THƠNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp tọa độ khơng gian vào giải tốn khối đa diện Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục đào tạo Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 15 tháng năm 2015 đến ngày 15 tháng 04 năm 2015 Tác giả: Họ tên: Đinh Cơng Huấn Năm sinh: 1982 Nơi thường trú: Xã Xn Thượng - Huyện Xn Trường - Tỉnh Nam Định Trình độ chun mơn: Thạc sỹ tốn học Chức vụ cơng tác: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THPT Xn Trường Địa liên hệ: Xóm 18 - Xã Xn Thượng - Huyện Xn Trường - Tỉnh Nam Định Điện thoại: 0987.833.714 Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT Xn Trường Địa chỉ: Xã Xn Hồng-Huyện Xn Trường-Tỉnh Nam Định Điện thoại: 03503.886.167 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp tọa độ khơng gian vào giải tốn khối đa diện I ĐIỀU KIỆN HỒN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Hình học khơng gian nội dung quan trọng chương trình tốn THPT nay, tốn hình học khơng gian xuất nhiều sách giáo khoa, sách tập học sinh thực tế cho thấy học sinh tiếp cận tốt với loại tốn phần khó Hình học khơng gian đòi hỏi người học tư tích cực, tưởng tượng, trừu tượng hóa, chí học sinh phải có lực tư đột phá, phải sáng tạo Trong nhiều tài liệu tham khảo có đề cập đến tập giải tốn HHKG phương pháp tọa độ tơi thấy có lời giải đơn lẻ, chưa có hệ thống phân loại rõ ràng Hơn đề thi ĐH CĐ, thi học sinh giỏi tốn HHKG liên tục xuất với u cầu khó dùng kiến thức HHKG túy Vậy phải làm cách để giúp em học sinh lớp 12 sau học xong “Phương pháp tọa độ khơng gian” áp dụng giải dạng tập thể tích khối đa diện mà khơng phải dùng tới HHKG túy lớp 11? Dựa tài liệu tham khảo thân tự bồi dưỡng, với thực tế giảng dạy kinh nghiệm tơi chọn tìm hiểu nghiên cứu đề tài là:“Hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp tọa độ khơng gian vào giải tốn khối đa diện” Tơi tập hợp tốn có cách giải tương tự từ dễ đến khó; soạn thành phần gửi đến em thơng qua tiết học tự chọn phân phối chương trình buổi sinh hoạt chun đề Đồng thời làm cho em có cách nhìn tổng qt sâu vấn đề vừa học Hình thành phát triển khả tư lơgic; khả tìm hiểu tổng hợp vấn đề cần nghiên cứu II THỰC TRẠNG Nội dung liên quan đến “Hình học khơng gian-Phương pháp tọa độ khơng gian” thường quan tâm kỳ thi tuyển sinh vào trường TCCN; CĐ ĐH; kỳ thi học sinh giỏi Mặt khác phần kiến thức khó, lại đưa vào từ năm lớp 11, học sinh lưu tâm; bên cạnh số tiết dành cho nhiều phân phối chương trình học nên khối lượng kiến thức lớn Khảo sát thực tế trước thực sáng kiến (học sinh lớp 12A2) Bài tốn khảo sát: (Đề thi thử THPT Quốc Gia, Quảng Xương 1, Thanh Hóa) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = a, SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) Góc mặt phẳng (SBC) mặt (ABC) 600 Gọi M trung điểm AB a) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC b) Tính theo khoảng cách hai đường thẳng SM AC theo a Lời giải: (SKKN, Tr 26-27) Kết sau (Sĩ số 45) + 35,56% (16/45) học sinh kẻ đồng thời AH ⊥ SM, kết luận khoảng cách AH, tính AH theo SA AM + 22,22% (10/45) học sinh kẻ MN//AC khẳng định khoảng cách hai đường thẳng chéo SM,AC khoảng cách AC (SMN)rồi khẳng định khoảng cách AH (tương tự nhóm trên) + 13,33% (6/45) học sinh giải tốn cách quy thể tích khối đa diện A.SMN (vận dụng phương pháp tỷ số thể tích khối đa diện) + 6,67 % (3/45) học sinh biết gọi N trung điểm BC chứng minh đượng AC // (SMN) sau dựng AH ⊥ SK khoảng cách SM,AC AH (K điểm thuộc MN mà AK vng góc MN + 22,22% (10/45) học sinh khơng lập luận + Khơng học sinh sử dụng phương pháp tọa độ để giải tốn Ngun nhân: Ít em học sinh nghĩ đến việc sử dụng phương pháp tọa độ khơng gian để giải vấn đề nhiều em nghĩ PPTĐ dùng đề lập PTTQ mặt phẳng, lập PTTS, PTCT đường thẳng Ngồi SGK khơng nêu PPTĐ khơng gian phương pháp giúp giải tốn hình khối đa diện để học sinh có định hướng phát vấn đề (sách giáo khoa phần lí thuyết trình bày ứng dụng PPTĐ giải tốn vấn đề ít) III CÁC GIẢI PHÁP A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Kiến thức hình học khơng gian lớp 11 1.