Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2016 cực hay (Phần 9: Bất đẳng thức và cực trị)

24 917 1
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 07/03/2016, 16:16

1 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN THƯỜNG GẶP Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Một số bất đẳng thức cần ghi nhớ: ( ∀a, b ∈ R ) ab , ( a ≥ 0, b ≥ ) 1) a + b ≥ 2ab 2) a + b + c ≥ 3 abc 3) a + b ≥ 4) a + b3 + c3 ≥ 3abc 1 + ≥ x, y > x y x+ y 7) ≥ ( x, y > 0) xy ( x + y ) 9) a + b3 ≥ a 2b + ab (a, b ≥ 5) 11) a, b > 0, 6) 1 + + ≥ , ( x, y , z > ) x y z x+ y+ z 8) 3( a + b + c ) ≥ (a + b + c) 10) a + b + c ≥ ab + bc + ca a b + ≥2 b a 12) abc ≤ a + b3 + c3 a + b3  a + b  13) ≥    a2 + b2 15) ab ≤ ( ∀a, b ∈ R )  a+b+c 14) abc ≤      a+b 17) ab ≤   ( ∀a, b ∈ R )   11 1 ≤  +  , ( x, y > ) 19) x+ y 4 x y  18) 3(ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c ) 16) 25) ab + bc + ac ≤ a + b + c a b c + + ≥ , (a, b, c > 0) b+c c+a a+b 1 22) + ≥ , ( ∀a, b ≥ 1) + a + b + ab 20) 21) + x + + y ≥ + + x + y , ( x, y ≥ 0) 23) x3 + y ≥ ( x + y )3 , ( x, y ≥ ) 24) a b c (a + b + c)2 + + ≥ x y z x+ y+z a (a1 + a2 + an ) a1 a2 + + + n ≥ x1 x2 xn a1 x1 + a2 x2 + + an xn Bài 1: [ĐVH] Cho a, b > Chứng minh a b + ≥2 b a Bài 2: [ĐVH] Chứng minh a + b ≥ a 3b + ab3 , với a, b Bài 3: [ĐVH] Chứng minh a + b + c ≥ ab + bc + ca với a, b, c Bài 4: [ĐVH] Chứng minh b a + ≥ a + b , với a, b > a b Bài 5: [ĐVH] Chứng minh ( a − b ) ≥ ( a − b ) , với a, b > Bài 6: [ĐVH] Chứng minh a + b5 ≥ a 3b + a 2b , với a, b ≥ Bài 7: [ĐVH] Chứng minh Bài 8: [ĐVH] Chứng minh 1 + ≥ , ( ∀a, b ≥ 1) 2 + a + b + ab ( a + c )( b + d ) ≥ ab + cd , ( ∀a, b, c, d ≥ ) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( a + c) + (b + d ) a2 + b2 + c + d ≥ Bài 9: [ĐVH] Chứng minh Bài 10: [ĐVH] Chứng minh Facebook: LyHung95 2 , ∀a, b, c, d ∈ R a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x ≥ ( x + y + z ) Bài 11: [ĐVH] Chứng minh Hướng dẫn: x + xy + y = 2 ( x + y) ( x + y) − xy ≥ ( x + y) − = ( x + y ) , tương tự ta đpcm Bài 12: [ĐVH] Cho số thực a, b, c > Chứng minh b+c a + ( b3 + c3 ) + c+a b + ( c3 + a3 ) + a+b c + ( a + b3 ) ≤2 Hướng dẫn: b + c = ( b + c ) − 3bc ( b + c ) ≥ ( b + c ) 3 Bài 13: [ĐVH] Chứng minh (b + c) −3 (b + c) (b + c) =  → ( b3 + c ) ≥ ( b + c ) a4 b4 c4 a+b+c + + ≥ 3 3 3 a +b b +c c +a Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG SỬ DỤNG TRỰC TIẾP CÁC HỆ QUẢ CỦA BĐT CÔ-SI Bài 1: [ĐVH] Chứng minh ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ 8abc, ∀a, b, c ≥ ( ) Bài 2: [ĐVH] Chứng minh (1 + a )(1 + b )(1 + c ) ≥ + abc , ∀a, b, c ≥ Bài 3: [ĐVH] Cho a, b, c > Chứng minh : a) a+b b+c c+a + + ≥6 c a b b) a b c + + ≥ b+c c+a a+b Bài 4: [ĐVH] Cho a, b > Chứng minh : a) ( a + 1)( b + 1) ≥ a + b + b) a b − + b a − ≤ ab Bài 5: [ĐVH] Chứng minh : a + b4 + c ≥ abc ( a + b + c ) , ∀a, b, c ∈ R Bài 6: [ĐVH] Cho a, b, c > a + b + c ≤ Chứng minh 1 + + ≥9 a + 2bc b + 2ca c + 2ab Bài 7: [ĐVH] Chứng minh : a) a + c) a + ≥ 3, ∀a > b > b ( a − b) ( a − b )( b + 1) b) a + ≥ 3, ∀a > b > d) b ( a − b) a2 + a2 + ≥ 2, ∀a > b > ≥ 2, ∀a ∈ R Bài 8: [ĐVH] Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh abc ( a + b )( b + c )( c + a ) ≤ Bài 9: [ĐVH] Cho a, b, c > a2 + b2 + c2 = Chứng minh 729 a b c 3 + + ≥ 2 b +c c +a a +b 2  a , b, c > a+b c+b  Bài 10: [ĐVH] Cho  1 Chứng minh rằng: + ≥4 a − b 2c − b  a + c = b Bài 11: [ĐVH] Chứng minh a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ , ∀a, b, c > b+c c+a a+b 1   Bài 12: [ĐVH] Chứng minh với a, b, c > ta có ( a + b + c )  + +  ≥ (a + b + c) a+b b+c c+a Bài 13: [ĐVH] Cho x ≥ , tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + x + 17 ( x + 1) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Bài 14: [ĐVH] Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Facebook: LyHung95 x + x + 34 x +3 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG SỬ DỤNG TRỰC TIẾP BĐT CÔ-SI Ví dụ Cho x, y, z > x + y + z = xyz Tìm giá trị lớn biểu thức P = + x2 + 1+ y2 + 1+ z2 Ví dụ Cho x, y, z > x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x+ y y+z z+x + + xy + z yz + x zx + y Ví dụ Cho x, y > x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + x +y xy Ví dụ Cho x, y > xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + + + xy yz xz x + y + z  x  y  z 1 Ví dụ Cho x, y > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =  +  +  +   y + z  x + z  x + y  Hướng dẫn: Ta có x x + y + z ( x + z) + ( y + z) + = = ≥ ( x + z )( y + z ) y+z 2( y + z ) 2( y + z ) y+z Tương tự cho hai biểu thức lại, sau nhân vào ta P ≥ Ví dụ Cho x, y, z > 1 + + = 1+ x 1+ y 1+ z Tìm giá trị lớn biểu thức P = xyz Hướng dẫn: Tách  1    y z yz = 1 − + ≥2  + 1 − = 1+ x  1+ y   1+ z  y +1 z +1 ( y + 1)( z + 1) Tương tự xz xy ≥2 ; ≥2 1+ y ( x + 1)( z + 1) + z ( x + 1)( y + 1) Nhân vế theo vế BĐT ta 1 xyz ≥8 ⇒ xyz ≤ 1+ x 1+ y 1+ z (1 + x)(1 + y )(1 + z ) Ví dụ Cho số dương x, y, z thoả mãn: xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + x2 + y2 1+ y2 + z2 + z + x2 + + xy yz zx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ví dụ Cho số thực x > 1; y > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x3 + y3 ) − ( x2 + y ) ( x − 1)( y − 1) Hướng dẫn: ( x3 − x2 ) + ( y3 − y ) x2 y2 xy Ta có P = = + ≥ ( x − 1)( y − 1) y −1 x −1 ( x − 1)( y − 1) x   x − = 1.( x − 1) ≤ xy Lại có   → ( x − 1)( y − 1) ≤  y − = 1.( y − 1) ≤ y  Từ dễ dàng suy P ≥ BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a) a b c 1 1 1 + 2+ ≤  + +  2 a +b b +c c +a 2 a b c  b) a+b b+c c+a 1 1 + 2+ ≤ + +  2 a + b b + c c + a2  a b c  Bài 2: [ĐVH] Cho a, b, c > 1 1 + + ≥ Chứng minh abc ≤ 1+ a 1+ b 1+ c Bài 3: [ĐVH] Cho a, b, c Chứng minh : a) a + b + c ≥ ab + bc + ca b) ( ab + bc + ca ) ≥ 3abc ( a + b + c )  a , b, c > Bài 4: [ĐVH] Cho  a + b + c =     Chứng minh  − 1 − 1 − 1 ≥  a  b  c  Bài 5: [ĐVH] CMR 1 a+b+c + + ≤ , ∀a, b, c > a + bc b + ca c + ab 2abc Bài 6: [ĐVH] Chứng minh với a, b, c > ta có 1 1 + 3 + ≤ 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc Bài 7: [ĐVH] Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = Tìm giá trị lớn P = 1 + 3 + 3 a + b + b + c + c + a3 + Bài 8*: [ĐVH] Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = a + b3 b3 + c3 c3 + a3 Tìm GTNN P = + + a + ab + b b + bc + c c + ca + a Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Hướng dẫn: ( a + b ) ( a + ab + b ) − 2ab ( a + b ) 2ab ( a + b ) 2ab ( a + b ) a + b a + b3 = = ( a + b) − ≥ ( a + b) − = 2 2 a + ab + b a + ab + b a + b + ab 3ab Tương tự cho bất đẳng thức khác ta Pmin = a = b = c = Bài 9: [ĐVH] Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz = Chứng minh P = x9 + y y9 + z9 z + x9 + + ≥2 x6 + x3 y3 + y y + y3 z + z z + z x3 + x6 Bài 10: [ĐVH] (Khối D – 2006) Cho số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 1 + x3 + y + y3 + z3 + z + x3 + + ≥3 xy yz zx Chứng minh Khi đẳng thức xảy ra? Bài 11: [ĐVH] Cho x, y, z > Chứng minh y x z 1 + 2+ ≤ 2+ 2+ 2 x +y y +z z +x x y z Bài 12: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a2 b2 c2 + + ≥1 a + 2bc b + 2ac c + 2ab Bài 13: [ĐVH] (Khối B – 2007) Cho x, y, z số thực dương thay đổi x  y  z  Tìm GTNN biểu thức P = x  +  + y  +  + z  +   zx   xy   yz  Bài 14: [ĐVH] Cho số thực x, y Chứng minh a) x + y 2 ( x + y) ≥ b) x + y 4 ( x + y) ≥ 1 + + =4 a b c 1 Chứng minh : + + ≤1 a + b + c a + b + c a + b + 2c Bài 15: [ĐVH] Cho a, b, c > thoả mãn Bài 16: [ĐVH] Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = 12 Chứng minh rằng: xy yz xz + + ≤ x + y y + 4z 4z + x Bài 17: [ĐVH] Cho x, y, z > thoả mãn: xy + xz = Tìm GTNN biểu thức P = yz zx xy + + x y z Bài 18: [ĐVH] Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z + xy = 3( x + y + z ) Tìm GTNN biểu thức P = x + y + z + 20 + x+z 20 y+2 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P3 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG KĨ THẬT TÁCH, GHÉP Ví dụ Cho a, b, c > Chứng minh a2 a+b+c ∑b+c ≥ Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = a) Tìm GTLN biểu thức P = ∑ b) Tìm GTNN biểu thức Q = ( 3a + b ∑( ) x + 3y ) Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN biểu thức P = ∑ a3 (b + 1)(c + 1) a4 a+b+c Ví dụ Cho a, b, c > Chứng minh ∑ ≥ b (a + c) Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN biểu thức P = ∑ a b +1 Ví dụ Cho x, y > thỏa mãn xy = x3 y3 Tìm GTNN biểu thức P = + y +1 x +1 Hướng dẫn: Tách x3 y + 1 3x + + ≥ y +1 2 Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn xy xy + yz yz + zx zx = x6 y6 z6 Tìm GTNN biểu thức P = + + x + y y + z z + x3 Hướng dẫn: Đặt x3 = a; y = b; z = c quy BĐT bản! Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = xyz Tìm GTNN biểu thức P = yz zx xy + + x ( z + y ) y ( x + z ) z ( y + x) Hướng dẫn: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Đặt Facebook: LyHung95 1 = a; = b; = c ⇒ ab + bc + ca = x y z a3 Thay vào biểu thức P ta P = ∑ b + 2c a3 a (b + 2c) 2a Ta có + ≥ Tương tự, đến em tự làm nốt nhé! b + 2c Ví dụ Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = b b c c a a Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + + 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Hướng dẫn: Cách 1: b b c c a a + + a+3 b+3 c+3 Áp dung bất đằng thức Cauchy cho số thực dương, ta có: Từ giả thiết ta có P = b b b b a+3 b3 3b + + ≥3 = 64 a + a + 16  c c c c b+3 c 3c + + ≥ =  64  b + b + 16 Tương tự  a a c+3 a 3a  a a + + ≥ =  64  c + c + 16 Cộng vế theo vế bất đẳng thứ ta được: b b c c a a a+b+c+9 3 + + + ≥ (a + b + c) ⇔ P ≥ 16 a+3 b+3 c+3 Đẳng thức xảy a = b = c = Cách 2: Cauchy − Schwarz (a + b + c) b2 c2 a2 Ta có: P = + + ≥ b a+3 c b+3 a c+3 a c+3 + b a+3 + c b+3 Mặt khác: ⇒P≥ a c+3 + b a+3 + c b+3 Bunhiacopxki ≤ ( a + b + c )( a + b + c + ) = 36 = Dấu xảy ⇔ a = b = c = Ví dụ 10 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = CMR: a3 b3 c3 + + ≥ 2 b +3 c +3 a +3 Ví dụ 11 Cho số dương x, y, z CMR: x4 y4 z4 + + ≥ ( x3 + y3 + z ) y+ z z+ x x+ y Ví dụ 12 Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = CMR: x3 y +8 + y3 z +8 + z3 x +8 ≥ + ( xy + yz + zx) 27 a3 b3 c3 Ví dụ 13 Cho a, b, c > 0: a + b + c = Tìm GTNN: P = + + 2b + 3c 2c + 3a 2a + 3b 2 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Ví dụ 14 Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = Tìm GTNN: P = Facebook: LyHung95 x3 y3 z3 + + y+z z+x x+ y Ví dụ 15 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + + a (b + c) b ( c + a ) c ( a + b) Hướng dẫn: x y z Cách 1: Đặt: a = ; b = ; c = → xyz = Khi ta có → P = x yz y zx z xy x3 y3 z3 + + = + + y+z x+z x+ y y+z z+x x+ y Hướng 1: Theo BĐT Cauchy thì: x3 y + z 3x + + ≥ ; y+z 2 ⇒P= y3 z + x 3y + + ≥ ; z+x 2 z3 x + y 3z + + ≥ x+ y 2 x3 y3 z3 Cauchy 3 + + ≥ x+ y+ z− ≥ xyz − = y+z z+x x+ y 2 Hướng 2: Theo BĐT Cauchy – Schwarz ta có: P= 3 4 x y z x y z + + = + + y + z z + x x + y xy + zx zy + xy zx + yz Cauchy − Schwarz ≥ ( x2 + y + z ) 2 ( xy + yz + zx ) Mặt khác lại có: xy + yz + zx ≤ x + y + z Suy ⇒ P ≥ 2 x + y + z 33 x y z ≥ = 2 Hướng 3: Bunhiacopxki  x  x3 y3 z3  y2 z2  Ta có: P ( x + y + z ) =  + + ≥ + +  ( x + y + z )    y+z z+x x+ y  y+ z z+ x x+ y C1 Theo BĐT Cauchy thì: ⇒ x2 y+z + ≥ x; y+z y2 z+x + ≥ y; z+x z2 x+ y + ≥z x+ y x2 y2 z2 1 + + ≥ ( x + y + z) ⇒ P ≥ ( x + y + z) ≥ y+z z+x x+ y 2 C2 P ( x + y + z ) ⇒P≥ Bunhiacopxki  ≥ x2 y2 z2  + +    y+z z+x x+ y ( x + y + z )2   2( x + y + z)    Cauchy − Schwarz  ≥  x+ y+z =    x+ y+z ≥ 2 Vậy GTNN P PMin = ⇔ a = b = c =1 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  1   1  + +  = b+c + c+a + a+b b c  a b+c b c+a c a+b a  Cách 2: Ta có:  Theo BĐT Bunhiacopxki:   1 b+c + c+a + a+b  b c+a c a+b a b+c  Bunhiacopxki   1 + +    ( a + b + c )     a (b + c) b (c + a ) c ( a + b)  ≤ 1   + +  ≤ ( a + b + c ) P b c  a Hay ⇔  Mặt khác theo BĐT Cauchy thì: 1    + + 2 b c  a  a + b2 + c  1   1   ≥ 3 2 + 2 + 2  ↔  + +  ≥  = a + b2 + c  a 2b 2c  b c c a  a b c  a b   Cauchy ( ( ) ⇒P≥ 1   + +  ≥ ( a + b + c) b c  a Và: ( a + b + c ) ≤ a + b + c Nên suy ra:  ) a + b + c Cauchy 3 abc ≥ = 2 Vậy GTNN P PMin = ⇔ a = b = c = Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P4 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG SỬ DỤNG CÔ-SI NGƯỢC DẤU Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN biểu thức P = x y z + + 2 + y + z + x2 Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN biểu thức P = ∑ Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN biểu thức P = Ví dụ Cho a, b, c > Chứng minh x2 x + y2 x +1 y +1 z +1 + + + y + z + x2 a2 ≥ (a + b + c) 3a + 8b + 14ab ∑ 2 Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b2 + c = Tìm GTNN biểu thức: P = 8a + 26ab + 15b + 8b + 26bc + 15c + 8c + 26ca + 15a Hướng dẫn: Cách 1: Hướng 1: Ta có: 8a + 26ab + 15b = ( 3a + 4b ) − ( a − b ) ≤ ( 3a + 4b ) ⇒ 8a + 26ab + 15b = ( 3a + 4b )2 − ( a − b )2 ≥ 2 3a + 4b  6a + 8b  Hướng 2: Ta có: 8a + 26ab + 15b = ( 2a + 5b )( 4a + 3b ) ≤   = ( 3a + 4b )   2 ⇒ 8a + 26ab + 15b 2 ≥ 3a + 4b Tương tự cho hai biểu thức lại ta được: P ≥ Theo Cô-si ta có: ⇒P≥ 1 + + 3a + 4b 3b + 4c 3c + 4a 3a + 4b 3b + 4c 3c + 4a + ≥ ; + ≥ ; + ≥ 3a + 4b 49 3b + 4c 49 3c + 4a 49 ( ) Bunhiacopxki a+b+c − Mà : ( a + b + c ) ≤ (1 + + 1) a + b2 + c = → a + b + c ≤ 7 Vậy suy ⇒ P ≥ Dấu xảy ⇔ a = b = c = Cách 2: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ∑ P= 8a + 26ab + 15b = ∑ ≥ ( 3a + 4b )2 − ( a − b )2 Facebook: LyHung95 ∑ 3a +1 4b 1 Cauchy − Schwarz (1 + + 1) + + ≥ 3a + 4b 3b + 4c 3c + 4a 7(a + b + c) Mặt khác: Lại có: ( a + b + c ) ⇒P≥ Bunhiacopxki ≤ (1 + + 1) ( a + b2 + c ) = → a + b + c ≤ Dấu xảy ⇔ a = b = c = Cách 3:  x = 8a + 26ab + 15b   Đặt  y = 8b + 26bc + 15c ⇒ x + y + z = 23 ( a + b + c ) + 26 ( ab + bc + ca ) ≤ 49 ( a + b + c )  2  z = 8c + 26ca + 15a Mặt khác: ( x + y + z ) ≥ ( x + y + z ) ⇒ ( x + y + z ) ≤ 3.49 ( a + b + c ) = 441 ⇒ x + y + z ≤ 21 P= 1 + + ≥ ≥ Đẳng thức xảy a = b = c = x y z x+ y+z Vậy GTNN P a = b = c = ( ) a2 b2 c2 + + + ab + bc + ca ≥ a + b + c a+b b+c c+a x4 y y4 z z4 x Ví dụ Cho số thực x, y , z > 0, xyz = CMR: + + ≥ x +1 y +1 z +1 Ví dụ Cho số thực x, y , z > Ví dụ Chứng minh với số dương a; b; c : Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ∑ Ta có  1 x = 1 − ≤ x + yz  x + yz  yz yz x + yz Hướng dẫn:  1 x 1 −  2 x+ y+ z  Tương tự cho biểu thức lại ta thu Pmin = ⇔ x = y = z Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P5 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG KĨ THUẬT CÂN BẰNG HỆ SỐ Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN biểu thức P = a + 2b3 + 3c3 Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN biểu thức P = a + b + c3 Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a + 2b + 3c = Tìm GTNN biểu thức P = 2a + 3b3 + 4c3 Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm GTLN biểu thức P = (1 + 2a )(1 + 2bc) Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn 2a + 4b + 3c = 68 Tìm GTNN biểu thức P = a + b + c3 Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm GTNN biểu thức P = a + 2b + 3c Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a + 4b + 9c = Tìm GTNN biểu thức P = a + b3 + c3 Đ/s: P = 1 1 ⇔ a = ;b = ;c = 6 Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn x + xy + xyz = Tìm GTNN biểu thức P = x + y + z x + 4y   xy = x.4 y ≤ Hướng dẫn: Ta có   xyz = x.4 y.16 z ≤ x + y + 16 z  12 BÀI TẬP LUYỆN TẬP:  a , b, c > Bài 1: [ĐVH] Cho  Tìm GTNN biểu thức P = abc + abc a + b + c ≤ Bài 2: [ĐVH] Cho < a ≤ 1 Tìm GTNN biểu thức P = 2a + 2 a  a , b, c > 1  2 Bài 3: [ĐVH] Cho  Tìm GTNN biểu thức P = a + + b + + c + b c a a + b + c ≤ Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a, b > 1 Bài 4: [ĐVH] Cho  , tìm GTNN P = + a + b 2ab a + b ≤ Bài 5: [ĐVH] Cho x, y hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3x2 + + y3 + 4x y2 Bài 6: [ĐVH] Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 3 a + 3b + b + 2c + c + 3a ≤ Bài 7: [ĐVH] Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a9 + + b9 + + c9 + ≥ 3 Bài 8: [ĐVH] Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a + b − c + b + c − a + c + a − b ≤ Bài 9: [ĐVH] Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 2a + b + 2b + c + 2c + a ≤ Bài 10: [ĐVH] Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh ( 2a + b )( a + c ) a + ( 2b + c )( b + a ) b + ( 2c + a )( c + b ) c ≤ Bài 11: [ĐVH] Cho a > b ≥ Chứng minh 2a + 32 ( a − b )( 2b + 3) ≥5 Bài 12: [ĐVH] Cho số dương x, y thỏa mãn x2 + y2 =   1  1  S = (1 + x ) 1 +  + (1 + y )  +  y  x   Tìm GTNN biểu thức sau :  2 1 1 2 2   P = (1 + x ) 1 + y  + (1 + y ) 1 + x     Bài 13: [ĐVH] Xét số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN biểu thức P = 1 1 + + + 2 a +b +c ab bc ca Bài 14: [ĐVH] Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ Tìm GTNN biểu thức: P = 1 1 1 + 2+ + + + 2 a +b b +c c +a ab bc ca Bài 15: [ĐVH] Cho x, y hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + 10 + x y Bài 16: [ĐVH] Cho x, y, z ba số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = − x + − y + − z Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P6 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 1 + + ≥ 1+ a 1+ b 1+ c Bài 2: [ĐVH] Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn P = a b c + + 1+ a 1+ b 1+ c Bài 3: [ĐVH] Cho số dương a, b thỏa mãn a + b ≤ Chứng minh 1 + + ≥ 1− a 1− b a + b Bài 4: [ĐVH] Cho số dương a, b thỏa mãn a + b ≤ a2 b2 Chứng minh + +a+b+ ≥ 1− a 1− b a+b Bài 5: [ĐVH] (Khối A – 2005) Cho số dương a, b, c thỏa mãn Chứng minh 1 + + =4 a b c 1 + + ≤ 2a + b + c 2b + a + c 2c + a + b Bài 6: [ĐVH] Cho số dương a, b, c Chứng minh ab bc ca a+b+c + + ≤ a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Bài 7: [ĐVH] Cho số dương a, b, c Chứng minh ab bc ca a+b+c + + ≤ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b Bài 8: [ĐVH] Cho số dương a, b, c Chứng minh 1 1 1 + + ≥ + + a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b Hướng dẫn: Ta có: 1 + ≥ = a + 3b b + 2c + a ( a + 3b ) + ( b + 2c + a ) a + 2b + c Tương tự cho BĐT khác cộng lại ta đpcm Bài 9: [ĐVH] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức sau: a) 1 1 1  + + ≤  + +  2a + ( b + c ) 2b + ( c + a ) 2c + ( a + b )  a + b b + c c + a  b) 1 1 1  + + ≤  + +  a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b  a + 2c b + 2a c + 2b  Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Hướng dẫn: a) Ta có 1 1 1  = ≤  + + … 2a + ( b + c ) ( a + b ) + ( a + c ) + ( b + c ) + ( b + c ) 16  a + b a + c b + c  Tương tự cho BĐT khác cộng lại ta đpcm b) Ta có 1 1 1  = ≤  + … a + 2b + 3c ( a + 2c ) + ( c + 2b )  a + 2c c + 2b  Tương tự cho bất đẳng thức khác ta đpcm Bài 10: [ĐVH] Cho a, b, c ba số dương thoả mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3 1 +3 +3 a + 3b b + 3c c + 3a Bài 11: [ĐVH] Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (với a, b, c độ dài cạnh) Chứng minh 1 1 1 + + ≥ 2 + +  p −a p −b p −c a b c Bài 12: [ĐVH] Cho số thực a, b, c > 0, abc = Tìm GTLN