B GIO DC V O TO I HC NNG NGUYN TIN CNG H PHNG TRèNH V NG DNG TRONG CHNG TRèNH TRUNG HC PH THễNG Chuyờn ngnh: Phng phỏp Toỏn s cp Mó s : 60 46 0113 TểM TT LUN VN THC S KHOA HC Nng Nm 2014 Cụng trỡnh c hon thnh ti I HC NNG Ngi hng dn khoa hc: TS Lấ HI TRUNG Phn bin 1: TS Lờ Hong Trớ Phn bin 2: GSKH.TS Nguyn Vn Mu Lun ó c bo v trc Hi ng chm Lun tt nghip Thc s Khoa hc hp ti i Hc Nng vo ngy 14 thỏng 06 nm 2014 Cú th tỡm hiu Lun ti: - Trung tõm Thụng tin - Hc liu, i hc Nng - Th vin trng i hc S phm, i hc Nng M U Lý chn ti H phng trỡnh l mt dng toỏn quen thuc i vi hc sinh t bc Trung hc c s, ng thi nú cng chim mt v trớ quan trng v c bit chng trỡnh Toỏn ca THPT bi l ngoi vic phỏt huy tớnh t duy, suy lun v logic dng toỏn trờn cũn cú mt ti hu ht cỏc k thi i hc, cao ng v cỏc k thi hc sinh gii quc gia, Olympic Nột quyn r ca h phng trỡnh nm tớnh c thự ca mi dng v phng phỏp tỡm nghim tng ng cho mi dng ú Vi mong mun cú th hiu k hn v cỏc dng v phng phỏp gii h phng trỡnh v c s gi ý ca giỏo viờn hng dn TS Lờ Hi Trung nờn tụi la chn ti: H phng trỡnh v ng dng chng trỡnh THPTcho lun thc s ca mỡnh Mc tiờu nghiờn cu ca ti Mc tiờu ca ti nghiờn cu cỏc dng toỏn v h phng trỡnh chng trỡnh THPT v cỏc phng phỏp gii ng thi sỏng to mt s h phng trỡnh Ngoi tỏc gi cng c gng nghiờn cu v ng dng phn mm Maple gii cỏc h phng trỡnh v gii gn ỳng mt s h phng trỡnh phc Phng phỏp nghiờn cu Trong lun tỏc gi cú s dng cỏc kin thc liờn quan n cỏc lnh vc sau õy: Gii tớch, i s tuyn tớnh i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu Nghiờn cu cỏc dng h phng trỡnh v phng phỏp gii Phm vi nghiờn cu Cỏc dng h phng trỡnh chng trỡnh Toỏn thuc THPT, cỏc bi toỏn cỏc k thi i hc, cao ng, hc sinh gii quc gia v Olympic úng gúp ca ti ti cú ý ngha v mt lý thuyt, cú th s dng nh l ti liu tham kho dnh cho hc sinh, sinh viờn v giỏo viờn ging dy mụn toỏn Trung hc Ph Thụng Cu trỳc lun Lun bao gm: Phn m u Chng Mt s dng toỏn v h phng trỡnh 1.1 Cỏc dng toỏn c bn v h phng trỡnh 1.2 H phng trỡnh cha cn thc 1.3 H phng trỡnh cha giỏ tr tuyt i 1.4 H phng trỡnh lng giỏc 1.5 H phng trỡnh cha hm s m 1.6 H phng trỡnh cha hm logarit 1.7 H phng trỡnh khụng mu mc 1.8 Mt s bi toỏn h phng trỡnh 1.9 H phng trỡnh v mt s thi Olimpic, hc sinh gii Chng S dng phn mm Maple gii h phng trỡnh 2.1 Tng quan v phn mm Maple 2.2 Hng dn s dng phn mm Maple gii h phng trỡnh 2.3 ng dng ca Maple gii mt s h phng trỡnh 2.4 ng dng phn mm Maple ging dy chuyờn h phng trỡnh THPT Phn kt lun Ti liu tham kho CHNG MT S DNG TON V H PHNG TRèNH Ni dung chớnh ca chng ny nhm gii thiu mt s dng h phng trỡnh v cỏc phng