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm O đường thẳng a Trong mặt phẳng (O,a) gọi H hình chiếu vng góc O a Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a, kí hiệu d(O,a) 1.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm O mặt phẳng (α) Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (α) Khi khoảng cách điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mp(α), kí hiệu d(O, (α)) 1.3 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song a A O song Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α), A' α khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α) H khoảng cách từ điểm a đến mp(α), kí hiệu d(a, (α)) 1.4 Khoảng cách mặt phẳng song song Khoảng cách mặt phẳng song song A α khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng kia, kí hiệu d((α),(β)) A' 1.5 Khoảng cách đường thẳng chéo β Đường vng góc chung: Đường thẳng ∆ cắt ∆ a đường thẳng chéo a, b vng góc với đường thẳng gọi đường vng góc M chung đường thẳng a b b N Khoảng cách đường thẳng chéo nhau: Nếu đường vng góc chung ∆ cắt đường thẳng chéo a b M N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách đường thẳng chéo a b Kí hiệu d(a,b) Nhận xét + Khoảng cách đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với chứa đường thẳng lại + Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng M a M a α b α a' b N + Thể tích khối chóp V = N β 3V S h ⇔ h = (trong S diện tích đáy S h chiều cao khối chóp) Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh hình chóp đến mặt đáy, ta tính V S + Tính chất tứ diện vng: Giả sử OABC tứ diện vng O( OA ⊥ OB, OB ⊥ OC , OC ⊥ OA ) H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) Khi đường cao OH tính cơng thức: 1 1 = + + OH OA2 OB OC + Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) M, N ∈ ∆ d ( M ;(α )) = d ( N ;(α )) + Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) điểm I M, N ∈ ∆ (M, N khơng trùng với I) d ( M ;(α )) MI = d ( N ;(α )) NI Đặc biệt, N trung điểm IM d ( N ;(α )) = MN d ( M ;(α )) = d ( N ;(α )) d ( M ;(α )) I trung điểm 2 Kiến thức phương pháp tọa độ khơng gian lớp 12 2.1 Hệ tọa độ Đêcac vng góc khơng gian Cho ba trục Ox, Oy, Oz vng góc với đơi chung điểm r r r gốc O Gọi i, j, k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz đơn giản hệ tọa độ Oxyz Chú ý: r2 r r i = j = k = rr rr r r i j = i.k = k j = 2.2 Tọa độ vectơ a) Định nghĩa b) Tính chất r r r r r u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk r r Cho a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ), k ∈ R r r • a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) r • ka = (ka1; ka2 ; ka3 ) Hệ tọa độ Oxyz  a1 = b1 r r  • a = b ⇔ a2 = b2 a = b  3 r r r r • = (0; 0; 0), i = (1; 0; 0), j = (0;1; 0), k = (0; 0;1) r r r r r r • a phương b (b ≠ 0) ⇔ a = kb (k ∈ R)  a1 = kb1  ⇔  a2 = kb2  a = kb  ⇔ a1 b1 = a2 b2 = a3 b3 , (b1 , b2 , b3 ≠ 0) r rr r • a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 • a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3b3 = r • a = a12 + a22 + a32 • a = a12 + a22 + a22 r r cos( a , b) = • r rr a.b r r = a.b a1b1 + a2 b2 + a3b3 a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 2.3 Tọa độ điểm r r r (với a , b ≠ ) uuur a) Định nghĩa: M ( x; y; z) ⇔ OM = ( x; y; z) (x : hồnh độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = • M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = b) Tính chất Cho A( x A ; y A ; zA ), B( xB ; yB ; zB ) uuu r • AB = ( xB − x A ; yB − y A ; zB − zA ) • AB = ( x B − x A )2 + (y B − y A )2 + (zB − z A )2 • Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1):  x − kxB y A − kyB zA − kzB  M A ; ; ÷ 1− k 1− k   1− k  x A + x B y A + yB zA + zB  ; ; ÷  2  • Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: M  • Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: x +x +x y +y +y z +z +z  G A B C ; A B C ; A B C ÷ 3   • Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD:  x + x + x + xD y A + yB + yC + yD zA + zB + zC + zC  G A B C ; ; ÷  4  2.4 Tích có hướng hai vectơ r r r Cho a = (a1, a2 , a3 ) , b = (b1, b2 , b3 ) a) Định nghĩa r  a2 