biểu thức P = 1 + + 2 a + 2b + b + 2c + c + 2a + 1  1    Bài 13: [ĐVH] Cho số thực a, b, c > thỏa mãn 15  + +  = 10  + +  + 2007 b c  a  ab bc ca  Tìm GTLN biểu thức P = 5a2 + 2ab + 2b2 + 5b2 + 2bc + 2c2 + 5c2 + 2ca + 2a2 Bài 14: [ĐVH] Cho số thực a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 1 1 + + ≥ 2 ab + 2c + 2c cb + 2a + ac + 2b + 2b ab + bc + ac Bài 15: [ĐVH] Cho a, b, c > vaø a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a b c + + 2 + b + c + a2 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 SỬ DỤNG BĐT PHỤ ĐỂ CHỨNG MINH BĐT Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN a + b + b + c + c + a = 2013 Bài 1: [ĐVH] Cho a, b, c số thực dương thoả mãn Chứng minh a2 b2 c2 2013 + + ≥ b+c a+c a+b 2 Bài 2: [ĐVH] Chứng minh x − x + + x − 12 x + 1362 ≥ 13, ∀x ∈ R Bài 3: [ĐVH] Cho x, y, z số dương thỏa mãn x + y + z ≤ Chứng minh x2 + 1 + y + + z + ≥ 82 x y z Bài 4: [ĐVH] Với a, b, c ba số thực dương thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = abc b + 2a c + 2b a + 2c + + ≥ Chứng minh ab bc ca Bài 5: [ĐVH] Cho số thực x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + (1 − yz ) + y + (1 − zx ) + z + (1 − xy ) 2 Bài 6: [ĐVH] Cho số thực x, y thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x − 1) + y2 + ( x + 1) + y2 + y − Bài 7: [ĐVH] Cho số thực x, y thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y − y + + x + y + y + + x − Bài 8: [ĐVH] Cho x, y, z số dương thỏa mãn x + y + z ≤ Chứng minh x2 + 1 17 + y2 + + z2 + ≥ x y z Bài 9: [ĐVH] Cho x, y, z số dương thỏa mãn xy + yz + zx ≥ Chứng minh x2 + ( x + 1) + y2 + ( y + 1) + z2 + ( z + 1) ≥ 181 Bài 10: [ĐVH] Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + 3b + 5c ≤ Chứng minh 3ab 625c + + 15bc a + + 5ca 81b + ≥ 45 5abc Bài 11: [ĐVH] Cho số thực x, y thay đổi Tìm GTNN biểu thức P = x2 + y2 − x + y + + x2 + y + x − y + + x2 + y + x + y + Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 KĨ THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ CHỨNG MINH BĐT Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc = 1 1 + + ≥ Chứng minh a (b + c ) b (c + a ) c ( a + b ) Hướng dẫn: 1 Đặt x = , y = , z = ⇒ xyz = a b c x2 y2 z2 Khi BĐT cho đưa BĐT bản: + + ≥ y+z z+x x+ y Bài 2: [ĐVH] Cho ba số dương a, b, c thoả mãn điều kiện abc = bc ca ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + + 2 a b + a c b a + b c c a + c 2b Bài 3: [ĐVH] Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = abc a b c Chứng minh + + ≤ bc (1 + a ) ac (1 + b2 ) ab (1 + c ) Bài 4: [ĐVH] Cho a, b, c số thực dương thoả mãn ab + bc + ca = abc 1 1 Chứng minh + + ≥ a ( a − 1) b ( b − 1) c ( c − 1) Bài 5: [ĐVH] Cho x , y , z ba số thực thỏa mãn : 5− x + 5− y + 5− z = 25x 25 y 25z 5x + y + 5z Chứng minh x y + z + y z + x + z x+ y ≥ 25 + 5 +5 +5 Bài 6: [ĐVH] Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc = 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + + a (1 + b )(1 + c ) b (1 + a )(1 + c ) c (1 + a )(1 + b ) Hướng dẫn: 1 Đặt x = , y = , z =  → xyz = a b c Bài 7: [ĐVH] Cho tam giác ABC với cạnh a, b, c p nửa chu vi tam giác Chứng minh BĐT sau: a b c a) + + ≥3 b+c −a c +a −b a +b−c 1 1 1 b) + + ≥ + + a +b−c b+c−a c +a −b a b c a2 b2 c2 c) + + ≥ a+b+c b+c −a c +a −b a +b−c d) ( b + c − a )( c + a − b )( a + b − c ) ≤ abc e) ( p − a) + ( p − b) + ( p − c) ≥ p ( p − a )( p − b )( p − c ) Bài 8: [ĐVH] (Khối A – 2008) Cho x, y, z số thực dương thay đổi thoả xyz = x2 ( y + z ) y2 ( z + x) z2 ( x + y) Tìm GTNN biểu thức P = + + y y + 2z z z z + 2x x x x + y y Bài 9: [ĐVH] Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 4a 9b 16c + + ≥ 26 b+c −a c +a −b b+a −c Bài 10: [ĐVH] Cho x, y, z > thỏa mãn xyz = yz zx xy + + Tìm GTNN biểu thức P = 2 x y + x z y z + y x z x + z2 y Bài 11: [ĐVH] Cho