phỏp c bn gii bi toỏn ng thi cng a nhng vớ d in hỡnh cho cỏc dng h phng trỡnh ú Giỳp ta cú cỏi nhỡn khỏi quỏt v h phng trỡnh v tỡm hiu v cỏch sỏng to cỏc h phng trỡnh ú Cỏc kin thc cú th tham kho ti cỏc ti liu [1], [2], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11] 1.1 CC DNG TON V H PHNG TRèNH nh ngha 1.1 Biu thc cú dng: ỡ a1 x + b1 y = c1 , ợ a2 x + b2 y = c2 , (1.1) ú , bi , ci ẻ Ă (i = 1, 2) ; x, y l nghim cn phi tỡm, c gi l h phng trỡnh tuyn tớnh bc nht Ta a vo iu kin: a12 + b12 0; a2 + b2 nh ngha 1.2 Rừ rng l h trờn cú th cú mt nghim, cú th vụ nghim hoc cú vụ s nghim Ta kớ hiu: D= a1 a2 b1 c , Dx = b2 c2 b1 a , Dy = b2 a2 b1 b2 nh lý 1.1 Nu D thỡ h (1.1) cú nghim nht c xỏc nh bng: x= Dx ; D y= Dy D Vớ d 1.1 nh lý 1.2 Nu D = v Dx hoc D y thỡ h (1.1) vụ nghim Vớ d 1.2 nh lý 1.3 Nu D = v Dx = hoc Dy = thỡ h cú vụ s nghim Vớ d 1.3 Nhn xột 1.1 Vớ d 1.4 nh ngha 1.3 Biu thc cú dng: ỡ Ax + By + C = 0, (1.7) 2 ợ ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0, ú A, B, C , a, b, c, d , f ẻ Ă ; x, y l nghim cn phi tỡm, c gi l h phng trỡnh gm mt phng trỡnh bc nht v mt phng trỡnh bc hai Ta a vo iu kin: A2 + B 0; a + c nh ngha 1.4 Vớ d 1.5 nh ngha 1.5 Biu thc cú dng: 2 ùỡ a1 x + b1 xy + c1 y = d1 , 2 ùợ a2 x + b2 xy + c2 y = d , (1.10) ú , bi , ci ẻ Ă , i = 1, ; x, y l nghim cn phi tỡm, c gi l h phng trỡnh tng quỏt bc hai Ta a vo iu kin: a12 + c12 0, a2 + c2 nh ngha 1.6 Vớ d 1.6 nh ngha 1.7 H phng trỡnh cú dng: ỡ f ( x, y ) = 0, ợ g ( x, y ) = 0, ú i vai trũ ca x, y thỡ tng phng trỡnh ca h khụng i, c gi l h phng i xng loi mt Núi cỏch khỏc, ta cú c: nh ngha 1.8 ỡ f ( x, y ) = f ( y, x), (1.13) = g ( x , y ) g ( y , x ) ợ H qu 1.1 Nhn xột 1.2 Vớ d 1.7 nh ngha 1.9 Biu thc cú dng: ỡ f ( x, y ) = g ( x, y ), ợ f ( y, x) = g ( y, x), ú ta thay x bi y v y bi x thỡ phng trỡnh ny tr thnh phng trỡnh ca h v ngc li, c gi l h phng trỡnh i xng loi hai nh ngha 1.10 Vớ d 1.8 nh ngha 1.11 nh ngha 1.12 Vớ d 1.9 nh ngha 1.13 Biu thc cú dng: ỡ f ( x1 ) = g ( x2 ), ù f ( x ) = g ( x ), ùù ù f ( x ) = g ( x ), n -1 n ù ùợ f ( xn ) = g ( x1 ), (1.20) ú xi (i = 1; n) l nghim cn phi tỡm, c gi l h phng trỡnh hoỏn v nh ngha 1.14 nh lý 1.4 Nu hai hm s f ( x), g ( x) cựng tng trờn A v ( x1 , x2 , , xn ) l nghim ca h (trong ú xi ẻ A, i = 1; n ) thỡ x1 = x2 = = xn nh lý 1.5 nh lý 1.6 Trong gii hn ca lun ta ch xột h lp ba n: Vớ d 1.10 Vớ d 1.11 nh ngha 1.17 Biu thc cú dng: m n ùỡ f ( x , y ) = 0, h k ùợ g ( x , y ) = 0, ú m, n, h, k ẻ Ă , x, y l nghim cn phi tỡm, c gi l h phng trỡnh bc cao nh ngha 1.1.18 Ta a v mt s phng phỏp