a3  b2 b3 [ ar, b ] = ar ∧ b =  ; a3 a1 b3 b1 ; a1 a2  ÷= ( a2 b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2 b1 ) b1 b2 ÷  Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số b) Tính chất r r r  j , k  = i ; r r r r r r • [a, b] = a b sin ( a, b ) r r r • i , j  = k ; r r r [ k ,i ] = j r r r r r r [a, b] ⊥ b r r r r r • a, b phương ⇔ [a, b] = • [a, b] ⊥ a; c) Ứng dụng tích có hướng r r r r r r • Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a, b c đồng phẳng ⇔ [a, b].c = uuu r uuur SY ABCD =  AB, AD  • Diện tích hình bình hành ABCD: • Diện tích tam giác ABC: r uuu r  uuu  AB, AC  uuu r uuur uuu r VABCD A ' B ' C ' D ' = [ AB, AD ] AA ' S∆ ABC = • Thể tích khối hộp ABCD.A′ B′ C′ D′ : • Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = r uuu r uuur uuu [ AB, AC ] AD Chú ý: – Tích vơ hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc, tính góc hai đường thẳng – Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – khơng đồng phẳng, chứng minh vectơ phương r r rr a ⊥ br⇔ a.b = r r r r [ a b cù n g phương ⇔ a ,b] = r r r r r r a , b , c đồng phẳng ⇔ [ a , b ] c = 2.5 Khoảng cách Cho M (xM;yM;zM), (α):Ax+By+Cz+D=0, đường thẳng đượcuurxác định r điểm VTCP ∆:{M0(x0;y0;z0), u ∆ } ∆’ {M’0(x0';y0';z0'), u '∆ } - Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α): d(M,α)= AxM + ByM + CZ M + D A2 + B + C uuuuur r [ MM1 , u ] r - Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆: d(M,∆)= u r uu r uuuuuuuur [u , u '].M M '0 uu r uu r - Khoảng cách hai đường thẳng: d(∆,∆’)= [u , u '] 2.6 Phương trình mặt cầu • Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = R • Phương trình x + y + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = với a + b2 + c2 − d > phương trình mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) bán kính R = B NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP a2 + b2 + c2 − d Phân loại hình đa diện khơng gian Để giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ chọn độ dài cạnh hình Vì Ox, Oy , Oz vng góc đơi Do đó, mơ hình chứa cạnh vng góc ta ưu tiên chọn đường thuộc trục tọa độ 1.1 Hình chóp Loại Hình chóp tứ giác S.ABCD a) Đặc điểm: Đáy ABCD hình vng cạnh bên SA = SB = SC= SD b) Chọn hệ tọa độ (hình vẽ) - Chọn gốc O(0;0;0) tâm hình vng - Giả sử cạnh hình vng a đường cao SO = h  a  a  ;0;0 ÷; C  ;0;0 ÷ Khi : A  −      a   a  B  0; − ;0 ÷ ÷; D  0; ;0 ÷ ÷; S (0;0; h)     Loại Hình chóp Tam giác S.ABC a) Đặc điểm: Đáy ABC tam giác cạnh bên SA = SB = SC b) Chọn hệ tọa độ (hình vẽ) - Giả sử cạnh tam giác a đường cao h Gọi I trung điểm BC Chọn gốc I(0;0;0)  a   a      ;0 ÷÷; S  0; ; h ÷÷ , A  − ; 0;0 ÷; B  ; 0;0 ÷, C  0;   2      a a Loại Với hình chóp S.ABCD có cạnh vng góc với đáy, đáy hình chữ nhật a) Đặc điểm: ABCD hình chữ nhật giả sử SA vng góc với đáy (ABCD) b) Chọn hệ tọa độ (hình vẽ) Giả sử AB = a; AD = b , chiều cao h -Gốc tọa độ A(0;0;0), Khi đó: B ( a;0;0 ) ; C ( a; b;0 ) , D ( 0; b; ) ; S (0;0; h) Loại Hình chóp S.ABCD có cạnh vng góc với đáy, đáy hình thoi a) Đặc điểm: ABCD hình thoi giả sử SA vng góc với đáy (ABCD) b) Chọn hệ tọa độ (hình vẽ) Giả sử AB = a; AD = b , chiều cao h -Gốc tọa độ O(0;0;0), (O giao AC BD) Khi dựa vào giả thiết để xác định tọa độ A,B,C,D,S (chú ý chiều âm, dương trục Ox, Oy, Oz để xác định xác tọa độ A,B,C,D,S) Loại Hình chóp S.ABC có cạnh vng góc với đáy, đáy tam giác vng a) Đặc điểm: Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) ∆ ABC vng A b) Chọn hệ tọa độ (hình vẽ) Tam giác ABC vng A có AB = a; AC = b đường cao h Gốc tọa độ A(0;0;0) Khi : B ( a;0;0 ) ; C ( 0; b; ) , S ( 0;0; h ) Chú ý: Nếu đáy tam giác vng B ta chọn gốc tọa độ B Loại Hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân S ∆ ABC vng C a) Đặc điểm: Tam giác SAB cân S, gọi H trung điểm AB SH ⊥ (ABC), b) Chọn hệ tọa độ(hình vẽ) ∆ ABC vng C, CA = a; CB = b chiều cao h H trung điểm AB - Gốc tọa độ C(0;0;0) a b 2 Khi : A ( a;0;0 ) ; B ( 0; b;0 ) ; S ( ; ; h) 10 a) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Xác định tâm bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp c) Tìm a