x, y, z > xyz = 1 Chứng minh + + ≥ x ( y + z ) y (3z + x) 27 z ( x + y ) Chứng minh Bài 12: [ĐVH] Cho a, b, c > Tìm GTLN biểu thức P = bc ca ab + + a + bc b + ca c + ab Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BĐT – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] (Khối B – 2008) Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn hệ thức x2 + y2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = 2( x + xy ) + xy + y Bài 2: [ĐVH] Cho x,y ∈ R x, y > Tìm giá trị nhỏ P = ( (x + y3 ) − ( x2 + y2 ) ( x − 1)( y − 1) ) Bài 3: [ĐVH] Cho x, y số thực thỏa điều kiện x + y = xy + Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x4 + y xy + Bài 4: [ĐVH] Cho x, y thoả mãn số thực thỏa mãn x − xy + y = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P = x4 + y + x2 + y + Bài 5: [ĐVH] Cho số thực không âm x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn biểu thức P = xy + yz + zx + x+ y+ z Bài 6: [ĐVH] Cho số x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x3 + y + z − xyz Bài 7: [ĐVH] Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn (x + y)3 + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x + y + x y ) − ( x + y ) + Bài 8: [ĐVH] Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z ≤ 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + z +  + +  x y z Bài 9: [ĐVH] Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z ≤ 1 1 Chứng minh ( x + y + z ) +  + +  ≥ 21 x y z Bài 10: [ĐVH] Cho số x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 = Chứng minh 1 + + − ( x + y + z) ≥ x y z Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BĐT – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn hệ thức x2 + y2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = 2(x3 + y3) – 3xy Bài 2: [ĐVH] Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: S = ( x + y )( x + y ) + 25 xy Bài 3: [ĐVH] Các số x, y, z thay đổi thoả mãn x2 + y2 + z2 = Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + z + xy + yz + zx Bài 4: [ĐVH] Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn x + y + xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x − xy + y y2 +1  a , b, c > 12a 12b 25c Bài 5: [ĐVH] Cho  Tìm GTNN P = + + a+b b+c c+a 9a ≥ c ≥ a x ≥ y Bài 6: [ĐVH] Cho x; y; z số thực thỏa mãn x; y; z ∈ [1; 4]  x ≥ z Tìm GTNN của: P = x 2x + 3y + y y+z + z z+x Bài 7: [ĐVH] Cho số thực dương thỏa mãn Tìm GTLN biểu thức: P = b ≥ a−c ≥ b 5 12 ( a − b ) 12 ( b − c ) 25 ( c − a ) + + c a b 1  1 Bài 8: [ĐVH] Cho số thực a; b; c > thỏa mãn ( a + b + c )  + +  = 16 a b c Tìm GTNN GTLN biểu thức: P =  a + 2b ab Bài 9: [ĐVH] Cho x; y; z ≥ thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: ( x + y + z ) + 15 xyz ≥ 1(1) Bài 10: [ĐVH] Cho số thực dương a; b; c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a b c + + 2 b +c c +a a + b2 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BĐT – P3 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn (a + b)ab = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3(a + b3 ) − 2(a + b ) + a + b Bài 2: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a b c a b5 c5 + + + + + b c c a a 2b b c a Bài 3: [ĐVH] Cho số thực dương a, b thỏa mãn a + b − ab ≤ 12 a 2b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + + 12ab a +b ab Bài 4: [ĐVH] Cho số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = (9 + yz )( y z − yz + 8) Bài 5: [ĐVH] Cho số thực x, y thỏa mãn x + y = xy ( x + y ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x3 + y − xy Bài 6: [ĐVH] Cho số thực x, y thỏa mãn x + y = + xy Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = x + y − x y Bài 7: [ĐVH] Cho số thực x, y thỏa mãn x + y = xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x3 + y − xy Bài 8: [ĐVH] Cho số thực dương x, y