gii sau: a Phng phỏp bin i tng ng Vớ d 1.12 Nhn xột 1.3 b Phng phỏp t n ph Vớ d 1.13 c S dng phng phỏp ỏnh giỏ Vớ d 1.14 d S dng phng phỏp ng bc Vớ d 1.15 Vớ d 1.16 Vớ d 1.17 1.2 H PHNG TRèNH CHA CN THC Ni dung ca phn ny núi v cỏc phng phỏp i tỡm nghim ca h hai phng trỡnh hai n, ú l cỏc h phng trỡnh cú cha cn thc a S dng phng phỏp bin i tng ng Vớ d 1.18 Nhn xột 1.4 Vớ d 1.19 b S dng phng phỏp t n ph Vớ d 1.20 c S dng phng phỏp hm s Vớ d 1.21 d S dng phng phỏp ỏnh giỏ Vớ d 1.22 10 Ta a vo phng phỏp gii nh sau: Chuyn tng f ( x) f ( y ) = m thnh tớch Nhn xột 1.5 Phng phỏp chung l nu bit tng x + y thỡ cn tỡm hiu x - y hay ngc li, bng cỏc cụng thc bin i, tc l: f ( x) f ( y ) = m g1 ( x + y ).g ( x - y ) = m1 , t ú ta thay phng trỡnh x y = a vo phng trỡnh trờn tỡm biu thc cũn li Vớ d 1.30 b Vi h phng trỡnh lng giỏc cú dng: ỡs inx.sin y = m, ợx y = a ỡs inx.cos = m, ợx y = a ỡcos x.cos y = m, ợx y = a ỡ tan x.tan y = m, ợx y = a Ta a vo phng phỏp gii nh sau: Chuyn tớch f ( x).g ( y ) = m thnh tng Vớ d 1.31 c Vi cỏc h phng trỡnh lng giỏc dng: ỡ f ( x) = m, ù f ( y) ùx y = a , ợ ú f ( x) l mt hm s lng giỏc theo bin x Vớ d 1.32 Vớ d 1.33 d Vi h phng trỡnh lng giỏc dng (1.54) 11 ỡs inx = f ( y ), ợcos x = g ( y ) Ta s dng phng phỏp bỡnh phng: + Bc 1: Bỡnh phng phng trỡnh th nht v th hai ri cng li thu c phng trỡnh h qu: f ( y) + g ( y) = (1.58) + Bc 2: Gii phng trỡnh (1.58) nhn c y , ri thay vo h thu c x Nhn xột 1.6 e Vi h phng trỡnh lng giỏc dng ỡ = f ( y ), ù cos x ùợ tan x = g ( y ), hoc ỡ = f ( y ), ù s inx ùợcot x = g ( y ), Vớ d 1.34 Mt s phng phỏp a vo gii h phng trỡnh lng giỏc: * S dng phng phỏp t n ph Vớ d 1.35 * S dng phng phỏp hm s Vớ d 1.36 1.5 H PHNG TRèNH M Ni dung c bn ca phn ny núi v cỏc phng phỏp i tỡm nghim ca h hai phng trỡnh hai n, ú l cỏc h phng trỡnh m a S dng phng phỏp t n ph Vớ d 1.37 b S dng phng phỏp hm s 12 Vớ d 1.38 Vớ d 1.39 c S dng phng phỏp ỏnh giỏ Vớ d 1.40 1.6 H PHNG TRèNH LOGARIT Ni dung c bn ca phn ny núi v cỏc phng phỏp i tỡm nghim ca h hai phng trỡnh hai n, ú l cỏc h phng trỡnh logarit a S dng phng phỏp bin i tng ng Vớ d 1.41 b S dng phng phỏp t n ph c S dng phng phỏp hm s Vớ d 1.43 1.7 H PHNG TRèNH KHễNG MU MC Ni dung c bn ca phn ny núi v cỏc phng phỏp i tỡm nghim ca mt s h phng trỡnh a Phng phỏp bin i tng ng Vớ d 1.44 Vớ d 1.46 b Gii h phng trỡnh bng phng phỏp t n ph Vớ d 1.47 c Gii h phng trỡnh bng phng phỏp ỏnh giỏ Vớ d 1.48 d Gii h phng trỡnh bng phng phỏp hm s Vớ d 1.49 Vớ d 1.50 Vớ d 1.51 13 1.8 MT S BI TON V H PHNG TRèNH Khi gii h phng trỡnh dự cú dựng cỏch no bin i i chng