để tâm mặt cầu ngoại tiếp nội tiếp trùng Lời giải: Ta có: AC = BD = 2a Gọi SO đường cao SO= h Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0),S(0; 0; h) ⇒ C (− a; 0; 0), D(0; − a; 0) Tâm I R (S) ngoại tiếp chóp S.ABCD Do S.ABCD hình chóp tứ giác nên I ∈ OS ⇒ I (0; 0; z0 ) Phương trình mặt cầu (S): x + y + z − 2z0 z + d = S z α h  a + d = A, S ∈ (S ) ⇒ D  h − z0 h + d = O d = − a2  ⇒ a h2 − a2 z =  x A 2h  2 2 2   h −a h −a h +a ⇒ I  0; 0; ÷, R =  ÷+ a = 2h  2h   2h  uur uur SA.SB (a; 0; − h)(0; a; − h) h2 = = Mặt khác: cos α = SA.SB a + h2 a2 + h a cos α − cos α ⇒h= R= Vậy: (a nhọn ∆SAB cân S) a cos α (1 − cos α ) OI = a(2 cos α − 1) cos α (1 − cos α ) Tâm J r (S’) nội tiếp chóp S.ABCD: J ∈ OS ⇒ J (0; 0; r ), OJ = r Ta có: 2a h VS ABCD = h(a )2 = 3 r VS ABCD = Stp ; Sxp = 4S∆SAB = SA.SB sin α = 2(a + h )sin α ⇒ Stp = S xp + S ABCD = 2(a + h )sin α + 2a2 ⇒r= a2 h 2 a + (a + h )sin α Vậy: OJ = = a cos α (1 − cos α ) + sin α − cos α a cos α (1 − cos α ) = r + sin α − cos α Tìm a để I ≡ J I≡ J a cos α (1 − cos α ) + sin α − cos α cos α (1 − cos α ) ⇔ (2 cos α − 1)(1 + sin α − cos α ) = cos α (1 − cos α ) ⇔ OI = OJ ⇔ a(2 cos α − 1) 36 = C B y ⇔ (1 − cos α sinα ) + (sin α − cos α ) = ⇔ (sin α − cos α )(sin α − cos α + 1) = ⇔ sin α = cos α (do sin α + − cos α > 0) ⇔ α = 45o (do α nhọn) Vậy I ≡ J ⇔ α = 45o  Bài tập 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = b, SA = 2a vng góc với đáy Trên cạnh SA lấy điểm M, AM = m ( ≤ m ≤ 2a) a) Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện hình Tính diện tích thiết diện? b) Tìm vị trí M để diện tích thiết diện lớn c) Tìm vị trí M để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành hai phần tích z Lời giải: S Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), S(0; 0; 2a) ⇒ C (a; b; 0), M (0; 0; m) (0 ≤ m ≤ 2a) 2a m   Gọi N = SD ∩ ( MBC ) ⇒ N  0; A a ⇒ Phương trình mặt phẳng (MBC): mx + az − ma = x =  Phương trình đường thẳng SD:  y = b + bt (t ∈ R)  z = −2at N M uuur uuur r Ta có: n( MBC ) = [MB, MC ] = b(m; 0; a) uuu r SD = (0; b; − 2a ) B D b C x  2ab − mb ; m ÷ 2a  a) Hình tính diện tích BCMN uuuu r   Ta có: MN =  0; 2ab − mb  ; ÷; 2a  uuu r BC = (0; b; 0); uuur MB = (a; 0; − m)  MN P BC ⇒ ⇒ BCMN hình thang vng  BC ⊥ MB SBCMN = MB ( MN + BC ) =  4ab − mb a + m  2ab − mb + b÷ = a + m2  2a 4a   b) Tìm vị trí M để SBCNM lớn nhất: Ta có: S(m ) = ⇒ S(/m ) = b (4a − m ) m + a 4a b  b −2m + 4am − a 2 (4a − m )m  − m + a + =  2  4a  a m +a  m + a2  S(/m ) = ⇔ m = a(2 ± ) 37 y m –∞ a(2 − ) a(2 + ) 2a +∞ – S(/m ) S( m ) + – ab 71 + 8 ab ab ab 71 − 8 ⇒ Smax = ab 71 + a( + ) ⇔ m= ab 71 − a(2 − ) ⇔ m= Tìm vị trí M để VS.BCNM = VS ABCD c) Smin = Ta có: d (S, ( MBC )) = 2a − ma m2 + a2 2a − ma 4ab − mb b(4a − m)(2a − m) ⇒ VS BCNM = m2 + a2 = m2 + a2 4a 12 2a b VS ABCD = 2a ab = 3 (4a − m)(2a − m) = a2 u cầu tốn ⇔ 2 ⇔ m − 6am + 4a = ⇔ m = (3 − )a (vì m ≤ 2a) Vậy AM = (3 − )a  Bài tập 24 Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a Chứng minh A ' C ⊥ ( AB ' D ') Tính góc ϕ (DA’C) (ABB’A’) Trên cạnh AD’, DB lấy điểm M, N thỏa AM = DN = k (0 < k < a ) a Chứng minh MN // (A’D’BC) b Tìm k để MNmin Chứng tỏ MN đoạn vng góc chung AD’, DB Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0) A’(0; 0; a), B’(a; 0; a), C’(a; a; a), D’(0; a; a)  AM = DN = k ⇒ M  0; k ;  Chứng minh A ' C ⊥ ( AB ' D ') : uuuu r  A ' C = (a; a; − a)  uuur Ta có:  u AB uuu r' = (a; 0; a)  AD ' = (0; a; a)   k  k  k ; a− ; 0÷ ÷, N  2   z / D/ A B/ C/ k M D A 38 N B z a k C y uuur uuuu r r ⇒ n( AB ' D ') = AB ', AD ' = (−a ; − a ; a ) uuuu r r  A ' C , nr  = (a; a; − a), (−a ; − a ; a ) = uuu u r r( AB ' D ')  ⇒ A ' C P n( AB ' D ') Vậy A ' C ⊥ ( AB ' D ') uuuu r uuur  u  A ' C ⊥ AB ' Au'uC 'r = r AB uuuu ⇒  ⇒ A ' C ⊥ ( AB ' D ') Cách khác:  u  A ' C ⊥ AD '   A ' C AD ' = ur uuur uuur Tính j: n1 = [DA ', DC ] = (0; a ; a ) uu r r r n2 = n( ABB ' A ') = j = (0; 1; 0) r r n1.n a2 ⇒ cos ϕ = r r = = a2 n1 n 2 Vậy ϕ = 45o a Chứng minh MN // (A/D/BC): uuuu r MN = (k; a − 2k ; − k ) uuuu r uuu r r r n = n( A/ D / BC ) = [BA / , BC ] = − a (1; 0; 