TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I ĐỀ THI MÔN TOÁN_KHỐI 12 (lần 1) Năm học: 2015-2016 Thời gian: 180 phút Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x3 + 3x − Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ( f ( x) = x − ) ( x + 2) 2 đoạn    − ;  Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình sin x + cos x = + 2sin x cos x b) Giải phương trình log ( x ) + log ( x − x + 1) = Câu (1,0 điểm) Tìm y= x +1 x −1 hai điểm m A, B để đường thẳng cho ( d) : y = x−m cắt đồ thị ( C ) hàm số AB = Câu (1,0 điểm) a) Cho cot a = Tính giá trị biểu thức P= sin a + cos a sin a − cos a b) Một xí nghiệp có 50 công nhân, có 30 công nhân tay nghề loại A, 15 công nhân tay nghề loại B, công nhân tay nghề loại C Lấy ngẫu nhiên theo danh sách công nhân Tính xác suất để người lấy có người tay nghề loại A, người tay nghề loại B, người tay nghề loại C Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đường cao SA 2a , tam giác · ABC vuông C có AB = 2a, CAB = 30o Gọi H hình chiếu vuông A SC Tính theo a thể tích khối chóp H ABC Tính cô-sin góc hai mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC ) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang OABC ( O gốc tọa độ) có diện tích 6, OA song song với BC , đỉnh A ( −1; ) , đỉnh B thuộc đường thẳng ( d1 ) : x + y + = , đỉnh C thuộc đường thẳng ( d ) : 3x + y + = Tìm tọa độ đỉnh B, C Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A có phương trình AB, AC x + y − = 0, x + y + = , điểm M ( 1; ) thuộc uuur uuur đoạn thẳng BC Tìm tọa độ điểm D cho tích vô hướng DB.DC có giá trị nhỏ Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình x2 + x + + x2 ≤ x+3 x2 + +1 tập số thực 2 Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực x, y thỏa mãn ( x − ) + ( y − ) + xy ≤ 32 Tìm 3 giá trị nhỏ biểu thức A = x + y + ( xy − 1) ( x + y − ) -Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: .; Số báo danh Câu ĐÁP ÁN TOÁN 12, lần 1, 2015-2016 Nội dung • Tập xác đinh: D = ¡ • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ' = 3x + x ; y ' = ⇔ x = 0; x = −2 Các khoảng đồng biến ( −∞; −2 ) ( 0; +∞ ) ; khoảng nghịch biến ( −2;0 ) - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = −2, yCD = ; đạt cực tiểu Điểm 0,25 x = 0, yCT = −4 y = −∞; lim y = +∞ - Giới hạn vô cực: xlim →−∞ x →+∞ • Bảng biến thiên −∞ x −2 + y' y +∞ − 0,25 + +∞ −∞ −4 0,25 • Đồ thị f (x) = (x3+3⋅x2)-4 -15 -10 -5 10 15 -2 -4 -6 -8 0,25   Ta có f ( x ) = x − x + ; f ( x ) xác định liên tục đoạn  − ;0 ; f ' ( x) = 4x   − x 0,25   ' Với x ∈  − ; 2 , f ( x ) = ⇔ x = 0; x =   0,25   Ta có f  − ÷ = , f ( ) = 4, f ( ) = 0, f ( ) = 16  2 0,25 1   Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x ) đoạn  − ;0  a) sin x + cos x = + 2sin x cos x ⇔ sin x + cos x = − sin x + sin x ⇔ cos x = − sin x  0,25 0,25   x = kπ sin x =  π  ⇔ − 2sin x = − sin x ⇔ ⇔  x = + k 2π sin x =    5π x = + k 2π  b) Điều kiện x > 0, x ≠ 0,25 Với điều kiện đó, pt cho tương đương với : ⇔  x ( x − 1)  = 16  x ( x − 1) = ⇔ ⇔ x=2  x ( x − 1) = −4 x +1 = x − m ⇔ x + = ( x − m ) ( x − 1) (vì x = không Pt hoành độ giao điểm x −1 nghiệm pt) ⇔ x − ( m + ) x + m − = (1) log ( x ) ( x − 1) = 0,25 0,25 Pt (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆ = m + > ⇔ ∀m ∈ ¡  x1 + x2 = m +  x1 x2 = m − Khi A ( x1 ; x1 − m ) , B ( x2 ; x2 − m ) Theo hệ thức Viet