na thỡ mc ớch cui cựng ca ta cng l chuyn v phng trỡnh mt bin ri gii phng trỡnh thu c ú cng l suy ngh t nhiờn, vic lm gim bin l quy lut toỏn hc Vớ d 1.52 Vớ d 1.53 Gii h phng trỡnh: Nhn xột 1.8 ỡù x - xy + x + y = 0, (1.90) 2 ùợ x - x y + x + y = Vớ d 1.54 Nhn xột 1.9 Vớ d 1.55 Nhn xột 1.10 Vớ d 1.56 Nhn xột 1.11 vớ d 1.56 chỳng ta thy f (t ) khụng n iu trờn Ă Do ú phi cú thờm nhn xột õy chớnh l mu cht ca bi toỏn Sau õy l bi toỏn thay vỡ ta ỏnh giỏ riờng l x, y, z , ta s ỏnh giỏ nhng biu thc hoỏn v ca x, y, z l x + y , y + z , z + x Vớ d 1.57 (VMO 2006) Gii h phng trỡnh: ỡ x + 3x + x - = y, ù y + y + y - = z, ù z + z + z - = x ợ 14 Nhn xột 1.12 Cỏch th nht l phng phỏp dựng bt ng thc, cỏch th hai ta thy vic ỏnh giỏ x + y , y + z , z + x rừ rng cú li th ca nú Ta cú th so sỏnh x + y , y + z , z + x da vo mi quan h hoỏn v gia x, y, z Ta cng xột mt vớ d tng t sau: Vớ d 1.58 Gii h phng trỡnh: ỡ x = y3 + y2 , ù y = 3z + z , ù z = x3 + x ợ Nhn xột 1.13 Cõu hi t l no xột x + y , y + z , z + x ? Mu cht õy chớnh l xõy dng mt hm n iu trờn xỏc nh Nu nguyờn h phng trỡnh ta xột f (t ) = 3t + 2t thỡ f '(t ) = 9t + 4t cú nghim t = nờn f (t ) cú th i chiu n iu Nh vy ta phi bin i phng trỡnh cú c mt hm n iu bng cỏch cng hai v ca phng trỡnh th nht cho ky , tng t vi phng trỡnh th hai v phng trỡnh th ba Nh vy h tr thnh Vớ d 1.59 Vớ d 1.60 Nhn xột 1.14 Nhn xột 1.15 Vớ d 1.61 Nhn xột 1.16 ỡ x + ky = y + y + ky, ù y + kz = z + z + kz , ù + = 3+ 2+ ợ z kx x x kx 15 Vớ d 1.62 Nhn xột 1.17 1.9 H PHNG TRèNH V MT S OLYMPIC, HC SINH GII a Phng phỏp cng, phng phỏp th vic sỏng tỏc bi toỏn mi õy l phng phỏp c bn nht T bi hc v lũng ó cú phng phỏp ny Tuy nhiờn phng phỏp ny thng xut hin cỏc k thi ln, nhng k thi ch dnh cho nhng hc sinh xut sc Sau õy l mt s k thut gii v sỏng tỏc bi toỏn Vớ d 1.63 Vớ d 1.64 Nhn xột 1.18 Vớ d 1.65 Xut phỏt t bin i tng ng ta chn: ( v + 5) = ( u - 3) u + v3 - 9u + 15v = -98 - 72u - 75v Khi ( u; v ) = ( 3; -5 ) thỡ (1.109) ỳng, vi ( u; v ) = ( 3; -5 ) thỡ: 3 u + v3 = -98 (1.110) T (1.109) v (1.110) ta c: 3u - 5v = 9u + 25v (1.111) t u = x + y, v = x - y Thay vo (1.110) v (1.111) ta vớ d sau: Vớ d 1.66 (HSG Quc gia 2014, bng B) Nhn xột 1.19 b S dng nh thc Niu-tn sỏng tỏc mt s h phng trỡnh khụng mu mc Vớ d 1.67 Vớ d 1.68 Vớ d 1.69 T ỡù( x + y )5 = 3, ỡù x + y = 3, ớ ùợ x - y = ùợ( x - y ) = 16 Bng mt s phộp bin i ta cú c vớ d sau: Vớ d 1.70 (Chn i tuyn thnh ph H Chớ Minh d thi HSG Quc gia 2002-2003) Gii h phng trỡnh: ỡ1 4 ù x - y = 2( y - x ), ù ù + = (3x + y )( x + y ) ùợ x y c Bi toỏn v h i xng loi mt Vớ d 1.71 Xột