1) uuuu r r −a MN n= (k − k ) = Ta có: ⇒ MN P ( A / D / BC ) (do M ∉( A/ D / BC ) ) b/ Tìm k để MNmin: Ta có: MN = (6k − 2ak + 2a ) k –∞ a +∞ a2 MN2 ⇒ MN = a a ⇔ k= a 3 uuuu r a a Khi k = MN = (1; 1; − 1) 3 uuuur u u u u r  a / /  MN AD = (1; 1; − 1)(0; a; a) =  ⇒  uuuu ⇒  MN ⊥ AD r uuur a  MN BD = (1; 1; − 1)(−a; a; 0) =  MN ⊥ BD  Vậy MN đoạn vng góc chung AD/ BD  Bài tập 25 Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ cạnh a Gọi M trung điểm AB, N tâm hình vng ADD/A/ 39 1.Tính bán kính R mặt cầu (S) qua điểm C, D/, M, N 2.Tính bán kính r đường tròn (C) giao (S) mặt cầu (S/) qua A/, B/, C, D 3.Tính diện tích S thiết diện tạo mặt phẳng (CMN) hình lập phương Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), A/(0; 0; a), B/(a; 0; a), C/(a; a; a), D/(0; a; a) z a   a a ⇒ M  ; 0; ÷, N  0; ; ÷ 2   2 Tính R: Phương trình mặt cầu (S): D/ / A L B/ K x + y + z2 − 2α x − β y − 2γ z + d = N D C , D / , M , N ∈ ( S) , suy ra: a 2  5a   5a   a  35a R2 =  ÷ +  ÷+  ÷ − a =      4 16 a Vậy R = 35 Tính r: 2 Phương trình mặt cầu (S′): x + y + z − 2α /2 x − β / y − 2γ / z + d / = A / , B / , C / , D ∈ (S / ), suy ra: a − 2γ / a + d / =  a − 2α / a + d / =  / / / / 3a − 2α a − β a − 2γ a + d = / /  a − 2β a + d = a ⇒ α / = β / = γ / = , d/ = ⇒ (S / ) : x + y + z − ax − ay − az = bán kính R / = Dễ thấy C(a; a; 0) ∈ (S / ) ⇒ C ∈ (C ) 40 y A M 2a − 2α a − 2β a + d = (1) B  (2) 2a − 2β a − 2γ a + d = x  a2  −αa + d (3) 4  a2 (4)  − βa −γ a + d = 2 (1) – (2) suy ra: a = g ; (2) – (4) suy ra: d = a2 (C) 5a a (3) ⇒ α = γ = ; (4) ⇒ β = 4 5a a 5a ⇒ Phương trình mặt cầu (S): x + y + z − x − y − z + a = 2 2 C/ a C (S) I R C r J R/ I/  5a a 5a  /  a a a  Gọi I , I / , J tâm (S), (S/) (C) ⇒ I  ; ; ÷, I  ; ; ÷  4  2 2 uur uur / Ta có: JC ⊥ II / ⇒ r = d (C , II / ) = [II , CI ] II / uur uur uur  3a a −3a  uur  a −3a 5a  a2 / II / =  − ; ; CI = ; ; (−1; 3; 2) ÷  ÷ ⇒ [II , CI ] =  4  4 4  ⇒ r=a 14 19 uuur uuur a2 r n(CMN ) = [CM , CN ] = − (2; − 1; 3) ⇒ Phương trình mặt phẳng (CMN): x − y + 3z − a = Tính S: x = x =   Phương trình đường thẳng AA′:  y = (t ∈ R) ; DD′:  y = a (t ∈ R)   z = t z = t Gọi K = (CMN ) ∩ AA ', L = (CMN ) ∩ DD '  a  2a  ⇒ K  0; 0; ÷, L  0; a; ÷ 3    uuur uuu r uuur uuur ⇒ S = SCMKL = [CM , CK ] + [CK , CL ]      a a  a  2a    =   − ; − a; ÷,  − a; − a; ÷ +  −a; − a; ÷,  −a; 0; ÷ ÷      3   ÷   ( ⇒S= ) a 14 2.3 Bài tập đề nghị Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC A1B1C1 có đáy tam giác đề cạnh a AA1 = 2a vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D trung điểm BB1; M di động cạnh AA1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ diện tích tam giác MC1D Bài (Trích đề thi Đại học khối D – 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = SB = 2a · SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Bài 41 Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD hình thoi cạnh a, tâm O, góc BAD = 600 Các cạnh bên SA = SC; SB = SD = a a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách đường thẳng SB AD Bài Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA = OB = OC = Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh AB, OA Tính khoảng cách hai đường thẳng OM CN Bài (Đề thi Đại học khối A năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a, cạnh bên AA' = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’,I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC) IV Hiệu sáng kiến đem lại Tổ chức thực nghiệm kết đối chứng Để đánh giá hiệu sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy với việc nắm vững kiến thức học sinh, trước hết tơi theo dõi đánh giá hoạt động cá nhân học sinh nhóm học sinh tiến trình dạy học vào mục tiêu buổi học Kết hợp với cách đánh giá này, tơi cho học sinh hai lớp 12A1 12A2 làm kiểm tra 90 phút Nhìn chung, trình độ học sinh lớp tương đương có tư duy, tiếp thu kiến thức tốt, lòng cốt đội tuyển học sinh giỏi trường chủ yếu lớp 12A1 - Lớp đối chứng là: 12A1, sĩ số 46 Lớp thực nghiệm là: 12A2, sĩ số 45 42 Giáo viên dạy lớp thực nghiệm lớp đối chứng giáo viên dạy, có trình độ Thạc sỹ, tốt