Một số chuyên đề, toán hay Hình học lớp Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân tổng hợp từ Toán Tuổi Thơ1 Page Một số chuyên đề, toán hay Hình học lớp Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân tổng hợp từ Toán Tuổi Thơ1 Page Một số chuyên đề, toán hay Hình học lớp ĐIỀU BẤT NGỜ NHO NHỎ Là giáo viên Tiểu học biết thêm nhiều cách giải từ em Có cách giải thông minh, dễ hiểu dễ nhớ Tôi nhớ dạy “Diện tích hình tròn”, sau vẽ hình tròn lên bảng xây dựng công thức tính : S = r x r x 3,14 (S diện tích, r bán kính), cho em vận dụng công thức để làm tập sách giáo khoa Hôm sau kiểm tra cũ, nêu câu hỏi : “Em vẽ hình tròn nêu công thức tính chu vi, diện tích hình tròn ?” Tôi mời em Mai lên bảng trình bày Mai vẽ hình tròn viết : C = r x x 3,14 = d x 3,14 ; S = d/2 x d/2 x 3,14 Công thức mà em Mai viết không giống công thức mà dạy hôm trước Em viết công thức tính chu vi diện tích hình tròn qua đường kính d Khi nghĩ hai cách viết mà Tiết luyện toán hôm sau đưa tập : Cho hình vuông ABCD, có BD = 12 cm hình tròn hình vẽ Tính diện tích hình tròn Không đợi hết 10 phút, em Mai xung phong lên bảng làm nhanh AC = BD = 12 cm, OB = BD/2 = cm Diện tích hình vuông ABCD lần diện tích tam giác ABC, nên diện tích hình vuông : x (12 x 6) : = 72 (cm2) Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân tổng hợp từ Toán Tuổi Thơ1 Page Một số chuyên đề, toán hay Hình học lớp Độ dài cạnh AB độ dài đường kính hình tròn nên d x d = AB x BC = 72 cm2 Do : S = (d x d) : x 3,14 = 72 : x 3,14 = 56,52 (cm2) Tôi khen em Mai biết vận dụng công thức : S = (d x d) : x 3,14 để tính diện tích hình tròn qua diện tích hình vuông mà không cần phải tính bán kính hình tròn Tôi đưa tiếp tập số khó : Cho hình vuông ABCD có diện tích 128cm2 Lấy điểm M, N, P, Q điểm cạnh hình vuông làm tâm vẽ hình tròn có bán kính nửa cạnh hình vuông MNPQ Tìm diện tích phần tô màu Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân tổng hợp từ Toán Tuổi Thơ1 Page Một số chuyên đề, toán hay Hình học lớp Hầu hết em tính diện tích hình vuông MNPQ 1/2 diện tích hình vuông ABCD nên diện tích hình vuông MNPQ : 128 : = 64 (cm2) Tổng diện tích hình ; ; diện tích hình tròn có bán kính nửa cạnh hình vuông MNPQ Diện tích hình vuông MNPQ 64 cm2 nên cạnh hình vuông cm Tổng diện tích hình 1, 2, : (8 : 2) x (8 : 2) x 3,14 = 50,24 (cm2) Diện tích phần tô màu : 64 - 50,24 = 13,76 (cm2) Tôi gợi ý : Các em thử giải cách khác cách áp dụng công thức tính diện tích hình tròn Mai Từ em có lời giải : Diện tích hình tròn : 64 : x 3,14 = 50,24 (cm2) Diện tích phần tô màu : 64 - 50,24 = 13,76 (cm2) Thêm lần nữa, công thức tính diện tích : S = (d x d) : x 3,14 em áp dụng nhanh hiệu Tôi phấn khởi em biết dạng khác công thức tính diện tích hình tròn vận dụng cách hợp lí giải toán diện tích hình tròn Phát em chưa lớn điều bất ngờ mà em mang đến cho dù nho nhỏ, cách học dám sáng tạo đáng quý Trương Thanh Hương (Giáo viên trường TH Liên Ninh, Thanh Trì, Hà Nội) PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH ? Kí hiệu : Diện tích hình (P) dt (P) Cạnh đáy tam giác (Q) c.