thỏa mãn x + y + = 2( x + y ) + xy Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = xy + xy − x+ y Bài 9: [ĐVH] Cho số thực x, y thỏa mãn x + y = xy Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = xy + x y + xy ( x + y ) − ( x + y ) 1 1 Bài 10: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn (a + b + c)  + +  = 16 a b c Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = a + 2b ab 1 1 Bài 11: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn (a + 2b)  +  = 3a ≥ c b c Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức P = a + 2b ac Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! [...]... cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BĐT – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] (Khối B – 2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P... thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BĐT – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2 + y2 = 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị... điều kiện x + y ≥ 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 x + 3 y + 6 10 + x y Bài 16: [ĐVH] Cho x, y, z là ba số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1 − x + 1 − y + 1 − z Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT... (Khối A – 2008) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thoả xyz = 1 x2 ( y + z ) y2 ( z + x) z2 ( x + y) Tìm GTNN của biểu thức P = + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2 y y Bài 9: [ĐVH] Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 4a 9b... Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P4 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 4 SỬ DỤNG CÔ-SI NGƯỢC DẤU Ví dụ 1 Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm GTNN của biểu thức. .. [ĐVH] Cho  Tìm GTNN của biểu thức P = abc + abc a + b + c ≤ 1 Bài 2: [ĐVH] Cho 0 < a ≤ 1 1 Tìm GTNN của biểu thức P = 2a + 2 2 a  a , b, c > 0 1 1 1  2 2 2 Bài 3: [ĐVH] Cho  3 Tìm GTNN của biểu thức P = a + 2 + b + 2 + c + 2 b c a a + b + c ≤ 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG... Bài 9: [ĐVH] Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 1 1 1 1 1 1 1  + + ≤  + +  2a + 3 ( b + c ) 2b + 3 ( c + a ) 2c + 3 ( a + b ) 4  a + b b + c c + a  b) 1 1 1 1 1 1 1  + + ≤  + +  a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 2  a + 2c b + 2a c + 2b  Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc. ..  1 x 1 −  2 x+ y+ z  Tương tự cho các biểu thức còn lại ta thu được Pmin = 1 ⇔ x = y = z Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P5 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website... 1 + 2 x2 + 2 y 2 + 2 x − 2 y + 1 + 2 x2 + 2 y 2 + 4 x + 4 y + 4 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 KĨ THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ CHỨNG MINH BĐT Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] Cho a, b, c... trị nhỏ nhất của biểu thức P = a b c + + 2 2 1 + b 1 + c 1 + a2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 SỬ DỤNG BĐT PHỤ ĐỂ CHỨNG MINH BĐT Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN a 2 + b 2 + b 2 + c 2 + c ... giá trị nhỏ biểu thức P = Facebook: LyHung95 x + x + 34 x +3 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG... +c c +a Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG... , tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + x + 17 ( x + 1) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
- Xem thêm -

Xem thêm: Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2016 cực hay (Phần 9: Bất đẳng thức và cực trị), Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2016 cực hay (Phần 9: Bất đẳng thức và cực trị), Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2016 cực hay (Phần 9: Bất đẳng thức và cực trị)

Từ khóa liên quan