nghiệp đại học Quốc Gia Hà Nội - Lớp đối chứng: Giáo viên dạy theo nội dung tiến trình dạy tập - SGK, sách tập, sách tham khảo tài liệu luyện thi Lớp thực nghiệm: Giáo viên dạy theo nội dung tiến trình dạy tập sáng kiến kinh nghiệm thiết kế sở tập sách giáo khoa sách tập, tài liệu tham khảo Quan sát mức độ đáp ứng học sinh với tình tập mà giáo viên đưa ra, hứng thú hoạt động học sinh sau tiết học Tiến hành vấn học sinh, giáo viên dự thăm lớp thực kiểm tra 90 phút hai lớp chấm để thu thập thơng tin, từ rút nhận xét cần thiết ĐỀ KIỂM TRA (90 phút) Bài ( 7,0 điểm): (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia Web: dethithudaihoc.24h.com.vn) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, AB = a, AC = 2a Mặt bên (SBC) tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết góc mặt phẳng (SAB) mặt phẳng (ABC) 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng AB SC theo a Bài (3,0 điểm): (Trích đề thi thử THPT Chun Hưng n, 2015) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cân, AB = AC = a, góc · = 1200 Mặt phẳng (AB’C’) tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích lăng BAC trụ ABC.A'B'C' khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng (AB’C’) theo a Xử lý kết thống kê tốn học Để đánh giá (so sánh) chất lượng kiến thức học sinh thơng qua so sánh điểm kiểm tra, chúng tơi sử dụng đại lượng: X , S2, S, V Trong đó: X trung bình cộng điểm số, đặc trưng cho tập trung X = điểm số N N ∑f X i =1 i i X i điểm số; f i tần số; Trong đó: N số HS S phương sai ; S độ lệch chuẩn S, S tham số đo mức độ phân tán số liệu quanh giá trị trung bình cộng, S nhỏ chứng tỏ số liệu phân tán S2 = N ∑ fi ( X i − X )2 N − i =1 S = S2 V hệ số biến thiên mức độ phân tán: V = 43 S 100 % X Lớp Số HS TN 46 0 ĐC 45 Bảng 1: Thống kê kết kiểm tra Điểm số 0 11 17 10 0 12 15 10 Điểm TB 6,7 5,8 Để tính tham số X , S2, S, V kiểm định kết ta lập bảng: Bảng 2: Kết xử lý để tính tham số Lớp TN Lớp ĐC Điểm Xi f iA 0 0 0 7,29 (Xi − X A) f iA (X i − X B )2 ( X i − X B ) f iB 7,84 15,68 14,58 3,24 12,96 2,89 23,12 12 0,64 8,32 11 0,49 5,88 15 0,04 0,64 17 0,09 1,62 10 1,44 14,4 1,69 8,54 4,84 9,68 5,29 15,87 10,24 10,24 10 10,89 21,78 Σ 46 91,3 45 (X i − X A )2 f iB 71,92 Bảng 3: Các tham số đặc trưng Tham số tượng Lớp TN (46) Lớp ĐC (45) X S2 S V (%) 6,7 5,8 1,863 1,530 1,365 1,237 20,37 21,32 Bảng 4: Tần suất tần suất lũy tích Lớp TN Điểm X i Tần số f A (i) 0 Tần suất ω A (i) (%) Lớp ĐC Tần suất luỹ tích ω A ( ≤ i) (%) Tần số f B (i) 44 Tần suất ω B (i) (%) Tần suất lũy tích ω B ( ≤ i ) (%) 4,0 4,0 8,4 22,2 16,0 20,0 12 27,1 44,5 11 24,0 44,0 15 33,2 73,4 17 36,0 80,0 10 20,8 93,4 10,0 90,0 4,2 97,8 96,0 2,1 100 10 4,0 Cộng 46 100 4,2 4,2 45 Từ bảng ta vẽ đường phân bố tần suất đường phân bố tần suất luỹ tích lớp thực nghiệm lớp đối chứng phần mềm 45 Đánh giá định lượng kết - Điểm trung bình cộng lớp TN (6,7) cao lớp ĐC (5,8) - Hệ số biến thiến giá trị điểm số lớp thực nghiệm ( 20,37%) nhỏ lớp đối chứng (21,32%) có nghĩa độ phân tán điểm số quanh điểm trung bình lớp thực nghiệm nhỏ - Đường tần suất tần suất lũy tích lớp thực nghiệm nằm bên phải phía đường tần suất tần suất lũy tích lớp đối chứng, chứng tỏ chất lượng nắm kiến thức vận dụng kiến thức lớp thực nghiệm tốt đối lớp đối chứng Qua kết phân tích định tính định lượng, tơi thấy kết học tập học sinh lớp thực nghiệm lớp đối chứng Như nói HS học chun đề có hiệu hơn! Song kết khác nói có thực tác động sư phạm tơi gây hay khơng ? Các số liệu có đáng tin cậy hay khơng? Để trả lời câu hỏi đó, chúng tơi áp dụng tốn kiểm định giả thiết thống kê tốn học theo bước sau: Bước 1: Chọn xác suất sai lầm α = 0,05 Phát biểu giả thiết H0: X TN = X ĐC nghĩa khác X TN X ĐC khơng có ý nghĩa với xác suất sai lầm α Tức chưa đủ để kết luận hiệu chun đề Phát biểu giả thiết H1 : X TN ≠ X ĐC nghĩa khác X TN X ĐC có ý nghĩa với xác suất sai lầm α Tức hiệu chun đề tốt Bước 2: Tính t 46 X TN − X ĐC t= TN ĐC S S = + nTN n ĐC 6, − 5,8 1,863 1,530 = 3,42 + 50 48 Bước 3: Tra từ bảng phân bố chuẩn tìm tα: tα = 2,02 Bước 4: So sánh t với tα ta thấy