x = 3, y = Cn cú mt h bc hai i xng vi S v P Ta ch cn tớnh xy + x + y = 3, x + y + x + y = 12 Ta cú vớ d sau: Vớ d 1.72 (Canadian Mathematical Olympiad Repechage 2011) Vớ d 1.73 Vớ d 1.74 d Bi toỏn v h i xng loi hai Vớ d 1.75 Vớ d 1.76 Vớ d 1.77 Vớ d 1.78 Vớ d 1.79 Chn phng trỡnh ( x + y ) + ( x - 1) + ( y - 1) = 0, ta bin i thnh: y + x - = y + xy + x (1.123) Ta bit rng gii h i xng loi hai, nu ly hai phng trỡnh tr cho s xut hin ộ y - x = 0, ( y - x ) f ( x, y ) = f ( x, y ) = 17 Vy to mt h i xng loi hai, ta nhõn c hai v ca (1.123) vi ( y - x), dn ti: y - x + x - y = y - x y - y - x + C = x - x - y + C T õy ta s cú rt nhiu h i xng loi hai T h (1.121) ny, nu y = x thỡ x3 - x - x - C = 0, ú ta nờn chn C cho h phng trỡnh cú nghim p bi toỏn khụng quỏ khú Gi s chn C = Ta cú vớ d sau: Vớ d 1.80 (Czech And Slovakia Mathematical Olympiad 2008) Gii h phng trỡnh: ỡù x + y = y , ùợ y + x = x e Cỏc h bc hai tng quỏt Vớ d 1.81 T mt h ng cp bc hai, bng cỏch tnh tin nghim, ta s thu c mt h bc hai tng quỏt Xột h: ỡùu + uv + 2v = 4, 2 ùợ3u - uv - v = t u = x + 2, v = y - Ta thu c vớ d sau: Vớ d 1.82 Nhn xột 1.20 f xut gii h phng trỡnh bng phng phỏp dựng tớnh n iu ca hm s Vớ d 1.83 Vớ d 1.84 Nhn xột 1.21 18 CHNG S DNG PHN MM MAPLE TèM NGHIM CA H PHNG TRèNH Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by mt cỏch tng quan v phn mm Maple v cỏch s dng phn mm Maple tỡm nghim mt s h phng trỡnh Cỏc kin thc ny cú th tham kho ti cỏc ti liu [3], [4], [12], [13], [14],[15],[16],[17] 2.1 TNG QUAN V PHN MM MAPLE Phn mm Maple l thnh qu ca nhúm cỏc nh khoa hc trng i hc Waterloo Canada v l mt nhng b phn mm toỏn hc s dng rng rói nht hin ti ny ch cp n mt rt nh: S dng phn mm Maple vo vic gii h phng trỡnh chng trỡnh toỏn THPT Vỡ õy l ni dung quan trng xuyờn sut chng trỡnh i s trng THPT v nú c nhiu cỏc kỡ thi i hc, Hc sinh gii v Olympic iu ny ũi hi khụng nhng bn thõn giỏo viờn cn cú nhng k nng tt m cũn phi bit hng dn ging dy ch rừ cho hc sinh ca mỡnh v cỏc cụng on, hng suy lun logic v cỏc phng phỏp gii bi mu, bit cỏch khai thỏc to nhng bi tng t v khỏi quỏt hn 2.2 HNG DN S DNG PHN MM MAPLE TèM NGHIM H PHNG TRèNH Mt nhng u im ni bt ca Maple l cỏc lnh vit nh ngụn ng thụng thng, n gin, cựng vi kh nng tớnh toỏn nhanh, chớnh xỏc Chớnh nhng u im ú ó giỳp chỳng ta cú th kim tra kt qu sau gii phng trỡnh, h phng trỡnh mt cỏch d dng v khụng mt nhiu thi gian 19 Túm li, s dng Maple vic tỡm nghim ca phng trỡnh, h phng trỡnh mang li li ớch ht sc to ln vic kim tra ỏnh giỏ nõng cao k nng tớnh toỏn V lnh solve l lnh c dựng gii tỡm nghim ca h phng trỡnh m