( x − ) ( y + ) = 132 (2)  xy = 130  x = 13 Từ (1) (2) ta hệ  Giải hệ ta  ( x − ) ( y + ) = 132  y = 10 Vậy thời gian dự kiến 13 ngày Câu (1,0 điểm): Điểm 0,50 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Nội dung trình bày Điểm 0,50 a)  19  Có: ∆ ' = m − ( m − ) = m − m + =  m − ÷ + 2  2 0,25  19  =  m − ÷ + > với m, suy đpcm 2  b) 0,25 0,50  x1 + x2 = 2m  x1 x2 = m − Gọi x1 , x2 nghiệm PT, theo định lý Viet ta có:  0,25 Theo giả thiết x12 + x22 = 12 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 12 m = ⇔ 4m − ( m − ) = 12 ⇔ 2m − m − = ⇔ ( m − 1) ( 2m + 1) = ⇔  m = −  Câu (3,0 điểm): 2 0,25 A E F H B O C M D Nội dung trình bày a) · Do BE đường cao nên BEC = 900 · Do CF đường cao nên BFC = 900 · · Suy BEC hay tứ giác BCEF nội tiếp = BFC b) Do AD đường kính nên ·ACD = 900 ⇒ CD ⊥ AC , kết hợp với BE vuông góc với AC suy CD||AH Điểm 1,00 0,25 0,25 0,5 1,0 0,5 Do AD đường kính nên ·ABD = 900 ⇒ BD ⊥ AB , kết hợp với CF vuông góc với AB 0,25 Từ hai kết ta tứ giác BDCH hình bình hành c) 0,25 1,0 suy BD||CH Do tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn nên ·AEF = ·ABC , kết hợp với ·ADC = ·ABC suy ·AEF = ·ADC ⇒ DAC · · + ·AEF = DAC + ·ADC = 900 ⇒ EF ⊥ OA 0,5 Do tứ giác BHCD hình bình hành nên M trung điểm DH, kết hợp với O trung điểm AD suy OM đường trung bình tam giác AHC suy AH = 2.OM 0,5 Câu (1,0 điểm): Nội dung trình bày ( n − 2n ) M( n + 3) ⇔ n ( n + 3) − ( n + 3) + 15M( n + 3) ⇔ 15M( n + 3) ⇔ n + ∈ { 5,15} (do n + > ) ⇔ n ∈ { 2,12} Vậy n ∈ { 2,12} giá trị cần tìm Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (1,0 điểm): Nội dung trình bày ab ab  ab ab  = ≤  + Ta có ÷ 2c + a + b c + a + c + b  c + a c + b  Tương tự ta bc  bc bc  ≤  + ÷ 2a + c + b  a + b a + c  ca  ca ca  ≤  + ÷ 2b + c + a  b + c a + b  Cộng vế bất đẳng thức ta  ab ab bc bc ca ca  P≤  + + + + + ÷ 4c+a c+b a+b a+c b+c a+b  ab + bc ab + ac bc + ca  =  + + ÷ = ( a + b + c ) = Dấu xảy 4 c+a c+b a+b  4 a = b = c = Vậy giá trị lớn P Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Yêu cầu: + Điểm toàn tính đến 0,25; + Với ý từ 0,5 điểm trở lên, tổ chấm thống để chia nhỏ đến 0,25; + Với ý, Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với bước kết bắt buộc phải có Nếu thí sinh giải theo cách khác trình bày đủ kết cho điểm tối đa ý + Trong ý, thí sinh sai từ đâu không cho điểm từ + Bài hình học bắt buộc phải vẽ đủ hình, không vẽ đủ hình ý không cho điểm liên quan ý  ...SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN  NĂM HỌC 20 15 -20 16 MÔN: TOÁN – CẤP THCS  Câu (2, 0 điểm) Nội dung trình bày Điểm 1,00... x2 = m − Gọi x1 , x2 nghiệm PT, theo định lý Viet ta có:  0 ,25 Theo giả thi t x 12 + x 22 = 12 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 12 m = ⇔ 4m − ( m − ) = 12 ⇔ 2m − m − = ⇔ ( m − 1) ( 2m + 1) = ⇔  m =... 0 ,25 0 ,25 0 ,25 Nội dung trình bày Điểm 0,50 a)  19  Có: ∆ ' = m − ( m − ) = m − m + =  m − ÷ + 2  2 0 ,25  19  =  m − ÷ + > với m, suy đpcm 2  b) 0 ,25 0,50  x1 + x2 = 2m  x1 x2 = m