t > tα Vậy bác bỏ giả thiết H0, chấp nhận giả thiết H1 tức X TN ≠ X ĐC Kết luận: Sự khác X TN X ĐC có ý nghĩa với xác suất sai lầm α Kết thu lớp thực nghiệm thực tốt lớp đối chứng với độ tin cậy 95% Trong thời gian thực nghiệm đề tài tơi nhận thấy: + Tất học sinh hào hứng với việc học thể tập trung cao độ học, chăm làm tập giáo viên đưa nhà cố gắng hồn thành tập tự luyện + Đa số học sinh hiểu làm tốt thể bảng kết thực nghiệm + Hầu hết học sinh mong muốn học tập nhiều chun đề V Kết luận khuyến nghị Kết luận Hình học khơng gian ln nội dung kiến thức khó có mặt kỳ thi Đại học, Cao đẳng Vì SKKN chun đề phù hợp với đối tượng học sinh lớp 12 học sinh ơn thi ĐH; CĐ; ơn thi học sinh giỏi Trong giải tốn khối đa diện theo hướng sử dụng túy HHKG khó phức tạp việc tìm hướng giải tốn khối đa diện theo phương pháp tọa độ lựa chọn tuyệt vời Sáng kiến kinh nghiệm tư liệu tốt giúp giáo viên giảng dạy cho bồi dưỡng đối tượng HS Giỏi; Khá; Qua q trình giảng dạy; tơi nhận thấy: Sau đưa cách giải học sinh khơng lúng túng làm 47 phần lớn tập dạng Với kết thực nghiệm hai lớp dạy 12A1; 12A2; giúp học sinh phần say mê, hứng thú sáng tạo học tập Điều làm cho em tiếp thu tốt khích lệ tinh thần học tập em Thơng qua kinh nghiệm này, thân tơi thực rút nhiều kinh nghiệm q báu, giúp tơi hồn thành tốt cơng việc giảng dạy Trên vài kinh nghiệm tơi việc dạy học sinh giải tốn khối đa diện PPTĐ khơng gian Tơi mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp; đồng chí chun viên Sở Giáo dục Tơi xin chân thành cảm ơn Khuyến nghị Qua q trình áp dụng kinh nghiệm sáng kiến tơi thấy để đạt kết cao, cần lưu ý số điểm sau: a) Đối với giáo viên: - Dành thời gian định để nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo…Cần tìm hiểu nhận thức học sinh qua học sinh, qua kiểm tra định kỳ để kịp thời có hướng điều chỉnh nhằm giúp em hiểu - Phải phân loại tập phù hợp với đối tượng học sinh, kiên trì áp dụng kinh nghiệm Trước dạy phần giáo viên cần trang bị cho học sinh kiến thúc vững vàng Phương pháp tọa độ khơng gian Đặc biệt dạy giải tốn nên hướng dẫn học sinh khai thác theo nhiều khía cạnh khác nhau; tìm nhiều cách giải khác để củng cố rèn tư sáng tạo cho học sinh b) Đối với nhà trường: Cần có động viên nhiều phong trào tự học tập nghiên cứu viết áp dụng SKKN c) Đối với Sở Giáo dục Đào tạo: Với sáng kiến kinh nghiệm hay, tơi nhiều đồng nghiệp mong Sở GD ĐT có biện pháp để kinh nghiệm khơng viết cho tác giả mà nhiều đồng nghiệp khác biết đến áp dụng, làm nhanh chóng đạt kết giáo dục cao nhiều nhà trường Cuối xin trân thành cảm ơn đồng nghiệp tổ chun mơn em học sinh giúp đỡ tơi hồn thành SKKN Mỗi tốn thường có nhiều cách giải, việc học sinh phát cách giải khác cần 48 khuyến khích Song cách giải cần phân tích rõ ưu điểm hạn chế từ chọn cách giải tối ưu Đặc biệt cần ý tới cách giải bản, có phương pháp áp dụng phương pháp cho nhiều tốn khác Với tinh thần theo hướng thầy giáo em học sinh tìm nhiều kinh nghiệm hay với nhiều đề tài khác Chẳng hạn, tốn tính góc đối tượng hình học hay chứng minh đẳng thức hình học; tốn ứng dụng phương pháp tọa độ để giải tốn HHKG,… TÁC GIẢ SÁNG KIẾN CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (xác nhận, đánh giá¸, xếp loại) (Ký tên, đóng dấu) Đinh Cơng Huấn 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tạp chí tốn học tuổi trẻ, NXB GD [2] Đề thi tuyến sinh ĐH CĐ từ năm 1999-2013 [3] SGK Hình Học 12 (CT chuẩn, CT nâng cao), NXB GD, 2006 [4] Tuyển tập năm THTT, NXB GD, 2003 [5] Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia Việt Nam [6] Lưu Thị Kim Tuyến, Rèn luyện tư sáng tạo cho HS dạy học tốn khoảng cách, 2014 [7] Nguyễn Bá Kim, “Phương pháp dạy học mơn Tốn”, NXBGD, 2006 [8] Trần Thành Minh (chủ biên), Nguyễn Thuận Nhờ, Nguyễn Anh Trường, “Kiến thức PPTĐ khơng gian”, NXBGD, 1997 [9] Trần Thành Minh, Giải tốn Hình học 11, NXBGD, 2002 [10] Trần Văn Hạo, Chun đề LTĐH - Hình học giải tích, NXBGD, 2001 [11] Đặng Thành Nam, Chun đề luyện thi ĐH, NXB ĐHSP, 2008 [12] www.k2pi.net [13] www.dethithudaihoc.tintuc24h.com.vn [14] www.diendantoanhoc.net [15] www.nxbgiaoduc.com.vn/toanhoctuoitre/ 50 [...]