chỳng ta s phi nghiờn cu Mn hỡnh lm vic ca Maple: Cỏc phộp tớnh c bn: a Xõy dng biu thc b Khai trin biu thc: lnh expand Vớ d 2.1 Vớ d 2.2 c Xỏc nh giỏ tr: lnh evalf Vớ d 2.3 d Tớnh tng: lnh sum Vớ d 2.4 e Phõn tớch a thc thnh nhõn t: lnh factor f Tớnh giỏ tr biu thc vi h iu kin rng buc ca cỏc bin ta s dng lnh: simplify(biu thc,{iu kin}) g Gii h phng trỡnh 20 Vi lnh solve ny thỡ ta cú th gii rt nhiu loi h phng trỡnh t n gin n phc Vớ d 2.5 2.3 NG DNG PHN MM MAPLE TèM NGHIM H PHNG TRèNH Vớ d 2.6 Vớ d 2.7 Vớ d 2.8 Vớ d 2.9 Vớ d 2.10 Vớ d 2.11 Vớ d 2.12 Vớ d 2.13 Vớ d 2.14 Vớ d 2.15 Vớ d 2.16 Vớ d 2.17 Vớ d 2.18 Vớ d 2.19 Vớ d 2.20 Vớ d 2.21 Nhn xột 2.1 2.4 NG DNG PHN MM MAPLE TRONG GING DY CHUYấN H PHNG TRèNH TRONG KHI THPT a Hiu qu ng dng cụng ngh thụng tin vo ging dy Hin chỳng ta ang chng kin s phỏt trin nh v bóo ca cụng ngh thụng tin v truyn thụng (ITC) Cỏc nh khoa hc ó 21 khng nh: cha cú mt ngnh khoa hc v cụng ngh no li phỏt trin nhanh chúng, sõu rng v cú nhiu ng dng nh tin hc S i ca Internet, nú ó m mt k nguyờn thụng tin Ngy phn mm ó tr nờn rt phong phỳ, a dng, ú cú rt nhiu phn mm cú th khai thỏc rốn luyn k nng thc hnh cho hc sinh Chng hn vi phn mm Maple, hc sinh cú th rốn luyn cỏc k nng c bn v kho sỏt hm s, tớnh din tớch ca mt phng Phn mm Maple cũn giỳp hc sinh rốn luyn vic dng hỡnh, tỡm nghim phng trỡnh, h phng trỡnh Nh vy vic luyn v t kim tra ỏnh giỏ ca hc sinh khụng cũn b hn ch v mt thi gian v ni dung nh cỏc phng phỏp kim tra thụng thng b Kt qu nhn c s dng dng phn mn Maple vo ging dy Vớ d 2.22 Vớ d 2.23 (HSG Quc gia 2010) Gii h phng trỡnh: 4 ùỡ x - y = 240, (2.18) 2 ùợ x - y = 3( x - y ) - 4( x - y ) Nhn xột 2.3 Do x, y tỏch bit ta hi vng a hai phng trỡnh ca h v dng ( x + a ) = ( y + b)4 Mun vy ta ly phng trỡnh th hai nhõn vi a ri cng phng trỡnh th nht x + a ( x3 - 3x + x) = y + 240 + a (2 y - 12 y + 32) Cn chn a cho: ( x + a ) = ( y + b)4 22 õy chớnh l phng phỏp h s bt nh nh ó núi trờn Nh vy, ta cn phõn tớch ( x + a ) = ( y + b)4 , Maple ta dựng lnh expand Nh vy ng nht h s ta cú c: ỡa = -8, ù ớa = -2, ùb = -4 ợ Ly phng trỡnh th hai nhõn vi (- 8) ri cng phng trỡnh th nht ta cú x + 16 - 8( x - 3x + x) = y + 256 - 8(2 y - 12 y + 32 y ) S dng lnh factor phõn tớch biu thc trờn v dng nhõn t: 23 n õy bi toỏn ó tr nờn d dng Nu x = y - thay vo phng trỡnh th nht ca h (2.18) cú: Nh vy ta cú: y - 24 y + 32 y + 224 = y = -2 ị x = -4 Nu x = - y thay vo phng trỡnh th nht ca h (2.18) cú: Nh vy ta cú: y - y + 36 y - 44 = y = ị x = Vy h ban u ó cho cú nghim ( x; y ) = {(-4; -2), (4; 2)} Nhn xột 2.4 24 KT LUN Qua mt