ta có  0,50 AB = ⇔ AB = 18 ⇔ ( x1 − x2 ) = 18 ⇔ ( x1 − x2 ) = ⇔ 2 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ ( m + ) − ( m − 1) = ⇔ m = ±1 sin a + cos a 4 sin a + cos a 0,50 sin a + cos a 4 a) P = sin a − cos a = sin a − cos a sin a + cos a = sin a − cos a ( )( ) 0,25 + cot a + 17 = =− 4 − cot a − 15 b) Số phần tử không gian mẫu n ( Ω ) = C50 = 19600 0,25 0,25 Chia tử mẫu cho sin a , ta P = 4 Số kết thuận lợi cho biến cố “trong người lấy ra, người thuộc loại” C301 C151 C51 = 2250 Xác suất cần tính p= 2250 45 = 19600 392 0,25 S K H A B I C 0,25 Trong mặt phẳng ( SAC ) , kẻ HI song song với SA HI ⊥ ( ABC ) Ta có CA = AB cos 30o = a Do 1 a2 AB AC.sin 30o = 2a.a 3.sin 30o = 2 HI HC HC.SC AC AC 3a = = = = = = ⇒ HI = a Ta có 2 2 SA SC SC SC SA + AC 4a + 3a 7 1 a a a= Vậy VH ABC = S ABC HI = 3 7 (Cách khác: VH ABC = VB AHC = S AHC BC ) Gọi K hình chiếu vuông góc A lên SB Ta có AH ⊥ SC , AH ⊥ CB (do CB ⊥ ( SAC ) ), suy AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SB S ABC = 0,25 Lại có: SB ⊥ AK , suy SB ⊥ ( AHK ) Vậy góc giữa hai mặt phẳng · ( SAB ) , ( SBC ) HKA 1 1 a.2 = 2+ = 2+ = ⇒ AH = ; 2 AH SA AC 4a 3a 12a 1 1 1 = 2+ = + = ⇒ AK = a 2 AK SA AB 4a 4a 2a Tam giác HKA vuông H (vì AH ⊥ ( SBC ) , ( SBC ) ⊃ HK ) a.2 AH 7 = ⇒ cos HKA · · sin HKA = = = AK a OA : x + y = OA P BC ⇒ BC : x + y + m = ( m ≠ ) 0,50 Tọa độ điểm B nghiệm hệ x + y +1 = x = 1− m ⇔ ⇒ B ( − m; m − )  2 x + y + m = y = m − Tọa độ điểm C nghiệm hệ 3 x + y + = x = m − ⇔ ⇒ C ( m − 2; − 3m )  2 x + y + m =  y = − 3m SOABC = ( OA + BC ) d ( O, BC ) ⇔ m 1 2 −1) + 22 + ( 2m − 3) + ( 4m − )  =6 (  22 + 12  0,50 ⇔ ( 2m − + 1) m = 12 Giải pt cách chia trường hợp để phá dấu giá trị tuyệt đối ta m = − 7; m = Vậy ( ) ( ) 7; −1 − , C −1 − 7;1 + B ( −2;1) , C ( 1; −5 ) ur uur uur Gọi vec tơ pháp tuyến AB, AC , BC n1 ( 1; ) , n2 ( 2;1) , n3 ( a; b ) B 0,50 Pt BC có dạng a ( x − 1) + b ( y − ) = , với a + b > Tam giác ABC cân A nên ur uur uur uur cos B = cos C ⇔ cos n1 , n3 = cos n2 , n3 ⇔ ( a + 2b a2 + b2 = 2a + b a + b2 ) (  a = −b ⇔ a = b ) 0,50   Với a = −b Chọn b = −1 ⇒ a = ⇒ BC : x − y + = ⇒ B ( 0;1) , C  − ; ÷, 3   không thỏa mãn M thuộc đoạn BC Với a = b Chọn a = b = ⇒ BC : x + y − = ⇒ B ( 4; −1) , C ( −4;7 ) , thỏa mãn M thuộc đoạn BC Gọi trung diểm BC I ⇒ I ( 0;3) uuur uuur uuur uur uuur uur Ta có DB.DC = ( DI + IB ) ( DI + IC ) = DI − x +x+2 − x +3 (x ⇔ 10 BC BC ≥− 4 Dấu xảy D ≡ I Vậy D ( 0;3) Điều kiện x > −3 Bất pt cho tương đương với 2 x +3 + x −1 ≤ ⇔ −1) ( x + x + ) ( x + 3) ( x + 3) x +x+2 + x +3 0,25 0,25 x2 + x + − x +3 x + + x −1 ≤ x + x+2 + x +3 x +3 + x −1 ≤ 0,50 x +3       x + x + ⇔ ( x − 1)  + 1 ≤ 2    x + x2 +  x + x + +  ÷  ( ) ( )   x+3 x2 + ÷     ⇔ x − ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ (Với x > −3 biểu thức ngoặc vuông dương) Vậy tập nghiệm bất pt S = [ −1;1] 0,50 Ta có ( x − ) + ( y − ) + xy ≤ 32 ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) ≤ ⇔ ≤ x + y ≤ 0,25 2 A = ( x + y ) − ( x + y ) − xy + ≥ ( x + y ) − 3 ( x + y ) − ( x + y ) + Xét hàm số: f ( t ) = t − t − 3t + đoạn [ 0;8] Ta có f ' ( t ) = 3t − 3t − 3, f ' ( t ) = ⇔ t = 1+ 1− t = (loại) 2  +  17 − 5 = , f ( ) = 398 Suy A ≥ 17 − 5 ÷ ÷ 4   Ta có f ( ) = 6, f  Khi x = y = 0,25 0,25 1+ dấu xảy Vậy giá trị nhỏ A 17 − 5 0,25 Thạch Thành, ngày 23 tháng 10 năm 2015 Người đề làm đáp án: Bùi Trí Tuấn