đáy (Q) Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân tổng hợp từ Toán Tuổi Thơ1 Page Một số chuyên đề, toán hay Hình học lớp Chiều cao tam giác (Q) c.cao (Q) Khi gặp toán khó diện tích (dt) hình, đặc biệt toán liên quan đến dt tam giác, thường lúng túng xoay sở nào, nên đâu Để giải tốt loại toán em cần nắm vững vận dụng linh hoạt kiến thức sau : Nếu hình (P) tính trực tiếp diện tích để tính dt (P) ta làm theo cách sau : - Chia hình (P) thành hình dễ tính dt hơn, tính dt hình cộng lại - Bổ sung vào hình (P) số hình (dễ tính dt) để hình (Q) dễ tính dt hơn, lấy dt (Q) trừ dt hình bổ sung Nếu hai tam giác (P) (Q) có : - Chung c.đáy hai c.đáy c.cao (P) = k x c.cao (Q) dt (P) = k x dt (Q) - Chung c.đáy hai c.đáy dt (P) = k x dt (Q) c.cao (P) = k x c.cao (Q) - Chung c.cao hai c.cao c.đáy (P) = k x c.đáy (Q) dt (P) = k x dt (Q) - Chung c.cao hai c.cao dt (P) = k x dt (Q) c.đáy (P) = k x c.đáy (Q) Sau số ví dụ : Ví dụ : Cho hình chữ nhật ABCD, gọi M N điểm AB CD Nối DM, BN cắt AC I K Chứng tỏ AI = IK = KC Giải : (ở ta cần vận dụng mối quan hệ diện tích, c.đáy c.cao tam giác) Ta có : dt (ABC) = x dt (AMD) (vì AB = x AM AD = BC) ; dt (DCM) = dt (ABC) (vì AB = DC c.cao BC) Suy dt (DCM) = x dt (AMD) Gọi CH AE chiều cao tam giác DCM DAM xuống đáy DM, CH = x AE Nhưng CH AE chiều cao tam giác ICM IAM có chung cạnh đáy IM Vậy dt (ICM) = x dt (IAM) Mà tam giác IAM ICM chung chiều cao từ M, IC = x AI, suy AC = x AI hay AI = 1/3 AC Làm tương tự với cặp tam giác ABN CBN ; KCN KAN ta có KC = 1/3 AC Vậy AI = KC = 1/3 AC, suy IK = 1/3 AC Do AI = IK = KC Chú ý : để chứng tỏ đoạn thẳng ta phải chứng tỏ tam giác có chung chiều cao diện tích Ví dụ : Cho tam giác ABC, gọi điểm M, N nằm cạnh AB, AC cho : AB = x AM, AC = x AN Gọi I điểm cạnh BC a) Chứng tỏ tứ giác BMNC hình thang BC = x MN b) Chứng tỏ đoạn thẳng BN, CM, AI cắt điểm Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân tổng hợp từ Toán Tuổi Thơ1 Page Một số chuyên đề, toán hay Hình học lớp Giải : a) Vì AB = x AM, AC = x AN, nên MB = 2/3 x AB, NC = 2/3 x AC Từ suy : dt (MBC) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ C) dt (NCB) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ B) Vậy dt (MBC) = dt (NCB) mà tam giác MBC tam giác NCB có chung đáy BC, nên chiều cao từ M chiều cao từ N xuống đáy BC hay MN song song với BC Do BMNC hình thang Từ MB = 2/3 x AB, nên dt (MBN) = 2/3 x dt (ABN) (chung chiều cao từ N) hay dt (ABN) = 2/3 x dt (MBN) Hơn từ AC = x AN, nên NC = x AN, dt (NBC) = x dt (ABN) (chung chiều cao từ B) ; suy dt (NBC) = 3/2 x x dt (MBN) = x dt (MBN) Mà tam giác NBC tam giác MBN có chiều cao (cùng chiều cao hình thang BMNC) Vì đáy BC = x MN b) Gọi BN cắt CM O Ta chứng tỏ AI cắt BN O Muốn vậy, nối AO kéo dài cắt BC K, ta chứng tỏ K