thi gian tỡm hiu, tip cn v nghiờn cu v H phng trỡnh v ng dng chng trỡnh THPT, lun ó hon thnh v t c mc tiờu nghiờn cu ca ti vi nhng kt qu sau: Tng quan khỏ y v h phng trỡnh, cu trỳc nghim v cỏc phng phỏp gii tng ng Lun cng trỡnh by mt s vớ d c th cho tng dng h phng trỡnh, a kinh nghim la chn phng phỏp gii v phõn tớch bi toỏn h phng trỡnh T ú cho ta mt cỏi nhỡn khỏi quỏt v h phng trỡnh, tỡm hiu v cỏch sỏng to cỏc h phng trỡnh ú Trỡnh by tng quan v phn mn Maple v nhng hng dn s dng phn mm maple vi vic tỡm nghim h phng trỡnh Lun cng trỡnh by mt s bi toỏn ng dng phn mm maple tỡm nghim h phng trỡnh Vi nhng gỡ ó kho sỏt c, lun s l ti liu tham kho hu ớch cho bn thõn ng dng ging dy toỏn THPT v hy vng s l ngun ti liu hu ớch cho nhng quan tõm v h phng trỡnh v ng dng phn mm Maple Trong quỏ trỡnh lm lun mc dự ó cú rt nhiu c gng, song iu kin khỏch quan v nng lc cũn hn ch ca bn thõn nờn lun khú trỏnh nhng thiu sút, tỏc gi rt mong nhn c s gúp ý chõn thnh ca quý thy cụ v bn c cú th tip tc tỡm hiu nghiờn cu v phỏt trin lun sau ny [...]... MAPLE TèM NGHIM H PHNG TRèNH Mt trong nhng u im ni bt ca Maple l cỏc lnh vit nh ngụn ng thụng thng, n gin, cựng vi kh nng tớnh toỏn nhanh, chớnh xỏc Chớnh nhng u im ú ó giỳp chỳng ta cú th kim tra kt qu sau khi gii phng trỡnh, h phng trỡnh mt cỏch d dng v khụng mt nhiu thi gian 19 Túm li, s dng Maple trong vic tỡm nghim ca phng trỡnh, h phng trỡnh mang li li ớch ht sc to ln trong vic kim tra ỏnh giỏ nõng... DNG PHN MM MAPLE TèM NGHIM CA H PHNG TRèNH Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by mt cỏch tng quan v phn mm Maple v cỏch s dng phn mm Maple tỡm nghim mt s h phng trỡnh Cỏc kin thc ny cú th tham kho ti cỏc ti liu [3], [4], [12], [13], [14],[15],[16],[17] 2.1 TNG QUAN V PHN MM MAPLE Phn mm Maple l thnh qu ca nhúm cỏc nh khoa hc trng i hc Waterloo Canada v l mt trong nhng b phn mm toỏn hc s dng rng rói nht... Waterloo Canada v l mt trong nhng b phn mm toỏn hc s dng rng rói nht hin nay ti ny ch cp n mt vn rt nh: S dng phn mm Maple vo vic gii h phng trỡnh trong chng trỡnh toỏn THPT Vỡ õy l ni dung quan trng xuyờn sut chng trỡnh i s trng THPT v nú c nhiu trong cỏc kỡ thi i hc, Hc sinh gii v Olympic iu ny ũi hi khụng nhng bn thõn giỏo viờn cn cú nhng k nng tt m cũn phi bit hng dn ging dy ch rừ cho hc sinh... kz , ù + = 3+ 2+ ợ z kx 3 x 2 x kx 15 Vớ d 1.62 Nhn xột 1.17 1.9 H PHNG TRèNH V MT S OLYMPIC, HC SINH GII a Phng phỏp cng, phng phỏp th trong vic sỏng tỏc bi toỏn mi õy l phng phỏp c bn nht T bi hc v lũng ó cú phng phỏp ny Tuy nhiờn phng phỏp ny vn thng xut hin trong cỏc