... cho hc sinh t chng minh) Trong mt phng (SAK) k AH vuụng gúc vi SK Suy ra d A, ( SMN ) = AH (*) Vỡ tam giỏc ABC vuụng cõn ti B nờn tam giỏc AKM vuụng cõn ti K, ta cú: a 2 a 2 AK = KM = AM cos 450 = = 2 2 4 Trong tam giỏc vuụng SAK, ta cú: 1 1 1 1 = 2+ = 2 2 AH SA AK a 3 ( Vy d [ SM , AC ] = ) 2 + 1 2 a 2 ữ 4 = 25 a 3 AH = 2 3a 5 a 3 (vd) 5 Cỏch gii th hai: (S dng phng phỏp ta trong khụng gian) ... a 15 5 a 15 5 Cỏch gii th ba: Ch vn dng kin thc PPT trong khụng gian v khong cỏch hai ng chộo nhau a a 3 Chn gc O(0;0;0), A(0; 0; a 3); B(a;0;0), C (0; a 3; 0), M 2 ; 2 ; 0 ữữ 13 Bỡnh lun: Nhc im ca cỏch 1 l phi v thờm nhiu ng ph v suy lun nhiu Hc sinh phi vng vng kin thc v HHKG 11 thỡ mi gii quyt c Vi cỏch 2 thỡ HS ch cn nh kin thc v PPT trong mt phng l cú th gii quyt c thm chớ khụng cn suy... cụng thc khong cỏch t O ti (AHK) ta cú: a a + 2.0 a 2 2 d ( O, ( AHK ) ) = = (vd) 2 2 12 + 12 + 2 ( ) Bỡnh lun: Cỏch 1 quỏ phc tp v lp lun v phi v thờm nhiu ng ph Trong khi ú cỏch 2 n gin hn rt nhiu Hc sinh ch cn bit cỏch xỏc nh ta ca im trong h ta Oxyz l hon ton cú th tỡm c kt qu bi toỏn Ngoi ra ta cú th tớnh khong cỏch t O ti (AHK) bng cụng thc tớnh th 1 uuur uuur uuur tớch khi chúp O.AHK l V =... Cỏch chn h ta Oxyz hon ton tng t nh vi hỡnh hp 2 Vn dng phng phỏp ta vo gii toỏn gii c cỏc bi toỏn hỡnh khụng gian bng phng phỏp ta ta cn phi chn h trc ta thớch hp Lp ta cỏc nh, im liờn quan da vo h trc ta ó chn v di cnh ca hỡnh 2.1 Cỏc bc gii toỏn bng phng phỏp ta trong khụng gian Chn h trc ta Oxyz thớch hp(quyt nh s thnh cụng ca li gii) Xỏc nh ta cỏc im (nh ca hỡnh a din) cú liờn quan... BC 3 Phõn tớch-Bỡnh lun: Vi ý hi ny, vic tỡm khong cỏch gia SA v BC da vo ( ) vic xỏc nh on vuụng gúc chung l rt khú (trờn hỡnh v khong cỏch cn tỡm l on thng NQ), hc sinh phi v thờm nhiu ng ph Tuy nhiờn vi vic s dng PPT trong khụng gian chỳng ta s tỡm c li gii mt cỏch t nhiờn hn Bi tp 18 Cho hỡnh chúp O.ABC cú OA = a, OB = b, OC = c ụi mt vuụng gúc im M c nh thuc tam giỏc ABC cú khong cỏch ln lt... dng sau: nh tớnh: Chng minh cỏc quan h vuụng gúc, song song, nh lng: di on thng, gúc, khong cỏch, tớnh din tớch, th tớch, din tớch thit din, Bi toỏn cc tr, qu tớch Mt s lu ý khi s dng PPT trong khụng gian vo gii toỏn: - Xỏc nh h ta Oxyz phự hp gn vi hỡnh a din, u tiờn chn trc Oz cú phng trựng vi phng ca chiu cao hỡnh chúp, hỡnh hp - Vic xỏc nh chớnh xỏc ta cỏc im l yờu cu quan trng - Nờn v... cỏch gia hai ng thng chộo nhau SM,AC l: 27 ) uuur uuur uur a3 3 SM , AC SA a 3 d [ SM , AC ] = = 22 = (vd) uuur uuur 5 5a SM , AC 2 Vy: d(SM,AC) = a 3 (vd) 5 Bỡnh lun: Vi cỏch s dng PPT trong khụng gian vic tớnh toỏn khong cỏch gia SM, AC rt n gin, v trỏnh phi dng thờm quỏ nhiu ng ph nh trờn hỡnh v ó mụ t cỏch gii th nht Bi tp 15 (Trớch thi th THPT Quc Gia, trng Chuyờn Lý T Trng, Cn Th) Cho... ABN ) = OH T cỏc tam giỏc vuụng OAK; ONB cú: 1 OH 2 = 1 OA 2 + 1 OK = 2 Vy, d (OM ; AB) = OH = 1 OA 2 + 1 OB 2 + 1 ON 2 = 1 3a 2 + 1 a 2 + 1 3a 2 = 5 3a 2 OH = a 15 5 a 15 5 Cỏch gii thc 2: PPT trong khụng gian 12 (lp phng trỡnh mt phng) Chn h trc ta sao cho gc O(0;0;0), A(0; 0; a 3); B(a;0; 0), C (0; a 3; 0), a a 3 M ; ; 2 2 a 3 a 3 0 ữ, gi N l trung im ca AC N 0; ; ữ MN l ng trung ữ 2 2 ữ... HB, DS Bỡnh lun: Vic gii bng PPT vi bi toỏn ny chỳng ta ch cn quan tõm ti cỏc tớnh toỏn liờn quan n ta ca cỏc im m khụng cn quan tõm mi quan h hỡnh hc ca cỏc i tng l BH, SD Nu khụng s dng PPT trong khụng gian thỡ ta phi v thờm khỏ nhiu ng ph nh DJ, SI, IH, HK, Ngoi ra phi chng minh c rng HK vuụng gúc vi mt phng (SDJ), t ú ỏnh giỏ quy v khong cỏch gia BH v SD Bi tp 21 ([8], Tr 122) Cho hỡnh ch nht... = uur uuur uuur a3 6 BS, AC BC = ; 4 a 42 (vd) 14 Bỡnh lun: nu lm theo cỏch gii HHKG thun tỳy, chỳng ta phi dng c SK vuụng gúc vi mt phng (SBD) cha SB v song song vi AC iu ny l rt khú vi hu ht hc sinh THPT Bi tp 10 (Trớch thi th Quc Gia, Yờn Phong 2, Bc Ninh) Cho hỡnh chúp S.ABCD u cú cnh ỏy bng a Cnh bờn to vi mt ỏy (ABCD) mt gúc 60o a) Tnh khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau SA, CD b) Th tớch