điểm BC (hay K trùng với I) Theo phần a) ta có dt (NBC) = x dt (ABN) Mà tam giác NBC tam giác ABN có chung đáy BN, nên chiều cao từ C gấp lần chiều cao từ A xuống đáy BN Nhưng chiều cao tương ứng hai tam giác BCO BAO có chung đáy BO, dt (BCO) = x dt (BAO) Tương tự ta có dt (BCO) = x dt (CAO) Do dt (BAO) = dt (CAO) Hai tam giác BAO CAO có chung đáy AO, nên chiều cao từ B chiều cao từ C xuống đáy AO Đó chiều cao tương ứng hai tam giác BOK COK có chung đáy OK, dt (BOK) = dt (COK) Mà hai tam giác BOK tam giác COK lại chung chiều cao từ O, nên hai đáy BK = CK hay K điểm cạnh BC Vậy điểm K trùng với điểm I hay BN, CM, AI cắt điểm O Bài tập thực hành : Cho tam giác ABC, gọi M điểm cạnh BC N nằm cạnh AC cho NC = x NA Kéo dài MN cắt cạnh BA kéo dài P a) Chứng tỏ AB = AP b) Gọi Q điểm PC Chứng tỏ ba điểm B, N, Q nằm đường thẳng c) Hãy so sánh : PN NM ; BN NQ VẬN DỤNG KẾT QUẢ MỘT BÀI TOÁN Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân tổng hợp từ Toán Tuổi Thơ1 Page Một số chuyên đề, toán hay Hình học lớp Trong trình dạy học thấy em thường có thói quen giải xong toán xem hoàn thành công việc giao dừng lại đó, có em học sinh biết chủ động, khai thác, tìm tòi, suy nghĩ, vận dụng để giải số toán khác Sau thử làm quen với toán sau vận dụng để giải số toán khác Bài toán: Cho hình thang ABCD Hai đường chéo AC BD cắt điểm O Hãy chứng tỏ rằng: SABD = SABC; SCDB = SCDA; SAOD = SBOC (ở ta kí hiệu: S diện tích; SABD: đọc diện tích tam giác ABD ) Giải: (hình 1) Ta có: a) SABD = SABC (vì chung đáy AB có đường cao đường cao hình thang) b) SCDB = SCDA (vì chung đáy CD có đường cao đường cao hình thang) c) Vì SABD = SABC nên ta có: SAOD + SAOB = SBOC + SAOB Suy ra: SAOD = SBOC (cùng bớt vế SAOB) Bây vận dụng ba cặp tam giác có diện tích nói để giải toán sau: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB < MC Qua M kẻ đường thẳng chia diện tích tam giác ABC thành hai phần có diện tích Giải: Vì MB < MC, ta có SAMB < SAMC nên đường thẳng cần kẻ phải cắt cạnh AC tam giác ABC Cách 1: Gọi O điểm BC Nối AM, AO Qua O kẻ đường thẳng song song với AM cắt AC N Ta có đường thẳng qua M, N đường thẳng cần kẻ (hình 2) Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân tổng hợp từ Toán Tuổi Thơ1 Page Một số chuyên đề, toán hay Hình học lớp Thật vậy: Tứ giác ANOM hình thang nên SAIN = SMIO Mặt khác: SAOC = 1/2 SABC = SAIN + SCOIN = SMIO + SCOIN = SCMN Cách 2: Qua đỉnh B kẻ đường thẳng song song với AM cắt AC kéo dài D Gọi N điểm đoạn thẳng CD Đường thẳng qua M, N đường thẳng cần kẻ (hình 3) Thật vậy: Ta có tứ giác AMBD hình thang nên SABM = SADM suy SABC = SDMC = SAMC + SAMD M điểm CD nên SDMN = SCMN = 1/2 SABC Các bạn giải toán sau không? Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD Hãy tìm điểm M cạnh tứ giác ABCD cho nối AM đoạn thẳng AM chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích Bài toán 2: Cho tam giác ABC Gọi M điểm BC, qua M kẻ đường thẳng chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích phần gấp lần phần Bài toán 3: Cho tứ giác ABCD Gọi M điểm AB Tìm điểm N cạnh tứ giác để nối M với N đoạn MN chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân tổng hợp từ Toán Tuổi Thơ1 Page Một số chuyên đề, toán hay Hình học lớp Lê Trọng Châu (Giáo viên Trường THCS Bình Lộc, Can Lộc, Hà Tĩnh) KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN Dạng toán có nội dung hình học liên quan đến diện tích tam giác dạng toán khó em học sinh lớp Để giúp em có thêm kiến thức có khả vận dụng gặp dạng toán này, xin trao đổi hướng khai thác toán Bài toán : Cho tam giác ABC, BC lấy M cho BM = MC, N điểm cạnh AC cho NC = x NA Kéo dài MN cắt BA P Hãy chứng tỏ AP = AB Lời giải : Nối BN, CP, kí hiệu S diện tích tam giác, ta có : SPBM = SMPC (vì có đáy BM = MC chung chiều cao hạ từ P) SBNM = SMNC (vì có đáy BM = MC chung chiều cao hạ từ N) Do SPBM - SBNM = SMPC - SMNC hay SPBN = SPNC (1) SPNC = SAPN x (2) (vì có đáy NC = x NA chung chiều cao hạ từ P) Từ (1) (2) ta có SAPN x = SPBN hay SAPN = SABN Hai tam giác có chung chiều cao hạ từ N nên đáy chúng tức AP = PB Thay đổi vị trí M ; N ta có toán sau : Bài toán : Cho tam giác ABC có AB = cm ; M điểm BC cho BM = x MC ; N điểm AC cho AN = x NC ; MN cắt BA kéo dài P a) Tính AP b) So sánh PN với NM Lời giải : Nối PC ; BN a) Tương tự ta chứng minh SPBN = x SPNC Nếu coi SPNC = a SPBN = x a Do SAPN = x SNPC nên SAPN = x a, suy SANB = a hay SAPN = x SANB, mà hai tam giác có chung chiều cao hạ từ N, nên AP = AB x hay AP = x = (cm) Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân tổng hợp từ Toán Tuổi Thơ1 Page 10 Một số chuyên đề, toán hay Hình học lớp b) Theo phần (a) ta có : SPBN = x a, SABN = a ; SABN = x SNBC (vì có AN = x NC chung chiều cao hạ từ B), SNBC = a/2 (1) SNBM = 3/4SNBC (vì MB = x MC nên MB = 3/4 BC ; chung chiều cao hạ từ N) (2) Từ (1) (2) ta có : SNBM = a/2 x 3/4 = (3x2)/8 Hai tam giác PBN NBM có chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống PM, có tỉ số diện tích : (3 x a) :(3 x a)/8 = 8, nên tỉ số độ dài hai đáy hay PN = x NM Thay đổi vị trí M, N ta có toán sau : Bài toán : Cho tam giác ABC, M điểm BC cho MC = x MB ; N điểm AC cho AN = x NC ; NM cắt AB kéo dài P a) So sánh SAPM với S,sub>MPC b) So sánh AB với PB Lời giải : Nối AM ; PC a) Tương tự ta chứng minh : SAPM = x SMPC b) Tương tự ta chứng minh AB = x PB Tiếp tục thay đổi vị trí M, N, P để có toán sau : Bài toán : Cho tam giác ABC Trên AB lấy M cho AM = 1/2 MB; cạnh AC lấy điểm N cho AN = 1/3 NC ; BN cắt CM P a) So sánh diện tích tam giác PBC với diện tích tam giác ABC b) Tính tỉ số độ dài PN so với PB Hướng dẫn giải : Nối A với P ta có : SBCM = x SMCA (vì có MB = x MA chung chiều cao hạ từ C) SBPM = x SMPA (vì có MB = x MA chung chiều cao hạ từ P) Suy : SBPC = x SCPA (1) Tương tự ta có : SCBN = x SNBA (vì có CN = x NA chung chiều cao hạ từ B) ; SCPN = x SNPA (vì có CN = x NA