k thi ln, nhng k thi ch dnh cho nhng hc sinh xut sc Sau õy l mt s k thut gii v sỏng tỏc bi toỏn Vớ d 1.63 Vớ d 1.64 Nhn xột 1.18... Vớ d 2.7 Vớ d 2.8 Vớ d 2.9 Vớ d 2.10 Vớ d 2.11 Vớ d 2.12 Vớ d 2.13 Vớ d 2.14 Vớ d 2.15 Vớ d 2.16 Vớ d 2.17 Vớ d 2.18 Vớ d 2.19 Vớ d 2.20 Vớ d 2.21 Nhn xột 2.1 2.4 NG DNG PHN MM MAPLE TRONG GING DY CHUYấN H PHNG TRèNH TRONG KHI THPT a Hiu qu ng dng cụng ngh thụng tin vo ging dy Hin nay chỳng ta ang chng kin s phỏt trin nh v bóo ca cụng ngh thụng tin v truyn thụng (ITC) Cỏc nh khoa hc ó 21 khng nh:... H PHNG TRèNH Khi gii h phng trỡnh dự cú dựng cỏch no bin i i chng na thỡ mc ớch cui cựng ca ta cng l chuyn v phng trỡnh mt bin ri gii phng trỡnh thu c ú cng l suy ngh t nhiờn, vic lm gim bin l quy lut trong toỏn hc Vớ d 1.52 Vớ d 1.53 Gii h phng trỡnh: Nhn xột 1.8 ỡù x 2 - 2 xy + x + y = 0, (1.90) ớ 4 2 2 2 ùợ x - 4 x y + 3 x + y = 0 Vớ d 1.54 Nhn xột 1.9 Vớ d 1.55 Nhn xột 1.10 Vớ d 1.56 Nhn xột 1.11... m, ớ ợx y = a ỡ tan x.tan y = m, ớ ợx y = a Ta a vo phng phỏp gii nh sau: Chuyn tớch f ( x).g ( y ) = m thnh tng Vớ d 1.31 c Vi cỏc h phng trỡnh lng giỏc dng: ỡ f ( x) = m, ù ớ f ( y) ùx y = a , ợ trong ú f ( x) l mt hm s lng giỏc theo bin x Vớ d 1.32 Vớ d 1.33 d Vi h phng trỡnh lng giỏc dng (1.54) 11 ỡs inx = f ( y ), ớ ợcos x = g ( y ) Ta s dng phng phỏp bỡnh phng: + Bc 1: Bỡnh phng phng trỡnh... khng nh: cha cú mt ngnh khoa hc v cụng ngh no li phỏt trin nhanh chúng, sõu rng v cú nhiu ng dng nh tin hc S ra i ca Internet, nú ó m ra mt k nguyờn thụng tin Ngy nay phn mm ó tr nờn rt phong phỳ, a dng, trong ú cú rt nhiu phn mm cú th khai thỏc rốn luyn k nng thc hnh cho hc sinh Chng hn vi phn mm Maple, hc sinh cú th rốn luyn cỏc k nng c bn v kho sỏt hm s, tớnh din tớch ca mt min phng Phn mm Maple cũn... a ( x3 - 3x 2 + 4 x) = y 4 + 240 + a (2 y 3 - 12 y 2 + 32) Cn chn a sao cho: ( x + a ) 4 = ( y + b)4 22 õy chớnh l phng phỏp h s bt nh nh ó núi trờn Nh vy, ta cn phõn tớch ( x + a ) 4 = ( y + b)4 , trong Maple ta dựng lnh expand Nh vy ng nht h s ta cú c: ỡa = -8, ù ớa = -2, ùb = -4 ợ Ly phng trỡnh th hai nhõn vi (- 8) ri cng phng trỡnh th nht ta cú x 4 + 16 - 8( x 3 - 3x 2 + 4 x) = y 4 + 256 - 8(2... ta cú: y 3 - 9 y 2 + 36 y - 44 = 0 y = 2 ị x = 4 Vy h ban u ó cho cú nghim ( x; y ) = {(-4; -2), (4; 2)} Nhn xột 2.4 24 KT LUN Qua mt thi gian tỡm hiu, tip cn v nghiờn cu v H phng trỡnh v ng dng trong chng trỡnh THPT, lun vn ó hon thnh v t c mc tiờu nghiờn cu ca ti vi nhng kt qu sau: 1 Tng quan khỏ y v h phng trỡnh, cu trỳc tp nghim v cỏc phng phỏp gii tng ng Lun vn cng trỡnh by mt s vớ d c