chung chiều cao hạ từ P) Suy : SBPC = x SAPB (2) Từ (1) (2) ta thấy : coi SPBC phần nhau, S,sub>APB phần, SNPA phần Khi SABC : + + = 11 (phần) Vậy SBPC : SABC = 6/11 Tương tự tính PN : PB = 3/8 Bây bạn thử sức toán sau : Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân tổng hợp từ Toán Tuổi Thơ1 Page 11 Một số chuyên đề, toán hay Hình học lớp Bài : Cho tam giác ABC ; N điểm AC cho AN = x NC ; M điểm BC cho BM = 1/2 MC Nối MN cắt BA kéo dài P, biết AB = cm Tính PB Bài : Cho tam giác ABC ; M điểm AB cho BM = x MA ; N điểm AC cho AN = 1/2 NC ; NB cắt MC O a) So sánh diện tích tam giác AOB với AOC b) Tính tỉ số độ dài hai đoạn thẳng OM OC Trần Xuân Dần (Phòng GD - ĐT huyện Thanh Miện, Hải Dương) Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân tổng hợp từ Toán Tuổi Thơ1 Page 12 [...]... cũng là 8 hay PN = 8 x NM Thay đổi vị trí M, N ta có bài toán sau : Bài toán 3 : Cho tam giác ABC, M là điểm trên BC sao cho MC = 2 x MB ; N là điểm trên AC sao cho AN = 4 x NC ; NM cắt AB kéo dài tại P a) So sánh SAPM với S,sub>MPC b) So sánh AB với PB Lời giải : Nối AM ; PC a) Tương tự như bài 1 ta chứng minh được : SAPM = 4 x SMPC b) Tương tự ta cũng chứng minh được AB = 8 x PB Tiếp tục thay đổi vị... Toán Tuổi Thơ1 Page 11 Một số chuyên đề, bài toán hay Hình học lớp 5 Bài 1 : Cho tam giác ABC ; N là điểm trên AC sao cho AN = 3 x NC ; M là điểm trên BC sao cho BM = 1/2 MC Nối MN cắt BA kéo dài tại P, biết AB = 6 cm Tính PB Bài 2 : Cho tam giác ABC ; M là điểm trên AB sao cho BM = 3 x MA ; N là điểm trên AC sao cho AN = 1/2 NC ; NB cắt MC tại O a) So sánh diện tích tam giác AOB với AOC b) Tính tỉ... M, N, P để có bài toán sau : Bài toán 4 : Cho tam giác ABC Trên AB lấy M sao cho AM = 1/2 MB; trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 1/3 NC ; BN cắt CM tại P a) So sánh diện tích tam giác PBC với diện tích tam giác ABC b) Tính tỉ số độ dài PN so với PB Hướng dẫn giải : Nối A với P ta có : SBCM = 2 x SMCA (vì có MB = 2 x MA và chung chiều cao hạ từ C) SBPM = 2 x SMPA (vì có MB = 2 x MA và chung chiều...Một số chuyên đề, bài toán hay Hình học lớp 5 b) Theo phần (a) ta có : SPBN = 3 x a, SABN = a ; SABN = 2 x SNBC (vì có AN = 2 x NC và chung chiều cao hạ từ B), do đó SNBC = a/2 (1) SNBM = 3/4SNBC (vì MB = 3 x MC nên MB = 3/4 BC ; và chung ... chiều cao từ M chiều cao từ N xuống đáy BC hay MN song song với BC Do BMNC hình thang Từ MB = 2/3 x AB, nên dt (MBN) = 2/3 x dt (ABN) (chung chiều cao từ N) hay dt (ABN) = 2/3 x dt (MBN) Hơn từ AC... đáy hay PN = x NM Thay đổi vị trí M, N ta có toán sau : Bài toán : Cho tam giác ABC, M điểm BC cho MC = x MB ; N điểm AC cho AN = x NC ; NM cắt AB kéo dài P a) So sánh SAPM với S,sub>MPC b) So. .. kẻ đường thẳng song song với AM cắt AC N Ta có đường thẳng qua M, N đường thẳng cần kẻ (hình 2) Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân tổng hợp từ Toán Tuổi Thơ1 Page Một số chuyên đề, toán hay Hình học lớp